Generering af kunstige regnserier

Generering af kunstige regnserier Karsten Arnbjerg-Nielsen Institut for Miljøteknologi Danmarks Tekniske Universitet Januar 1999

Dette er en netpublikation, der kan downloades fra http://www.imt.dtu.dk/publications/fulltext/1999/imt1999-130.pdf Udgivet af: Institut for Miljøteknologi Danmarks Tekniske Universitet Bygning 115 2800 Lyngby Tlf.: 4525 1610 Fax: 4593 2850 E-mail: biblioteket@imt.dtu.dk ii

Forord Et PhD-studie har vist et potentiale for generering af syntetiske regnserier med meget høj tidsopløsning, dvs. 1 minut. Samtidig er der som led i udarbejdelsen af et nyt skrift fra Spildevandskomitéen vedr. brug af regndata identificeret et behov for sådanne serier. På den baggrund blev iværksat en undersøgelse med det formål at identificere, hvorvidt og hvordan det ville være muligt at generere syntetiske regnserier. Hovedindsatsen har således været at udvikle et EDB-program, der kan teste forskellige hypoteser, der er opstillet i forbindelse med PhD-projektet. Brugen af EDB-programmet har givet indsigt i, hvilke variable der har størst betydning i forbindelse med at identificere en operationel model til generering af syntetiske regnserier. Der er undervejs i arbejdet blevet forkastet nogle tidligere opstillede hypoteser, ligesom nye hypoteser er opstillet. Nærværende rapport er en del af projektet Databearbejdning og stokastisk modellering af regn og regnafstrømning i byer, støttet af Det Kommunale Momsfond. iii

iv

Indholdsfortegnelse 1. Indledning...1 2. Baggrund...2 2.1. Formulering af modellen...2 2.2. Test af modellen...6 2.3. Idéer til forbedring af modellen...6 3. Opbygning af ny model til estimation...8 3.1. Ønsket funktionalitet...8 3.2. Beregningsstruktur for udviklet programmel...8 4. Resultater...10 5. Konklusion...11 6. Litteraturliste...12 v

vi

1. Indledning Dette notat tjener til belysning af potentialet for generering af kunstige regnserier i Danmark. Baggrunden er dels det kommende skrift fra Spildevandskomitéen vedr. brug af regndata i urban afstrømning og dels forfatterens PhD-afhandling om en model til generering af kunstige regnserier. I det kommende skrift undersøges muligheden for at bruge såvel lokale som regionale data. I skriftet beskrives en bearbejdning, som har resulteret i en række regionale regnkurver, der tilsammen beskriver fordelingen af regnvejr så godt som SVKs regnmålersystem af RIMCO-målere giver mulighed for. Teorien til bearbejdning af regndata i form af regnkurver var udviklet og klar til brug ved begyndelsen af udarbejdelsen af skriftet. Det samme gjorde sig ikke gældende for teorien bag generering af kunstige regionale regnserier. Der var udviklet en regnmodel på Institut for Miljøteknologi, Danmarks Tekniske Universitet, men modellen var ikke klar til operationelt brug. Derfor blev det besluttet at iværksætte en undersøgelse af, hvilket omfang det ville være at generere kunstige regnrækker 1

