Funktioner. 3. del Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Funktioner. 3. del Karsten Juul"

Transkript

1 Funktioner 3. del 019 Karsten Juul

2 Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren sender en til som oplyser at dette hæfte benyttes og oplyser hold, niveau, lærer og skole. 34. Gaffelforskrift 34.1 Eksempler der viser hvordan man bruger en gaffelforskrift Opgave med besvarelse Graf og gaffelforskrift i delprøve Opgave med besvarelse Forskydning af graf 35.1 Lodret forskydning af graf, oplæg Lodret forskydning af graf, regel Vandret forskydning af graf, oplæg Vandret forskydning af graf, regel Opgave med besvarelse Opgave med besvarelse Sammensat funktion 36.1 Sammensat funktion, oplæg Sammensat funktion, definition Opgave med besvarelse Eksempel på sammensat funktion Eksempel på sammensat funktion Er funktionen sammensat? Forskrift med sin (eller cos) 37.1 Eksempler på hvordan opgaver med sin kan løses Eksempel på hvordan opgave kan løses ved hjælp af graf Polynomium 38.1 Polynomiums grad Antal nulpunkter, oplæg Nulpunkter og rødder Opgave med besvarelse Regel om antal rødder Parabel Andengradspolynomium Hvilke tal er a, b og c lig? Toppunkt y = a(x h) + k, oplæg a Symmetri b Gange y-koordinat med tal c Forskyde graf for ax y = a(x h) + k, regel a Forskydning b Toppunkt y = a(x h) + k, opgave med besvarelse Beregne toppunkt... 11

3 39.07a Formel for toppunkts x-koordinat b Bevis for formlen for toppunkts x-koordinat c Udregn toppunkt d Tegn uden hjælpemidler graf for x x Diskriminant a Diskriminant, definition b Diskriminant, eksempel på udregning c Diskriminant, eksempel på udregning Betydning af a, b, c og d for grafen Bevis for reglen for betydningen af b Nulpunkter 40.1 Nulpunkt, definition Nulpunkt, løsning, graf Antal nulpunkter eller løsninger, regel Antal nulpunkter eller løsninger, eksempel Løse andengradsligning, regel Løse andengradsligning, eksempel Faktorisere 41.1 Faktorisere andengradspolynomium, regel Faktorisere andegradspolynomium, eksempler Nulpunkter (rødder) for f (x) = a(x p)(x q), regel Nulpunkter (rødder) for f (x) = a(x p)(x q), eksempler Find a, b og c for a(x p)(x q) Ligninger af typen x = r 4.1 Ligninger af typen x = r, oplæg Ligninger af typen x = r, regel Ligninger af typen x = r, eksempler Bestem forskrift for andengradspolynomium Andengrads-regression Bevis for reglen for løsning af andengradsligninger Bevis for formlen for faktorisering af andengradspolynomium Funktionerne sinus og cosinus 47.1 Funktioner med sin og/eller cos i forskrift Grafer for sin og cos Egenskaber ved sin og cos Funktioner af typerne f (x) = asin(bx + c) +d og f (x) = acos(bx + c) +d Hvis der både er cos og sin i forskrift Lineær regression 48.1 Residualer Valg af model Residualspredning Opgave med besvarelse... 18

4

5 34. Gaffelforskrift 34.1 Eksempel der viser hvordan man bruger en gaffelforskrift Her er et eksempel på en gaffelforskrift: { 0, 4 x 0,9 for 1 x 3 0,5 x +,4x 1,5 for 3 x 5 Der er to linjer i denne forskrift. Der kan godt være mere end to linjer i en gaffelforskrift. Vi vil udregne funktionsværdien af. Da x-værdien opfylder betingelsen 1 x < 3, skal vi bruge den øverste linje i forskriften: f () = 0,4 + 0,9 = 1,7. Denne oplysning afsætter vi som et punkt i koordinatsystemet. Det er den blå prik på billedet til højre. Vi afsætter nogle flere punkter og forbinder dem. Så får vi grafen for f. Denne er vist på billedet til højre. For at tegne grafen i Nspire skal vi bruge følgende skabelon: Hvis gaffelforskriften har mere end to linjer, så skal vi i stedet bruge følgende skabelon: 34. Opgave med besvarelse En funktion f er givet ved { 1 x for x 0 x for 0 x Gør rede for at punktet P(9, 80) ikke ligger på grafen for f Graf og gaffelforskrift i delprøve 1 g( x) { x for 0 x x for x 4 Vi har udregnet seks støttepunkter for at tegne grafen: Besvarelse Betingelsen for at P ligger på grafen for f er at funktionsværdien af 9 er 80. Da x-værdien 9 opfylder betingelsen 0 x, skal vi bruge den nederste linje i forskriften: f (9) = 9 = 81. Da f (9) ikke er 80, gælder: P ligger ikke på grafen. Punktet (, 4) er tegnet som en cirkel. Det betyder at punktet ikke hører med til grafen. Venstre del af grafen skal tegnes hen til dette punkt. Funktioner 3. del Karsten Juul

