Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 2017

Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 2017 Undervisningsministeriet December 2017

Forord Nærværende evalueringsrapport omhandler resultaterne ved de skriftlige prøver i matematik på stx og hf maj 2017, og rapporten henvender sig både til offentligheden, til lærerne i gymnasiet og hf og til opgavekommissionerne. Prøveformerne er som følger for hvert af de analyserede niveauer: Niveau Delprøve 1 Delprøve 2 Timeforbrug i alt Matematik stx A 1 time uden hjælpemidler 4 timer med hjælpemidler Matematik stx B 1 time uden hjælpemidler 3 timer med hjælpemidler 4 Matematik hf B 1 time uden hjælpemidler 3 timer med hjælpemidler 4 Matematik hf C 3 timer med hjælpemidler 3 De statistiske analyser er baseret på Undervisningsministeriets samlede opgørelse over alle eksaminandernes karakterer ved prøverne. For at kunne udbygge denne analyse har evalueringsgruppen inddraget resultater fra forcensuren. Denne indeholder ikke samtlige eksaminander, men består af en stikprøve, der er udtaget, ved at førstecensor for de fem første eksaminander på hvert hold indberetter pointtildelingen i hvert spørgsmål samt køn (om muligt) og anvendt matematisk værktøj (lommeregner eller computer om muligt). Forcensuren kan på den måde bidrage til at afdække en række detaljer, som Undervisningsministeriets opgørelse ikke kan give. Det er et værdifuldt materiale, og tak til censorerne for det. Rapporten rummer en beskrivelse af, hvordan det gik ved prøverne, herunder en sammenligning med resultaterne de seneste år. Beskrivelserne gennemføres for hvert niveau i selvstændige afsnit. Efter analyserne af resultaterne af opgaverne findes et afsnit med analyse af, i hvor vid udstrækning der er forskel i kvinder og mænds opnåede resultater. Rapporten indeholder ikke analyser af resultaterne fra netforsøget. Evalueringsgruppen har vurderet, at datamaterialet fortsat er for begrænset. Overordnet set tilstræber opgavekommissionerne at sammensætte et opgavesæt, der rummer opgaver til eksaminander på alle niveauer. Således indeholder sættet en række opgaver, der tester mindre komplekse færdigheder og kompetencer inden for de forskellige faglige emner. Desuden tilstræbes en faglig progression, herunder opgaver, der differentierer i toppen af skalaen. På stx udtrækkes de eksaminander, der skal til skriftlig prøve i matematik A og B, ved lodtrækning blandt samtlige elever, der har fulgt undervisning i faget. Desuden har også GSKelever deltaget i prøven. For GSK-elevers vedkommende går samtlige til skriftlig eksamen i fagniveauet, dvs. B- eller A-niveau. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 2 af 33

På hf er de skriftlige prøver obligatoriske. Hvis en elev/kursist fortsætter direkte på hf B efter at have fulgt undervisning på hf C, er skriftlig eksamen på hf C dog ikke obligatorisk. Den tilsigtede karakterfordeling for de beståede karakterer er, at 10% af eleverne opnår karakteren 12, at 2% af eleverne opnår 10, at 30% opnår 7, at 2% opnår 4, og at 10% opnår karakteren 02. En del af de statistiske konklusioner i rapporten bygger på en statistisk analyse af datamateriale fra forcensuren til den skriftlige eksamen. Den statistiske analyse er udarbejdet af Ernst Hansen, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Evalueringsgruppen bestod af lektor Susanne Højte, Gladsaxe Gymnasium, lektor Jes Sixtus Jørgensen, Espergærde Gymnasium, studieleder Ernst Hansen, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet samt lektor Morten Overgård Nielsen, KVUC. En stor tak til de fire. Bodil Bruun, fagkonsulent Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 3 af 33

Indholdsfortegnelse Forord... 2 Stx matematik A-niveau... Analyse af forskelle på resultaterne af de to prøver stx A... 6 Vurdering af resultatet af prøven A1... 7 Vurdering af resultatet af prøven A2... 10 Sammenligning af resultaterne for prøvesættene A1 og A2... 13 Stx matematik B-niveau... 16 Analyse af forskelle på resultaterne af de to prøver stx B... 18 Vurdering af resultatet af prøven B1... 19 Vurdering af resultatet af prøven B2... 21 Hf matematik B-niveau... 23 Vurdering af resultatet af prøven hf B... 24 Hf matematik C-niveau... 27 Vurdering af resultatet af prøven hf C... 29 Kønsforskelle matematik stx og hf skriftlige prøver 2017... 31 Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 4 af 33

Stx matematik A-niveau Ved sommerprøven 2017 deltog 10.640 eksaminander i den skriftlige prøve i matematik på stx A-niveau. Resultatet af prøven for alle eksaminander på stx matematik A, hvoraf nogle også kommer fra VUC og GSK, fremgår af dette diagram, hvori eksaminanderne fra begge prøvedagene 18.. og 23.. indgår: 30 2 Stx 2017 matematik A - begge prøver Karaktergennemsnit: 7,1 Procent 20 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter I nedenstående diagram ses udviklingen i karaktergennemsnit for matematik stx A siden 2008, hvor der første gang var eksamen i stx matematik A efter gymnasiereformen 200. Karaktergennemsnittet har i perioden en anelse tendens til stigning. 9 Karaktergennemsnit 2008-2017 Skriftlig prøve i matematik A 8 Karakter 7 6 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201 2016 2017 Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side af 33