2. Baggrund Dette kapitel summerer kort de vigtigste konklusioner i forbindelse med det hidtidige arbejde med at generere kunstige regnserier. Yderligere dokumentation kan findes i en PhDafhandling (Arnbjerg-Nielsen, 1996). 2.1. Formulering af modellen Der er i de seneste år fremkommet nogle få modeller til at generere kunstige regnserier. Den eneste type model der har kunnet generere regn med høj tidsopløsning har været Markovkæde modeller. En Markov-kæde model består i, at man modellerer, hvorledes en proces hopper mellem en række forskellige tilstande. Ved modellering af regn har tilstandene typisk bestået af en tørvejrstilstand samt en eller flere tilstande til at beskrive forskellige klasser af regnintensiteter. SVKs regnmålersystem består af en række RIMCO vippekarsregnmålere, der måler antallet af vip med en tidsopløsning på et minut. Dermed er det vanskeligt at udregne en regnintensitet som diskuteret ved almindelig Markov-kæde modellering. Det skyldes, at observationerne ikke er uafhængige. Afhængigheden skyldes, at vandet akkumuleres i vippekarret, indtil det vipper. Afhængigheden er specielt tydelig for moderate regnintensiteter, hvor der er flere minutter mellem hvert vip. I stedet for at definere en række klasser baseret på minutintensiteter baseres modellen i stedet for på ventetiderne mellem successive vip, w. Det gør (muligvis) modellen mindre generel, men til gengæld opnås en opdeling, der på enkel vis opnår målinger, der er uafhængige, bortset fra den statistiske korrelation, der opstår på baggrund af den tidsmæssige korrelation hidrørende fra regnprocessen. Ventetiderne mellem successive vip, w, opdeles i en række klasser af ventetidsintervaller. En af klasserne indeholder fx. alle ventetider mellem tre timer og et døgn. I alt opdeles alle ventetider i 26 klasser, der dækker successive ventetider mellem 0,05 minut og et år. Klasserne dækker således alle observerede værdier af ventetider i Danmark. I princippet kan man nu forudsige, hvorledes regnen vil hoppe fra et klasse til en ny (eller samme) klasse og helt glemme, at der er tale om en underliggende regnproces. Det er hvad der er gjort i hidtidige internationale undersøgelser. Princippet er illustreret på figur 2.1. Det er imidlertid bedre at lade forudsigelsen være en ventetidsfordeling, der går fra 0,05 minut til et år. Metoden er kendt som Wolds interval-proces. Dermed reduceres antallet af parametre betydeligt, i dette tilfælde fra 650 til 178. I begge tilfælde estimeres parametrene på baggrund af en lokal regnmåler. Der er ca. 4500 observationer på en regnmåler pr. observationsår. Modellen baseret på Wolds interval-proces er på grund af den mere sparsomme brug af parametre velegnet til at inddrage yderligere information end sidste ventetid, hvilket almindelig Markov-kæde modellering ikke er. De to metoder er vist og sammenlignet på figur 2.1. 2

Low w Low w Following High w 0.10 0.20 0.10 0.45 0.40 0.35 0.30 Present Convective Frontal Non-rain 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 High w Figur 2.1. Illustrering af inddelingen i intervalklasser. Lodret er angivet det nuværende ventetidsinterval og vandret er angivet det kommende ventetidsinterval. Typen af ventetidsfordelingen er angivet. Niveaukurverne er bestemt ved Markov-kæde metoden. På baggrund af niveaukurverne kan den relative andel af de tre regntyper bestemmes groft, idet en række svarer til en fordelingsfunktion. Parametrene i ventetidsfordelingen relaterer sig til hhv. en konvektiv regntype, en frontregnstype samt en ventetid mellem regnhændelser. Opbygningen af ventetidsfordelingen er således ens for alle klasser; kun parametrene varierer som funktion af den senest observerede ventetid. Genereringen af en regnserier består rent praktisk i at generere en ny ventetid ved hjælp af en talgenerator. Den statistiske fordelingsfunktion for den nye simulerede ventetid har samme opbygning uanset hvilken klasse den gamle ventetid tilhører, men parametrene ændrer sig fra klasse til klasse. Opdelingen af fordelingsfunktionen er vist på figur 2.1. Parametre kan ikke relateres direkte til de fysiske processer, der genererer regnvejr; en sådan parameterisering kendes ikke. Det er derimod lykkedes at identificere en model der, omend på et empirisk grundlag, udvikler sig på en sådan måde at det er rimeligt at antage, at de giver en rimelig beskrivelse af processerne, se figur 2.2. Det bemærkes, at der for ventetider mellem 0,5 og 60 minutter er angivet parametre svarende til to fordelingsfunktioner. Det skyldes, at der er identificeret forskellige parametre, alt efter om regnene har 3

1.0 Proportion 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 Convective ^α ^α ^α ^α c,1 f,1 c,2 f,2 k ^ b ^ k ^ b ^ 1 1 2 2 0 4 3 2 1 µ ^ σ^ µ ^ σ^ f,1 f,1 f,2 f,2 Frontal 0 8 Non-rain 6 4 2 µ ^ σ^ µ ^ σ^ n,1 n,1 n,2 n,2 0 0.1 1 10 w 100 1000 10000 Figur 2.2. De estimerede parametre for regnmåler 20211 Sulsted. Bemærk, at parametrene udvikler sig dynamisk. Udviklingen i parameterværdier fra ventre mod højre i denne figur svarer til udviklingen af sandsynlighederne ovenfra og nedefter på figur 2.1. α er andelen af de aktuelle regntyper, mens de nederste tre figurer angiver de estimerede parametre for hver regntype, svarende til de skraverede områder i figur 2.1. Indeks 1 og 2 refererer til hhv. almindelige og volumenrige hændelser. 4

