1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
|
|
- Vibeke Holst
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt grundlæggende sætninger om indskrivelige firkanter. Noterne forudsætter kendskab til ensvinklede trekanter samt sinusog cosinusrelationerne. 1 Trekantens linjer De vigtigste linjer i en trekant er udover siderne, medianerne, midtnormalerne, vinkelhalveringslinjerne og højderne. De har alle hver deres særlige egenskaber. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Sætning om medianer De tre medianer i en trekant går igennem samme punkt, og dette punkt deler medianerne i forholdet 1:2. Medianernes skæringspunkt betegnes normalt M. Lad ABC være en trekant, og kald medianerne for henholdsvis m a, m b og m c, og medianernes fodpunkter på siderne a, b og c for henholdsvis M a, M b og M c. Medianerne m a og m b skærer hinanden i et punkt vi kalder M. Vi vil nu vise at de skærer hinanden i forholdet 1 : 2. Da M a og M b er midtpunkter på henholdsvis BC og AC, er M a M b parallel med AB, dvs. at trekant ABC og trekant M b M a C er ensvinklede med forholdet 1 : 2, og specielt er 2 M a M b = AB. Desuden er trekanterne ABM og M a M b M ensvinklede da M a M b og AB er parallelle, og forholdet mellem treknaterne er netop forholdet mellem M a M b og AB dvs. 1 : 2. Her af ses at m a og m b deler hinanden i forholdet 1 : 2. Da m a og m b var vilkårlige medianer, må m a og m c også skære hinanden i forholdet 1 : 2, dvs. at alle tre medianer går gennem samme punkt M. Definition af midtnormal En midtnormal til et linjestykke AB er det geometriske sted for de punkter P der har samme afstand til A og B, altså mængden af punkter P som opfylder at AP = BP. Midtnormalen er dermed en linje som går gennem midtpunktet af linjestykket AB og står vinkelret på AB, da det netop er punkterne på denne linje som opfylder betingelsen. Sætning om midtnormaler I en trekant går de tre midtnormaler gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for den omskrevne cirkel, dvs. den cirkel
2 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 2 som går gennem trekantens tre vinkelspidser. Midtnormalernes skæringspunkt betegnes normalt O. Opgave 1.1 (Om midtnormaler). ovenstående sætning om midtnormalerne i en trekant. (Hint: Betragt to af midtnormalerne, og vis at deres skæringspunkt ligger i samme afstand til alle tre vinkelspidser i trekanten.) Definition af vinkelhalveringslinje En vinkelhalveringslinje til en vinkel er det geometriske sted for de punkter P der har samme afstand til vinklens ben. Vinkelhalveringslinjen er altså en linje som deler en vinkel i to lige store vinkler, da det netop er punkterne på denne linje som opfylder betingelsen. Sætning om vinkelhalveringslinjer I en trekant går de tre vinkelhalveringslinjer gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for den indskrevne cirkel, dvs. den cirkel som tangerer alle tre sider i trekanten. Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt betegnes normalt I. Opgave 1.2 (Om vinkelhalveringslinjer). ovenstående sætning om vinkelhalveringslinjer i en trekant. (Hint: Første del: Betragt to vinkelhalveringslinjer, og vis at deres skæringspunkt har samme afstand til alle tre sider i trekanten. Anden del: Benyt sinusrelationen på trekant AV C og trekant AV B.) Definition af højde En højde i en trekant er en linje der går gennem en vinkelspids og er ortogonal med modstående side. Sætning om højder I en trekant går højderne gennem samme punkt. Tegn linjer gennem henholdsvis A, B og C som er parallelle med modstående sider. En vinkelhalveringslinje deler modstående side i trekanten i samme forhold som forholdet mellem vinklens to hosliggende sider, dvs. at hvis fodpunktet for vinkelhalveringslinjen v a fra A til siden BC betegnes V, da er CV V B = b c. Firkant ACBC 1 og firkant ACA 1 B er parallelogrammer, dvs. at C 1 B = AC = BA 1. Tilsvarende ses at C 1 A = AB 1 og B 1 C = CA 1. Højderne i ABC er derfor midtnormaler i A 1 B 1 C 1, og de går ifølge sætningen om midtnormaler gennem samme punkt.
