Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Transkript

1 Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation

2 Repetition Diskrete stokastiske variable Bernoulli fordelingen (1 forsøg, succes eller fiasko) Binomial fordelingen (n uafhængige forsøg, p konstant, sandsynligheden for succes) Negativ binomial fordeling (s succes er, p konstant, uafhængige forsøg, sandsynligheden for antal forsøg, når s succes er) Hypergeometrisk fordeling (sandsynligheden for antallet af succes er uden tilbagelægning) Poisson fordeling (sandsynligheden for antal hændelser i et givet interval) Kontinuerte stokastiske variable Uniform fordeling (lige fordeling på et interval) Exponential fordeling (måler tiden mellem to hændelser, der er Poisson fordelte

3 Sandsynlighedsfordelinger kontinuerte variable Sandsynlighedsfordelingen for en kontinuert variabel tildeler sandsynligheder til et interval, for eksempel p(0<x<2) og p(x<2). Ligeledes gælder at Sandsynligheden for intervallet, der indeholder alle mulige værdier af x, er lig med 1. Grafen for en sandsynlighedsfordeling for en kontinuert variabel er en glat kontinuert kurve. Arealet under kurven i et givet interval, er sandsynligheden for at x tilhører dette interval. Den meste brugte kontinuerte fordeling, er normal fordelingen.

4 Normal fordelingen Normal fordelingen er en vigtig fordeling, blandt andet fordi mange andre fordelinger, kan approksimeres med den. Desuden er mange test størrelser normal fordelte kommer senere i kurset Bland andre Carl F. Gauss ( ) fandt frem til den, derfor kaldes den også den Gaussiske fordeling.

5 Normal fordelingen Dens kendetegn er: Klokkeformet og symmetrisk omkring dens middelværdi Middelværdi=median=mode Den er karakteriseret ved en middelværdi μ og varians σ² (eller standard afvigelse σ). X~N(μ,σ²) betyder, at X følger en normal fordeling med middelværdi μ og varians σ² Arealet under kurven indenfor zσ af middelværdien, er den samme for enhver normal fordeling, uanset middelværdi og standard afvigelse. Er uanset parameterværdier, defineret for alle x (dvs x kan antage værdier fra minus uendelig til plus uendelig)

6 Tæthedsfunktionen for normal fordelingen Tæthedsfunktionen for normal fordelingen: Normal fordelingen : μ = 0, σ 2 = 1 x μ 2 f ( x) = 1 e 2σ 2 for < x < 2πσ 2 hvor e = og π = f(x) x 5

7 Eksempler på normal fordelinger

8 Standard afvigelsen hvis x er normal fordelt eller fordelingen er klokkeformet Cirka 68% af all observationer ligger indenfor en standard afvigelse fra middelværdien Cirka 95% af alle observationer ligger indenfor to standard afvigelser fra middelværdien Cirka 99.7% af alle observationer ligger indenfor 3 standard afvigelser fra middelværdien

9 Sum af uafhængige normal fordelte stokastiske variable Hvis X 1, X 2,, X n er uafhængige normal fordelte stokastiske variable, så er deres sum S også normal fordelt med E(S) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + + E(X n ) V(S) = V(X 1 ) + V(X 2 ) + + V(X n ) Bemærk: Det er varianserne der kan lægges sammen, ikke standard afvigelserne! Eksempel: Middelværdi Varians X X X S = X 1 + X 2 + X 3. Så er E(S) = = 60 og V(S) = = 6. Standard afvigelsen af S er 6 = 2.45.

10 Sum af uafhængige linear kombinationer Hvis X 1, X 2,, X n er uafhængige normalfordelte stokastiske variable, så vil variablen Q defineret som Q = a 1 X 1 + a 2 X a n X n + b også være normal fordelt, med: E(Q) = a 1 E(X 1 ) + a 2 E(X 2 ) + + a n E(X n ) + b V(Q) = a 12 V(X 1 ) + a 22 V(X 2 ) + + a n2 V(X n ) Bemærk igen, at det er varianserne, der summes sammen og ikke standard afvigelserne.

