Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Transkript

1 Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning Delopgave Andengradsligningen løses Her er og. Man har så, tallene indsættes Man finder., værdierne indsættes hvilket er det ønskede. Rødderne er hermed Opgave 2 - Lineære funktioner Delopgave Tallet betyder, at for hver gang prisen stiger, falder antallet af solgte is med 2.5. (Det vil være nemmere, at skrive hvis isens pris stiger det dobbelte, så falder mængden af solgte is med 5 stykker.) Hvis der IKKE skal være solgt nogen is, har man ligningen Så ved en pris på 50kr bliver der altså ikke solgt nogen is.

2 Opgave 3 - Geometri Delopgave Længden bestemmes vha. Pythagoras., man har Her er. Dermed har man højden. For at bestemme kan man nemt anvende forstørrelsesfaktoren. Man har Så kan man få længden af hypotenusen ved at man har så hvilket er den ønskede længde. Opgave 4 - Plangeometri Delopgave Ligningen for en cirkel i planen er Man har så Så er koordinatsættet og radius og (. Opgave 5 - Differentialligninger Delopgave Differentialligningen samt funktionen er givet. Hvis skal være løsningen, så skal og differentialligningen være identiske. Produktreglen anvendes: dette sættes lig med differentiallignigen Differentialligningen er Udsagnet passer, hermed er løsningen til differentialligningen.

3 Opgave 6 - Integralregning Delopgave Lad integralet være givet har så arealet kan bestemmes. I dette integrale anvendes subsitution ved integration. Man Man finder sine nye grænseværdier. altså vender man tilbage igen. som er det ønskede areal. Matematik A eksamen 14. august Delprøve 2 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks istedet for 3,14 Opgave 7 - Plangeometri Vektorerne er givet Vinklen mellem vektorerne findes vha. formlen. Disse prikkes og længden tages.

4 Hermed er vinklen fundet til at være. Man kunne også anvende formlen nedenfor: (7.1.1) Man kunne også bare gøre det pr. håndkraft. (7.1.2) Man anvender formlen for projektionen. (7.2.1) at 5 digits (7.2.2) Man kunne også anvende formlen nedenfor: (7.2.3) at 5 digits (7.2.4) Så hermed har man projektionen på vektor Man kunne også bare gøre det pr. håndkraft. over Opgave 8 - Eksponentielle funktioner Oplysningerne defineres For bestemmelse af og, anvendes da eksponentiel regression.

5 Hermed blev tallene og bestemt til og, som danner forskriften Ved en højde på har man defineret en forskrift. Man får Så hermed er den kugleformede gasmænde m (8.2.1) Delopgave c) Tallet er fremskrivningsfaktoren, der angiver den procentvise ændring., her er så man har solve for r Ganges med 100% for at få procenten. (8.3.1) (8.3.2)

6 Så hver gang vokser med 0.5, vokser diameteren med 4.62% (8.3.3) Her anvendes den eksponentielle væksttype. Man har solve for x Så ved en højde på 8.977km, opnår man en gasmængde på 50% (8.3.4) (8.3.5) Opgave 9 - Funktioner Lad funktionen være defineret Her er. (9.1) Ligningen for tangenten bestemmes ud fra punktet. Tangenten (med indsættelse af den afledede og punktet) er (9.1.1) at 5 digits Som er tangenten til grafen for i punktet. Bemærk: Approximeret version! (9.1.2) Monotoniforholdene bestemmes vha. den aflededes rødder. (9.2.1) solve for x Man kan ved hjælp af den dobbelte afledede finde ud af, om er voksende og / eller aftagende. Man indsætter den aflededes rod. (9.2.2) Her har man, at, så er konklusionen er voksende i intervallet og aftagende i intervallet (9.2.3)

7 Opgave 10 - Rumgeometri Ligningen for kuglen beskrives af formen Man har centrum og kender ikke radius, men til gengæld ligger punktet på kuglen. Hermed er kuglens ligning (10.1.1) Som er den ønskede ligning. (10.1.2) For at undersøge, om den givende plan tangerer kuglen har man Planen formlen. værdierne indsættes i formlen. (10.2.1) at 5 digits Og kuglen radius er (10.2.2) at 5 digits (10.2.3) Hermed er, dvs. den skærer ikke kuglen. (10.2.4) Opgave 11 - Parabler

8 Parablen indskrives med værdien. Desuden plottes den. (11.1.1) Hermed kan man se basketspillerens bane, når vedkommende fyrer bolden afsted... Man får oplyst og så man har en ligning. solve for a (11.2.1) (11.2.2) Så hvis man har sin -værdi på 2.41 og 0.53, så er der formentlig en chance for, at spilleren rammer kurven.

9 Opgave 12 - Statistik Søren vil gerne vide om hans terning er fake eller ej. Oplysningerne han har lavet defineres i en matrix.. Man kan opstille en tabel over fordelingen af øjnene af terningen. Terningen har 6 øjne og der er i alt 1000 slag, derfra bør det fordele sig således fordi 1000/6= Antal øjne Hyppighed Forventet På et 5% signifikansniveau kan man hermed anvende en goodness-of-fit test. Man har

10 Nulhypotesen forkastes, da teststørrelsen er større end den kritiske værdi. Dermed er terningen uærlig! Opgave 13 - Omdrejningslegemer Funktionen defineres. Man har allerede sine grænseværdier. Koordinatsystemets akser og altså er arealet Så er arealet af det ønskede mængde glas. (13.1.1)

11 Funktionen drejes om førsteaksen, og hermed er volumen Hermed har man volumen, som er det ønskede. (13.2.1) Opgave 14 - Differentialligninger Differentialligningen er af typen logistisk vækst. Oplysningerne indsættes i kommandoen nedenfor. Man har Så kan man opstille en forskrift vha. dsolve. som 'år 0'. (14.1.1) Så kan man anvende det andet punt for år 2007, man får (14.1.2) solve for a (14.1.3) Så er forskriften (14.1.4) Den øvre grænse er, da det er den maskimale ulvepar der kan opnås i dette område. Hvis man skal finde væksthastigheden i det tidsrum, hvor ulvedannelsen er størst, så differentieres den dobbelt, for at anvende den tredje afledede for at bestemme hvornår væksthastigheden er størst Et pænt tal. Dette sættes ind i den tredje afledede af (14.2.1)

12 (14.2.2) at 5 digits Her er, og den maksimale værdi er og hermed er det i år så i løbet af år 2007 er væksthastigheden størst! (14.2.3) Opgave 15 - Geometri Længderne defineres (uden numerisk tegn!) Vinkel bestemmes vha. cosinusrelationerne Så hermed er vinklen fundet til at være. (15.1.1) Man har længden, her har man og Arealet kan hermed bestemmes Arealet kan bestemmes. (15.2.1)

13 Arealet findes (15.2.2) solve for x Her er, så arealet af den nye trekant er. (15.2.3) For at finde ud af hvornår man har det største areal, så differentieres ovenstående funktion (15.2.4) solve for x Det største areal må fås, hvis. (15.2.5)