Matematik A August 2016 Delprøve 1

Transkript

1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer, Matematik A August 2016 Delprøve 1 (1.1) Man har: Som gør, at Opgave 2 - Lineære funktioner Modellen opstilles ud fra betingelserne. Man har: Hvor og her er tiden og er antal liter vin pr. år efter Opgave 3 - Udtryk Udtrykket er givet.

2 Opgave 4 - Funktioner Lad funktionen være givet ved Den differentieres vha. produktreglen. Heri indsættes og man får Opgave 5 - Funktioner Man ved, at ligger øverst, da har en værdi der er positiv, og at har en værdi der skærer i 7. Skæringspunkterne bestemmes. Så har man en andengradsligning. Her kan man se, at og ligningen. Så har man. er løsningerne, da de går op i Man indsætter så sine rødder i eller og får koordinaterne. Dermed er koordinatsættet. Disse tegnes.

3 Opgave 6 - Tangenten Differentialligningen samt punktet er givet. Tangenten findes. Tangenten er så Matematik A August 2016 Delprøve 2 Opgave 7 - Eksponentielle funktioner Så er Hermed har man sine tal (7.1.1)

4 Samt forskriften (som ovenfor) (7.1.2) 6 timer efter støbning betyder, at man har (7.2.1) Delopgave c Her har man en ligning for, så er solve for t (7.3.1) (7.3.2) Tallet omregnes til procent vha. fremskrivningsfaktoren solve for r (7.3.3) (7.3.4) Så temperaturen stiger med for hver time, for (7.3.5) Opgave 8 - Funktioner Funktionen defineres. Nulpunkterne betyder, at funktionen skærer førsteaksen, hvor. solve for x Så har man rødderne til funktionen. Der er i alt tre rødder, (8.1.1) (8.1.2) hvilket også giver mening, da det er et tredjegradspolynomium. Dog skal man bemærke, at to af rødderne er identiske, dvs. grafen reelt set skærer førsteaksen to steder, nemlig i og

5 Monotoniforholdene bestemmes vha. den afledede af, så man har solve for x (8.2.1) Hvis man vil vide, hvordan grafen forløber sig, kan man anvende den dobbelte afledede af, og indsætte rødderne fra den afledede heri. (8.2.2) Her er, så er der et lokal. min. 10 (8.2.3) Her er, så er der et lokal. max. (8.2.4) Hermed er funktionen : Voksende i intervallet og aftagende i intervallet samt voksende i intervallet Delopgave c Rumfanget bestemmes, dvs. og hvilket er rødderne. Man kan bestemme omdrejningslegemet af ved følgende formel: at 5 digits (8.3.1) Hermed er volumen af grafen for så (8.3.2) Opgave 9 - Cirkler og ligninger (Bemærk, at reserveres til centrum, så man har som cirklens ligning.) Ligningen for cirklen er: Og ligningen for linjen er

6 Her antager man, at, så er skæringspunktet mellem cirklen og ligningen isolate for y (9.1.1) (9.1.2) Indsættes på plads. (9.1.3) solve for x Disse rødder indsættes i linjen, så har man (9.1.4) Hermed er skæringspunktet og (9.1.5) Man kunne også have isoleret for og derved indsat på det pågældende sted. Man vil få præcis det samme. Man kan anvende distformlen for at finde. Man får værdierne, dvs. centrum og linjen intsættes og dette sættes lig med radius (som er ). (9.2.1) solve for k (9.2.2) Altså har man sine værdier, som gør, at man har to tangenter til cirklen. Ligningerne vil derfor se sådan ud: og Opgave 10 - Differentialligninger

7 Lad differentialligningen være givet. (10.1.1) Væksthastigheden bestemmes efter dage. (10.1.2) Så for hvert døgn der går, stiger vægten med Man anvender dsolve Hermed har man sin forskrift. Den defineres nedenfor: (10.2.1) Hermed kan man bestemme alderen for en kylling, der vejer 2kg. (10.2.2) solve for t (10.2.3) (10.2.4) Opgave 11 - Vektorer i rummet Man har følgende: og vektoreren (11.1.1) Parameterfremstillingen opstilles på baggrund af punktet og vektoreren. Man har

8 (11.1.2) Hermed har man parameterfremstillingen. Vinklen bestemmes vha. normalvektorerne. (11.1.3) (11.1.4) (11.1.5) (11.1.6) Hermed er vinklen mellem linjen og planen: Derved bestemmes skæringspunktet. Lad parameterfremstillingen for være givet. (11.2.1) Man finder først og. (11.2.2) (11.2.3) (11.2.4)

9 solve for k (11.2.5) Altså har man, så er (11.2.6) Opgave 12 - Statistik Skemaet opstilles og værdierne indsættes. X X X / X X / / Hermed er skemaet skrevet, pånær de grå felter (de felter med her). Man har procentandelen i den lodrette sidste kolonne. Man omregner den vha. procentregning fra MAT C. De forventede værdier bestemmes. Formel: (12.2.1)

10 Så er Hvilket er de forventede værdier, som indsættes i nedenstående tabel. Forvented e (12.2.2) / / / Dermed må man antage, at hypotesen er sand. Der er uafhængighed mellem personers søvn og hvilket køn man er. Opgave 13 - Geometri Trekanten flippes så den ser mere venlig ud.

11 Vinkel kan bestemmes. Derved er 60. De ukendte sider findes. (13.1.1) (13.1.2) (13.1.3) Man kan bestemme ved at anvende pythagoras. Man får: Når papiret bøjes får man: Her er, og, så man har man indsætter værdierne og får

12 solve Så længden af må være (13.2.1) (13.2.2) Opgave 14 - Funktioner Rødderne findes. solve for x Arealet bestemmes. (14.1.1) (14.1.2) (14.1.3) at 5 digits Hermed er arealet bestemt til at være (14.1.4) Man får oplyst en funktion for, er: (14.2.1) Der hvor arealet er størst er den aflededes nulpunkt. Man har (14.2.2) solve for a (14.2.3)

13 (14.2.4) at 5 digits Dermed er -værdien hermed fundet. Det blev (14.2.5) Delopgave c simplify = Koordinaten til findes (14.3.1) (14.3.2) solve for x (14.3.3) (14.3.4) Omskrives, man får (14.3.5) Koordinaten til findes Derved har man koordinatsættet til og, som er hhv. (14.3.6) Hvis man har koordinaterne og, er det nu muligt at udnytte til at redegøre for. simplify = Hermed ved udnyttelse af arealformlen for en retvinklet trekant, har man at (14.3.7) (14.3.8)