11 Eksempel Eksempel 4.3: Lad X 1, X 2, X 3 og X 4 være uafhængige normal fordelte stokastiske variable med middelværdi og varians givet som i tabellen. Find middelværdien og variansen af Q = X 1-2X 2 + 3X 2-4X Mean Variance X X X X E(Q) = 12 2(-5) + 3(8) 4(10) + 5 = 11 V(Q) = 4 + (-2) 2 (2) (5) + (-4) 2 (1) = 73 SD(Q) = 73 =

12 Normal fordelinger Eksempler på tæthedsfunktioner normal fordelinger med forskellig middelværdi og varians. Normal Distribution: μ =40, σ=1 Normal Distribution: μ =30, σ=5 Normal Distribution: μ =50, σ= f(w) 0.2 f(x) 0.1 f(y) w x y W~N(40,1) X~N(30,25) Y~N(50,9) f(z) Normal Distribution: μ =0, σ=1 0 z 5 Sandsynligheder: P(39 W 41) P(25 X 35) P(47 Y 53) P(-1 Z 1) Sandsynligheden er arealet under den tilhørende tæthedsfunktion for det givne interval. Z~N(0,1)

13 Standard normal fordelingen Standard normal fordelingen, er normalfordelingen med middelværdi 0 og standard afvigelse 1, Z~N(0,1²) 0.4 Standard Normal fordeling f(z) σ=1 { μ = 0 Z

14 Tabellen Sandsynlighederne for standard normal fordelingen er tabellagt -tabel 2 i Appendiks C, side 758 De tabellagte værdier er sandsynligheder for intervaller fra μ=0 til punkter z til højre for 0, altså de positive z værdier Da normal fordelingen er symmetrisk, er hele arealet til venstre for 0 lig med ½ Denne halve skal man huske at trække fra eller lægge til afhængig af hvilket interval man er interesseret i at finde sandsynligheden for, se Tips og Trix Standard Normal Distribution Figuren viser P(0<Z<1,56) 0.4 f(z) { Hvis nu man ville have: P(Z<1,56)=½+P(0<Z<1,56) Z

15 Find P(0 < Z < 1.56) Standard Normal Probabilities f(z) Standard Normal Distribution Z { Kig i rækken med 1.5 og søjlen med.06 P(0 z 1.56) = z

16 Find: P(Z < -2.47) For at finde P(Z<-2.47): Find tabel areal for 2.47 P(0 < Z < 2.47) =.4932 P(Z < -2.47) =.5 - P(0 < Z < 2.47) = = Arealet til venstre for P(Z < -2.47) = = f(z) z Standard Normal Distribution Tabel areal for 2.47 P(0 < Z < 2.47) = Z

17 Find: P(1< Z < 2) For at finde P(1 Z 2): 1. Find tabel arealet for 2.00 F(2) = P(Z 2.00) = = Find tabel arealet for 1.00 F(1) = P(Z 1.00) = = P(1 Z 2.00) = P(Z 2.00) - P(Z 1.00) = = z Standard Normal Distribution f(z) Areal mellem 1 og 2 P(1 Z 2) = = Z

18 Summe opgave Bestem P(-1,5<Z<1.96) Find P(0<Z<1,96) Find P(-1,5<Z<0)

19 Find: P(0 < Z < z) = 0.40 Find Z, så P(0 Z z) =.40: 1. Find en sandsynlighed så tæt på som muligt. 2. Bestem herefter værdien af z fra den pågældende række og søjle. P(0 Z 1.28).40 Desuden, da P(Z 0) =.50 Areal til venstre for 0 =.50 P(z 0) =.50 z f(z) Standard Normal Distribution Areal =.40 (.3997) P(Z 1.28) Z Z = 1.28

20 Summe opgave Find P(Z<z)=0,975 Vi ved at P(Z<0)=0.5 Find z så P(0<Z<z) = 0.475

21 Transformation til standard normal fordelingen og tilbage igen Enhver normal fordelt stokastisk variabel kan transformeres til en standard normal fordelt stokastisk variabel! Hvis X~N(μ,σ²), så er Z=(X-μ)/σ ~N(0,1) Den inverse transformation er også gyldig: X=μ+ Zσ ~N(μ,σ²) Kan bruges til at finde sandsynligheder for normal fordelte stokastiske variable, der ikke er standard normal fordelt: Transformer X om til Z ligeledes for interval grænserne Find sandsynlighederne for Z, der vil være de samme som for X P( X < a) = P Z < a μ σ P( X > b) = P Z > b μ σ P( a < X < b) = P a μ < Z < b μ σ σ

22 Eksempel

23 Eksempler fra bogen Eksempel 4-9 X~N(160,30 2 ) P( 100 X 180) 100 μ X μ 180 μ = P σ σ σ = P Z = P( 2 Z. 6667) = = Eksempel 4-10 X~N(127,22 2 ) P( X < 150) P X μ 150 μ = < σ σ = P Z < 22 = P( Z < ) = =

24 Den inverse transformation Eksempel 4-12 X~N(124,12 2 ) P(X > x) = 0.10 and P(Z > 1.28) 0.10 x = μ + zσ = (1.28)(12) = Normal Distribution: μ = 124, σ = 12 z f(x) X

25 Opgaver Kapitel 4: 1, 3, 5, 9, 21, 23, 27, 33