6 34.4 Opgave med besvarelse Ved forsøgets start er der 15 g væske i en beholder. De næste 0 minutter løber der væske ned i beholderen med hastigheden 5 g pr. minut. De næste 10 minutter løber der ikke væske ned i beholderen. I disse 10 minutter løber der væske ud af beholderen med hastigheden 4 g pr. minut. Herefter er forsøget slut. a) Bestem hvor mange gram væske der er i beholderen når forsøget er slut. b) Opstil en gaffelforskrift der beskriver mængden af væske i beholderen som funktion af tiden x målt i minutter efter forsøgets start. c) Brug forskriften til at beregne tallet f (30), og beskriv hvad dette tal fortæller om forsøget. Besvarelse a) De første 0 minutter løber der hvert minut 5 g væske ned i bekolderen. Antal gram der løb ned i beholder de første 0 minutter: 05 = 100. I forvejen var der 15 g. Antal gram i beholder efter første 0 minutter: = 115. De næste 10 minutter løber der hvert minut 4 g ud af beholderen. Herefter er forsøget slut. Antal gram der løber ud i de 10 minutter: 104 = 40. Antal gram i beholder når forsøget er slut: = 75. Når forsøget er slut, er der 75 g væske i beholderen. b) I de første 0 minutter lægges samme antal enheder til vægten hvert minut, så det er en lineær funktion y = ax + b. Da a er det der lægges til y (vægten) når x (minutter) bliver 1 enhed større, så må a = 5. Da b er det y (vægten) er når x (tid efter start) er 0, må b = 15. I de næste 10 minutter lægges 4 til y når x bliver 1 enhed større, så det er en lineær funktion y = 4x + b. Når x = 0, er y = 115, så vi får 115 = 40 + b = b 195 = b Den søgte forskrift er altså { 5x 15 for 0 x 0 4x 195 for 0 x 30 c) Vi vil bruge denne forskrift til at udregne funktionsværdien af x-værdien 30. Da 30 ligger i intervallet 0 x 30, skal vi bruge nederste linje i forskriften: f (30) = = = 75 dvs. når forsøget er slut, er der 75 g væske i beholderen. I spørgsmål a) kom vi til samme resultat. Funktioner 3. del Karsten Juul

7 35. Forskydning af graf 35.1 Lodret forskydning af graf, oplæg 1, 1 x 3 x Vi udregner funktionsværdien (y-koordinaten) for nogle x-værdier: 1 f (1) 1, 1 1 f () 0,5, 1 f (3) 0,33. 3 Vi afsætter de tilsvarende punkter i koordinatsystemet og forbinder dem så vi får grafen for f. Vi lægger 0,8 til forskriften for f. Så får vi forskriften for en ny funktion g : 1 g( x) 0,8. x Vi udregner funktionsværdien (y-koordinaten) for nogle x-værdier: 1 g(1) 0,8 1,8, 1 1 g(3) 0,8 1, g() 0,8 1,3, Vi afsætter de tilsvarende punkter i koordinatsystemet og forbinder dem, så vi får grafen for g. Når vi lægger 0,8 til et punkts y-koordinat, så får vi et punkt der ligger 0,8 højere oppe i koordinatsystemet. Vi får g-grafen ved lodret forskydning af f-grafen. 35. Lodret forskydning af graf, regel Når vi lægger 5 til forskriften, så forskydes grafen 5 enheder op. Når vi lægger 4 til forskriften, så forskydes grafen 4 enheder ned. Osv. Funktioner 3. del Karsten Juul

8 35.3 Vandret forskydning af graf, oplæg På billedet ses grafen for funktionen f. En ny funktion g er fastlagt ved at g(x) = f (x 4). For g bestemmer vi funktionsværdien (y-koordinaten) af x-værdien 5 : g(5) = f (5 4) = f (1) = 3 hvor 3 er aflæst på f-grafen. Denne oplysning afsætter vi som et punkt i koordinatsystemet. Vi ser at dette punkt (5, g(5)) er forskudt 4 enheder mod højre i forhold til punktet (1, f (1)). Vi bestemmer også g(6) : g(6) = f (6 4) = f () = 4 hvor 4 er aflæst på f-grafen. Denne oplysning afsætter vi som et punkt i koordinatsystemet. Vi ser at der også for andre x-værdier vil være tale om en forskydning på 4 enheder af et punkt på f-grafen. Det oplyses at f har forskriften f (x) = 4x x. Vi bestemmer forskriften for g : g(x) = f (x 4) = 4(x 4) (x 4) Vandret forskydning af graf, regel Når man i forskriften erstatter x med (x 4), så forskydes grafen 4 enheder mod højre. Når man i forskriften erstatter x med (x+6), så forskydes grafen 6 enheder mod venstre. Osv Opgave med besvarelse Forskriften for funktionen f er f (x) = x Grafen for funktionen g fremkommer ved at forskyde grafen for f stykket 3 nedad. Grafen for funktionen h fremkommer ved at forskyde grafen for g stykket 9 mod højre. Bestem en forskrift for h. Besvarelsen står på næste side! Funktioner 3. del Karsten Juul

9 Besvarelse f (x) = x Grafen for g fås ved at forskyde f-graf stykket 3 nedad. Graf forskydes 3 nedad når der trækkes 3 fra forskriften, så g(x) = f (x) 3 = x 3. Grafen for h fås ved at forskyde g-grafen stykket 9 mod højre. Grafen forskydes 9 mod højre når x i forskriften erstattes med x 9, så h(x) = g(x 9) = x Opgave med besvarelse Ud fra en funktion f er funktionerne g og h bestemt ved g(x) = f (x) + 3 h(x) = f (x 7) + 1. B () På figuren ses graferne for de tre funktioner f, g og h. Gør for hver af de tre grafer A, B og C rede for hvilken funktion f, g eller h den er graf for. A C (1) Besvarelse så så På figur: så På figur: så g(x) = f (x) + 3 g-forskrift fås ved at lægge 3 til f-forskrift g-graf fås ved at forskyde f-graf tre enheder op. Ingen af graferne A og C kan fås ved at forskyde nogen af de andre grafer op B er g -graf. B fås ikke ved at forskyde C op A er f -graf. Så er der kun én mulighed tilbage for C : C er h -graf. Vi kan ikke se at B er graf for g, men vi kan se at A ikke er graf for g, og at C ikke er graf for g. Vi kan ikke se at A er graf for f, men vi kan se at C ikke er graf for f. Funktioner 3. del Karsten Juul