et lavt eller højt volumen. Den viste model bruger således 269 parametre (En tilsvarende Markov-kæde model ville bruge 1300 parametre). Parametrene giver endvidere mulighed for helt overordnet at beskrive sandsynligheden for, at den næste ventetid vil tilhøre en konvektiv eller en frontrelateret byge, eller om det holder op med at regne. Dette er illustreret i figur 2.3, hvoraf det også ses, at der er et vist overlap mellem de to regntyper. Dette er også i overensstemmelse med den meteorologiske forståelse af regnvejrsprocesserne. Probability (%) 30 25 20 a Observed Convective Frontal Non-rain 15 10 5 0 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0.111 0.143 0.200 0.333 1 3 Observed 5 7 9 Modelled Kolmogorov-Smirnov 11 13 15 18 25 w b 35 50 70 90 150 300 500 1000 2000 4000 7500 20000 100000 0 0.1 1 10 100 1000 w Figur 2.3. Den empiriske og estimerede fordelingsfunktion svarende til en sidst observeret ventetid på 2 minutter. Det ses, at opdelingen imellem de forskellige regntyper er intuitiv korrekt. 5

2.2. Test af modellen Der er udviklet en model baseret på ventetider mellem vip på en vippekarsmåler. Modellen benytter den senest observerede ventetid samt en indikatorvariabel for akkumuleret regn i samme regnhændelse til at forudsige den næste ventetid. De kunstige regnserier genereret vha. modellen er testet såvel mod IDF-kurver, totalt volumen af regnhændelser samt mod et testopland. Ved sammenligning af kunstige og simulerede regnhændelser blev EDBprogrammet MOUSE benyttet. De kunstige regnserier er velegnede til at beregne oversvømmelser i oplande samt antallet af aflastninger med. Modellen er ikke i stand til at generere et tilstrækkeligt antal regnhændelser med virkeligt ekstreme voluminer, set i forhold til målt nedbør. Volumenfejlen fremstår som en undervurdering af ekstremregns volumenindhold for gentagelsesperioder højere end 1-2 år. Denne fejl betyder, at de kunstige regn leder til beregningsmæssig undervurdering af årlige overløbsmængder i forhold til brug af lokale, målte regndata. Resultaterne er diskuteret mere indgående i Arnbjerg-Nielsen et al (1998). 2.3. Idéer til forbedring af modellen Oplægget til dette projekt var at analysere potentialet for, med et lavt tidsforbrug, at skabe en model, der var bedre til at simulere de ekstreme voluminer af regnhændelser uden at de øvrige positive egenskaber blev påvirket. Forbedringen af modellen skal ske ved at tillade, at de enkelte klasser af ventetidsintervaller underinddeles yderligere. For hver underinddeling laves en separat parametrisering af fordelingsfunktionen. Underinddelingerne benævnes i det følgende tilstande. Det bemærkes, at der allerede er indført en opdeling i tilstande i den her diskuterede model, idet der er opdelt i store og små regnvoluminer, se figur 2.2. To inddelinger i tilstande er af primær interesse: inddragelse af viden om, hvorvidt ventetiden pt. er stigende eller faldende, samt eventuelt at foretage en yderligere inddeling i tilstande afhængigt af det akkumulerede regnvolumen. Begge muligheder er velbegrundede baseret på den viden, som PhD-projektet har genereret. Princippet er illustreret i tabel 2.1, inklusive de ønskede udvidelser. De ønskede udvidelser koncentreres omkring ventetiderne, der beskriver den frontale regn. Årsagen hertil er primært, at rent fysiske overvejelser sandsynliggør, at der her er tale om regnprocesser med en så tydelig hukommelse, at en yderligere beskrivelse kan retfærdiggøres. Indledende undersøgelse af enkelte ekstreme regnhændelser med statistiske værktøjer understøtter den hypotese. 6

Klasse Nuværende model Udvidet model Mere end 3 vip i et minut En tilstand, begrænset fordelingsfunktion Do. 3 vip i et minut En tilstand Do. 2 vip i et minut 60 minutter mellem vip Mere end 60 minutter mellem vip To tilstande, baseret på volumen En tilstand Fire-Seks tilstande baseret på volumen (2-3) samt på ændring af ventetid (2). Volumen og ændring krydses, så alle kombinationer testes. Do. Tabel 2.1. Oversigt over, hvilke tilstande der er opdelt i i hvilke klasser. Det ses, at udbygningen af modellen koncentrerer sig omkring den konvektive del. 7

3. Opbygning af ny model til estimation 3.1. Ønsket funktionalitet Antallet af parametre i den oprindelige model var 269. Ved at udvide antallet af tilstande, som benyttes ved beregning af den kommende ventetid øges antallet af parametre kraftigt. Der er 16 af de 26 tilstande, hvor der er et potentiale for udvidelse, se tabel 2.1. Da der er 8 parametre i fordelingsfunktionen betyder det, at modellen for regnserien nu benytter op til 781 parametre, afhængig af resultatet af undersøgelsen. Der er ikke observationer nok i en målt regnserie på knap 20 år til at estimere så mange parametre. Selv om en regnserie består af 4000-5000 observationer pr år, er disse observationer selvsagt ikke jævnt fordelt over hele matricen vist i figur 2.1. Dermed vil der være nogle fordelingsfunktioner, der skal estimeres på baggrund af meget få observationer. Svarende til figur 2.1 vil der nu for (som udgangspunkt) 16 af tilstandene være flere matricer, en for hver af de yderlige tilstande, som der skal suppleres med. Dermed er en væsentlig del af opgaven at lave et EDB-program, således at nogle parametre kan fikseres både vertikalt og horisontalt i matricen vist på figur 2.1. Der er flere årsager hertil. Først og fremmest opnås det, at parametrene i fordelingsfunktionen overhovedet kan estimeres. I nogle tilfælde er der kun 30-50 observationer i en klasse, hvilket ikke er tilstrækkeligt til at estimere 8 parametre. Derudover opnås der det, at information om nærliggende klasser kan udnyttes. For eksempel er det rimeligt at antage, at sandsynligheden for at den kommende ventetid tilhører den konvektive type er lav og konstant for alle klasser (og tilstande til hver klasse) over en vis ventetid, fx. 15 minutter. De 3 parametre (α c, k og b) der beskriver denne sandsynlighed fikseres derfor for alle klasser og tilstande, således at disse parametre er fastlagt når fordelingsfunktionen til den enkelte klasses tilstande estimeres (Det svarer til, at nogle parametre fikseres både horisontalt og vertikalt i figur 2.1). Dermed skal der nu estimeres 5 parametre i hver tilstands fordelingsfunktion i disse klasser i stedet for 8. For nogle tilstande kan antallet af parametre måske reduceres yderligere. For klaserne omkring 30-60 minutter ser de 4 parametre til beskrivelse af front- og ikke-regnsfraktionen (µ f, σ f, µ n og σ n ) ud til at være ens (bortset fra estimationsusikkerhed). Dermed skal der måske kun estimeres een parameter, α f, for hver tilstand i klassen. 3.2. Beregningsstruktur for udviklet programmel Det i PhD-arbejdet anvendte programmel kan ikke bruges til at foretage fikseringer som angivet ovenfor. Derfor måtte hele estimationsprogrammet omprogrammeres bortset fra simple IO-rutiner. Endvidere måtte programmet til generering af regnserier også modereres 8

så det kunne benytte de nye, udvidede tilstande. Hovedaktiviteten i det nuværende projekt var at foretage denne omprogrammering. Der foreligger nu to estimationsværktøjer, der er velegnet til at fiksere parametrene. Strukturen for de to værktøjer er ens bortset fra den rent numeriske implementering samt mindre væsentlige ændringer i fikseringsmulighederne. Derfor er kun det ene program beskrevet. Estimationsprogrammet indlæser tre filer: Regnserien, begyndelses-, maximal- og minimumsværdier til brug for parameterestimationen samt en fil med angivelse af, hvilke parametre der skal fikseres i forhold til hinanden eller globalt. Mulighederne for opdeling er skitseret nedenfor. Estimationen sker for en klasse ad gangen, dvs. en række i matricen i figur 2.1. Hovedopdelingen for klasserne er som følger (se også tabel 2.1): 1. Kun konvektiv regnfraktion beregnes, da sandsynligheden for at springe til lavere klasser er nul. 2. Estimer en fordelingsfunktion for alle tilstande i klassen. 3. Estimer een fordelingsfunktion for klassen. Hvis metode 2 eller 3 benyttes er der mulighed for at fiksere parametrene vertikalt i matricen i figur 2.1 enten ved at angive en fast værdi (ingen estimation) eller ved at angive, at parameteren skal estimeres til samme værdi for en række intervalklasser. Endvidere er der mulighed for at angive, at parametre skal estimeres til samme værdi i alle eller nogle af tilstandene i intervalklassen. Dermed er den ønskede og foreslåede funktionalitet indbygget i estimationsværktøjet. 9

4. Resultater Testningsdelen omfatter en systematisk undersøgelse af muligheden for at fastholde 6 parametre i alle tilstande inden for hver klasse. De 6 parametre (k,b, µ f, σ f, µ n og σ n ) angiver formen på regntype-fordelingerne. De eneste parametre, der kunne variere frit mellem klasserne var såleden andelen af de enkelte regntype-fordelinger (α c og α f ). Af tidsmæssige årsagen blev andre muligheder ikke undersøgt. Resultatet var nedslående i den forstand, at der viste sig at være en række problemer i forbindelse med den praktiske estimation. Det primære problem kan nemmest anskueliggøres ved et eksempel. For regnserien 20211 Sulsed er der observeret 4573 observationer i klassen 10-15 minutter. I fordelingsfunktionen er en parameter fikseret globalt. Disse observationer opdeles nu i 6 tilstande, svarende til stigende eller faldende ventetid samt lille, mellem eller stort volumen. Antallet af observationer i hver tilstand varierer nu fra 125 til 1767. Idet parametrene (i alt 6+6*2=18) estimeres i een beregningsgang vil klassen med 125 observationer få relativt lille vægt i forhold til de 1767. Det betyder, at de 2 frie parametre i fordelingsfunktionen ofte vil blive estimeret til urealistiske værdier for at fremtvinge et rimeligt fit til den observerede fordelingsfunktion. Programmet til at estimere parametrene giver mulighed for at tvinge parametrene til at ligge i et brugerdefineret interval. Hvis denne mulighed benyttes giver det at benytte flere tilstande dog ikke en bedre beskrivelse end den oprindelige. Det udviklede programmel kan benyttes til yderligere analyser, hvilket sandsynligvis vil medføre forbedringer. Pt. ser de mest lovende muligheder for nye analyser ud til at være: Flere analyser med det nuværende analyseværktøj. Der er afgjort flere muligheder for at fiksere parametre, end dem der er undersøgt her. Ændring af beregningen af tilstande, således at de konvektive intervalklasser ikke bidrager til beregningen af, hvornår der er volumen nok til at der skiftes til en højere volumenklasse. Dette vil sandsynligvis føre til mere ægte volumenrige klasser. Samtidig estimation af alle parametre, hvis antal reduceres kraftigt. Der vil blive en overordnet struktur med maksimalt 10 parametre. Der skal dermed identificeres en mapping fra figur 2.1 til denne overordnede struktur, således at hele fladen kan beskrives med få parametre i stedet for hver klasse for sig. Hver tilstand kan så benytte en eller to parametre til at beskrive forskellen mellem fladerne. Denne løsning blev vurderet til at være for drastisk for denne undersøgelse, men kan potentielt løse hele problemet med et slag. 10

5. Konklusion Der er blevet udviklet et nyt analyseværktøj til at analysere potentialet for at udvide en eksisterende model til at generere kunstige (regionale) regnserier. Brugen af værktøjet har vist, at en udvidelse af antallet af tilstande ikke umiddelbart giver en forbedret evne til at generere kunstige regnserier på grund af problemer med at identificere og estimere parametre i den udvidede beskrivelse. Analyseværktøjet kan med et begrænset tidsforbrug benyttes til at undersøge andre hypoteser end de her rapporterede. Nogle af disse hypoteser er udviklet på baggrund af den nuværende analyse. Projektets rammer har ikke givet mulighed for at undersøge disse hypoteser nærmere. Der er stadig mangler i forhold til slutmålet: Et standardiseret operationelt værktøj til generering af regnserier med en høj tidsopløsning. Den her analyserede model har vist sig brugbar inden for nogle anvendelser af urban afstrømning og vil dermed i nogle tilfælde være egnet til at forlænge korte observerede tidsserier. 11

6. Litteraturliste Arnbjerg-Nielsen, Karsten (1996): Statistical analysis of urban hydrology with special emphasis on rainfall modelling. PhD-afhandling. Institut for Miljøteknologi, Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby, Danmark. Arnbjerg-Nielsen, K, Madsen, H. og Harremoës, P. (1998): Formulating and testing a rain series generator based on tipping bucket gauges. Water, Science and Technology, 37, (11), 47-55. Madsen, H. (1998): Ekstremregn i Danmark. Statistisk bearbejdning af nedbørsdata fra Spildevandskomiteens Regnmålersystem. Institut for Strømningsmekanik og vandbygning, Institut for Miljøteknologi, Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby, Danmark. 12