3 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 3 Definition af cevian En cevian er en linje i en trekant fra en vinkelspids til den modstående side (eller dens forlængelse). Fx er højder, medianer og vinkelhalveringslinjer alle cevianer. Cevas sætning Cevas sætning siger at cevianerne AA, BB og CC (hvor A ligger på BC eller dens forlængelse osv.), skærer hinanden i samme punkt, netop hvis AC C B BA B A = 1. Her beviser vi kun sætningen i tilfældet hvor alle tre cevianer ligger inden for trekanten. Hvis nogle af cevianerne falder uden for trekanten, foregår beviset stort set på samme måde, men det kræver lidt flere overvejelser undervejs. Først viser vi at hvis de tre cevianer går gennem samme punkt, så vil AC C B BA B A = 1. Antag at cevianerne går gennem samme punkt P. Der gælder at hvis to trekanter har samme højde, da er forholdet mellem arealerne det samme som forholdet mellem grundlinjerne. Lad T ( ABC) betegne arealet af en trekant. Dermed er Samlet får vi AB B C = T ( ABB ) T ( CBB ) og AB B C = T ( AP B ) T ( B P C). AB B C = T ( ABB ) T ( AP B ) T ( CBB ) T ( B P C) = T ( ABP ) T ( BP C). Her har vi benyttet brøkregnereglen der siger at hvis a b = s t og a b = u v, hvor t v, da er a b = s u t v. Tilsvarende fås BC C A = T ( BCP ) T ( CP A) Samlet giver dette og CA A B = T ( CAP ) T ( AP B). AB B C BC C A CA A B = T ( ABP ) T ( BP C) T ( BCP ) T ( CP A) T ( CAP ) T ( AP B) = 1. Nu viser vi den modsatte vej. Antag at AC C B BA B A = 1. Kald skæringspunktet mellem AA og BB for P, og betragt cevianen CD fra C gennem P. Da cevianerne AA, BB og CD går gennem samme punkt, gælder ifølge det vi lige har vist, at AD DB BA B A = 1.
4 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 4 Ifølge vores antagelse er AC C B BA B A = 1, dvs. at AD DB = AC C B. Af dette ses at D og C er samme punkt, og dermed at cevianerne AA, BB og CC skærer hinanden i samme punkt P. Opgave 1.3. Før benyttede vi sætningen om midtnormaler til at bevise at højderne skærer hinanden i samme punkt. Benyt nu i stedet Cevas sætning til at bevise dette. Sætning om medianernes længde Længden af medianerne kan udtrykkes ved trekantens sidelængder. I en trekant ABC er længden af medianen m a fra vinkelspids A til siden a givet ved m 2 a = b2 2 + c2 2 a2 4. Kald fodpunktet for m a for M og vinklen BMA for v. Ifølge cosinusrelationen gælder at og c 2 = m 2 a + a2 4 m aa cos v, b 2 = m 2 a + a2 4 + m aa cos v. Her har vi udnyttet at cos(180 v) = cos(v). Ved addition af de to ligninger får man m 2 a = b2 2 + c2 2 a2 4. Opgave 1.4. I en trekant ABC betegnes medianerne henholdsvis m a, m b og m c. Find en formel for beregning af længderne af trekantens sider a, b og c udtrykt ved medianernes længde. Opgave 1.5. Vis at medianerne i en trekant deler trekanten i seks små trekanter med samme areal. Opgave 1.6. Lad I være vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt i en trekant ABC, og lad yderligere A 1, B 1 og C 1 være refleksionen af I i henholdsvis a, b og c. Cirklen gennem A 1, B 1 og C 1 går også gennem B. Bestem vinklen ABC. Opgave 1.7. Fra vinkelspidsen C i trekant ABC tegnes en ret linie der halverer medianen fra A. I hvilket forhold deler denne linie siden AB? (Georg Mohr 1995) Opgave 1.8. Lad I være centrum i den indskrevne cirkel til trekant ABC, og lad yderligere A 1 og A 2 være to forskellige punkter på linjen gennem B og C således at AI = A 1 I = A 2 I, B 1 og B 2
5 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 5 være to forskellige punkter på linjen gennem A og C således at BI = B 1 I = B 2 I, og C 1 og C 2 være to forskellige punkter på linjen gennem A og B således at CI = C 1 I = C 2 I. Vis at A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 er trekantens omkreds. Opgave 1.9. I en trekant ABC med areal 1 indtegnes medianerne. Midtpunktet af medianen m a kaldes for A, midtpunktet af medianen m b kaldes for B, og midtpunktet af medianen m c kaldes for C. 2 Cirkler og vinkler Definition af centervinkel En centervinkel er en vinkel der har toppunkt i centrum og radier som vinkelben. En centervinkel måles ved den bue den spænder over. På figuren er AOB en centervinkel som spænder over buen AB, og vi skriver AOB = AB. Bestem arealet af trekant A B C. Definition af periferivinkel En periferivinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og korder som vinkelben. Sætning om periferivinkler En periferivinkel er halvt så stor som den bue den spænder over. Dermed er to periferivinkler som spænder over samme bue, lige store, og en periferivinkel der spænder over en halvcirkel, er ret. Lad v være en centervinkel og w en periferivinkel der begge spænder over buen AB. Kald centrum for O og punktet hvor w rører periferien, for C.
6 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 6 Antag først at vinkelbenene for vinkel v kun skærer vinkelbenene for w i punkterne A og B. Da deler diameteren gennem C vinklerne v og w i to vinkler som vi kalder hendholdsvis v A og v B og w A og w B. Trekant AOC er nu en ligebenet trekant med to lige s- tore vinkler w A, og den sidste vinkel er 180 v A. Da vinkelsummen i en trekant er 180, er 2w A = v A. Tilsvarende fås 2w B = v B, dvs. 2w = v. Sætning om korde-tangent-vinkel En korde-tangent-vinkel er halvt så stor som den bue korden spænder over. Opgave 2.1 (Om korde-tangent-vinkler). sætningen om korde-tangent-vinkler. (Hint: Husk at AO står vinkelret på tangenten.) Opgave 2.2. følgende om vinkel v og w på figurerne: v = AB + CD 2 CD AB og w =. 2 Antag nu at w s ene vinkelben CB skærer v s vinkelben OA. Diameteren gennem C skærer da yderligere periferien i et punkt vi kalder for D. Ifølge det vi lige har vist, er 2 BCD = BOD og 2 ACD = AOD, og dermed 2w = 2 ACD 2 BCD = AOD BOD = v. Definition af korde-tangent-vinkel En korde-tangent-vinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og en korde samt en tangent som vinkelben. (Hint: Se på trekanter, og udnyt at vinkelsummen er 180.) Definition af et punkts potens. I en given cirkel betegnes centrum O og radius r. Et punkt P s potens mht. cirklen er tallet P O 2 r 2. Hvis P ligger på cirkelperiferien, er P s potens derfor 0, mens den er positiv hvis P ligger uden for cirklen, og negativ hvis P ligger inden for cirklen.
7 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 7 Sætning om et punkts potens I en given cirkel betegnes centrum O og radius r. Lad P være et punkt og l og m være to linjer gennem P, hvor l skærer cirklen i A og B, og m skærer cirklen i C og D. (Hvis en af linjerne tangerer cirklen, er de to punkter sammenfaldende.) P QA er lige så stor som periferivinklen P BQ, ifølge sætningerne om periferivinkler og korde-tangent-vinkler. Dermed er AQP og QBP ensvinklede, og dette giver P Q 2 = AP BP. Samlet har vi at AP BP netop er punktet P s potens mht. cirklen. Lad nu m være endnu en linje gennem P som skærer cirklen i punkterne C og D. Ifølge det vi netop har vist, må også CP DP være punktet P s potens mht. til cirklen, dvs. at AP BP = CP DP. Da gælder at AP BP = CP DP. Hvis P ligger uden for cirklen, er AP BP netop punktets potens mht. cirklen, og hvis P ligger inden for cirklen, er AP BP netop punktets potens. i tilfældet hvor punktet ligger uden for cirklen. Lad P være et punkt uden for cirklen, og lad l være en vilkårlig linje gennem P som skærer cirklen i punkterne A og B. Vi viser først at AP BP netop er P s potens mht. cirklen. Opgave 2.3 (Om et punkt potens). sætningen om et punkts potens i det tilfælde hvor punktet ligger inden i cirklen. Opgave 2.4. Lad to cirkler C 1 og C 2 skære hinanden i punkterne A og B. Tangenten til C 1 gennem B skærer C 2 i punktet C, og tangenten til C 2 gennem B skærer C 1 i punktet D. Desuden oplyses at AC = 3 og AD = 4. Bestem længden af AB. Opgave 2.5. En halvcirkel med diameter AB bevæger sig langs en ret vinkel således at A bevæger sig langs det ene vinkelben, og B langs det andet. Vis at et fast punkt P på halvcirklen bevæger Tegn tangenten til cirklen gennem P som vist på figuren, og kald røringspunktet for Q. Ifølge Pythagoras sætning er P Q 2 = P O 2 r 2. Betragt nu trekanterne AQP og QBP. Korde-tangent-vinklen sig langs en ret linje. (Hint: Betragt cirklen med diameter AB, og overvej hvilke punkter der ligger på cirklen.)
8 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 8 3 Indskrivelige firkanter Definition af indskrivelige firkanter En firkant kaldes indskrivelig hvis den har en omskreven cirkel. Antag at firkant ABCD er indskrivelig, og lad M være punktet på diagonalen BD som opfylder at DCM = ACB. Sætning om indskrivelige firkanter En firkant er indskrivelig netop hvis summen af modstående vinkler er 180. Antag at en firkant er indskrivelig. To modstående vinkler spænder da tilsammen over hele cirkelperiferien, og summen er derfor 180. Antag at det for en given firkant ABCD gælder at summen af to modstående vinkler er 180. Betragt nu den omskrevne cirkel til trekant ABC, og lad punktet E være skæringen mellem cirklen og linjen gennem C og D. Hvis firkanten er indskrivelig, er D lig E. Vi ved at AEC = 180 ABC = ADC. Hvis D ligger uden for cirklen, vil ADC være mindre end AEC, og hvis den ligger indenfor, vil den være større. Dermed må D = E. Opgave 3.1 (Om indskrivelige firkanter). Vis at hvis begge diagonaler i en firkant ABCD står vinkelret på en side, da er firkanten indskrivelig. Ptolemæus sætning For en indskrivelig firkant ABCD gælder at AC BD = AB CD + BC DA. Der gælder at CDM = CAB da de spænder over samme bue. Dermed er trekant CDM og trekant CAB ensvinklede med AB DC = DM AC. Tilsvarende er trekant CAD og trekant CBM ensvinklede med AD CB = BM AC. I alt giver dette AB CD + BC DA = AC ( DM + MB ) = AC BD. Ptolemæus ulighed For alle firkanter ABCD gælder Ptolemæus ulighed AC BD AB CD + BC DA med lighedstegn netop hvis firkant ABCD er indskrivelig. (Denne sætning bevises ikke her.) Additionsformlen for sinus Ptolemæus sætning kan benyttes til at vise additionsformlen for sinus sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Vi viser sætningen i tilfældet hvor x og y er spidse vinkler. Lad A, B, C og D være punkter på en cirkel med radius 1 og centrum O således at DB er diameter, ADB = x og CDB = y.
9 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 9 Trekanterne DAB og DCB er retvinklede da både DAB og DCB spænder over diameteren, og dette giver at AB = 2 sin x, AD = 2 cos x, BC = 2 sin y og DC = 2 cos y. Trekant AOC er en ligebenet trekant hvor AO = OC = 1 og AOC = 2(x + y). Dermed er 1 AC = sin(x + y). 2 Ifølge Ptolemæus sætning gælder Opgave 3.4. En ligesidet trekant ABC er indskrevet i en cirkel. Lad M være et vilkårligt punkt på cirkelbuen BC. Vis at MA = MB + MC. Opgave 3.5. En firkant ABCD er indskreven i en cirkel med radius 1, AB = 1, AC = 2 og AD = 2. Bestem BC. 2 sin(x + y) 2 = 2 sin(x)2 cos(y) + 2 sin(y)2 cos(x) hvoraf additionsformlen følger. Korollar Af additionsformlen for sinus får man direkte formlen for sinus til den dobbelte vinkel sin(2x) = 2 sin x cos x. Opgave 3.2. Lad H a og H b være fodunkterne for højderne fra henholdsvis A og B i trekant ABC. Vis at firkant ABH a H b er indskrivelig. Opgave 3.3. Tre cirkler skærer hinanden som vist på figuren. Lad A være et punkt på cirkelbuen P Q som vist på figuren. Linjen gennem A og P skærer cirklen C 2 i punktet B, og linjen gennem A og Q skærer cirklen C 3 i C. Vis at punkterne B, C og R ligger på linje.
10 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 10 4 Oversigt Trekantens linjer Median: En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Medianernes skæringspunkt: De tre medianer i en trekant går igennem samme punkt som normalt betegnes M, og dette punkt deler medianerne i forholdet 1:2. Midtnormal: En midtnormal til et linjestykke AB er det geometriske sted for de punkter P der har samme afstand til A og B. Midtnormalernes skæringspunkt: I en trekant går de tre midtnormaler gennem samme punkt som normalt betegnes O, og dette punkt er centrum for den omskrevne cirkel. Vinkelhalveringslinjer: En vinkelhalveringslinje til en vinkel er det geometriske sted for de punkter P der har samme afstand til vinklens ben. Vinkelhalveringslinjen er altså en linje som deler en vinkel i to lige store vinkler. Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt: I en trekant går de tre vinkelhalveringslinjer gennem samme punkt som normalt betegnes I, og dette punkt er centrum for den indskrevne cirkel. Vinkelhalveringslinjen deler modstående side i trekanten i samme forhold som forholdet mellem vinklens to hosliggende sider. Højder: En højde i en trekant er en linje der går gennem en vinkelspids og er ortogonal med modstående side. Højdernes skæringspunkt: I en trekant går højderne gennem samme punkt som normalt betegnes H. Cevian: En cevian er en linje i en trekant fra en vinkelspids til den modstående side (eller dens forlængelse). Cevas sætning: Cevianerne AA, BB og CC (hvor A ligger på BC eller dens forlængelse osv.), skærer hinanden i samme punkt, netop hvis AC C B BA B A = 1. Cirkler og vinkler Centervinkel: En centervinkel er en vinkel der har toppunkt i centrum og radier som vinkelben. En centervinkel måles ved den bue den spænder over. Periferivinkel: En periferivinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og korder som vinkelben. Sætning om periferivinkler: En periferivinkel er halvt så stor som den bue den spænder over, to periferivinkler som spænder over samme bue, er lige store, og en periferivinkel der spænder over en halvcirkel, er ret. Korde-tangent-vinkel: En korde-tangent-vinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og en korde samt en tangent som vinkelben. Sætning om korde-tangent-vinkel: En korde-tangent-vinkel er halvt så stor som den bue korden spænder over. Punkts potens: I en given cirkel betegnes centrum O og radius r. Et punkt P s potens mht. cirklen er tallet P O 2 r 2. Sætning om et punkts potens. Lad P være et punkt og l og m være to linjer gennem P, hvor l skærer en given cirklen i A og B, og m skærer cirklen i C og D. (Hvis en af linjerne tangerer cirklen, er de to punkter sammenfaldende.) Da gælder at AP BP = CP DP.
11 Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 11 Indskrivelige firkanter: Indskrivelige firkanter: En firkant kaldes indskrivelig hvis den har en omskreven cirkel. Sætning om indskrivelige firkanter: En firkant er indskrivelig netop hvis summen af modstående vinkler er 180. En firkant er indskrivelig hvis begge diagonaler står vinkelret på hver deres side i firkanten. Ptolemæus ulighed: For en firkant ABCD gælder at AC BD AB CD + BC DA med lighedstegn netop når firkanten er indskrivelig.
1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mere1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mere1 Trekantens linjer. Indhold
Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter
Læs mereTransformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereGeometri Følgende forkortelser anvendes:
Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereGeometri - Teori og opgaveløsning
Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter
Læs mereProjekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten
Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mere1 Trekantens linjer. Indhold
Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter
Læs mereSorø 2004. Opgaver, geometri
Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereGeometri. 1 Trekantens linjer. Indhold
Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Geometri Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer.
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse
Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem
Læs mereMødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.
6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mere*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser
*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereDynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling
Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg
Læs mereNavn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014
Sæt 05 Geometri 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 165 min. = 2,75 time
Læs mereLigedannede trekanter
Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven
Læs merebrikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun
Læs mereGeometri med Geometer I
f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).
Læs mereProjekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten
Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mereGEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2
GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...
Læs mereElevark Niveau 2 - Side 1
Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau
Læs mereGeometriske eksperimenter
I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor
Læs mereGEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y
GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for
Læs mereNoter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereProjekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af
Læs mereIb Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65
Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereOpgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål
Læs mereGeomeTricks Windows version
GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8
Læs mereRettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereUndervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereGeometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -
2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mere8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:
8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereGeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)
Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde esvarelser som falder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemaerne, bedømmes ved analogi så skridt med tilsvarende
Læs mereTab.23. Fig.63 og Fig.64
Thomas Bugge "De første grunde til den rene eller abstrakte mathematik. Tredje og sidste Deel. Den oekonomiske og den militaire Landmaaling". Kiøbenhavn 1814.. Fig.63 og Fig.64 76 Naar der gives en ret
Læs mereDelprøven uden hlælpemidler
Matematik B - Juni 2014 Af hensyn til CAS-programmet er der anvendt punktum som decimaltegn. Delprøven uden hlælpemidler Opgave 1 AB=8, A1B=12, AC=10 Opgave 2 Hvor y er salget af øko. fødevarer i mio.
Læs mereMaria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver
Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne
Læs mereBaltic Way opgavesæt Sorø 2005 Løsninger
Baltic Way opgavesæt Sorø 005 Løsninger 1. Lad r > 1 være et reelt tal og lad a n være givet ved a n = 1 ( r n 1 ) n r n for n 1. Bevis at a n+1 > a n for alle n 1. Løsning: Vi har følgende serie af biimplikationer:
Læs mereTrigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Læs mereMatematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:
Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse
1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,
Læs mereGUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB
GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereKonstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)
1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6
Læs mereForslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende
Forslag til løsninger til opgaver i Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereTrigonometri - Facitliste
Trigonometri - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mere1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210
1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereBlandede opgaver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Blandede opgaver -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Marts 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse Blandede opgaver... Årsprøve. 08... 7 Årsprøve. 07... 9 Årsprøve. 06... Årsprøve. 04...
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER
STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles
Læs mereF-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade
F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs mere