10 36.1 Sammensat funktion, oplæg 36. Sammensat funktion For en plante er højden (cm) en funktion h af tiden (uger): Tid: Højde: Prisen (kr.) for denne plante er en funktion g af højden (cm): Højde: Pris: Vi kan slutte: Prisen (kr.) er en funktion f af tiden (uger). Efter uger er højden i cm h() = 5 (se tabel). Når højden er 5 cm, er prisen i kr. g(5) = 50 (se tabel). Efter uger er prisen i kr. f () = g(h()) = g(5) = 50 f er en sammensat funktion hvor den indre funktion er h, og den ydre funktion er g. Det oplyses at forskrifterne for h og g er: h(x) = x + 1 og g(x) = 10x. Heraf kan vi finde forskriften for f. f (x) = g( h(x) ) = g( x +1 ) = 10( x +1 ). 36. Sammensat funktion, definition en definition fortæller betydningen af et ord Hvis f, g og h er funktioner og så siger man at f (x) = g ( h(x) ) f er en sammensat funktion med g som den ydre funktion og h som den indre funktion. Funktioner 3. del Karsten Juul

11 36.3 Opgave med besvarelse På figuren ses grafen for funktionen f. Funktionen g er bestemt ved g(x) = 3x 7. Bestem g( f (11) ). Besvarelse Som vist på figuren aflæser vi at f (11) = 4. Da g(x) = 3x 7 er g(4) = 34 7 = 1 7 = 5. Altså er g( f (11)) = g(4) = Eksempel på sammensat funktion Hvis h er den sammensatte funktion hvor ydre funktion er g(x) = x indre funktion er f (x) = x +3 så er h(x) = g( f (x) ) = g( x +3 ) = ( x +3 ) Eksempel på sammensat funktion Hvis h er den sammensatte funktion hvor ydre funktion er g(x) = 1 x så er indre funktion er f (x) = 8 x h(x) = g( f (x) ) = g( 8 x ) = 1 8 x Er funktionen sammensat Er funktionen f (x) = (x 1)ln(x) sammensat af g(x) = x 1 og h(x) = ln(x)? Vi undersøger: g(h(x) ) = g( ln(x) ) = ln(x) 1 er IKKE f (x). h(g(x)) = h(x 1) = ln(x 1) er IKKE f (x). f er altså ikke sammensat af g og h. Funktioner 3. del Karsten Juul

12 37. Forskrift med sin (eller cos) Eksemplerne er med sin, men opgaver med cos kan løses på samme måde Eksempler på hvordan opgaver med sin kan løses En funktion f er givet ved a) Bestem f (4). f (x) = 0sin(0,5x), 0 x 6. b) Bestem tal x så f (x) = 14. c) Tegn grafen for f. a) Lav et matematikfelt (ctrl/cmd m). Højreklik på matematikfeltet, vælg Attributter, Vinkel, Radian, OK. Tast i matematikfeltet 0sin(0,54) og tryk på ctrl/cmd Enter. Skriv foran matematikfeltet f (4) =. b) Lav et matematikfelt (ctrl/cmd m). Højreklik på matematikfeltet, vælg Attributter, Vinkel, Radian, OK. Tast i matematikfeltet solve(14 = 0sin(0.5x), x) 0 x 6 og tryk på ctrl/cmd Enter. Der må aldrig tilføjes noget eller ændres i en solve-kommando. Skriv forklaring til solve-kommandoen. c) Start et graf-vindue, og vælg i værktøjsmenuen Indstillinger, Indstillinger, Vinkel i grafer, Radian, OK. Vælg i værktøjsmenuen Grafindtastning, Funktion. I indtastningslinjen skal stå f(x)=0sin(0.5x) 0 x 6. Vælg i værktøjsmenuen Vindue/Zoom, Indstillinger for vindue, og vælg intervallet fra Xmin til Xmax lidt større end definitionsmængden 0 x 6, og prøv dig frem med Ymin og Ymax så hele grafen kommer med uden at blive lille. Funktioner 3. del Karsten Juul

13 37. Eksempel på hvordan opgave kan løses ved hjælp af graf Funktionen f er givet ved f (x) = 7 + 4,5sin(0,5x +1 ), 0 x 5 hvor f (x) er dybden (cm) x minutter efter start. a) Bestem den laveste dybde. b) Bestem hvor lang tid der går mellem de to tidspunkter hvor dybden er 8 cm. Besvarelse Funktioner 3. del Karsten Juul

14 38. Polynomium 38.1 Polynomiums grad Et førstegradspolynomium er en funktion af typen Et andengradspolynomium er en funktion af typen Et tredjegradspolynomium er en funktion af typen Osv. ax b hvor a 0. ax bx c hvor a 0. 3 ax bx cx d hvor a grad. grad 3. grad 3. grad 4. grad 4. grad 4. grad 4. grad 38. Antal nulpunkter, oplæg f g h De tre grafer er grafer for tredjegradspolynomier. På grafen for f ser vi at der er et tal lidt mindre end som har funktionsværdien 0, og at der ikke er andre nulpunkter end dette. Forskriften for g er fremkommet ved at trække et positivt tal fra forskriften for f. Vi ser at g har to nulpunkter. Forskriften for h er fremkommet ved at trække et positivt tal fra forskriften for g. Vi ser at h har tre nulpunkter. Funktioner 3. del Karsten Juul

15 38.3 Nulpunkter og rødder Hvis vi i ax bx c sætter a 1, b 3 og c 5 4 andengradspolynomiet f x) 1 x 3x 5 ( 4, får vi Til højre har vi tegnet grafen for dette andengradspolynomium. På grafen ser vi at hvis vi sætter 4 ind for x i forskriften og regner ud, så får vi y-værdien 3. På grafen ser vi også at hvis vi sætter 10 ind for x og regner y-værdien ud, så får vi 0. Et tal kaldes et nulpunkt for f hvis vi får 0 når vi indsætter tallet for x i forskriften og regner ud. Et nulpunkt kaldes også en rod. At finde rødderne er det samme som at løse ligningen På grafen ser vi at rødderne er og 10. Hvis vi løser ligningen x 3x 5 0, så får vi altså løsningerne og Opgave med besvarelse ( 1 4 Vis at 10 er rod i polynomiet f x) x 3x 5. Besvarelse ( 1 4 Vi indsætter 10 for x i polynomiet f x) x 3x 5 : f (10) Da resultatet er 0, er 10 rod i polynomiet Regel om antal rødder ( = antal fællespunkter med x-akse = antal løsninger) Et polynomium af grad n kan højst have n rødder. Eksempel Et tredjegradspolynomium kan ikke have mere end 3 rødder. Grafen for et tredjegradspolynomium kan højst have 3 punkter fælles med x-aksen. En tredjegradsligning kan højst have 3 løsninger. Funktioner 3. del Karsten Juul

16 39. Parabel Andengradspolynomium Et andengradspolynomium er er en funktion af typen a x b x c hvor a 0 Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel. Hvis vi skriver 0 på a 's plads, så bliver det ikke et andengradspolynomium da x forsvinder Hvilke tal er a, b og c lig? Vi sætter a 1 b c 0 i ax bx c og får 1 x ( ) x 0 så x x er et andengradspolynomium. I dette og andre andengradspolynomier skal vi kunne se hvad a, b og c er, for at kunne indsætte i formler med a, b og c. I f (x) = 3 x + x + 1 er a = 3, b = 1 og c = 1. I f (x) = x x + 7 er a = 1, b = 1 og c = 7. I f (x) = 3 x 4 er a = 3, b = 0 og c = Toppunkt Til højre er vist graferne for to andengradspolynomier f og g. Det øverste punkt på f-grafen kaldes parablens toppunkt. Vi ser at toppunktet har koordinatsættet (7, 5). Det nederste punkt på g-grafen kaldes parablens toppunkt (selv om det ikke er det øverste punkt). Vi ser at toppunktet har koordinatsættet (6, 3). Funktioner 3. del Karsten Juul

17 39.04 y = a(x h) + k, oplæg 39.04a Symmetri Billedet viser grafen for x. Grafpunkterne med x lig og har samme y da ( ) = 4 og = 4 så de to punkter (røde) ligger symmetrisk om y-aksen. For ethvert tal k gælder ( k) = k, så grafen er symmetrisk om y-aksen b Gange y-koordinater med tal For hvert punkt på grafen for x ganger vi y-koordinaten med 3 og får dermed et nyt punkt. Disse punkter er graf for funktionen y = 3x (venstre figur nedenfor). Grafen er smallere end grafen for y = x. Det må altid gælde når tallet vi ganger med er over 1. Hvis tallet er mellem 0 og 1, så må grafen blive bredere. På figuren nedenfor i midten har vi ganget med 0,5. Hvis tallet er negativt, vil grenene pege nedad (højre figur) c Forskyde graf for ax I forskriften 3x erstatter vi x med x 4 og får 3(x 4). Ifølge 35.4 vil dette rykke grafen 4 enheder mod højre. Se venstre figur nedenfor. I forskriften 3(x 4) lægger vi til og får 3(x 4) +. Ifølge 35. vil dette rykke grafen enheder op. Se højre figur nedenfor. Funktioner 3. del Karsten Juul

18 39.05 y = a(x h) + k, regel 39.05a Forskydning Når grafen for funktionen f (x) = ax forskydes h enheder mod højre og k enheder op, så fås grafen for g(x) = a(x h) + k. (Hvis h = 7, så forskydes 7 enheder mod venstre. Hvis k = 5, så forskydes 5 enheder ned) b Toppunkt Grafen for g(x) = a(x h) + k. er en parabel med toppunkt T (h, k) y = a(x h) + k, opgave med besvarelse En af graferne på figuren er graf for andengradspolynomiet f (x) = 0,5 (x + 1). Gør rede for hvilken af parablerne A, B og C der er graf for f. Besvarelse Forskriften f (x) = 0,5 (x + 1) er af typen g(x) = a(x h) + k med h = 1 og k =. Toppunktet er derfor T = (h, k) = ( 1, ). Vi kan ikke se at B er graf for f, men vi kan se at A ikke er graf for f, og at C ikke er graf for f. C 's toppunkt ligger til højre for y-aksen og har derfor positiv x-koordinat, så C er ikke graf for f. A 's toppunkt ligger over x-aksen og har derfor positiv y-koordinat, så A er ikke graf for f. Da en af graferne er graf for f, gælder: B er graf for f. Funktioner 3. del Karsten Juul

