Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm; afsnit heraf er aftrykt i eksamensopgavesamlingerne. Supplement til undervisningsvejledning for matematik i gymnasiet og hf (december 1997): Principper for formulering af skriftlige eksamensopgaver i matematik på B-niveau. Vedrører hf tilvalgsfag (er aftrykt i eksamensopgavesamlingerne fra 1999)supplement til undervisningsvejledningen, december 1997, Principper for formulering af skriftlige eksamensopgaver i matematik på B-niveau Det årlige hæfte med evaluering af skriftlig eksamen i matematik. I rapporterne fra 2001 og 2002 omtales, hvilke krav der stilles til besvarelser vedrørende dokumentation af eksaminandernes brug af grafregner. Hæfterne ligger på adressen http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/censor/rapporter/skr.htm Ved de skriftlige prøver på hf tilvalg forventes kursisterne ud over at kunne foretage de sædvanlige beregninger som på en traditionel lommeregner at kunne benytte grafregnerens faciliteter til at tegne graf for en eller flere funktioner i samme grafvindue ud fra givne forskrifter vælge et passende grafvindue og ændre det valgte vindue aflæse funktionsværdier og foretage andre grafiske aflæsninger, f.eks. bestemme nulpunkt/ekstremer for en funktion samt skæringspunkter mellem grafer. Endvidere nævnes: I situationer, hvor f.eks. et nulpunkt/maksimum ikke kan bestemmes ved beregning eller kun vanskeligt lader sig bestemme uden en grafregner, vil der som en hjælp til eleverne kunne forekomme formuleringer som: Benyt grafregneren til at bestemme nulpunkt/maksimum for... Eksaminanderne på hf tilvalg forventes IKKE at kunne benytte grafregnerens muligheder for regression. Da eksaminandens besvarelse danner grundlag for vurdering af de anvendte fremgangsmåder og de udførte beregninger, må omskrivning af symboludtryk, mellemregninger og mellemresultater i rimeligt omfang medtages i besvarelsen. Det er således vigtigt, at regne-, indtastnings- og aflæsningsfejl afslører sig som sådanne og ikke som forståelsesfejl. Da de benyttede lommeregnere kan indeholde procedurer til løsning af mere sammensatte grafiske og numeriske problemer, er det her særligt vigtigt, at eksaminanden giver en analyse af problemet og redegør for den anvendte fremgangsmåde ved løsning af opgaven.. Hvis der har været anvendt specielle faciliteter på grafregneren, bør det fremgå af besvarelsen, på hvilken måde det er sket. Det er dog ikke tanken, at dette skal ske ved at gengive indtastningssekvenser. For at undgå misforståelser mht. hvilke krav der fremover stilles til kursisternes besvarelse af forskellige typer af eksamensopgaver, har opgavekomisionen til hf- og studentereksamen i matematik
anført nogle principper for de fremtidige formuleringer, således at der i højere grad end tidligere sker en præcisering af betydningen af den sprogbrug, der anvendes i opgaverne (se Uddrag af supplement til undervisningsvejledningen ). Det beror normalt på eksaminandens eget skøn, hvilke hjælpemidler såsom grafregner, tabel eller funktionspapir der anvendes i den givne situation. I opgaverne lægges der ofte op til, at eksaminanderne selv skal vælge en hensigtsmæssig løsningsmetode, men undertiden ønskes en bestemt matematisk metode anvendt ved besvarelsen. Løs, beregn, bestem løs ved beregning ligningen Formuleringen 'løs ved beregning ligningen' bruges, når den ubekendte størrelse ønskes bestemt ved hjælp af symbolmanipulation i kombination med simple lommeregnerberegninger, der kun gør brug af tasterne for de fire regningsarter og de elementære funktioner. Ved formuleringen 'bestem den eksakte løsning til ligningen' forventes en symbolsk manipulation efterfulgt af en reduktion. løs ligningen Ved formuleringen 'løs ligningen' lægges der ikke op til en bestemt fremgangsmåde, og ligningen kan fx løses grafisk, ved at gætte eller ved at anvende fx Solve eller Trace. I alle tilfælde kræves der en argumentation for, at hele løsningsmængden er bestemt - eksempelvis ved at referere til antallet af rødder. Findes løsningerne til ligningen f.eks. ved brug af SOLVE, CALC-ZERO, ROOT, INTERSECT, Gsolve: X= (for et givet Y) eller TRACE skal det selvfølgelig fremgå af besvarelsen, hvilken facilitet på grafregneren, der er benyttet. Løsningerne skal angives med så mange cifre, at der er dokumentation for aflæsningen på grafregneren, også selvom det endelige svar på opgaven skal angives som f.eks. et helt tal eller et tal med én decimal. grafiske løsningsmetoder Ved brug af grafiske løsningsmetoder vil det ofte være nødvendigt, at aflæsninger kontrolleres, fx ved indsættelse. I opgavebesvarelser, hvor der argumenteres ud fra en graf på lommeregneren, kræves det, at argumentationen gives i tilknytning til en vedlagt skitse af grafen. bestem Formuleringen 'bestem' lægger ikke op til en bestemt fremgangsmåde. Der kan fx aflæses på en vedlagt graf i et koordinatsystem eller lommeregnerens Solve-rutiner eller regression kan benyttes. beregn Formuleringen beregn betyder, at det ikke er tilstrækkeligt at aflæse på grafen eller at at bruge SOLVE, CALC-ZERO, ROOT, INTERSECT, G-solve: X= (for et givet Y) eller TRACE eller regression på grafregneren.
En skelnen mellem beregn/bestem gælder også i opgaver, hvor funktioner anvendes i praktiske sammenhænge. Fx: S 'Bestem trykfaldet i røret, når vandstrømmen gennem det er 20 liter pr. sekund.' S 'Beregn den procentvise stigning i trykfaldet, når vandstrømmen gennem røret øges med 15 %.' Ved løsning af trigonometriske grundligninger eller uligheder skal besvarelsen ledsages af enten forklarende udtryk som π - x 0, 2π - x 0, etc. eller af afmærkning på enhedscirklen eller på grafen for den involverede trigonometriske funktion. Bestemmelse af nulpunkter v.hj.a. Newton-Rapsons metode Der vil fra og med sommereksamen 1999 ikke længere blive stillet skriftlige eksamensopgaver i dette emne. Polynomier rodbestemmelse for andengradspolynomier I forbindelse med rodbestemmelse for andengradspolynomier kræves der, hvis der ikke er 2 rødder, et argument for antallet af rødder. Der kan stadig stilles spørgsmål, der kræver argumentation ved brug af diskriminanten for polynomiet. bestemmelse af samtlige nulpunkter i polynomier af højere grad Ved bestemmelse af samtlige nulpunkter i polynomier af højere grad er det nok at bruge fx Solverutinen, hvis der er argumenteret for antallet af rødder. Det er ikke tilstrækkeligt blot at begrunde antallet af rødder ved brug af det grafiske billede fra lommeregneren. Med indførelsen af den grafiske lommeregner vil det herefter være et krav til kursisterne, at de selv skal kunne bestemme en rod i et givet polynomium. Det bemærkes, at kursisterne stadig skal kunne udføre polynomiers division. Graftegning tegn parablen Ved formuleringen 'tegn parablen' kræves det, at toppunktet skal beregnes. Det er således ikke tilstrækkeligt at aflæse koordinatsættet for toppunktet på grafregneren. tegn grafen Vendingen 'tegn grafen' anvendes, når grafen er en kendt kurve fx en ret linje eller en parabel, eller når grafen skal tegnes på baggrund af en undersøgelse omfattende fx monotoniforhold og ekstrema.
