Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Transkript

1 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Pythagoras sætning 2 3 Pythagoras omvendte sætning 4

3 Resumé I dette dokument beviser vi Pythagoras sætning, både den sædvanlige version og den baglæns version. 1 Introduktion Pythagoras læresætning er en af de ældste matematiske sætninger man kender 1, og måske den matematiske sætning som er blevet bevist af flest forskellige mennesker 2 på flest forskellige måder 3 og i flest forskellige sammenhænge 4. Det bevis som vi laver her stammer fra en indisk matematiker ved navn Bhaskara som levede i 1100-tallet. Forudsætninger: I beviset for den første del får vi brug for en af de tre kvadratsætninger 5. I den anden halvdel vil vi både bruge den første halvdel (som vi til den tid har bevist) og den såkaldte kongruenssætning 6. Hvis dette er et af de første beviser du læser, er det desuden en god ide at læse dokumentet om sætninger og beviser først 7, sådan at du er fortrolig med begreberne forudsætninger og konklusion. 1 Sjovt nok var den kendt af den babylonske kultur mere end 1000 år før Pythagoras mor og far mødte hinanden. Dermed er navnet temmeligt misvisende, men det er blevet en tradition at bruge det, og det er næsten umuligt at lave om. 2 Listen over mennesker som har lavet et originalt bevis for sætningen indeholder folk fra mere end 50 forskellige lande, tidsaldre fra 2000 år før vor tidsregning til 2000 år efter, og sågar en amerikansk præsident. 3 Du læse de første 200 varianter her. 4 Der er tradition for at kalde alle sammenhænge af typen for Pythagoræiske sætninger, også selvom de tre størrelser a, b og ikke er sidelængder i en trekant. Der bliver den dag i dag udgivet matematiske artikler med titler af typen A Pythagorean Theorem for... 5 Læs om kvadratsætningerne her 6 Du kan læse om kongruenssætningen her. 7 Læs om sætninger og beviser her side 1

4 2 Pythagoras sætning Sætning 1 Hvis a og b er længder af kateterne, og er længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, så er: Bevis. Lad os sige at den længste af de to kateter er den med længde a. (Ellers bytter man bare om på a og b i det følgende argument.) Tegn et kvadrat med sidelængder og indtegn fire kopier af den retvinklede trekant som vist på figur 1. Bemærk at de fire trekanter passer sammen, fordi de to spidse vinkler i trekanten tilsammen er 90. Figur 1: Fire kopier af den samme retvinklede trekant, indtegnet i et kvadrat Inde i midten af denne figur opstår et kvadrat med sidelængde a b. Arealet af dette kvadrat kan vi udregne som: A = (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab side 2

5 Men det samme areal kan også udregnes på en anden måde. Det store kvadrat har nemlig areal 2, og hver af de fire trekanter har areal 1 ab. Derfor har vi også at: 2 A = ab = 2 2ab Eftersom begge disse udregninger er korrekte, må de give det samme resultat. Altså kan vi konkludere at: a 2 + b 2 2ab = 2 2ab Men det betyder at: side 3

6 3 Pythagoras omvendte sætning Pythagoras omvendte sætning er meget mindre kendt end dens storebror. Ikke desto mindre er den både interessant fra et teoretisk synspunkt (ikke mindst fordi bevisteknikken er interessant) og fra et praktisk (fordi den giver en måde at beregne om en trekant er retvinklet på. Sætning 2 (Pythagoras omvendte sætning) Hvis a, b og er sidelængder i en trekant, og der gælder at: så er trekanten retvinklet, og er længden af hypotenusen. Bemærkninger Bemærk at denne sætning kaldes omvendt, fordi der er byttet om (i en vis forstand) på hvad der er forudsætninger og hvad der er konklusion i forhold til den almindelige version af Pythagoras sætning. Når man på den måde ombytter forudsætninger og konklusion i en sætning, så får man en fuldkommen anden sætning! 8 Derfor kræver den omvendte påstand et helt andet bevis. Det nedenstående bevis vil sandsynligvis sætte din sans for logik på en prøve, fordi vi undervejs i beviset bruger den retvendte version af Pythagoras sætning. Mange vil mene at dette er snyd, men eftersom vi allerede har bevist sætning 2, er dette fuldt ud lovligt. 8 Ofte får man sågar noget som er totalt forkert eller ligefrem meningsløst. Betragt f.eks. den korrekte påstand: Hvis x og y er positive tal, så er x y et positivt tal og sammenlign med den omvendte påstand: Hvis x y er et positivt tal, så er både x og y positive tal. side 4

7 Bevis. Antag at vi har en trekant med sidelængderne a, b og, og at vi ved at Lad os nu konstruere en ny trekant på følgende måde: 1. Tegn en ret vinkel, hvor det ene ben har længde a og det andet har længde b. 2. Forbind endepunkterne af de to ben med et ret linjestykke. På denne måde får vi konstrueret en trekant som (per konstruktion) er retvinklet, men hvor vi ikke er sikre på hvor lang hypotenusen er. Ifølge sætning 2, kan vi beregne hvor lang den sidste side i vores trekant er. Hvis vi kalder dens længde for x, vil den nemlig opfylde at: a 2 + b 2 = x 2 Men det eneste vi vidste fra starten var jo at: og derfor må x 2 = 2 Hvilket betyder at x må være lig med. (Hverken x eller kan jo være negative). Det viser sig altså at den retvinklede trekant som vi konstruerede har samme sidelængder som den trekant vi startede med. Dermed er de to trekanter ens ifølge kongruenssætningen. Så den trekant som vi startede med er nødt til at være retvinklet, og den rette vinkel må ligge mellem siden med længde a og siden med længde b. Derfor er længden af hypotenusen. side 5