19 39.07 Beregne toppunkt 39.07a Formel for toppunkts x-koordinat Grafen for et andengradspolynomium ax bx c, a 0 er en parabel. Grafens toppunkt har x-koordinaten b x T a 39.07b Bevis for formlen for toppunkts x-koordinat Når er ax bx c, f ( x) a x b 0 ax b Lad x være toppunktets x-koordinat. Så er tangenthældningen f ( x) lig 0 : f ( x) 0 ax b 0 ax b ax b da a 0. a a b x Dette er formlen vi ville bevise. a Funktioner 3. del Karsten Juul

20 39.07c Udregn toppunkt Vi udregner toppunktet for grafen for funktionen x 6x 14 Vi ser at forskriften er af typen med ax bx c a 1 b 6 c 14 Toppunktets x-koordinat er x T b 6 3 a 1 Toppunktet ligger på grafen og har x-koordinaten 1,5, så y-koordinaten er yt f ( 3) ( 3) 6 ( 3) Toppunktet er T ( 3, 5) d Tegn uden hjælpemidler graf for f (x) = x x 1 Metode: 1) Udregn x-koordinat til toppunkt med metoden fra 39.3c xt = 1 ) I tabel til støttepunkter: Vælg tal på begge sider af toppunkts x-koordinat. x: y: 3) Udregn y-koordinaterne ved at sætte x koordinaten ind i forskriften x x 1 og regne ud. 4) Tegn afrundet graf gennem støttepunkter. Sørg for at grafen IKKE er spids i toppunktet. Funktioner 3. del Karsten Juul

21 39.08 Diskriminant 39.08a Diskriminant, definition Diskriminanten for et andengradspolynomium ax bx c, a 0 er tallet d b 4ac 39.08b Diskriminant, eksempel på udregning Forskriften er på formen 3x x 5 ax bx c med a 3 b 1 c 5 så d b 4ac ( 1) c Diskriminant, eksempel på udregning Forskriften er på formen x x 3 ax bx c med a 1 b c 3 så d b 4a c 41 ( 3) 4 4 ( 3) 4 ( 1) Funktioner 3. del Karsten Juul

22 39.09 Betydning af a, b, c og d for grafen. ax bx c, a 0 d er diskriminanten a : a positiv: grene vender op a negativ: grene vender ned parablen er bredere når a er tættere på nul a a 0,5 a 1 b : b er hældningskoefficient for tangent til graf i skæringspunkt med y-akse b positiv: graf går op mod højre i skæring med y-akse b nul: grafs toppunkt er på y-akse b negativ: graf går ned mod højre i skæring med y-akse b 0 l f l er tangent til f-grafen i dennes skæringspunkt med y-aksen. b er lig l 's hældningskoefficient. c : Graf skærer y-akse i punktet (0, c) c positiv: graf skærer y-akse over x-akse c nul: graf går gennem punktet (0, 0) c negativ: graf skærer y-akse under x-akse c 0 c 0 d : d positiv: graf har to punkter på x-akse d nul: graf har ét punkt på x-akse d negativ: graf har ingen punkter på x-akse d 0 d 0 d Bevis for reglen for betydningen af b Når ax bx c, er f ( x) a x b 0 ax b Grafens skæringspunkt med y-aksen har x-koordinat 0, så i dette punkt er tangenthældningen lig f (0) a0 b 0 b b hvilket skulle bevises. Funktioner 3. del Karsten Juul

23 40. Nulpunkter 40.1 Nulpunkt, definition At et tal er nul punkt for en funktion betyder at når vi indsætter tallet for x i forskriften og regner ud, så får vi nul. Et nulpunkt kan både være et tal og et punkt. For funktionen i 40. gælder: 0 og 1,5 er nulpunkter. (0, 0) og (1,5, 0) er nulpunkter. 40. Nulpunkt, løsning, grafpunkt At 1,5 er nulpunkt for x 3x betyder at 1,5 31,5 Dette er det samme som at 0 1,5 er løsning til ligningen x 3x 0 og det samme som at grafpunktet med x-koordinat 1, 5 ligger på x-aksen Antal nulpunkter eller løsninger, regel ax bx c, a 0 d er diskriminanten Der gælder at antallet af nulpunkter for andengrads polynomiet ax bx c dvs. antallet af løsninger til andengrads ligningen ax bx c 0 er hvis d 0 1 hvis d 0 0 hvis d Antal nulpunkter eller løsninger, eksempel Vi vil bestemme tallet k så andengradsligningen k x x 3 0 har netop én løsning. Ligningen er på formen ax bx c 0 med a k, b, c 3, så diskriminanten er d b 4ac ( ) 4k3 4 1k Vi vil finde ud af hvornår der er én løsning, dvs. vi vil finde ud af hvornår d er 0: 4 1k 0 er ensbetydende med at k 1 3 Ligningen k x x 3 0 har netop én løsning når Funktionen k x x 3 har netop ét nulpunkt når 1 3 k. 1 3 k. Funktioner 3. del Karsten Juul

24 40.5 Løse andengradsligning, regel En andengradsligning ax bx c 0, a 0 kan vi løse sådan: Først udregner vi diskriminanten: d b 4ac Så bruger vi følgende regel: Hvis d 0 har ligningen ingen løsninger. b Hvis d 0 har ligningen løsningen a b d Hvis d 0 har ligningen løsningerne og a Bemærkning Både når d 0 og d 0 er løsningerne b d a b a d 40.6 Løse andengradsligning, eksempel Ligningen 3x x 1 0 er af typen Diskriminanten er d ax bx c 0 med a 3, b og c 1 b 4ac Da d > 0 har ligningen løsningerne ( ) 43 ( 1) 16 b a d ( ) b a d ( ) Konklusion: Ligningen 3x x 1 0 har løsningerne 1 3 og 1 Funktioner 3. del Karsten Juul

