Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)



Relaterede dokumenter
Det første kapitel / hvorledes målestaven skal laves og tilvirkes.

Jakobsstav instrumentbeskrivelse og virkemåde

Daviskvadrant instrumentbeskrivelse og virkemåde

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Brydningsindeks af vand

TYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

Mellem stjerner og planeter

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

Konstruktion af SEGMENTBUE I MURVÆRK.

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen

I Meteorological Observations beskriver Peter Freuchen den teodolit, han har benyttet på ekspeditionen:

Matematik. Meteriske system

Mellem stjerner og planeter

Vinkelmåling med sekstant

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle

Projekt 8.8. Napiers stave og de moderne regnestokke

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tegning og konstruktion

Sekstant (plastik) instrumentbeskrivelse og virkemåde

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

KonteXt +5, Kernebog

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

!!!!! af Brian Kristensen! Tegne et ansigt

Lille Georgs julekalender december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Mellem stjerner og planeter

************************************************************************

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Materialeliste 2. General vejledning til afsætning 3-5. Montageforløb og arbejdsvejledning Tegningsmateriale: Plan, snit, facade og detail 11-16

Rutschebanen - Fart og matematik med Havens mest populære forlystelse

Matlab script - placering af kran

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

TILLYKKE MED DERES NYE CARPORT. Lynge Carport 1.0 Tegningsmateriale og arbejdsvejledning Side 1 af 9

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten.

Geogebra Begynder Ku rsus

Trekants- beregning for hf

Boxsekstant (kopi) instrumentbeskrivelse og virkemåde

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Mælkevejens rotation

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Boxsekstant (Francis Barker) instrumentbeskrivelse og virkemåde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

Problemløsning i retvinklede trekanter

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler

Indhold. Servicesider. Testsider

Terrasseoverdækning/ Carport Monteringsvejledning

Bacheloruddannelsen 1. år E15

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Tegning. Arbejds- og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn arbejdstegninger

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato:

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde

Vejledende besvarelse

INSPEKTIONSRAPPORT LEGEPLADS

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Pladeudfoldning Specielle Udfoldninger

Indhold Problemstilling... 2 Solceller... 2 Lysets brydning... 3 Forsøg... 3 Påvirker vandet solcellernes ydelse?... 3 Gør det en forskel, hvor meget

GUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 31. maj Kl Prøveform a GUX181 - MAA

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 1. Tilhørende kopier: Arealer 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Arealberegning af et kvadrat eller rektangel

Vektorer og lineær regression

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl stx113-mat/a

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Danmarks helsagsbrevkort med de tofarvedes tegning

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Fysikøvelse - Erik Vestergaard 1

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

TILLYKKE MED DERES NYE DOBBELT CARPORT! Lynge Carport 2.0 Eksklusiv Tegningsmateriale og arbejdsvejledning Side 1 af 9

TILLYKKE MED DERES NYE CARPORT! Lynge Carport 2.1 Tegningsmateriale og arbejdsvejledning Side 1 af 11

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

User s guide til cosinus og sinusrelationen

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

En sumformel eller to - om interferens

Matematik A. Studentereksamen

En rigtig På en varm sommerdag er denne amerikanske liggestol det perfekte sted at opholde sig.

International matematikkonkurrence

Høvdingebold. Introduktion. Scratch

1. Installere Logger Pro

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Teknisk basetræning fodbold

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

En n klassiker. i topkvalitet. Her er den så. Den magelige, TRÆ I HAVEN TRÆ I HAVEN

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

80 cm spot på DANAGE DOMINO skydemåtte. Udnyttelsesgrad og økonomiske fordele for DOMINO systemet.

Forside til beskrivelse af projekt til DM i Naturfag. Bellahøj Skole. Tværfagligt

VISUEL MIND MAPPING. Visuel Mind Mapping

Udskiftning af fuserenheden

Transkript:

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der levede 1288-1344. Levi ben Gerson skrev på hebraisk et større religiøst-filosofisk værk med titlen Herrens Krige, hvoraf Astronomien kun er en mindre del, som ovenikøbet ikke blev medtaget, da værket senere blev trykt. Astronomien findes i flere manuskriptudgaver på hebraisk, ligesom der er en del middelalderlige manuskripter med oversættelse til latin, men den er først i moderne tid blevet trykt og oversat til engelsk, og det endda kun delvist. Det er i Astronomien, at Levi beskriver sit instrument, som han har opfundet med henblik på astronomiske målinger, såsom måling af vinkler mellem to stjerner eller planeter og måling af himmellegemers vinkeldiametre. Stavens længde beskrives til ca 1,5 m, hvilket må siges at være i overkanten af det håndterlige, så måske har den været benyttet med en form for støtte. Levi gør meget ud af at tage højde for det problem, at synsstrålerne samles inde i øjet og ikke uden for det, og han giver i kapitel 6 en omhyggelig vurdering af hvorledes det påvirker skalainddelingen på staven. Selve konstruktionen af staven gives i kapitel 7, som der bringes et lille stykke af nedenfor. Ifølge teksten selv er Levi ben Gersons Astronomi fuldført år 1328, men den indeholder observationer fra tiden helt op til 1340. Det følgende er et uddrag af Levi ben Gersons Astronomi, oversat fra Bernard R. Goldstein: The Astronomy of Levi ben Gerson (1288-1344). A Critical Edition of Chapters 1-20 with Translation and commentary. Springer-Verlag, New York Inc. 1985. Sætningsnummereringen i kantede parenteser skyldes Goldstein og er bibeholdt her for at gøre det lettere at henvise til detaljer i teksten. Goldstein har et kommentarafsnit (de relevante sider for dette uddrag er p.146-150), som han også har forsynet med nogle tegninger; Levis egen tekst er desværre i alle manuskripter uden nogen illustrationer. Jeg har gentegnet Goldsteins tegninger, nogle i en let revideret udgave. Kapitel 7 (p.55 ff): [1] Vi har vist hvad der behøvedes for at forklare det instrument som vi opfandt til at foretage observationer når som helst med den størst mulige nøjagtighed. [2] Nu tager vi fat på at beskrive hvordan dette instrument konstrueres. [3] Dette er måden at gøre det på: Vi tager en lige stav der er 6 fingerspand i lang og således at dens overflade er plan og at den er en fingerbredde ii bred i hele sin længde. [4] I den ene ende anbringer vi en lille plade udskåret på en sådan måde, at der stikker to tappe frem fra den adskilt fra hinanden med lidt mere end en fingerbredde, således at den ene tap er anbragt ved ét hjørne af det øje som observerer og den anden tap ved det andet hjørne af dette øje uden at presse på øjet. [5] Når man følger disse instruktioner, vil afstanden fra synscentret inde i hovedet på observatøren til overfladen af den plade der er lige ved øjet være 1/20 af et fingerspand for de fleste mennesker, sådan som vi med megen flid og anstrengelse bestemte det ved vores undersøgelse iii. [6] Vi opdeler staven i store enheder iv sådan at der er 8 enheder i et fingerspand v, og vi markerer dem i i Fingerspand (hebr. zeratot) er en gammel længdeangivelse, der også anvendes i Bibelen (f.eks. Anden Mosebog 28,16). Det er ca 25 cm. Stavens samlede længde er således 6 gange 25 cm, dvs 1,5 m. ii Fingerbredde (hebr. ætsba ) svarer ligeledes til en bibelsk længdeangivelse (Jeremias 52,21); det er ca 2 cm. iii Denne undersøgelse findes detaljeret beskrevet i kapitel 6 (Goldstein p.51ff) iv Ordet (hebr. ma alot) der her er oversat med enheder betyder egentlig trin eller grader. Ordet bruges også i Bibelen i forbindelse med inddelinger på et solur (Anden Kongebog 20, 9-11); det er i oversættelsen af 1992 oversat med streger. Version: 20. november 2005 Side 1 af 7