Trods grafregneren er det stadigvæk relevant at kunne tegne en pæn graf i et relevant vindue. Det er ikke nødvendigt at anføre et egentligt sildeben, bare der findes en række klart afmærkede punkter på funktions-papiret, hvorigennem der kan tegnes en tydelig graf. skitser grafen Når vendingen 'skitser grafen' anvendes, er det tilstrækkeligt at henvise til, at grafen er tegnet af fra lommeregnerens display eller ud fra kendskab til elementære funktioner. Tegnes en skitse af grafen ud fra grafregneren skal det benyttede vindue skal anføres. (fx Figuren viser en skitse af grafen for f i vinduet 40<x<60 og 800<y<920.) Funktionsundersøgelse bestemmelse af fortegn for f(x) I opgaver, hvor der indgår bestemmelse af fortegn for en forelagt funktion, kræves der en undersøgelse af funktionens nulpunkter efterfulgt af en begrundelse for fortegnene. bestemmelse af nulpunkter for f(x) Ved bestemmelse af nulpunkter for en funktion er det ikke tilstrækkeligt blot at begrunde nulpunkterne ved brug af det grafiske billede fra lommeregneren. bestem monotoniforhold for f(x) Når formuleringen 'bestem monotoniforhold for f(x)' anvendes, er det underforstået, at der kræves bestemmelse af f '(x), løsning af ligningen f '(x) = 0 samt enten fortegn for f '(x) eller en begrundelse af monotoniforhold med en henvisning til grafen for f(x). Bestemmelse af en funktions monotoniforhold skal afsluttes med en angivelse af funktionens monotoniintervaller. Ifølge undervisningsvejledningen kræves der ligeledes en begrundelse for fortegnene for f (x). Erfaringen har vist, at kursisterne har lettere ved at argumentere for monotoniforholdene for f ud fra en fortegnslinje for f end ved at skulle formulere en argumentation som kombinerer antallet af løsninger til ligningen f (x) = 0 med hvordan ser grafen ud på min grafregner. (lokalt) maksimum, - minimum, - maksimumssted, - minimumssted Hvis en funktion f har (lokalt) maksimum eller (lokalt) minimum i x 0, kaldes x 0 et (lokalt) maksimumssted eller et (lokalt) minimumssted. Endvidere kaldes funktionsværdien f(x 0 ) et (lokalt) maksimum eller (lokalt) minimum. bestemmelse af asymptotiske forhold Ved bestemmelse af asymptotiske forhold vil det være tilstrækkeligt at begrunde eksistensen af en asymptote ved henvisning til fx de elementære funktioners asymptotiske forhold eller til sætninger vedrørende polynomiumsbrøker. Det vil ikke være tilstrækkeligt med en række beregnede funktionsværdier eller aflæsning af lommeregnerens display.
bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P Når formuleringen 'bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P' anvendes, kræves det, at tangenthældningen beregnes ud fra f '(x). Det er således ikke fyldestgørende at bestemme hældningskoefficienten for en tangent ved at benytte numerisk differentiation på lommeregneren. Det er derfor IKKE i orden at bestemme en ligning for tangenten til parablen ved hjælp af DRAW TANGENT eller andre af grafregnerens faciliteter til en direkte bestemmelse af tangenten. Optimering I optimeringsopgaver foreskriver en formulering som 'bestem x, så kassens rumfang R(x) er størst muligt' ikke en bestemt metode. Hvis der ønskes en bestemt metode, vil det fremgå af opgaveformuleringen fx: 'bestem ved hjælp af R'(x) den værdi af x, for hvilken kassens rumfang R(x) er størst muligt'. Modeltilpasningsopgaver, herunder brug af regression Opgaver, hvori et givet datasæt skal undersøges, opdeles i to typer: 'Opgaver, hvor modellen er givet' og 'opgaver, hvor modellen ikke er givet'. opgaver, hvor modellen er givet x a I opgaver, hvor modellen er givet fx af formen f(x) = ax + b, f ( x) = b a eller f ( x) = b x, kan konstanterne a og b bestemmes ved følgende metoder: 1) beregning af konstanterne 2) regression på basis af samtlige punkter i datasættet 3) aflæsning på den tilhørende linje tegnet i et passende koordinatsystem. Som tidligere nævnt forventes det ikke, at kursisterne på hf tilvalg kan benytte grafregnerens facilitet med hensyn til f.eks. potensregression. Som censor/lærer, kan det være svært at forstå, at kursisterne ikke udnytter denne facilitet til at bestemme tallene a og b eller bare til at kontrollere allerede beregnede værdier for a og b. opgaver, hvor modellen skal bestemmes I opgaver, hvor modellen skal bestemmes, dvs. hvor man skal gøre rede for eller undersøge, om et a x forelagt datasæt kan beskrives ved sammenhængen f(x) = ax + b, f ( x) = b x eller f ( x) = b a, er det ikke nok at se på størrelsen af korrelationskoefficienten. Der kræves dokumentation baseret på indtegning af datasættet i et almindeligt koordinatsystem hhv. i et enkelt - eller dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Dette gælder også, selv om det ikke eksplicit havde været krævet i opgaveformuleringen. Derefter skal der argumenteres for, at punkterne med god tilnærmelse ligger på en ret linje.