Dumpeprocenten på matematik stx A har fra 2009 til 2017 været nogenlunde konstant: Procent 3 30 2 20 1 10 0 Procentdel, der dumper 2008-2017 Skriftlig prøve i matematik A 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201 2016 2017 Analyse af forskelle på resultaterne af de to prøver stx A Som sædvanlig var der i maj 2017 to prøver i matematik på A-niveau på stx. Den ene blev afholdt den 18. maj 2017 (efterfølgende betegnet prøven A1) og den anden den 23. maj 2017 (efterfølgende betegnet prøven A2). I den første prøve, A1, deltog 168 eksaminander, og i den anden prøve, A2, deltog 89 eksaminander. Altså var prøven A2 den prøve, hvori langt de fleste eksaminander deltog, idet 84% af samtlige eksaminander, der deltog i den skriftlige prøve stx matematik A maj 2017, deltog i prøven A2. Karakterfordeling og -gennemsnit ved hver af de to prøver ses af følgende diagrammer: Prøven A1 (168 elever) Karaktergennemsnit:,81 Prøven A2 (89 elever) Karaktergennemsnit: 7,41 Procent 30 2 20 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Procent 30 2 20 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Karakter Der er markant forskel på antal eksaminander, der deltog i prøven hver af de to dage, men der er også bemærkelsesværdig stor forskel på karakterfordelingerne. Således var der 1,4%, Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 6 af 33

der dumpede ved A1, mens der var 8,8%, der dumpede til A2. Ved A1 var der 27,8% af eksaminander, der opnåede en topkarakter (dvs. 10 eller 12), mens der ved A2 var 4,4%, der opnåede en topkarakter. Den hyppigste karakter ved A1 var 7, som 28,4% af eksaminander opnåede, mens den hyppigste karakter ved A2 var 10, som 28,% opnåede. Forskelle og mulige forklaringer på resultaterne af prøverne de to dage bliver diskuteret side 13. Vurdering af resultatet af prøven A1 Ud fra oplysningerne fra forcensuren kan vi undersøge, hvordan eksaminanderne har klaret de enkelte spørgsmål i opgavesættet. I hvert spørgsmål kan eksaminanden opnå maksimalt 10 point. Ved første prøve, A1, har censorerne ved forcensuren indberettet pointfordelingen for 1 eksaminander. Følgende analyse bygger på en opdeling af opgaver og spørgsmål i fem definerede kategorier på baggrund af indberetningerne i forbindelse med forcensuren. Kategorien et let spørgsmål Kategorien et let spørgsmål defineres som et spørgsmål, hvor mindst 70 procent af eksaminanderne scorer 8-10 point. Kategorien et svært spørgsmål Tilsvarende defineres et svært spørgsmål, som et spørgsmål hvor mindst 70 procent af eksaminanderne scorer 0-3 point. Kategorien knald-eller-fald-spørgsmål Et spørgsmål defineres som knald-eller-fald, hvis den hverken er let eller svær, og hvis under 12 procent af eksaminanderne scorer 4-7 point. Der vil for sådan et spørgsmål være mindst 0 procent flere eksaminander i både 0-3 gruppen og i 8-10 gruppen end i midtergruppen. Kategorien midtertop Et spørgsmål har midtertop, hvis der er et synligt lokalt maksimum ved en score på point. Et sådant lokalt maksimum hænger næsten uvægerligt sammen med, at selve opgaveformuleringen er todelt altså at spørgsmålet indeholder to separate delspørgsmål. I nogle tilfælde kan det være, at det ene delspørgsmål falder eksaminanderne meget nemmere end det andet, og derfor fungerer det samlede spørgsmål i praksis som et let spørgsmål og et svært spørgsmål, stillet oven i hinanden. I andre tilfælde opnår eksaminanderne point i begge delspørgsmål. Vi vil kun udnævne en opgave til at have midtertop, hvis der er markant flere med score end med nabopointene. I praksis bruger vi kriteriet, at der skal være flere 'ere end 4'ere og 6'ere tilsammen, og mindst procent af eksaminanderne skal score point. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 7 af 33

Kategorien et standardspørgsmål Et standardspørgsmål er et spørgsmål, der ikke kan indplaceres i en af ovennævnte fire klasser. For sådan et spørgsmål vil der være et betydeligt antal af eksaminanderne, der scorer både lavt, højt og i midten. Det skal understreges, at der ikke i sig selv er noget negativt ved de fire førstnævnte klasser. De kan fungere udmærket som en grovsortering af eksaminanderne. Men det bør tilsigtes, at en betydelig andel af opgaverne i et sæt er standardspørgsmål, fordi disse spørgsmål giver mulighed for at separere eksaminander på nogenlunde samme faglige niveau. Pointfordelingerne i procent i alle spørgsmål i hvert af de opgavesæt, der indgår i evalueringen, er illustreret ved nedenstående histogrammer. Det er iøjnefaldende, at der er tendens til, at der fortrinsvis gives 0 eller 10 point. Tallet i overskriften til hvert diagram angiver gennemsnit i opnåede point. Der blev stillet 1 opgaver med i alt 2 spørgsmål i A1-sættet. Fordelingen mellem de fem kategorier af opgaver i A1-sættet fremgår af nedenstående opgørelse, mens fordelinger for de enkelte spørgsmål ses efterfølgende. Let opgave 16% Svær opgave 8% Knald-eller-fald opgave 36% Midtertop 24% Standardopgave 16% Pointfordelingen i forcensuren viser følgende billede: Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 8 af 33

Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 9 af 33

De fire spørgsmål 4, 8a, 10a og 14a er alle karakteriseret ved, at der i selve opgaveformuleringen bliver spurgt om to adskilte ting. Det kan man ikke på samme måde sige om spørgsmål 2 og 1b, selv om de også falder ud som havende en midtertop. Gennemsnittene for eksaminandernes opnåede point i hvert spørgsmål fremgår af følgende tabel, hvor spørgsmålene er placeret i rækkefølge efter, hvor mange point eksaminanderne i gennemsnit opnåede: Spørgsmål Tema Gennemsnit 7a Potensregression 8.21 7b Potensligning, bestem x 7.96 8b Tangentligning 7.9 1 Grafaflæsning lineær funktion 7.93 8a Graftegning, find nulpunkt 7.3 10a Chi-i-anden-test 6.97 7c Vækstrelation for potensfunktion 6.66 11b Rumgeometri, parameterfremstilling 6.62 11a Rumgeometri, trekantsareal 6.60 13a Areal af plan figur 6.47 1a Det gyldne snit, konkret 6.46 9b Vilkårlig trekant, omkreds 6.38 9a Vilkårlig trekant, vinkel 6.13 12a Lineær differentialligning, indsættelse.92 2 Vektorer i planen, areal af parallelogram.4 14a Opstilling af eksponentiel model.4 13b Bestemmelse af øvre grænse ved areal 4.93 3 Monotoniforhold tredjegradspolynomium 4.67 12b Lineær differentialligning, løsning og indsættelse 4.4 4 Algebraisk reduktion 4.28 11c Rumgeometri, vinkel mellem linje og plan 3.78 1b Det gyldne snit, abstrakt 3.22 6 Bestemt integral, substitution 2.90 Andengradspolynomium, bestem a og b 2.6 14b Kombination af funktioner og optimering 2.4 Spørgsmålene fra delprøven uden hjælpemidler er farvet lilla i ovenstående tabel. Vurdering af resultatet af prøven A2 Dette er den største af prøvedagene på stx A, idet 8704 eksaminander deltog i prøven. Forcensuren gav oplysninger om 2223 eksaminanders pointfordeling. Der blev stillet 1 opgaver med i alt 2 spørgsmål. Pointfordelingen i forcensuren viser følgende billede: Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 10 af 33

Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 11 af 33

Spørgsmålene 9a, 11a, 11b og 14c er alle karakteriseret ved, at der i selve opgaveformuleringen bliver spurgt om to adskilte ting. Det kan man ikke på samme måde sige om opgave 13b og 1b, selv om de også falder ud som havende en midtertop. Fordelingen mellem de fem kategorier af opgaver var i A2-sættet: Let opgave 32% Svær opgave 0% Knald-eller-fald opgave 24% Midtertop 24% Standardopgave 20% Det er bemærkelsesværdigt, at ingen spørgsmål her ud fra kategoriseringen falder under svær opgave. Dette betyder, at samtlige eksaminander har kunnet opnå en del point i samtlige spørgsmål. Laveste gennemsnitlige score i nedenstående oversigt over gennemsnitsscoren er således 3,98. Fem spørgsmål i A1 har lavere gennemsnitlig score end 3,98. Spørgsmål Tema Gennemsnit 7a Eksponentiel regression 9.2 7b Eksponentiel model, bestem x 9.01 12b Bagudregning i lineær model med parametre 8.82 8a Tegn graf og bestem skæringspunkter 8.66 12a Lineær model med parametre 8.64 8b Monotoniforhold 8.21 1a Opstille arealudtryk ved x og y 8.09 1 Toppunkt for andengradspolynomium 7.84 11a Antalstabel, nulhypotese og forventede værdier 7.7 11b Chi^2-test 7.70 9a Areal under tuborgfunktion 7.0 3 Ensvinklede, retvinklede trekanter, Pythagoras 7.38 2 Vektorregning i planen, ortogonale vektorer 7.34 14b Logistisk differentialligning, løsning og indsættelse 7.07 4 Stamfunktion gennem punkt 6.92 9b Volumen af omdrejningslegeme 6.78 10b Trekantsopgave, areal kendt 6.69 14a Opstilling af lineær differentialligning 6.14 14c Logistisk differentialligning, graf og øvre grænser.84 10a Cosinusrelation med sidelængde x. Cirkelligning, bestemme centrum og radius.41 13a Rumgeometri, bestemme plan og punkt 4.81 13b Rumgeometri, finde vinkel 4.78 6 Tangent ud fra differentialligning 4.71 1b Bagudregning fra areal til sidelængde 3.98 Spørgsmålene fra delprøven uden hjælpemidler er farvet lilla i ovenstående tabel. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 12 af 33

Sammenligning af resultaterne for prøvesættene A1 og A2 Nedenfor vises histogrammer af scorerne fra forcensuren for de to sæt henholdsvis den 18. og 23. maj. Det ses, at der er en betydelig forskel på udfaldet af A1 og A2. I hver tegning er andenaksen skaleret, så det samlede areal af søjlerne er 1. Der er tilføjet en udglatningskurve. Målet her er at diskutere forskellen på udfaldet af de to prøvesæt. Specielt vil vi forsøge at belyse, om forskellen kan skyldes sværhedsgraden i de to sæt eller populationssammensætningen. For at undersøge årsager til de betydelige forskelle i resultater er prøvedagene først blevet undersøgt i forhold til Populationerne ved prøverne. Prøvesættenes kompleksitet: o i forhold til skabelonspørgsmål (defineres nedenfor) o fordeling af fagligt stof i spørgsmålene i forhold til B- og A-niveau o antal eksplicitte og implicitte spørgsmål i de stillede spørgsmål. Derefter fremlægges en statistisk analyse af forskelle på de to prøvesæt. Angående populationerne ved de to prøver, så deltog i A1 som nævnt 168 eksaminander. Af disse var 996 eksaminander fra toårige hf-kurser og fra hf-enkeltfag (herunder GSK-eksaminander). Dette betyder, at 41% af eksaminanderne ved prøven A1 var fra stx-forløb, mens 9% var fra hf- og GSK-forløb. I prøven A2 deltog udelukkende stx-eksaminander, og der deltog som nævnt 89 eksaminander i prøven. Populationerne til de to prøver var således markant forskellige. For at sammenligne de stillede spørgsmål er spørgsmålene forsøgt kategoriseret i de tre ovennævnte kategorier. Skabelonspørgsmål er spørgsmål i prøven med hjælpemidler, der opfylder følgende to betingelser: For det første skal de være let genkendelige for eksaminanden, dvs. at eksaminanden formodes at have mødt spørgsmål i undervisningen, der i høj grad svarer til spørgsmålet i eksamenssættet. For det andet er der en fast beregningsmetode Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 13 af 33

i spørgsmålet eller en procedure i eksaminandernes værktøjsprogram. Eksempler på et skabelonspørgsmål er bestemmelse af funktionsforskrift vha. regression og enkle trekantsspørgsmål. Skabelonspørgsmål vurderes til at være mere tilgængelige for eksaminanderne end resten af spørgsmålene, fordi eksaminanderne her møder færre krav til mere kreativ matematisk tænkning end i de øvrige spørgsmål. Der er i de to A-sæt relativt få skabelonspørgsmål. I A1-sættet udgør skabelonspørgsmål ca. 3 point (spørgsmål 7a, 7c, 8b, anden del af 10a), mens de i A2-sættet udgør ca. 20 point (spørgsmål 7a, anden del af 11a og første del af 11b). Der er således ca. 1 points forskel i de to sæt. Ud af de 190 point, der kan tildeles i delprøven med hjælpemidler, udgør 1 point en mindre del, men 1 point kan sagtens være betydende i forhold til karaktergivning. Andelen af opgaver i stof fra henholdsvis B- og A-niveau er opgjort til at være følgende for sættene A1 og A2: Prøve uden hjælpemidler Prøve med hjælpemidler A1 B-stof: 40 point A-stof: 20 point B-stof: 100 point A-stof: 90 point A2 B-stof: 30 point A-stof: 30 point B-stof: 100 point A-stof: 90 point Der er således ingen betydelige forskelle i stoffordelingerne i de to prøvesæt. De fleste af opgaverne i prøvesættene indeholder meget specifikke spørgsmål, hvor eksaminanden umiddelbart kan bestemme resultatet, og de kategoriseres her som eksplicitte spørgsmål. Enkelte spørgsmål er indirekte, dvs. at der i spørgsmålet ikke er en konkret anvisning af, hvad eksaminanden skal bestemme, eller at eksaminanden skal foretage flere beregninger for at nå resultatet. Disse betegnes her som implicitte spørgsmål. Det vurderes, at implicitte spørgsmål er mere udfordrende for eksaminanderne, fordi de kræver større grad af selvstændig matematisk tankegang end de eksplicitte spørgsmål. I opgavesættet A1 er der 60-80 point, der indeholder implicitte spørgsmål (spørgsmål 11a, evt. 11b, 11c, 12b, 13b, evt. 14a, 14b og 1b). I sættet A2 er der 90-110 point (6a, 8b, evt. 9a, 9b, 10a, 10b, evt. 13a, 13b, 14a, 14b, 1a og 1b). A2-sættet indeholder dermed ca. 30 point flere point end A1-sættet i relation til implicitte spørgsmål. Vi må herudfra konkludere, at der ikke umiddelbart er forhold, der peger i retning af, at A1- sættet skulle være vanskeligere end A2-sættet. Vores analyse peger nærmere på den modsatte sammenhæng. Der er derfor behov for en dybere statistisk analyse af opgavesættene, før vi helt kan afskrive forskelle i sværhedsgrad som forklaringen på resultaterne de to prøvedage I det følgende vil vi derfor statistisk belyse, om forskellen mellem de to dage udelukkende skyldes forskellen i elevgrundlaget, eller om der også er forskelle i opgavesættenes sværhedsgrad. Ville en eksaminand have fået samme karakter, hvis han/hun havde været oppe Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 14 af 33

begge dage? For at undersøge det, udvælger vi ét spørgsmål fra hvert sæt, der matematisk set modsvarer hinanden. I sættet fra 18. maj lyder spørgsmål 8a: I sættet fra 23. maj lyder spørgsmål 8a: Det er et tilfælde, at de to spørgsmål har samme nummer i de to opgavesæt. De er udvalgt, fordi de matematisk set er ækvivalente. De er også sprogligt så godt som ens bortset fra en mindre variation: Der er en lille forskel på at tale om nulpunkter i forhold til at tale om grafens skæring med førsteaksen (spørgsmålet den 18. vurderes således til at være marginalt vanskeligere end den 23.). Der er dog ingen forskel på, hvad man reelt skal gøre i de to opgaver, så det er rimeligt at sige, at der er tale om samme opgave. Derfor kan disse opgaver bruges til at kalibrere de to sæts sværhedsgrad i forhold til hinanden. Man må forvente, at elever på samme faglige niveau vil klare kalibreringsopgaven lige godt, om de kommer op den ene dag eller den anden dag. Ud fra en statistisk analyse ses, at selv når vi tilstræber kun at sammenligne lige dygtige elever, er der en voldsom forskel på resultatet for de to dage. Resultatet gør sig ikke gældende i bunden - svage elever klarer sig nogenlunde ens de to dage. Det må fortolkes på den måde, at der er lige mange nemme point at hente i de to opgavesæt. Til gengæld er resultatet markant i toppen af skalaen. Elever, der er gode nok til at lave maksimumpoint i kalibreringsopgaven, klarer sig på ingen måde lige godt i de øvrige opgaver i de to sæt. Den umiddelbare fortolkning ville være, at de halvsvære og udfordrende opgaver er vanskeligere i sættet A1 end i A2. Men når man analyserer nærmere, viser det sig, at en meget betydelig del af forskellen kan henføres til delprøven uden hjælpemidler. For at give en illustration af, hvor voldsom forskellen er på de to prøvedage, har vi i nedenstående figurer optegnet histogrammer over pointscoren for delprøven uden henholdsvis med hjælpemidler. De eneste elever, der indgår i disse histogrammer, er dem, der opnåede 10 i kalibreringsopgaven. De røde histogrammer er for elever fra A1, de hvide histogrammer er for A2. Histogrammerne til venstre er for delprøven uden hjælpemidler, histogrammerne til højre er for delprøven med hjælpemidler. Man kan godt ane forskelle på de to histogrammer til højre. Men det er gradsforskelle. Histogrammerne til venstre er derimod kvalitativt forskellige. For A1 er der groft sagt tale om en ligefordeling fra 10 til 60, for A2 er der derimod tale Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 1 af 33

om en voldsomt skæv fordeling. Forskellene her er på trods af, at vi kun sammenligner elever, der burde være på samme niveau. Vi kan således konkludere at en meget betydelig del af forskellen på de to dage kan henføres til at eleverne reagerer forskelligt på opgaverne i delprøven uden hjælpemidler. Dette rejser spørgsmålet, om der er en forskel på sværhedsgraden i opgaverne uden hjælpemidler på de to dage. Evalueringsgruppen har som vist brugt en del kræfter på at overveje dette spørgsmål, men har ikke fundet plausible bud på, hvad sådan en forskel skulle bestå i. Opgaverne de to dage fremstår som dokumenteret fagligt set helt på niveau. En anden mulig forklaring er, at forskellen kan henføres til elevgrupper. Som tidligere nævnt er der på den lille dag en stor gruppe af VUC-elever. Det er ikke klart, at undervisningen for denne gruppe elever er tilrettelagt, så man træner til delprøven uden hjælpemidler med samme vægt, som man gør for andre elevgrupper. Det har dog ikke været muligt at undersøge denne forklaringsmodel empirisk med det tilgængelige datamateriale. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 16 af 33

Stx matematik B-niveau Ved sommereksamen 2017 deltog 10.63 eksaminander i den skriftlige prøve i stx matematik B. Resultatet af prøven i stx matematik B ses i dette diagram, hvori der indgår eksaminander fra begge prøvedage den 18.. og 23..: Stx 2017 matematik B - begge prøver Karaktergennemsnit:,16 Procent 3 30 2 20 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Nedenstående diagram viser udviklingen i karaktergennemsnittet for stx matematik B fra 2007, hvor der første gang var eksamen i stx matematik B efter gymnasiereformen 200. Det fremgår, at karaktergennemsnittet har været nogenlunde konstant fra 2013 til 2017. 8 7 Karaktergennemsnit 2007-2017 Skriftlig prøve i stx matematik B Karakter 6 4 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201 2016 2017 Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 17 af 33

Udviklingen i dumpeprocenten fra 2007 til 2017 på stx matematik B kan ses på følgende diagram: Procentdel, der dumper 2007-2017 Skriftlig prøve i stx matematik B Procent 3 30 2 20 1 10 0 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201 2016 2017 Det ses, at dumpeprocenten siden 2013 har ligget stort set konstant på en smule over 20%. Analyse af forskelle på resultaterne af de to prøver stx B Også på stx B-niveau var der to skriftlige prøver i matematik. Den ene blev afholdt den 18. maj 2017 (efterfølgende betegnet B1) med deltagelse af 629 eksaminander, og den anden blev afholdt den 23. maj 2017 (efterfølgende betegnet B2), og her deltog 10.006 eksaminander. Dermed deltog 94% af eksaminanderne i prøven B2. Karakterfordeling og -gennemsnit ved disse to prøver ses i de følgende diagrammer: Stx B1 (629 elever) Karaktergennemsnit:,43 Stx B2 (10006 elever) Karaktergennemsnit:,14 Procent 3 30 2 20 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Procent 3 30 2 20 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Karakter Ved prøven B1 var gennemsnittet,43, mens det var,14 ved B2. Ved B1 opnåede 23,% af eksaminanderne en topkarakter (dvs. 10 eller 12), mens det var 21,2%, der opnåede topkarakter ved B2. Der var 18,%, der dumpede ved B1, mens det var 19,8% ved B2. Der var således ikke markante forskelle på resultaterne af de to prøver. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 18 af 33

Som ved prøverne for A-niveau har vi foretaget nærmere statistisk analyse af resultaterne af prøverne B1 og B2. Vi har imidlertid ikke fundet forskelle på udfaldet af de to prøver på stx B-niveau, og derfor indgår analysen ikke i rapporten her. Det skal her bemærkes, at kun en ubetydelig del af eksaminanderne i den samlede population ved stx B-prøverne kommer fra VUC (herunder GSK). Vurdering af resultatet af prøven B1 Dette er den lille prøvedag for stx B - forcensuren indeholder kun information om 233 eksaminander. Der er blevet stillet 13 opgaver med i alt 20 spørgsmål. Datamaterialet er således her meget begrænset. Fordelingen mellem de fem kategorier af opgaver var i B1-sættet (se forklaringen på kategorierne s. 7): Let opgave 1% Svær opgave 10% Knald-eller-fald opgave 2% Midtertop 2% Standardopgave 2% Her er den ret jævne fordeling bemærkelsesværdig. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 19 af 33

Pointfordelingen i forcensuren viser følgende billede for de enkelte spørgsmål: Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 20 af 33

Gennemsnittene for eksaminandernes opnåede point i hvert spørgsmål fremgår af følgende tabel, hvor spørgsmålene er placeret i rækkefølge efter, hvor mange point eksaminanderne i gennemsnit opnåede: Spørgsmål Tema Gennemsnit 1 Lineær ligning 8.24 10a Potensmodel 8.20 7a Eksponentiel regression 8.06 7b Fordoblingstid 7.21 8a Graf, nulpunkter 6.82 3 Retvinklet trekant 6.76 8b Areal af plan figur 6.66 11a Forventet antalstabel.71 4 Funktionsværdi og stamfunktion.62 2 Opstil eksponentiel model.3 10b Procentuel vækst i potensmodel.48 13a Identifikation af førstegradspolynomium.29 9a Monotoniforhold.17 Oversættelse fra graf til forskrift 4.93 7c Fortolkning af væksthastighed 4.90 11b Hypotesetest, gof 4.90 9b Ligningsløsning med CAS 4.2 12a Ikke-standard trekantsopgave 3.88 13b Optimering 2.46 6 Identifikation af andengradspolynomium 2.21 Spørgsmålene fra delprøven uden hjælpemidler er farvet lilla i ovenstående tabel. Vurdering af resultatet af prøven B2 Dette er den store prøvedag for stx B - forcensuren giver oplysninger om 2768 eksaminander. Der blev stillet 13 opgaver med i alt 20 spørgsmål. Fordelingen mellem de fem kategorier af opgaver var i B2-sættet: Let opgave 10% Svær opgave % Knald-eller-fald opgave 1% Midtertop 2% Standardopgave 4% I dette sæt besvarer eksaminanderne således opgaverne, så hele 4% af opgaverne falder ud som standardopgaver. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 21 af 33

Pointfordelingen i forcensuren viser følgende billede: Spørgsmål 6, 9a, 9b, 11b og 12b er alle karakteriseret ved, at der i selve opgaveformuleringen bliver spurgt om to adskilte ting. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 22 af 33

Gennemsnittene for eksaminandernes opnåede point i hvert spørgsmål fremgår af følgende tabel, hvor spørgsmålene er placeret i rækkefølge efter, hvor mange point eksaminanderne i gennemsnit opnåede: Spørgsmål Tema Gennemsnit 1 Lineær ligning 9.18 7b Bestemme x i lineær regressionsformel 7.73 7a Lineær regression 7.71 3 Identifikation af grafer tre eksponentielle funktioner 7.04 11a Opstille nulhypotese 6.71 8b Fordoblingstid i eksponentiel model 6.63 10b Tangentligning 6.02 11b Bestemmelse af forventede værdier og chi^2-test.84 13a Indsættelse i tredjegradsmodel.68 2 Ensvinklede trekanter.9 4 Skitsere parabel ud fra fortegn for parametre.1 10a Monotoniforhold kompleks funktion.4 8a Opstille model for eksponentiel vækst.44 9a Graftegning logistisk model, bestemme t 4.69 9b Væksthastighed for logistisk model 4.23 Stamfunktion gennem punkt 4.08 12a Vinkler i ikke-standard plan figur 2.8 12b Omkreds af ikke-standard plan figur 2.82 6 Differentiation, baglæns tangentligning 2.73 13b Robin Hood indeks, forståelse af forskrift 1.60 Spørgsmålene fra delprøven uden hjælpemidler er farvet lilla i ovenstående tabel. Hf matematik B-niveau Ved den skriftlige prøve i matematik på hf B den 29. maj 2017 deltog 4266 eksaminander. Karakterfordelingen for denne prøve var følgende: 2 20 Hf 2017 matematik B Karaktergennemsnit: 4,64 Procent 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 23 af 33

For de eksaminander, der bestod, følger fordelingen i nogen grad den tilstræbte fordeling, men det er bemærkelsesværdigt, at andelen af eksaminanderne, der dumpede, er nogenlunde den samme som opnåede karakteren 7. Udviklingen fra 2007 i karaktergennemsnit og dumpeprocent ses på de følgende diagrammer. 8 7 Karaktergennemsnit 2007-2017 Skriftlig prøve i hf matematik B Karakterer 6 4 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201 2016 2017 Det fremgår, der er en svagt faldende tendens for karaktergennemsnittet de senere år. Karaktergennemsnittet på hf B har siden 2014 ligget en smule under karaktergennemsnittet for stx B. Procentdel, der dumper 2007-2017 Skriftlig prøve i hf matematik B Procent 30 2 20 1 10 0 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201 2016 2017 Der har siden 2012 været en stigning i dumpeprocenten. Vurdering af resultatet af prøven hf B Der er information om 1369 eksaminander i forcensuren for denne prøve. Der blev stillet 12 opgaver med i alt 20 spørgsmål. Fordelingen mellem de fem kategorier af opgaver var i hf B-sættet (se forklaringen på kategorierne s. 7): Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 24 af 33

Let opgave 0% Svær opgave % Knald-eller-fald opgave 4% Midtertop 30% Standardopgave 20% Det er bemærkelsesværdigt, at ingen spørgsmål ud fra kategoriseringen falder under let opgave på hf B. Denne kategori er karakteriseret ved, at mindst 70 procent af eksaminanderne scorer 8-10 point, og det er der således ingen spørgsmål, der har kunnet honorere. Desuden bemærkes det, at 4% af opgaverne bliver karakteriseret som knald-eller-fald-opgaver, dvs. spørgsmål der hverken er lette eller svære, og hvor under 12 procent af eksaminanderne scorer 4-7 (og hvor der er mindst 0 procent flere eksaminander i både 0-3 gruppen og i 8-10 gruppen end i midtergruppen). Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 2 af 33

Pointfordelingen i forcensuren viser følgende billede: Opgave 3, 8a, 9a, 11a og 12a er alle karakteriseret ved, at der i selve delopgaven bliver spurgt om to adskilte ting. Opgave 2 har egentlig ikke den karakter. Det har til gengæld opgave 8b, men den opgave har på trods af dette ingen egentlig midtertop. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 26 af 33

Gennemsnittene for eksaminandernes opnåede point i hvert spørgsmål fremgår af følgende tabel, hvor spørgsmålene er placeret i rækkefølge efter, hvor mange point eksaminanderne i gennemsnit opnåede: Spørgsmål Tema Gennemsnit 9a Potensfunktion, bestemme y og x 7.91 10a Bestemme længde af side i vilkårlig trekant 7.18 7b Bestemme x i lineær model 6.92 3a Sammenhæng mellem graf og forskrift 6.89 7a Lineær regression 6.74 11b Fordoblingstid 6.1 8a Tangent og graftegning.17 1a Algebraisk reduktion 4.84 7c Bestemt integral af lineær model 4.71 a Proportionalitet 4.63 9b Procentvækst potensmodel 4.41 2a Skæringspunkter to lineære funktioner 4.06 4a Opstil eksponentiel model 4.04 11a Væksthastighed i eksponentiel model 3.62 12a Redegøre for volumenudtryk 3.9 8b Find nulpunkter og monotoniforhold 3.3 11c Fordoblingstid, ikke-standard 3.40 6a Bestemme stamfunktion 3.28 10b Ikke-standard trekantsopgave 2.80 12b Optimering 2.2 Spørgsmålene fra delprøven uden hjælpemidler er farvet lilla i ovenstående tabel. Hf matematik C-niveau Der var i alt 8823 eksaminander, der deltog i den skriftlig prøve i hf matematik C den 29. maj 2017. Karakterfordeling og -gennemsnit fremgår af følgende diagram: Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 27 af 33

2 Hf 2017 matematik C Karaktergennemsnit:,1 20 Procent 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Udviklingen i karaktergennemsnit og dumpeprocent illustreres på følgende to diagrammer: 8 Karaktergennemsnit 2007-2017 Skriftlig prøve i hf matematik C Karakterer 7 6 4 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201 2016 2017 Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 28 af 33

Procent 30 2 20 1 10 0 Procentdel, der dumper 2007-2017 Skriftlig prøve i hf matematik C 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201 2016 2017 Karaktergennemsnittet har i perioden været bemærkelsesværdigt konstant, ligesom dumpeprocenten fra 2007 til 2017 har ligget nogenlunde konstant på ca. 20%. Vurdering af resultatet af prøven hf C Der er information om 2624 eksaminander i forcensuren ved denne prøve. Der blev stillet 7 opgaver med i alt 1 spørgsmål. Pointfordelingen i forcensuren viser følgende billede: Fordelingen mellem de fem kategorier af opgaver var i hf C-sættet (se forklaringen på kategorierne s. 7): Let opgave 13,3% Svær opgave 6,7% Knald-eller-fald opgave 26,7% Midtertop 13,3% Standardopgave 40,0% Det bemærkes, at standardopgaver udgør 40% af opgaverne. Der er således mange spørgsmål i opgavesættet, der udfordrer eksaminanderne, uanset hvilket fagligt niveau eksaminanderne befinder sig på. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 29 af 33

Pointfordelingen i forcensuren viser følgende billede: Opgave 3b og 6a er begge karakteriseret ved at der i selve delopgaven bliver spurgt om to adskilte ting. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 30 af 33

Gennemsnittene for eksaminandernes opnåede point i hvert spørgsmål fremgår af følgende tabel, hvor spørgsmålene er placeret i rækkefølge efter, hvor mange point eksaminanderne i gennemsnit opnåede: Spørgsmål Tema Gennemsnit 4a Potensfunktion, bestem funktionsværdi 8.39 1a Kapitalfremskrivning 8.07 1b Bestemme rente i kapitalfremskrivning 6.8 2a Bestemme a og b lineær model, to punkter 6.8 3a Bestemme kvartilsæt og tegne boksplot.99 a Bestemme sidelængde i vilkårlig trekant.8 6a Grafaflæsning og bestemme indekstal.7 7b Fordoblingstid.6 3b Forklare to påstande ud fra givet boksplot.4 2b Fremskrivning lineær model.1 b Bestemme vinkel i vilkårlig trekant.14 4b Procentvækst i potensfunktion 4.89 7a Fortolkning af parametre i givet eksponentiel model 4.14 7c Vurdering af eksponentiel model 3.61 c Identifikation af retvinklet trekant i kompleks figur 2.33 Kønsforskelle matematik stx og hf skriftlige prøver 2017 Dette afsnit indeholder en analyse af, i hvor høj grad der til de forskellige matematikeksamener er forskel på, hvordan mænd og kvinder klarer sig. Opgørelserne bygger på den stikprøve, som stammer fra de skriftlige censorers indberetninger til forcensuren. Hvis man betragter den procentuelle karakterfordeling på stx B efter køn, er der en forskel mellem, hvordan mænd og kvinder klarer sig. Kvinderne klarer sig klarer sig på stx B en smule bedre end mændene. 22,6% af mændene opnår en topkarakter (10 eller 12), mens det er 31,% af kvinderne, der opnår topkarakter. Tilsvarende er det 18,1% af kvinderne, der dumper, mens det er 27,6% af mændene, der dumper. Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 31 af 33

Kønsforskelle kan ses på karakterfordelingerne for mænd og kvinder: Stx matematik B 2017 karakterfordeling efter køn Mænd (1029 personer) Kvinder (1890 personer) Procent 3 30 2 20 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Større andele af kvinderne opnår karaktererne 7, 10 og 12 end mændene på stx B (3,8% i forhold til 42,7%), hvilket er den samme tendens, som har vist sig gennem en årrække. På de andre niveauer, dvs. stx matematik A samt hf matematik C og B, findes ikke samme forskelle på karakterer fordelt på køn (se nedenstående diagrammer). Der er en tendens, der har været set i en årrække. Stx matematik A 2017 karakterfordeling efter køn Mænd (1170 personer) Kvinder (1479 personer) Procent 3 30 2 20 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 32 af 33

Hf matematik C karakterfordeling efter køn 2017 Mænd (1024 personer) Kvinder (1397 personer) Procent 30 2 20 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Hf matematik B karakterfordeling efter køn 2017 Mænd (619 personer) Kvinder (68 personer) 30 2 20 Procent 1 10 0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Evalueringsrapport skriftlig prøve i matematik stx og hf 2017 Side 33 af 33