den plane overflades bredde fra den ene ende til den anden. [7] Enhederne skal tage deres begyndelse i synscentrets sted, som er omkring 1/20 af et fingerspand uden for staven. [se figur 7.2] [8] Derfor er den første enhed lige ved øjet sådan, at når den kombineres med 1/20 af et fingerspand bliver den lig med de andre enheder, og vi nedskriver dem der på den måde. [9] Så opdeler vi hver enhed på en side i 6 lige store stykker, men på den anden side opdeler vi hver af dem i 12 lige store stykker. [se figur 7.3] [10] Vi tegner en diagonallinje fra begyndelsen af den ene enhedslinje til slutningen af den første del af den linje, som er opdelt i 12 lige store stykker. [11] Så tegner vi en diagonal fra slutningen af denne del til slutningen af den første del af den linje på hvilken enheden var opdelt i 6 lige store stykker, og fra slutningen af denne del til slutningen af den tredje del på den linje der var opdelt i 12 stykker, og fra slutningen af denne tredje del til slutningen af den anden del af af dem der var lig med en sjettedel af en enhed, og fra slutningen af den anden del til slutningen af den femte del af dem der var opdelt i tolvtedele af en enhed og så fremdeles for hver eneste enhed på staven.[se figur 7.3] [12] Alle disse diagonallinjer omfatter 1/12 af en enhed, hvilket er 5 minutter vi. [13] For at vurdere [mindre dele af en enhed] skal man bestemme den del der er afskåret [på disse diagonaler]; for hvis den er 1/5, er det 1 minut, og hvis den er er 1/4, er det 1 minut og 15 sekunder vii, og hvis den er 1/3, er det 1 minut og 40 sekunder, og hvis den er ½, er det 2 minutter og 30 sekunder, og på den måde kan man finde minutter og sekunder meget præcist. [14] Hvis bredden på staven, hvis hele længde er opdelt i enheder, bliver opdelt i fem dele, vil diagonallinjerne blive opdelt i 5 lige store dele som hver omfatter 1 minut af en enhed på staven.[se figur 7.4] [15] Så laver vi mange plader sådan at hver har et afrundet hul i midten; staven skal kunne gå gennem det med pres, men vi skal kunne bevæge pladen frem og tilbage omkring den til hvilken side vi ønsker viii. [16] Der bør være en plade, hvis størrelse er 24 enheder i stavens enheder, således at dens øvre overflade er over staven i samme afstand som synscentret er oven over staven. [17] På samme måde skal vi have plader på 16 enheder, 8 enheder, 4 enheder og 2 enheder, hvis bredde til den ene side er 1 enhed og til den anden side ½ eller 1/4 af en enhed eller endog mindre, sådan at vi kan observere stjerner med den som er meget tæt på hinanden i længde eller bredde. [18] Disse plader skal alle være plane og overfladerne skal være vinkelrette på hinanden. [19] Når vi ønsker at observere to stjerner med dette instrument for at bestemme afstanden imellem dem, tager vi en plade der passer til denne afstand, f.eks. hvis afstanden er 25Εeller mere, så tager vi den største plade. [20] Endvidere forsøger vi at anbringe pladen så tæt som muligt ved enden af staven. [21] Vi indfører staven i pladen på en sådan måde at den er vinkelret på, og vi anbringer tappene ved stavens ene ende nær syns[centret] ved hjørnet af observatørens øje, og vi bør lukke det andet øje for at det ikke skal bringe forvirring i observationen. [22] Vi bringer tappene så tæt på øjet som muligt og så anbringer vi pladen kortere eller længere væk fra øjet indtil vi ser fra toppen af pladen på den ene side én stjerne og på den anden side den anden stjerne sådan at de to stjerner rører denne plade ved dens to ender ifølge observationen. [23] Eftersom det ikke er muligt at fuldføre dette medmindre pladens ender kan ses klart, anbringer vi et v Dvs at en enhed bliver ca 25/8 cm, altså godt 3 cm. vi Minut (hebr. daq), som blot betyder en smådel, har her den tekniske betydning 1/60 af den enhed, minuttet er en smådel af. Så 1/12 af en enhed er 5/60 af enheden, dvs 5 minutter. vii Sekund (hebr. sjenijim), smådel af anden orden, betyder 1/60 af et minut. viii Teksten uklar; Goldstein oversætter til: We then make many plates such that each one has a round hole in the middle of it; the staff should go through it with pressure, but we should be able to move the plate about it in any desired direction.for det første er det ejendommeligt at der omtales et rundt hul til en stav med rektangulært tværsnit, med mindre der blot menes at hullet skal omslutte staven. For det andet synes Goldsteins oversættelse at antyde, at pladen skal kunne drejes i en plan vinkelret omkring staven, og det er svært at se hvad formålet med det skulle være. Jeg har derfor efter at have konsulteret den hebraiske tekst besluttet mig for den anførte oversættelse, der mest peger på at pladen kan føres frem og tilbage uden om staven. Muligvis kunne man forestille sig, at hullet i pladen faktisk er rundt, og at det er meningen at man skal kunne dreje staven inden i hullet; Goldsteins tegninger viser dog, at han i hvert fald ikke har forestillet sig den mulighed. Version: 20. november 2005 Side 2 af 7

lys bag os på en sådan måde at det oplyser pladens overflade, men dets lys må ikke forhindre os i at se stjernerne. [24] Når vi har fuldført dette, skal vi skrive ned hvilken plade der blev brugt til observationen og notere enhederne, minutterne og dele af minutter på staven hvor pladen var anbragt på observationstidspunktet. [25] Vi kalder dette afstanden. Antag f.eks. at disse stjerner blev observeret med en plade på 10 enheder i en afstand af 40 enheder på et vist tidspunkt. [26] Når man ønsker at finde afstanden mellem disse to stjerner i grader på den storcirkel der går igennem dem ud fra de enheder der noteres ved observationen, skal man lægge kvadratet på afstanden til kvadratet på den halve plade og tage kvadratroden af summen; det er den rettede radius.[se figur 7.5] ix [27] Multiplicér pladens enheder med 60 og dividér resultatet med den rettede radius, og resultatet er den rettede korde x, for det er hvad vi vil kalde den. [28] Find den tilsvarende bue i tabellen med buer og korder, og det er afstanden mellem de to stjerner på den storcirkel, der går gennem dem. ix Med betegnelserne på fig.7.5: afstanden AD er 40 enheder, den halve plade DC er 5 enheder. Vi får så AD 2 + DC 2 = AC 2, så AC bliver kvadratroden af 1625, dvs 40 enheder og 19 minutter. Dette er den rettede radius. x Den rettede korde er korden (svarende til den vinkel vi er i færd med at måle) i en standardcirkel med radius 60. Den tilsvarende vinkel eller bue kan så, som det angives i [28], findes i en tabel over sammenhørende buer og korder i denne standardcirkel. Forstørrelsesfaktoren fra den rettede radius på 40;19' op til standardradius på 60 er altså 60/40;19'. Den rettede korde fås så ved at gange den aktuelle korde på 10 enheder med denne forstørrelsesfaktor, hvilket giver 14 enheder og 53 minutter. Den søgte vinkel bliver så 14 grader og 15 bueminutter. Version: 20. november 2005 Side 3 af 7

TEGNINGER (Fig.7.1 er baseret på Goldstein, p.147, Figure 7C-1, fig.7.2 er baseret på Goldstein,p.148, Figure 7C-2, fig.7.3 og fig.7.4 er baseret på og bearbejdninger af Goldstein, p.149, Figure 7C-3 og fig.7.5 er baseret på Goldstein, p.150, Figure 7C-4). Figur 7.1 Figur 7.2 Version: 20. november 2005 Side 4 af 7

Figur 7.3 Version: 20. november 2005 Side 5 af 7

Figur 7.4 Version: 20. november 2005 Side 6 af 7

Figur 7.5 Version: 20. november 2005 Side 7 af 7