25 41. Faktorisere 41.1 Faktorisere andengradspolynomium, regel Hvis andengradspolynomiet ax bx c, a 0 har nulpunkterne (rødderne) x 1 og x, er a( x x1 )( x x) Når vi skriver andengradspolynomiet sådan, så har vi faktoriseret andengradspolynomiet. Tal der ganges, kaldes faktorer. Her er der tre faktorer, nemlig a, x x1 og x x. formlen for at faktorisere et andengradspolynomium 41. Faktorisere andengradspolynomium, eksempler 41.a Eksempel 1 Vi vil faktorisere andengradspolynomiet x 5x 3 Vi bruger formlen for at løse andengradsligninger og får at x 5x 3 0 har løsningerne (rødderne) 1 og 3 Vi bruger formlen for at faktorisere et andengradspolynomium og får at 41.b Eksempel 1 x x ( 3) (x 1)( x 3) Vi ganger ind i parentesen for at undgå brøk. Ellers havde vi ikke ganget ind. I g( x) x 4x 4 er a 1 og rødderne er begge, så faktoriseringen er g( x) 1 ( x ( )) ( x ( )) ( x ) ( x ) ( x ) Nulpunkter (rødder) for f (x) = a(x p)(x q), regel En funktion af typen f (x) = a(x x1)(x x) har nulpunkterne (rødderne) x1 og x Nulpunkter (rødder) for f (x) = a(x p)(x q), eksempler 41.4a Eksempel 1 Forskriften f (x) = 8(x 4)(x + 7) kan omskrives til f (x) = 8(x 4)(x ( 7) ) så ifølge 41.3 er nulpunkterne (rødderne) 4 og 7. Flere eksempler på næste side! Funktioner 3. del Karsten Juul

26 41.4b Eksempel Forskriften f (x) = (x + 4) kan omskrives til f (x) = (x + 4) (x + 4) og til f (x) = (x ( 4))(x ( 4)) så ifølge 41.3 er der ét nulpunkt (én rod), nemlig c Eksempel 3 Forskriften f (x) = x 6 x kan omskrives til f (x) = x(x 6) og til f (x) = (x 0)(x 6) så ifølge 41.3 er nulpunkterne (rødderne) 0 og Find a, b og c for a(x p)(x q) Vi vil finde konstanterne a, b og c når 4(x )(x+5) skrives på formen ax + bx + c. Vi omskriver: Dvs. 4(x )(x+5) = (4x 8)(x+5) = 4x + 0x 8x 40 = 4x + 1x 40 a 4, b 1 og c 40. Funktioner 3. del Karsten Juul

27 4. Ligninger af typen x = r 4.1 Ligninger af typen x = r, oplæg Når x 3 er Når x 3 er x x xx 33 9 xx ( 3) ( 3) 9 x 9 netop når x 3 eller x 3 4. Ligninger af typen x = r, regel Når n er negativ: x = n har ingen løsninger da et tal ganget med sig selv ikke kan give noget negativt ( + + = +, 0 0 = 0, = + ). x = 0 har løsningen x 0. Når p er positiv: x = p har to løsninger: x p eller x p da kvadratroden af p er det tal som ganget med sig selv giver p. 4.3 Ligninger af typen x = r, eksempler 4.3a Eksempel 1 Vi vil løse ligningen ( x) 9 Af regel 4. får vi x 9 eller x 9 x 3 eller x 3 dvs. x 5 eller x 1 4.3b Eksempel 1 3(x 1) 1 = 0 3(x 1) = 1 Ligningen der skal løses Der er lagt 1 til begge sider (x 1) = 4 Begge sider er divideret med 3 x 1 = 4 eller x 1 = 4 Ifølge regel 4. x 1 = eller x 1 = Kvadratroden af 4 er x 1 eller x 3 Der er lagt 1 til begge sider Funktioner 3. del Karsten Juul

28 Opgave 43. Bestem forskrift for andengradspolynomium Billedet viser et vindue indtegnet i et koordinatsystem. Den krumme del af vinduets kant har form som en del af grafen for et andengradspolynomium f (x). Vinduets højde er 18 cm. For neden er vinduets bredde 160 cm. Bestem forskriften for f. Løsning: Først finder vi koordinatsæt til tre punkter på parablen: For P gælder: x = 0 For Q og R gælder: da P ligger på y-aksen y = 18 da vinduets højde er 18 y = 0 x = ± 80 da Q og R ligger på x-aksen 160 da 80 Afstand mellem Q og R er 160 og de ligger lige langt fra y-aksen Vi ved nu at på grafen ligger punkterne (0, 18), ( 80, 0) og (80, 0). Det er oplyst at forskriften er et andengradspolynomium f (x) = ax + bx + c. Når vi indsætter et grafpunkts x-koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Nspire løser ligningssystemet 18 = a0 +b0 + c 0 = a( 80) +b( 80) + c 0 = a80 +b80 + c og får a = 0.0, b = 0 og c = 18 : R P Q Forskriften for f er 0,0x 18. Funktioner 3. del Karsten Juul

29 44. Andengrads-regression Vi har målt længde og bredde af nogle blade fra en busk: Bredde (cm):,1,8 4, 5,4 5,9 Længde (cm):,7 3,5 5,6 9,0 11, I en model beskrives sammenhængen mellem længde og bredde ved f (x) = ax + bx + c. hvor f (x) er længden og x er bredden. Vi taster bredderne i x-søjlen og længderne i y-søjlen, og vælger regression/andengrads. Vi får f (x) = 0,48 x 1,7x + 4,3. Funktioner 3. del Karsten Juul

30 45. Bevis for reglen for løsning af andengradsligninger. En hjælpeformel Først finder vi frem til en ligning (1) som vi skal bruge i beviset (for reglen for løsning af andengradsligning). (ax b) (ax) b ax b ifølge formlen ( u v) u v uv (1) (ax b) 4a x b 4abx Her har vi omskrevet højre side. Vi omskriver andengradsligningen: () (3) I ligningen ax bx c 0, a 0 ganger vi begge sider med 4 a : 4a ax bx c 4a 0 Vi ganger ind i parentesen: 4a x 4abx 4ac 0 Vi lægger diskriminanten d b 4ac til begge sider: 4a x 4abx 4ac b 4ac 0 b 4ac Vi reducerer: 4a x 4abx b d Af hjælpeformlen (1) får vi ( ax b) d Denne ligning (3) har samme løsninger som den oprindelige (). Vi bruger nu de tre dele af 4.: Det er denne ligning vi skal løse. Hvis d < 0 : ( ax b) d Har ingen løsninger da et tal i anden ikke kan give noget negativt. Hvis d = 0 : ( ax b) 0 ax b 0 da 0 er eneste tal som ganget med sig selv giver 0. ax b der er trukket b fra begge sider. x -b = a Begge sider er divideret med a hvilket er tilladt da a 0. Funktioner 3. del Karsten Juul

31 Hvis d > 0 : ( ax b) d ax b d Da w = p har løsningerne p når p > 0. ax b d Der er trukket b fra begge sider. x = -b ± d a Begge sider er divideret med a hvilket er tilladt da a 0. Hermed har vi bevist reglen 40.5 om løsning af andengradsligning. Funktioner 3. del Karsten Juul

32 46. Bevis for formelen for faktorisering af andengradspolynomium Funktioner 3. del Karsten Juul

33 47. Funktionerne sinus og cosinus 47.1 Funktioner med sin og/eller cos i forskrift Her er et eksempel på en funktion hvor forskriften indeholder sinus: 5sin(x) 3. Når sin og cos er i en forskrift for en funktion: Hvert matematikfelt hvor funktionen bruges, skal indstilles til radianer. Hvert grafvindue hvor funktionen bruges, skal indstilles til at bruge radianer i grafer (ikke i geometri). 47. Grafer for sin og cos Find på begge grafer grafstykket hvor 0 x π. Forskyd dette grafstykke mod højre. Så får du den næste del af grafen. Enhver del af grafen kan du få frem ved et antal gange at forskyde dette grafstykke mod højre eller venstre. For begge grafer gælder: y-koordinaterne til grafpunkterne er tallene i intervallet 1 y Egenskaber ved sin og cos For alle tal x gælder: 1 sin( x ) 1 og 1 cos( x ) 1 sin( x π) sin( x) og cos( x π) cos( x) 47.4 Funktioner af typerne f (x) = asin(bx + c) +d og f (x) = acos(bx + c) +d har en bølgeformet graf som gentager sig selv. Afstanden mellem to bølgetoppe kaldes perioden. π periode = størsteværdi = d + a mindsteværdi = d a b Opgave: Bestem periode, størsteværdi og mindsteværdi for funktionen f (x) = 3sin(0,5x 4,)+6. Svar: Forskrift for f er på formen asin(bx + c) +d med a = 3, b = 0,5, c = 4,, d = 6, så π π periode = 1,5664 1, 5, størsteværdi = d + a = = 9, mindsteværdi = d a = 6 3 = 3. b 0, Hvis der både er cos og sin i forskrift så brug Nspires fmax og fmin til at finde størsteværdi og mindsteværdi. Opgave: Bestem størsteværdi for funktionen f (x) = sin(3x)+cos(x), 1 x 9. Svar: Funktioner 3. del Karsten Juul

34 48. Lineær regression 48.1 Residualer For fem figurer er målt bredde og længde: Bredde (cm): Længde (cm): Sammenhængen mellem læmgde og bredde beskrives med modellen f (x) = 6,3x + hvor f (x) er lænden når bredden er x. På figuren er vist de målte tal (grønne punkter) og modellen (blå graf). På figuren ses at når bredde = 3 er målt længde = 38 models længde = 40,9 Fra målt længde trækker vi models længde: 38 40,9 =,9 Tallet,9 kaldes en residual og viser det målte tals afvigelse fra modellen. 48. Valg af model Vi skal vælge modellen sådan at residualerne bliver små. På den nederste figur er de fem residualer vist med rødt For at få et mål for hvor godt modellen passer, gør vi sådan: Hver residual opløftes til anden, og resultaterne lægges sammen: 1,4 + (,9) + ( 0,) + 3,5 +( 1.8) = 5,9 Kvadratsummen 5,9 er det samlede areal af de gule kvadrater. Når vi laver lineær regression, vælger computeren den lineære funktion som giver den laveste kvadratsum. Metoden kaldes mindste kvadraters metode. Funktioner 3. del Karsten Juul

35 48.3 Residualspredning 48.3a Residualspredning, definition Lad n betegne antal x-værdier i tabellen. Der er n residualer: r1, r,, rn. Residualspredningen er tallet s = r1 r r n n 48.3b Residualspredning, eksempel For eksemplet i 48. er residualspredningen. 5,9 s = =,9385,9. 5 Dette tal er lille i forhold til tabellens y-værdier. Hvis dette ikke var tilfældet, ville det tyde på at modellen ikke var så anvendelig. 48.3c Residualspredning, Nspire Normalt lader vi Nspire udregne s. Metode 1 Når x-søjle og y-søjle er tastet, vælger vi i værktøjsmenuen: Statistik / Statistiske tests / Lineær regressions t-test. Vi ser at s =,9385. Det er samme resultat som det vi fik ovenfor. Metode 48.4 Opgave med besvarelse Tabellen viser udviklingen i antallet af ansatte de første fem år. År efter start: Antal: I en model kan udviklingen i antallet af ansatte beskrives ved f (t) = at + b hvor f (t) betegner antallet af ansatte t år efter firmaets start. Bestem a og b ved regression, og brug residualplottet og residualspredningen til at vurdere modellens anvendelighed til at beskrive udviklingen. Besvarelsen står på næste side! Funktioner 3. del Karsten Juul

36 Besvarelse f (t) = at + b er antal ansatte t år efter firmaets start. I x-søjlen år taster vi år efter start, og i y-søjlen antal taster vi antal ansatte. Nspire laver lineær regression og får a = 11,7714 og b = 16,381. Nspire udregner residualspredning og får s = 0, Det ser ud til at modellen er anvendelig da: - Residualplottet viser ikke en systematisk afvigelse mellem faktiske tal og modellens tal. - Residualspredningen er lille i forhold til y-tallene (antal ansatte) da de er 16 og større. Funktioner 3. del Karsten Juul

37

38

39

40 A andengradsligning, bevis andengradsligning, løsninger andengradspolynomium andengradspolynomium, graf andengradsregression... 1 B betydning af a, b, c, d for graf bevis bevis, betydning af b C cos cos i forskrift cosinus som funktion , 16 D diskriminant , 115, 116, 117 F faktor faktorisere faktorisering, bevis forskrift, bestem forskyde graf for ax , 111 forskydning af graf , 101 G gaffelforskrift graf, betydning af a, b, c, d graf, nulpunkt L lineær regression lodret forskydning løsninger, antal , 116 M mindste kvadraters metode N nulpunkt , 108 nulpunkter, antal , 116, 117 P parabel parabel og x -graf periode polynomium polynomium, regression... 1 R regression... 1, 17 residual residualplot residualspredning... 18, 19 rod rødder rødder, antal S sammensat funktion sin sin i forskrift sinus som funktion , 16 symmetri i parabel T tegn graf uden hjælpemidler toppunkt , 11 V vandret forskydning

Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.

Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2

Læs mere

Funktioner. 1. del Karsten Juul

Funktioner. 1. del Karsten Juul Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...

Læs mere

Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul

Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Funktioner. 2. del Karsten Juul

Funktioner. 2. del Karsten Juul Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.

Læs mere

Andengradspolynomier - Gymnasienoter

Andengradspolynomier - Gymnasienoter - Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering

Læs mere

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode 1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem

Læs mere

Deskriptiv statistik for hf-matc

Deskriptiv statistik for hf-matc Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Deskriptiv statistik for matc i stx og hf

Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Louise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde

Louise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde Louise F Jensen VUC Roskilde 1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Undervisningstid VUC Vestegnen, Albertslund Gymnasievej

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.

20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2. 17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1 Side 1 Funktion Opgaverne med svar starter på side 2, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 3 med et s foran nummeret. 1001 Figuren viser grafen

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Projekt 8.1 Andengradspolynomier og andengradsligningen

Projekt 8.1 Andengradspolynomier og andengradsligningen ISBN 978877066879 Projekt 8.1 Andengradspolynomier og andengradsligningen (Dette projekt er hentet fra kapitel i B-bogen. Det rummer således en mulighed for at gøre arbejdet med andengradspolynomier færdig

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Kapitel 8. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse 8.2

Kapitel 8. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse 8.2 Kapitel 8 Øvelse 8.2 Til Maria Pia broen bruger vi de tre punkter (0,0), (80,60) og (160,0). Disse er indtegnet i et koordinatsstem og vi har lavet andengradsregression. Og Garabit broen: Øvelse 8.8 Definitionsmængden

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning   De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Procent og rente Karsten Juul

Procent og rente Karsten Juul Procent og rente 2018 Karsten Juul 1. Procent 1.1 Oplæg til procent... 1 1.2 Udregn procent... 2 1.3. Udregn procent-ændring... 2 1.4 Udregn procent-fald... 3 1.5 Udregn procent-stigning... 3 1.6. Udregn

Læs mere

Projekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri Hvad er matematik? Projekt 3. Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomium p ( x) = a x + x + c altid er symmetrisk omkring

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( ) Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,

Læs mere

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018 Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde

Læs mere

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Matematik i grundforløbet

Matematik i grundforløbet Mike Vandal Auerbach Matematik i grundforløbet y x www.mathematicus.dk Matematik i grundforløbet. udgave, 208 Disse matematiknoter er skrevet til matematikundervisningen i grundforløbet (som det ser ud

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Pointen med Differentiation

Pointen med Differentiation Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Nspire opskrifter (Ma)

Nspire opskrifter (Ma) Nspire opskrifter (Ma) 18. maj 2018 1. Funktioner 1.1 Definér funktion 1.2 Bestem funktionsværdi 1.3 Tegn graf for funktion 1.4 Udfør regression 1.5 Find skæringspunkter mellem to grafer 2. Ligninger 2.1

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Elementær Matematik. Funktioner og deres grafer

Elementær Matematik. Funktioner og deres grafer Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2019, eksamen maj / juni 2019 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Stx matematik B maj 2009

Stx matematik B maj 2009 Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

for gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 6. december 2013 kl stx133-mat/a

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 6. december 2013 kl stx133-mat/a Matematik A Studentereksamen stx133-mat/a-06122013 Fredag den 6. december 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere