Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)"

Transkript

1 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl

2 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal. Udover et tals værdi, a, skal vi betragte dets binære representation A, som er et array hvori værdierne er enten 0 eller 1. De mindst-betydende cifre står til venstre. Eksempelvis har tallet a = 57 den binære representation A : [1, 0, 0, 1, 1, 1]. Hvis den binære repræsentation af et tal indeholder n cifre, betegner vi den som sædvanligt med A[0..n], ligesom A[0..k] betegner den del af tallet der består af de k mindst-betydende cifre. I eksemplet ovenfor er A[0..6] lig med 57, medens A[0..4] er lig med 9. Endelig bruger vi den sædvanlige notation + og for addition og multiplikation af heltal. Spørgsmål a: Bevis at der for vilkårlige positive heltal a, b og for k > 0 gælder a B[0..(k + 1)] = a B[0..k] + a B[k] 2 k, hvor B angiver den binære representation af b. Betragt nu følgende algoritme. Algoritme: Heltalsmultiplikation Input : a, b, positive heltal, med b givet ved sin binære repræsentation B. Output : S = a b Metode : S 0; k 0; {I}while k < B do S S + a B[k]; a 2 a; k k + 1 Spørgsmål b: Angiv en passende gyldig invariant I, og angiv hvilke bevisbyrder, der skal eftervises i et gyldighedsbevis. Spørgsmål c: Eftervis bevisbyrderne fra spørgsmål b, og argumenter for at algoritmen er korrekt.

3 Opgave 2 (25%) En internet-søgemaskine opbevarer en stor delmængde af de tilgængelige websider på internettet. Siderne kan opfattes som en orienteret graf, hvor grafens knuder svarer til web-siderne og hvor der findes en kant fra en knude u til en knude v hvis og kun hvis der på siden svarende til u er et link til siden svarende til v. Hvis en forespørgsel til en søgemaskine resulterer i flere mulige svar i form af en liste af relevante web-sider, så ønskes disse sorteret efter aftagende relevans. I denne opgave betragtes tre mulige mål for relevansen af en side, alle baseret på den intution at en side er relevant, hvis mange andre sider refererer til den. Nedenstående tre spørgsmål beskæftiger sig hvert med eet af disse mål. Et eksempel med alle tre mål findes sidst i opgaven. Vi antager i det følgende at grafen er givet ved adjacency list repræsentationen og at der som sædvanligt er henholdsvis n knuder og m kanter i grafen. Længden af en sti i grafen er som sædvanligt antallet af kanter der indgår i stien. Afstanden fra en knude u til en knude v er længden af den korteste sti fra u til v, og betegnes d(u, v). Hvis der ingen sti findes fra u til v, er d(u, v) =. Spørgsmål a: Beskriv en algoritme, der beregner indgraden af hver knude i grafen. Hvad er udførselstiden for algoritmen som funktion af n og m? Spørgsmål b: Beskriv en algoritme, der for hver knude v beregner for hvor mange knuder u (u v) der findes en sti fra u til v. Hvad er udførselstiden for algoritmen? Spørgsmål c: Beskriv en algoritme, der for hver knude v beregner summen ( 1 d(u,v), 2) u N(v) hvor N(v) er de knuder u som opfylder u v d(u, v). D.v.s. en knude med afstand k til v bidrager med ( 1 2 )k til summen for v. Hvad er udførselstiden af algoritmen? Eksempel: Tabellen nedenfor angiver de beregnede værdier i spørgsmål a til c for nedenstående graf. Indgangen med 5/4 fremkommer ved at d(0, 5) = d(1, 5) = 3, d(4, 5) = d(6, 5) = 2, og d(3, 5) = 1. Summen for 5 er derfor 2 (1/2) 3 +2 (1/2) 2 + (1/2) 1 = 5/ v a b c 1/2 0 3/2 3/2 1 5/4 1

4 Opgave 3 (25%) Betragt en mængde {x 1, x 2,...,x n } af n forskellige tal (n 2). Opstillet i numerisk orden x i1 < x i2 <... < x in kalder vi (x ij, x ij+1 ) et nabo-par med afstand d j = x ij+1 x ij, og kalder for mængdens min-afstand. d = min{d j 1 j n 1} Spørgsmål a: Angiv min-afstand for nedenstående mængde. {4, 26, 1, 10, 23, 17} Spørgsmål b: Beskriv hvordan man givet en mængde af n forskellige tal kan finde min-afstand i tid O(n logn). Vi ønsker nu at vedligeholde en mængde S under følgende operationer. insert(x) : Indsæt tallet x i mængden. delete(x) : Slet tallet x fra mængden. min-afstand() : Returner min-afstanden for den aktuelle mængde. Spørgsmål c: Beskriv hvorledes et balanceret søgetræ kan udvides så insert og delete tager tid O(log n) og min-afstand tager tid O(1), hvor n betegner antal tal i mængden før operationen udføres. Vi ønsker nu at tilføje en operation interval-min-afstand(y 1, y 2 ), der returner min-afstand for mængden [y 1, y 2 ] S. Eksempel: interval-min-afstand(2, 23) på overstående mængde returnerer 6, hvilket er afstanden for både nabo-parret (4, 10) og naboparret (17, 23). Spørgsmål d: Beskriv hvordan man til operationerne fra spørgsmål c kan tilføje operationen interval-min-afstand, således at min-afstand udføres i tid O(1) og de tre andre operationer i tid O(log n).

5 Opgave 4 (25%) I denne opgave betragtes en mængde positive heltal x 1, x 2,...,x n, hvis sum er lig S. Vi ønsker at udvikle en algoritme, der kan finde en delmængde af tallene, hvis sum kommer tættest muligt på S/2. Betragt følgende udsagn: U(s, k): Der findes en delmængde af x 1, x 2,...,x k, hvis sum er lig med s. Spørgsmål a: Lad {x 1, x 2 } = {1, 3}. Udfyld følgende tabel med sandhedsværdierne for U(s, k) for 0 s 4 og 0 k 2. k s Det påstås at U(s, k) opfylder følgende rekursionsformel. U(s, k) = True hvis s = 0 False hvis (s > 0) (k = 0) U(s, k 1) hvis x k > s U(s, k 1) U(s x k, k 1) hvis x k s Spørgsmål b: Argumenter for denne påstand. Spørgsmål c: Angiv en algoritme baseret på dynamisk programmering, der givet x 1, x 2,...,x n, S og K beregner alle værdier U(s, k) for 0 s S og 0 k K. Argumenter for algoritmens udførelsestid. Spørgsmål d: Hvordan kan man udvide algoritmen ovenfor til at finde en delmængde af tallene x 1, x 2,...,x n hvis sum er tættest muligt på S/2?

6 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 13. august 2002, kl

7 Opgave 1 (25%) Betragt følgende algoritme, som kvadrerer et positivt heltal ved udelukkende at anvende addition, subtraktion og halvering af lige tal. Algoritme : Kvadrering Input : heltal A 1 Output : r = A 2 Metode : a 1; b 0; c 0; x A; { A 2 = ax 2 + bx + c x 1 } while x > 1 do if x er lige then a a + a + a + a; b b + b; x x/2 else c c + a + b; b b + a + a; x x 1 r a + b + c Spørgsmål a: Angiv hvilke bevisbyrder der skal eftervises i et gyldighedsbevis for algoritmen. Spørgsmål b: Eftervis bevisbyrderne fra spørgsmål a, og argumenter for at algoritmen er korrekt. Spørgsmål c: Hvad er udførselstiden for algoritmen?

8 Opgave 2 (25%) Betragt følgende graf en såkaldt H(2)-graf som består af 2 dobbelt-sekskanter, ( ) omgivet af 3 enkelt-sekskanter ( ). Dette er et specialtilfælde af de mere generelle H(k)-grafer, som består af k dobbelt-sekskanter omgivet af k + 1 enkelt-sekskanter. Spørgsmål a: Angiv udtrykt ved k antallet af knuder og kanter i en H(k)-graf. Betragt nu en vægtet H(k)-graf, hvor de vandrette kanter i enkelt-sekskanterne har vægt 1 (øverst) og 3 (nederst), og hvor alle andre kanter i såvel enkelt- som dobbelt-sekskanterne har vægt 2. Eksempelvis har H(1)-grafen vægtet på denne måde følgende udseende Spørgsmål b: Tegn en sådan vægtet H(2)-graf og angiv et letteste udspændende træ for grafen. Spørgsmål c: Angiv vægten af et letteste udspændende træ for en sådan vægtet H(k)-graf. Argumenter for svaret. (Vink: Husk at for en sammenhængende graf med n knuder indeholder et letteste udspændende træ n 1 kanter). Lad N > 3 være et vilkårligt heltal og betragt vægtede H(k)-grafer hvor alle øvre vandrette kanter i enkelt-sekskanterne har vægt 1 og alle de nedre vandrette kanter i enkelt-sekskanterne har vægt N (N erstatter 3), og hvor alle andre kanter i grafen har vægte der er strengt større end 1 og strengt mindre end N (vægtene kan være forskellige). Spørgsmål d: Angiv en algoritme med udførselstid lineær i grafens størrelse, der finder et letteste udspændende træ for en sådan graf. Argumenter for at algoritmen er korrekt. Antag at grafen som sædvanligt er givet ved en adjacency list repræsentation

9 Opgave 3 (25%) I denne opgave betragter vi mængder af tal hvor hvert tal enten er blåt eller gult. For en mængde af n tal x 1 < x 2 < < x n, er [x i, x j ] et maksimalt blåt interval hvis x i, x i+1,...,x j alle er blå og x i 1 er gult eller i = 1, og x j+1 er gult eller j = n. Tilsvarende defineres maksimale gule intervaller. Spændvidden af et maksimalt interval [x i, x j ] er differencen x j x i. Bemærk at et maksimalt interval, der kun indeholder ét element, har spændvidde 0. Spørgsmål a: Angiv de i alt 6 maksimale blå og gule intervaller for mængden, { 1, 3, 4, 6, 8, 9, 13, 14, 18, 29, 31, 42, 57, 59, 63 }, hvor x i angiver at x i er blåt. Angiv også spændvidderne af de seks maksimale intervaller. Spørgsmål b: Beskriv en algoritme, der givet en sorteret liste af n blå og gule tal kan finde de maksimale blå og gule intervaller i tid O(n). Vi ønsker nu at vedligeholde en mængde af farvede tal under følgende operationer. insert(x, c) : Indsæt tallet x i mængden og giv det farven c. delete(x) : Slet tallet x fra mængden. count() : Returner antal maksimale intervaller (både blå og gule) i mængden. Spørgsmål c: Beskriv en datastruktur, der understøtter insert og delete i tid O(log n) og count i tid O(1), hvor n betegner antal tal i mængden før operationen udføres. Spørgsmål d: Beskriv hvorledes datastrukturen kan udvides så den understøtter en operation sum der returnerer summen af spændvidderne af de maksimale intervaller i tid O(1).

10 Opgave 4 (25%) I denne opgave antager vi at n og S er positive heltal, og at C 1, C 2,...,C n er mængder af positive heltal, hvor hver mængde højest indeholder S positive heltal. Vi ønsker at afgøre om vi kan udtage ét element fra hver mængde således at deres sum er S, dvs. om der findes n elementer, x 1, x 2,...,x n, hvor x i C i, således at ni=1 x i = S. Betragt følgende udsagn for 0 k n og 0 s S: U(k, s) : Der findes x 1 C 1, x 2 C 2,...,x k C k således at k i=1 x i = s. Spørgsmål a: Lad n = 3, S = 7, C 1 = {1, 2, 4}, C 2 = {2, 3, 5}, og C 3 = {3, 4}. Udfyld nedenstående tabel med sandhedsværdierne for U(k, s) for 0 k n og 0 s S. s k Det påstås, at U(k, s) opfylder følgende rekursionsformel. U(k, s) = True hvis (k = 0) (s = 0) False hvis (k = 0) (s > 0) True hvis (k > 0) der findes y C k : (y s) U(k 1, s y) False ellers Spørgsmål b: Argumenter for denne påstand. Spørgsmål c: Angiv en algoritme, baseret på dynamisk programmering, der givet C 1, C 2,...,C n og S beregner værdien U(n, S). Argumenter for algoritmens udførselstid.

11 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl

12 Opgave 1 (25%) For konstanten π = gælder identiteten π 2 6 = = 1 2 i 2 Følgende algoritme beregner summen af de første n led i ovenstående sum, d.v.s Algoritme : π 2 /6 Input : heltal n 1 Output Metode : p 1; q 1; k 1; { p q = k n i=1 1 i 2 : heltal p og q, hvor p q = n i=1 1 i 2 i=1 } 1 k n while k < n do i=1 i 2 k k + 1; p p k k + q; q q k k Spørgsmål a: Angiv hvilke bevisbyrder der skal eftervises i et gyldighedsbevis for algoritmen. Spørgsmål b: Eftervis bevisbyrderne fra spørgsmål a. Spørgsmål c: Bevis at algoritmen er korrekt. Spørgsmål d: Hvor mange bits kræves til repræsentation af heltallene p henholdsvis q udtrykt som funktion af n i O-notation?

13 Opgave 2 (25%) Lad x 1 < x 2 < < x n være n heltallige elementer, og lad til hvert x i være tilknyttet en heltallig værdi y i. De n elementer og deres tilknyttede værdier kan opfattes som n punkter (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...,(x n, y n ) i planen. Opgaven beskæftiger sig med at understøtte operationen MinElementAbove(t) som returnerer det mindste element x i, hvis tilhørende værdi y i er større end eller lig med t, eller meddeler at der ikke findes et sådant element. I nedenstående figur er det returnerede element x-koordinaten af det markerede punkt. t y x Spørgsmål a: Hvad er MinElementAbove(10) for punkterne (4,9), (5,17), (19,6), (23,10), (25,15), (40,7)? I det følgende betragtes en udvidelse af rød-sorte søgetræer til opbevaring af elementerne. Lad v.x være elementet gemt i knuden v. Hver knude v udvides til også at gemme værdien v.y knyttet til v.x, og den største værdi, v.y max, tilknyttet en knude i undertræet med rod i v. Nedenstående er et udvidet rød-sort søgetræ for punkterne fra spørgsmål a. I knuderne er øverst angivet x, y og nederst y max. Røde knuder er markeret med dobbelt-cirkler. 19,6 17 4, , , , ,7 7 Spørgsmål b: Beskriv hvordan et udvidet rød-sort søgetræ kan vedligeholdes under indsættelse og sletning af elementer (og tilknyttede værdier) i tid O(log n). Spørgsmål c: Beskriv hvordan MinElementAbove(t) kan udføres i tid O(log n). Argumenter for algoritmens udførselstid og korrekthed.

14 Opgave 3 (25%) Givet to strenge S = S[1]S[2] S[n] og U = U[1]U[2] U[k], så er U en supersekvens for S hvis S er en delsekvens af U. For eksempel er ACACTGTA en supersekvens for A C C T (understregning angiver en sekvens af matchende positioner). I det følgende angiver S og T to strenge af længde henholdsvis n og m. En streng U er en korteste fælles super-sekvens for S og T, hvis U er en super-sekvens for både S og T, og der findes ikke en kortere streng der er en super-sekvens for både S og T. Spørgsmål a: Argumenter for at en korteste fælles super-sekvens for S og T har længde højest n + m, og for at en korteste fælles super-sekvens ikke altid er entydig. Lad C(i, j) betegne længden af en korteste fælles super-sekvens for S[1]S[2] S[i] og T[1]T[2] T[j] for 0 i n og 0 j m. Det påstås at C(i, j) opfylder følgende rekursionsformel. max{i, j} hvis (i = 0) (j = 0) C(i, j) = 1 + C(i 1, j 1) hvis (i > 0) (j > 0) S[i] = T[j] 1 + min{c(i, j 1), C(i 1, j)} hvis (i > 0) (j > 0) S[i] T[j] Spørgsmål b: Argumenter for ovenstående påstand. Spørgsmål c: Angiv en algoritme, baseret på dynamisk programmering, der givet S og T finder længden af en korteste fælles super-sekvens. Argumenter for algoritmens udførselstid. Spørgsmål d: Udvid algoritmen til også at finde en korteste fælles super-sekvens for S og T.

15 Opgave 4 (25%) En gitter-graf er en orienteret graf hvor knuderne er arrangeret i k rækker hver indeholdende k knuder, hvor k er et positivt heltal. Lad v i,j betegne den jte knude i den ite række. Lad s = v 1,1. En gitter-graf har følgende knuder og kanter: V = {v i,j 1 i k 1 j k} E = {(v i,j, v i,j+1 ) 1 i k 1 j < k} {(v i,j, v i,j 1 ) 1 i k 1 < j k} {(v i,j, v i+1,j ) 1 i < k 1 j k} Nedenstående figur viser gitter-grafen for k = 5. s I resten af denne opgave antager vi at alle kanter har en ikke-negativ vægt. Spørgsmål a: Lad n og m betegne henholdsvis antallet af knuder og kanter i en gitter-graf. Udtryk n og m som funktion af k. Spørgsmål b: Hvad er udførselstiden for Dijkstra s algoritme for at finde længden af de korteste veje fra s = v 1,1 til alle de øvrige knuder i en gitter-graf som funktion af k? Spørgsmål c: Beskriv en algoritme der finder længden af de korteste veje fra s = v 1,1 til alle de øvrige knuder i en gitter-graf i tid O(m). Argumenter for algoritmens udførselstid og korrekthed. En cylinder-graf er en gitter-graf udvidet med ikke-negative vægtede kanter mellem den venstre og højre knude i hver række, d.v.s. E indeholder også kanterne (v i,1, v i,k ) og (v i,k, v i,1 ) for 1 i k. Spørgsmål d: Beskriv en algoritme der finder længden af de korteste veje fra s = v 1,1 til alle de øvrige knuder i en cylinder-graf i tid O(m). Argumenter for algoritmens udførselstid og korrekthed.

16 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Onsdag den 13. august 2003, kl

17 Opgave 1 (25%) Lad A = A[1] A[n] være et array af heltal. Længden af det længste sammenhængende delarray af A hvor alle indgange er identiske betegnes LID(A). Længden af det længste suffix af A hvor alle indgange er identiske betegnes LIDS(A). Eksempel: LID(1,2,3,3,2,2,1,1,1,1,1,2,2,4,4,2,2,2,2) = 5 LIDS(1,2,3,3,2,2,1,1,1,1,1,2,2,4,4,2,2,2,2) = 4 Betragt følgende algoritme: Algoritme : LID Input: A : Array af længde n, hvor n 1 Output: m : LID(A) Metode: r 1; m 1; i 1; { I } while i < n do Update ; i i + 1; hvor I er invarianten (r = LIDS(A[1] A[i])) (m = LID(A[1] A[i])) (i n) Spørgsmål a: Angiv hvilke bevisbyrder der skal eftervises i et gyldighedsbevis for algoritmen. Spørgsmål b: Angiv konkret kode for Update, således at bevisbyrderne fra spørgsmål a kan eftervises. Spørgsmål c: Eftervis bevisbyrderne fra spørgsmål a, og argumenter for at algoritmen er korrekt.

18 Opgave 2 (25%) Lad x 1, x 2,, x n være n forskellige heltallige elementer. Opgaven beskæftiger sig med at understøtte rang-baserede operationer. Operationen rank(y) skal returnere antallet af elementer blandt x 1,...,x n der er mindre end eller lig med y, dvs. {i x i y}. Operationen atrank(r) skal, for 1 r n, returnere det rte mindste element blandt x 1,...,x n, dvs. det x j hvor rank(x j ) = r. I det følgende betragtes en udvidelse af rød-sorte søgetræer til opbevaring af elementerne. Lad v.x være elementet gemt i knuden v. Hver knude v udvides til også at gemme v.s, der angiver antallet af elementer gemt i undertræet med rod i v. Nedenstående er et udvidet rød-sort søgetræ for elementerne 3,5,8,11,14,17. I knuderne er øverst angivet v.x og nederst v.s. Røde knuder er markeret med dobbelt-cirkler. I det givne eksempel er rank(10) = 3 og atrank(5) = Spørgsmål a: Beskriv hvordan rank(y) og atrank(r) kan udføres i tid O(log n). Argumenter for algoritmernes udførselstid og korrekthed. Spørgsmål b: Beskriv hvordan en operation Count(y, z), der returner antallet af elementer i intervallet ]y ; z], dvs. {i y < x i z}, kan udføres i tid O(log n). Argumenter for algoritmens udførselstid og korrekthed. Spørgsmål c: Beskriv hvordan et sådant udvidet rød-sort søgetræ kan vedligeholdes under indsættelse og sletning af elementer i tid O(log n).

19 Opgave 3 (25%) Betragt følgende situation: En tømrer ønsker at udmåle en bestemt længde, men har glemt sin tommestok. Til gengæld har han forskellige æsker med søm i kendte størrelser, og får den idé at udmåle længden ved at lægge søm på række efter hinanden. I denne opgave ønsker vi at beregne, hvilke længder tømreren kan udmåle med en given beholdning af søm. Vi antager at der er K æsker med søm, og at der i æske nummer i er n i søm, alle med en længde på l i centimeter. Vi ønsker at afgøre om der findes en delmængde af sømmene, hvis samlede længde er S centimeter, dvs. om der findes heltal x 1,...,x K, hvor 0 x i n i, således at K i=1 x i l i = S. Vi antager at S og l i erne alle er positive heltal. Betragt følgende udsagn U(k, s) for 0 k K og 0 s S: U(k, s) : Der findes heltal x 1,...,x k, hvor 0 x i n i, så k i=1 x i l i = s. Spørgsmål a: Lad S = 10, K = 3, l 1 = 1, l 2 = 5, l 3 = 4, n 1 = 3, n 2 = 1, og n 3 = 25. Udfyld nedenstående tabel med sandhedsværdierne for U(k, s) for 0 k K og 0 s S. s k Det påstås at U(k, s) opfylder følgende rekursionsformel. U(k, s) = Sand hvis k = 0 s = 0 Falsk hvis k = 0 s > 0 Sand hvis k > 0 der findes x k : (0 x k n k ) (x k l k s) U(k 1, s x k l k ) Falsk ellers Spørgsmål b: Argumenter for ovenstående påstand. Spørgsmål c: Angiv en algoritme, baseret på dynamisk programmering, der beregner værdien U(K, S). Argumenter for algoritmens udførselstid.

20 Opgave 4 (25%) En s t-lagdelt graf er en orienteret graf hvor knuderne er arrangeret i s rækker hver indeholdende t knuder, hvor s og t er positive heltal. Lad v i,j betegne den jte knude i den ite række. En s t-lagdelt graf har følgende knuder og kanter: V = {v i,j 1 i s 1 j t} E = {(v i,j, v i+1,k ) 1 i < s 1 j t 1 k t} Nedenstående figur viser en 5 3-lagdelt graf. v 1,1 Spørgsmål a: Lad n og m betegne henholdsvis antallet af knuder og kanter i en s t-lagdelt graf. Hvad er n og m som funktioner af s og t? Vi antager nu at alle kanter har en ikke-negativ vægt. Hvad er udførselstiden som funktion af s og t for Dijkstra s algoritme til at finde korteste afstand fra v 1,1 til alle de øvrige knuder i en s t-lagdelt graf? I resten opgaven antages at vægtene på kanterne er reelle tal (både positive og negative). Spørgsmål b: Beskriv hvordan man kan finde korteste afstand fra v 1,1 til alle de øvrige knuder i en s t-lagdelt graf i tid O(st 2 ). Spørgsmål c: Angiv som funktion af s og t udførselstiden i en s t-lagdelt graf for den variant af Floyd-Warshalls algoritme, der finder korteste afstand mellem alle par af knuder. Anvend løsningen fra spørgsmål b til at beskrive en mere effektiv algoritme, og argumenter for dennes udførselstid. Spørgsmål d: Når kanterne kan have negative vægte, vil Dijktra s algoritme ikke nødvendigvis finde korteste afstand fra v 1,1 til alle de øvrige knuder. Angiv en vægtet 3 2-lagdelt graf hvor Dijkstra s algoritme fejler, og argumenter for at den fejler på denne graf.

21 DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Onsdag den 11. august 2004, kl Eksamenslokale: Trøjborg-komplekset, Niels Juelsgade 84, lok. 139, 8200 Århus N Tilladte medbragte hjælpemidler: Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger og notater) Materiale der udleveres til eksaminanden: OPGAVETEKSTEN BEGYNDER PÅ NÆSTE SIDE ooo

22 Eksamen august 2004 Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Skriftlig prøve Side 2 af 6 sider Opgave 1 (25%) I denne opgave betragtes nedenstående algoritme, der givet et input array indeholdende 0-1 værdier, beregner længden af det længste delarray hvor alle indgange indeholder værdien 1. Algoritme Ones(A) Inputbetingelse : Array A af længde n 0 indeholdende 0-1 værdier Outputkrav : m = MaxOnes(A) Metode : i 0; m 0; l 0; {I} while i < n do if A[i] = 1 then l l + 1; m max{l, m} else l 0 i i + 1 hvor I er invarianten l = MaxSuffixOnes(A[0..i]) m = MaxOnes(A[0..i]) 0 i n Her betegner A[0..i] = A[0]A[1] A[i 1], MaxOnes(X) længden af det længste delarray af X kun indeholdende værdien 1, og MaxSuffixOnes(X) længden af det længste suffix af X kun indeholdende værdien 1. For nedenstående eksempel er MaxOnes(A) = MaxOnes(A[8..14]) = 6 og f.eks. er MaxSuffixOnes(A[0..17]) = MaxOnes(A[15..17]) = A Spørgsmål a: Hvilke værdier får l tildelt i linien l l + 1; i løbet af algoritmen, og hvor mange gange tildeles l de forskellige værdier på ovenstående eksempel? Spørgsmål b: Angiv hvilke bevisbyrder der skal eftervises i et gyldighedsbevis for algoritmen. Spørgsmål c: Eftervis bevisbyrderne fra spørgsmål b, og argumenter for at algoritmen er korrekt. (Opgavesættet fortsætter)

23 Eksamen august 2004 Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Skriftlig prøve Side 3 af 6 sider Opgave 2 (25%) I denne opgave betragtes en datastruktur til at opbevare en mængde af intervaller, og som understøtter forespørgsler om et punkt q er indeholdt i mindst et interval. For intervallerne [2, 9], [14, 21], [17, 30], [33, 39], [35, 58], [41, 50], [45, 54], [52, 62] gælder at f.eks. q = 10 ikke er indeholdt i et interval, hvorimod q = 53 er indeholdt i mindst et interval (faktisk tre intervaller, men dette er uvæsentligt for denne opgave). Datastrukturen for at opbevare intervallerne er et (balanceret) søgetræ, hvor hver indre knude opbevarer et interval og hvor intervallerne er gemt sorteret efter intervallernes venstre endepunkt. Hver knude opbevarer desuden en værdi r max, som er det maksimale højre endepunkt der er opbevaret i knudens undertræ. Nedenstående viser datastrukturen for ovenstående intervaller, hvor der for hver knude øverst er angivet knudens interval og nederst er angivet knudens r max værdi. 33, , ,9 17, , ,58 52, ,50 50 Spørgsmål a: Tegn en tilsvarende datastruktur for intervallerne [21, 23], [1, 6], [18, 20], [11, 13], [17, 19], [3, 8], [5, 10], [22, 24] Spørgsmål b: Beskriv hvordan et nyt interval [l, r] kan indsættes i ovenstående datastruktur, hvor det antages at træet ikke kræves balanceret efter indsættelsen. Spørgsmål c: Beskriv hvordan man under indsættelser af nye intervaller i tid O(log n) kan holde ovenstående datastruktur balanceret, d.v.s at træets højde er O(log n). Spørgsmål d: Beskriv en rekursiv procedure Covered(q), der afgør om et punkt q er indeholdt i mindst et interval. Procedurens udførelsestid skal være O(h), hvor h er træets højde. (Opgavesættet fortsætter)

24 Eksamen august 2004 Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Skriftlig prøve Side 4 af 6 sider Opgave 3 (25%) I denne opgave betragtes (r, k) gitter-grafer, som er orienterede grafer hvor knuderne er arrangeret i et gitter med r rækker og k søjler. Hver knude v har en kant til knuden umiddelbart nedenunder v i v s søjle (såfremt v ikke er i den nederste række) og en kant til knuden umiddelbart til højre for v (såfremt v ikke er i søjlen længst til højre). Den øverste venstre knude betegnes s og knuden nederst til højre betegnes t. Nedenstående er en (5, 8) gitter-graf. s t I det følgende antages alle kanter at have en ikke negativ vægt. Spørgsmål a: Angiv antal kanter m og antal knuder n i en (r, k) gitter-graf som funktion af r og k. Angiv udførelsestiden af Dijkstra s algoritme til at finde de korteste afstande fra s til t. Spørgsmål b: Angiv en algoritme med udførelsestid O(n), der beregner den korteste afstand fra s til t i en (r, k) gitter-graf. Spørgsmål c: Angiv en algoritme med udførelsestid O(n), der beregner længden af den længste sti fra s til t i en (r, k) gitter-graf. Antag nu at kanterne også kan have en negativ vægt. Spørgsmål d: Angiv en algoritme der beregner længden af den længste sti i en (r, k) gitter-graf. Angiv algoritmes udførelsestid. Bemærk at stien ikke behøver at gå fra s til t. (Opgavesættet fortsætter)

25 Eksamen august 2004 Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Skriftlig prøve Side 5 af 6 sider Opgave 4 (25%) I denne opgave betragtes to strenge S = s 1 s 2 s n T = t 1 t 2 t m af længde henholdsvis n og m. Vi ønsker at finde den fælles delsekvens for S og T der opnår den maksimale blok-score, som er defineret nedenfor. Antag at en fælles delsekvens for S og T kan deles op i p blokke B 1,...,B p, hvor B i er en sammenhængende delsekvens i både S og T. Vi definerer blok-scoren af opdelingen som B 1 + B B p p Den maksimale blok-score er blok-scoren af den fælles delsekvens for S og T der har den maksimale blok-score. For eksempel har nedenstående to strenge en maksimal blokscore på = 7. Kasserne angiver opdelingen i blokke af den fælles delsekvens for S og T. S = ab cc baca ba abad T = ab aba baca abad ad Vi definerer nu: B(i, j) = den maksimale blok-score af s 1 s 2 s i og t 1 t 2 t j. Spørgsmål a: Lad S = bbcba og T = bccbba. Udfyld følgende tabel for B(i, j) for 0 i 5 og 0 j 6. i j (Opgavesættet fortsætter)

26 Eksamen august 2004 Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Skriftlig prøve Side 6 af 6 sider Det påstås at B(i, j) opfylder følgende rekursionsformel: B(i, j) = 0 hvis i = 0 j = 0 max{b(i, j 1), B(i 1, j)} hvis s i t j max{b(i, j 1), B(i 1, j), B(i k, j k) + k 1} hvis s i = t j k 1 er maksimal så: s i = t j s i 1 = t j 1 s i k+1 = t j k+1 Spørgsmål b: Beskriv en algoritme baseret på dynamisk programmering, der givet to strenge S og T af længde henholdsvis n og m, beregner B(n, m), d.v.s. den maksimale blok-score for strengene S og T. Angiv algoritmens udførelsestid. Spørgsmål c: Beskriv en udvidelse af algoritmen fra spørgsmål b til også at rapportere en fælles delsekvens af S og T der har maksimal blok-score. Angiv algoritmens udførelsestid.

27 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Fredag den 28. maj 2004, kl

28 Opgave 1 (20%) En (r, k) kryds-graf er en orienteret graf med r rækker af k knuder, hvor knude j i række i, for 1 i < r, har en kant til knude j 1 i række i + 1, for 1 < j k, og en kant til knude j +1 i række i+1, for 1 j < k. Desuden findes en knude s, der har kanter til alle knuder i den første (nederste) række, og en knude t, der har kanter fra alle knuder i den sidste (øverste) række. Lad m betegne antal kanter og n antal knuder i en (r, k) kryds-graf Nedenstående viser en (4, 5) kryds-graf. t s Spørgsmål a: Angiv antal kanter m og antal knuder n i en (r, k) kryds-graf som funktion af r og k. Antag alle kanter har en ikke negativ vægt. Angiv udførselstiden af Dijkstra s algoritme til at finde de korteste afstande fra s til alle de øvrige knuder som funktion af r og k. Spørgsmål b: Angiv en (1, 2) kryds-graf med positive og negative vægtede kanter, hvor Dijkstra s algoritme beregner en forkert afstand fra s til t. Angiv for hver knude i eksemplet de korrekte afstande fra s samt de afstande Dijkstra s algoritme beregner. Spørgsmål c: Angiv en algoritme med udførselstid O(n) til at beregne de korteste afstande fra s til alle de øvrige knuder i en (r, k) kryds-graf med positive og negative vægtede kanter. Argumenter for algoritmens udførselstid.

29 Opgave 2 (20%) En cyklisk (r, k) kryds-graf er en orienteret graf med r rækker af k knuder, hvor knude j i række i, for 1 i < r, har en kant til knude j 1 i række i + 1, for 1 < j k, og en kant til knude j + 1 i række i +1, for 1 j < k. Desuden findes en knude s, der har kanter til alle knuder i den første (nederste) række, en knude t, der har kanter fra alle knuder i den sidste (øverste) række, og en kant fra t til s. Lad m betegne antal kanter og n antal knuder i en cyklisk (r, k) kryds-graf Nedenstående viser en cyklisk (4, 5) kryds-graf. t u s I denne opgave betragtes problemet at finde de korteste afstande fra en vilkårlig knude u til alle de øvrige knuder i en cyklisk (r, k) kryds-graf, hvor alle kanter har vægte der kan være både positive og negative. Der antages at der ikke findes negative cykler. Spørgsmål a: Angiv som funktion af r og k udførselstiden af Bellman-Ford s algoritme for at finde de korteste afstande fra en knude u til alle de øvrige knuder i en cyklisk (r, k) kryds-graf. Spørgsmål b: Angiv en algoritme med udførselstid O(n), der finder de korteste afstande fra en knude u til alle de øvrige knuder i en cyklisk (r, k) kryds-graf. Argumenter for algoritmens udførselstid. Spørgsmål c: Angiv en algoritme med udførselstid O(n 2 ), der finder de korteste afstande mellem alle par af knuder i en cyklisk (r, k) kryds-graf. Argumenter for algoritmens udførselstid.

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ð ØÖÓÒ ËÝ Ø Ñ Ö Ð ÓÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÌÁÌ Ä ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ø Ò ÑÐ Ö Ì Å Å ÖÓ Ø Ñ Ø Ý Ø Ñ Ö ÈÊÇ ÃÌÈ ÊÁÇ ½º ÖÙ Ö ½º Ñ ¾¼¼½ ÈÊÇ ÃÌ ÊÍÈÈ ½¼ ÊÍÈÈ Å Ä ÅÅ Ê Å Ð Ë ÔÔ Ö Ò Ö Ò Â Ô Ö Ð Ù Ò Ð Ê Ò ÂÙ Ø Æ Ð Ò ÇÐ

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

ÐÖÒ Ó ØÐØÓÖÒ Ó«ÒØÐ ÒÐ ÖÝÔØÖÒ Ó ÒÖÒº ÆÓØÖ ØÐ ÙÖ Ù ÙÐ Óغ ¾¼¼¼ ÊÚÖØ ÙÖ Ù Ø ØÐ Ó ÝÐÒÐ ÔØ Ö ÃÒ ÒØ ÓÑ Ô¹ Ð Ô ÛÛÛºÑºÙºÒ ÑØÔµ ÂÓÒ Èº ÀÒ Ò ¹ÑÐ ÑØÔѺٺ ÅØÑØ ÁÒ ØØÙØ ÖÙ ÍÒÚ Ö ØØ ÁÒÐÒÒ ÁÒÓÐ ÃÔØÐ ½º ËØÖ Ø ÐÐ Ú ÓÖ

Læs mere

ÇÒØÓÐÓ Ø Ø Ò Ò ÆÐ ØÐ ÒÖ Ò È Ö Ö Ì ÓÑ À Ð Ö Ò Ò Ó Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ ÎÐ Ö ÌÖÓ Ð Ò Ö Ò Ø ÐÓ Ô Ð ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º Ó ØÓÖ ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÁÒ Ø Å Ø Ö Ì ÔÖ Ò ÔÐ Ö ÔÖÓÔÓ Ò ÑÓÒ ØÖ Ø ØØ Ñ¹ ÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

DDD Runde 2, 2015 Facitliste

DDD Runde 2, 2015 Facitliste DDD Runde 2, 2015 Facitliste Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen Opgaver og løsninger til 2. runde af DDD 2015. 1 4. 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Flowchart og Nassi ShneidermanN Version. Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller.

Flowchart og Nassi ShneidermanN Version. Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller. Flowchart Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller. Et godt program til at tegne flowcharts med er, EDGE-Diagrammer, eller Smartdraw.

Læs mere

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen {soerend,knudsen}@di.ku.dk Version 0.1 Indhold Indhold i Introduktion 1 1 Palindromer 3 1.1 Introduktion til Python...............

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design Jacob Christiansen moffe42@imada.sdu.dk Institut for MAtematik og DAtalogi, Syddansk Universitet, Odense 1. Opgaven Opgaven består i at designe et kredsløb,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

DATALOGI 1F. Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 %

DATALOGI 1F. Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 % Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1F Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 Opgave Vægtning 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 % Alle de sædvanlige hjælpemidler må benyttes,

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

Om binære søgetræer i Java

Om binære søgetræer i Java Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Nem grafik til websider

Nem grafik til websider Web design 101 Artiklen beskriver en nem måde, hvorpå du han lave ikon-lignende billeder til websider på basis af de symboltegnsæt, der er til rådighed på din computer. Metoden er særlig velegnet til små

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Ö ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ Ö ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÀÝ ÓÐÓÖÐØ Ë ½ ÁËÆ ¾¹ ¹½¹ ÆÖº ÖÒ ËØÙ ÀÙÑÒØØ ÖÒ Ø Ñ ÓÔÖ Ö ÒÒ ÓÒ ØÖ Ñ Ò ÚÖÐÓÚÒ ÐÐÖ ØÖ Ñ ÚØÐÖ ÓÑ ÓÔÖÒ ÒÒØØ Ñ ÃÓÔÒÓÖ ÒØÖ

Læs mere

Matr. nr. 271lRødby Markjorder

Matr. nr. 271lRødby Markjorder Matr. nr. 271lRødby Markjorder 549a 271k 13a Finlandsvej 271i 629 m² 271l 2 m² 271n Sulkavavej 271m 271o 271q 271d 271p Sulkavavej 244ec Tegningsnr. : LE34_ 100128-1043_ 3 Ret til at udvide veje (midlertidigt

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Guide til Umbraco CMS

Guide til Umbraco CMS web Guide til Umbraco CMS Indhold Indledning 3 Kompatible browsere 3 Log ind i Umbraco 4 Content-delen 5 Indholdstræet 5 Tilføjelse af en side/sektion 7 Sortering af indhold 12 Galleri 14 Mediebibliotek

Læs mere

Designmanual / Forskningens Døgn

Designmanual / Forskningens Døgn 1/17 Designmanual / Forskningens Døgn Elementer 2 Logotype 2 Logotype på fotografi 3 Geometri 5 Forsk Geometri oversigt 6 Objekter 7 Forsk Objekt oversigt 8 Forhold mellem alle elementer 9 Farver 10 Font

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Spil Master Mind. Indledning.

Spil Master Mind. Indledning. side 1 af 16 Indledning. Spillet som denne rapport beskriver, indgår i et større program, der er lavet som projekt i valgfaget programmering C på HTX i perioden 9/11-98 til 12/1-99. Spillet skal give de

Læs mere

Matematik Niveau B Prøveform b

Matematik Niveau B Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b Torsdag den 15. maj 2014 Kl. 09.00-13.00 GL141 - MAB - NY 1 GUX matematik B sommer 2014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Vejledning til online ansøgning om lokaler i Netbooking

Vejledning til online ansøgning om lokaler i Netbooking Vejledning til online ansøgning om lokaler i Netbooking Det er nu muligt at booke lokaler i Vallensbæk Kommune via Internettet og kommunens hjemmeside. Du får adgang til siden ved at følge nedenstående

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Med udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard

Med udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard Med udgangspunkt i FIPS-97-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen Af Mathias Vestergaard F O R O R D " " " # # " $ # % '(%) '(%) %* %* +,-.), ) ( " $ 0 2 2 + 3 $ ' {0000} $, AA ) 4555 67 +8 9 :;

Læs mere

Udfyldelse af arbejdspladsbrugsanvisninger

Udfyldelse af arbejdspladsbrugsanvisninger 1. Adgang til kemidatabasen Koncern HR Fysisk Arbejdsmiljø Marts 2014 Udfyldelse af arbejdspladsbrugsanvisninger Her kan du skrive dit brugernavn og adgangskode Brugernavn: Adgangskode: Kemidatabasen finder

Læs mere

ÈÓÖØÐÓÔØÑÖÒ ÓÖ Ò ÖÐÖØÐÒ ÃÓÙÖÓ ÅÖÒ Ê ÑÙ Ò ¾¾µ ½¾º ÑÖØ ¾¼¼ ÎÐÖ ÈÖÓº ÂÒ ÐÙ Ò ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÑÓÐÐÖÒ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ÓÖÓÖ ØØ ÑÒ ÔÖÓØ Ö ÙÖØ ÓÑ ÐÙØÒÒ Ô ÑÒ ÙÒÒÐ ÓÑ ÚÐÒÒÖ Ñ ÖØÒÒ ØÒÐ Ò ÒÚÒØ ÑØÑØ Ú ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ Øغ

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL I denne og yderligere at par artikler vil jeg se nærmere på diagramfunktionerne i Excel, men der er desværre ikke plads at gennemgå disse i alle detaljer, dertil

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Ændring af rammeområde 2.B.6 Østbyvej

Ændring af rammeområde 2.B.6 Østbyvej Ændring af rammeområde 2.B.6 Østbyvej Tillæg 12 til Roskilde Kommuneplan 2013 2.B.6 2.BT.4 0 500 m 500 Forord HVAD ER ET TILLÆG TIL KOMMUNEPLANEN? Den fysiske planlægning reguleres bl.a. gennem kommuneplanlægning.

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

ÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒØÓÒ ÙÒÖ ÚÒ Ð ÐÝ ÒÒ ¹ Ó ÓÒØÖ ØÓÖÓÐ ËØÒ ÙÒÖ ËÔÐÒÐÒ Ú ØÐÓ ÁÒ ØØÙØ ÃÒÚÒ ÍÒÚÖ ØØ ÁÃ͵ ¼º ÙÐ ¾¼¼½ ½ Ê ÙÑ ÒÖ ÖÒ ÑØÓÖ ØÐ ÑÒØÖÒ ØÒ ÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒ¹ ØÓÒ ÇÊ ÔÔÐØÓÒÖ ÙÒÖ º Ö ÙÚÐ Ø ÓÑÔÐØ Çʹ Ý ØÑ ØÐ ÙÒÖ Ð

Læs mere

MANUAL. Siteloom CMS

MANUAL. Siteloom CMS MANUAL Siteloom CMS www.hjerteforeningen.dk/cms Brugernavn: Password: 3. september, 2012 BASIS FUNKTIONER 1. Kalender... 4 1.a. Opret... 5 1.b. Rediger eller slet... 8 2. Sider... 10 2.a Opret side...

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

MANUAL TIL. OptitecRS CIPHERLAB 8000 - SCANNER

MANUAL TIL. OptitecRS CIPHERLAB 8000 - SCANNER MANUAL TIL OptitecRS CIPHERLAB 8000 - SCANNER INDHOLDSFORTEGNELSE 1 SAMLING OG TILKOBLING AF SCANNER... 1 1.1 STRØM TIL SCANNER... 2 1.2 TILKOBLING TIL COMPUTER... 2 1.2.1 Tilkobling med Seriel Stik...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Regnearket Excel - en introduktion

Regnearket Excel - en introduktion Regnearket Excel - en introduktion Flytte rundt i regnearket. Redigere celler Hjælp Celleindhold Kopiering af celler Lokalmenu og celleegenskaber Opgaver 1. Valutakøb 2. Hvor gammel er du 3. Momsberegning

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

LOKALPLAN NR. 24. VEDTAGET l BYRÅDET D.8OKT.1980 ØLSTYKKE KOMMUNE

LOKALPLAN NR. 24. VEDTAGET l BYRÅDET D.8OKT.1980 ØLSTYKKE KOMMUNE LOKALPLAN NR. 24 ENDELIG VEDTAGET l BYRÅDET D.8OKT.1980 ØLSTYKKE KOMMUNE ØLSTYKKE KOMMUNE Lokalplan nr. 24 for et område beliggende øst for Ny Toftegårdsvej, vest for Sperrestrupvej, syd for projekteret

Læs mere

Multi kanal GSM porttelefon med adgangs kontrol

Multi kanal GSM porttelefon med adgangs kontrol Multi kanal GSM porttelefon med adgangs kontrol Model: MCI-3000V1 Funktioner: Metal tastatur. Robust anti-vandal enhed. Rustfrit stål dørstation. Nem installation kun fire ledninger. Anti-Vandal højttaler

Læs mere

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb Januar 2014 Indhold Opbygning af et regneark... 3 Kolonner, rækker... 3 Celler... 3 Indtastning af tekst og tal... 4 Tekst... 4 Tal... 4 Værdier... 4 Opbygning af formler... 5 Indtastning af formler...

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere