Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner på papir og computer 8 Elementære konstruktioner 8 Kombinerede konstruktioner 13 Undersøgende aktiviteter ved hjælp af konstruktion 16 Undersøgelser ved hjælp af dynamiske geometriprogrammer på computer 18 Klassisk konstruktion 20 Undersøgelser i nyere geometri 26 På opdagelse i grafteorien 26 Kagedeling, haveborde og kontinuitet 30 Opsamling på kapitel 1 32 2 Areal 33 Målingens didaktik 33 Centrale aspekter af målebegebet 34 Måling som forbindelsesled til og mellem andre faglige emner 39 Arealberegning didaktiske overvejelser 43 Areallæren 53 Aksiomer for areallæren 54 Beviser ved måling med enhed 55 Beviser med opdeling 56 Beviser med opdeling og flytning 60 Cirklens areal 66 Øvelser i anvendelse af areal 69 Lærereksamen i areal på to forskellige tider 71 61863_matematik2_indloeb_1k_.ind5 5 15-05-2007 16:18:51
Videnspakker og begrebskort 75 Begrebskort 77 Opsamling på kapitel 2 79 3 Rumfang 81 Didaktiske aspekter ved rumfang 81 Indledende eksperimenter med rumfang 84 Opbygning af rumfangslæren 85 Udvikling af rumfangsformler baseret på areallæren 85 Aksiomer for rumfangslæren 86 Cavalieris princip 90 Overflade og udfoldninger 105 Udfoldning af cylinder og kegle 109 Beregn, bevis og argumenter selv 111 Øvelser i rumfangsberegning 111 Øvelser med rumfang, vægt og massefylde 113 Opgaver i rumfangsbeviser 116 Didaktiske øvelser 118 Opsamling på kapitel 3 124 del II: Tal og regneprocesser historisk set 4 Tallenes historiske udvikling 127 Tallenes antropologi 129 Menneskets naturlige grundtal 5, 10 og 20 129 Tidlige spor af tal 133 Den babyloniske løsning på andengradsligningen 138 Tal på hieroglyffernes tid 140 Regnebræt og kugleramme 145 Opfindelsen af nullet og de symbolske regnealgoritmer 148 Positionssystemet som grundlag for moderne regning 149 Beregning med logaritmer og nyere regneteknologi 154 Grækernes opdagelse af irrationale tal 157 Grækernes geometriske talforståelse 160 Geometrisk addition og subtraktion 165 Geometrisk multiplikation og division 166 Den langsomme accept af negative tal, år 900 1700 169 61863_matematik2_indloeb_1k_.ind6 6 15-05-2007 16:18:51
Opfindelsen af de komplekse tal omkring år 1600 175 Udvikling i notation af regningsarter, lighedstegn og potenser 179 Gen-aritmetiseringen af tallene omkring 1900 181 Cantors konstruktion af de reelle tal (forenklet) 183 Peanos aksiomer for de naturlige tal 186 Opsamling på kapitel 4 188 5 Regneundervisningens nyere historie 189 Regnebogsforfatternes storhedstid, 1500 1960 190 Hvordan lommeregneren ændrede undervisningen 197 Lommeregnerens tre funktioner i undervisningen 200 Opsamling på kapitel 5 205 del III: de rationale tal 6 De positive rationale tal 209 Brøker som et vanskeligt felt 210 Én faglig vej gennem brøkregning 213 Brøker opfattet som division 216 Indledende brøkregning 217 Videregående regning med brøker 221 Fortolkninger af multiplikation og division med brøker 222 Brøkers brøk 228 Decimaltal og procent 231 Regning med decimaltal 233 Procentnotationen for decimaltal 235 Periodelængder i brøkers omskrivning til decimaltal 238 Decimaltals omdannelse til brøker 243 Opsamling på kapitel 6 246 7 Brøkregning i to fagdidaktiske skoler 247 Brøker i Realistisk Matematikundervisning 247 Grundsynet på brøker i Realistisk Matematikundervisning? 249 Skitse af et toårigt undervisningsforløb med brøker 252 Den faktiske udførelse af 2 årsforløbet 257 Konklusioner på RME s brøkprojekt 261 En situation med brøkregning og proportionalitet 266 61863_matematik2_indloeb_1k_.ind7 7 15-05-2007 16:18:51
Kort introduktion til Brousseau s teori om didaktiske situationer 267 Hvilken viden forventes eleverne at opnå? 271 Opsamling på kapitel 7 274 8 Negative tal 275 Udvidelsen med negative tal 275 Negative tal gennem udvalgte repræsentationer 276 Repræsentationer i matematikundervisningen 276 Repræsentationer og kognitive forhindringer 278 På jagt efter gode repræsentationer for de hele tal 280 Forklaring af regneregler ud fra udvalgte repræsentationer 281 Forskning i børns repræsentationer 287 Matematisk indførelse af de hele tal 290 De rationale tal 296 Opsamling på kapitel 8 298 del IV: algebra 9 Algebraiske strukturer i skolen 301 Hvad er algebra? 302 Bogstavernes rolle i algebra 305 Problemer med algebraundervisningen 307 Symbolbehandlingskompetence 312 Undlad formelfiskeri 312 CAS: Computer Algebra Systems 313 Forståelse af de videregående regneregler 315 Legemer 315 Legemerne (,+, ) og (,+, ) 319 Flere regneregler i et legeme 324 Tankegangskompetence 330 Potensregnereglerne i et legeme 332 Drilske spørgsmål i potensregning 335 Rødder i et legeme som de reelle tal 340 Isomorfien mellem ( R,+) og ( R +, ) 345 Plus og gange som isomorfe regningsarter 345 Opsamling på kapitel 9 349 61863_matematik2_indloeb_1k_.ind8 8 15-05-2007 16:18:51
10 Ligninger og uligheder 351 Løsning af førstegradsligning i et legeme 351 Førstegradsligninger med flere ubekendte 355 Tekniske hjælpemidler til ligningsløsning 366 Elementære uligheder 368 Elementære fejl i ulighedsregning 369 Regler for løsning af uligheder 370 Ligninger og variable en didaktisk tilgang 374 Variabelbegrebets didaktik 377 At udvikle forståelser af lighedstegn 387 Repræsentationer og oversættelser af ligninger 392 Opsamling på kapitel 10 399 11 Funktioner og funktionsbegrebet 401 Udvikling af personlig viden om funktioner 401 Concept image og concept definition 410 Lidt om funktionsbegrebets historie 411 Proportionaliteter og den lineære funktion 417 Bestemmelse af konstanterne ved de tre grundlæggende funktioner 418 Eksponentielle funktioner 425 Logaritmefunktioner 430 Potensfunktioner 437 Bestemmelse af en potensfunktion ud fra to punkter 440 Begreber knyttet til alle funktioner 441 Typer af funktioner 443 Operationer på funktioner 446 Opsamling på kapitel 11 450 Stikordsregister xxx Bind 2 del V: matematisk argumentation 12 Bevisets stilling 453 Et indledende eksempel 457 61863_matematik2_indloeb_1k_.ind9 9 15-05-2007 16:18:51
Ræsonnementer som norm for deltagelse i matematik at undersøge og kommunikere 462 Fra ræsonnementer til beviser 475 Forholdet mellem at udvikle, kommunikere og dokumentere i matematiske ræsonnementer 481 Opsamling på kapitel 12 484 13 Sprog og definitioner 485 Begrebers betydning 485 Et eksempel sprog og begrebsbilleder i 4. klasse 489 Sam- og modspil mellem dagligsprog og fagsprog 494 Opsamling på kapitel 13 498 14 Beviser og logik 499 Logikken i matematiske beviser 499 Bevis ud fra definitioner og logik 502 Beviser baseret på definitioner, aksiomer og logik 505 Aksiomer som selvindlysende sandheder 505 Aksiomer som antagelser om sammenhænge i en mulig verden 509 Sætningers betydning og sandhedsværdi 514 Faget logik 515 Klassisk logik 516 Domslogikken: læren om hvis-så, og, eller, ikke 518 Implikationer i åbne udsagn 524 Typer af beviser, illustreret med elementær talteori 531 Direkte beviser i delelighedslæren 531 Indirekte beviser i teorien for primtal 535 Opsamling på kapitel 14 546 del VI: Geometriskeræsonnementer og repræsentationer 15 Geometri:fænomener og beviser 551 Grundlaget for euklidisk geometri 551 De basale beviser om vinkler og trekanter i klassisk geometri 558 Kongruente trekanter som bevisværktøj 566 61863_matematik2_indloeb_1k_.ind10 10 15-05-2007 16:18:52
Vinkelmål og cirkler 572 Vinkelmål 572 Cirklen 578 Opsamling på kapitel 15 587 16 Problemløsnings- og ræsonnementskompetence 589 Præsentation af Pick s problem 590 Problemløsningsstrategier 592 Ræsonnementskompetence belyst med Pick s teorem 596 Trædesten: En generel ræsonnementsstrategi 597 Tilbage til Pick s teorem 602 Bud på trædesten til Pick s teorem 603 Bevisstrategi for polygoner 606 Lige/ulige som problemløsningsværktøj 611 Opsamling på kapitel 16 615 17 Indledning til analytisk geometri 617 Historisk afsæt 617 Talmæssig beskrivelse af steder, retninger og veje 619 Lokalisering, koordinatsystemer i 2 og 3 dimensioner 620 Bevægelser, vektorer 626 Den retlinede bevægelse 631 Den rette linjes ligning 633 Afstande og cirklens ligning 637 Opsamling på kapitel 17 641 18 Tegning af tredimensionale objekter 643 Hvordan kommunikere tings geometriske udseende 644 Isometrisk tegning 645 Arbejdstegning 649 Perspektivtegning 650 Regler for perspektivtegning 653 Afstandsbestemmelse 656 Præcis tegning af en kasse 660 Perspektivtegning i rumgeometrisk belysning 662 Opsamling på kapitel 18 670 61863_matematik2_indloeb_1k_.ind11 11 15-05-2007 16:18:52
19 Statistik 671 At indsamle og bearbejde data 674 Kategorivariable 676 At beskrive kategorivariable 676 At sammenligne kategorivariable 678 At finde sammenhænge mellem kategorivariable 684 Diskrete numeriske variable 689 Deskriptorer og illustrationer 689 At finde sammenhænge 695 Skab mening 701 Opsamling på kapitel 19 702 20 Sandsynligheder og sandsynlighedsregning 703 Kvalitative sandsynligheder 704 Kvantitative sandsynlighedsbegreber 706 Subjektiv sandsynlighed 706 Det statistiske sandsynlighedsbegreb 708 Det kombinatoriske sandsynlighedsbegreb 712 Det fælles for det subjektive, det statistiske og det kombinatoriske sandsynlighedsbegreb 717 En matematisk indpakning: sandsynlighedsfeltet 721 Den multiplikative lov i sandsynlighedsregning 726 Chancetræet, en vigtig repræsentation 730 Binomialfordelingen 734 Sætningen om binomialfordelingen 737 Binomialfordeling på regneark 740 Opsamling på kapitel 20 743 21 Stikprøveundersøgelser, estimationsteori 745 Estimation eller kunsten at gætte et tal 746 Hvor sikker kan man være på et estimat? 748 Simulering 749 Beregning af usikkerheden 751 En regel for beregning af usikkerheden for et estimat 756 Forøget stikprøve giver mindre usikkerhed på estimatet 757 Opsamling på kapitel 21 759 61863_matematik2_indloeb_1k_.ind12 12 15-05-2007 16:18:52
22 Stokastikkens didaktik 761 Stokastisk tænkning og udvikling i den 762 Stokastik et samlet fagområde 771 Opsamling på kapitel 22 774 Litteratur xxx Stikordsregister xxx 61863_matematik2_indloeb_1k_.ind13 13 15-05-2007 16:18:52
61863_matematik2_indloeb_1k_.ind14 14 15-05-2007 16:18:52