Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Transkript

1 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl

2 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal. Udover et tals værdi, a, skal vi betragte dets binære representation A, som er et array hvori værdierne er enten 0 eller 1. De mindst-betydende cifre står til venstre. Eksempelvis har tallet a = 57 den binære representation A : [1, 0, 0, 1, 1, 1]. Hvis den binære repræsentation af et tal indeholder n cifre, betegner vi den som sædvanligt med A[0..n], ligesom A[0..k] betegner den del af tallet der består af de k mindst-betydende cifre. I eksemplet ovenfor er A[0..6] lig med 57, medens A[0..4] er lig med 9. Endelig bruger vi den sædvanlige notation + og for addition og multiplikation af heltal. Spørgsmål a: Bevis at der for vilkårlige positive heltal a, b og for k > 0 gælder a B[0..(k + 1)] = a B[0..k] + a B[k] 2 k, hvor B angiver den binære representation af b. Betragt nu følgende algoritme. Algoritme: Heltalsmultiplikation Input : a, b, positive heltal, med b givet ved sin binære repræsentation B. Output : S = a b Metode : S 0; k 0; {I}while k < B do S S + a B[k]; a 2 a; k k + 1 Spørgsmål b: Angiv en passende gyldig invariant I, og angiv hvilke bevisbyrder, der skal eftervises i et gyldighedsbevis. Spørgsmål c: Eftervis bevisbyrderne fra spørgsmål b, og argumenter for at algoritmen er korrekt.

3 Opgave 2 (25%) En internet-søgemaskine opbevarer en stor delmængde af de tilgængelige websider på internettet. Siderne kan opfattes som en orienteret graf, hvor grafens knuder svarer til web-siderne og hvor der findes en kant fra en knude u til en knude v hvis og kun hvis der på siden svarende til u er et link til siden svarende til v. Hvis en forespørgsel til en søgemaskine resulterer i flere mulige svar i form af en liste af relevante web-sider, så ønskes disse sorteret efter aftagende relevans. I denne opgave betragtes tre mulige mål for relevansen af en side, alle baseret på den intution at en side er relevant, hvis mange andre sider refererer til den. Nedenstående tre spørgsmål beskæftiger sig hvert med eet af disse mål. Et eksempel med alle tre mål findes sidst i opgaven. Vi antager i det følgende at grafen er givet ved adjacency list repræsentationen og at der som sædvanligt er henholdsvis n knuder og m kanter i grafen. Længden af en sti i grafen er som sædvanligt antallet af kanter der indgår i stien. Afstanden fra en knude u til en knude v er længden af den korteste sti fra u til v, og betegnes d(u, v). Hvis der ingen sti findes fra u til v, er d(u, v) =. Spørgsmål a: Beskriv en algoritme, der beregner indgraden af hver knude i grafen. Hvad er udførselstiden for algoritmen som funktion af n og m? Spørgsmål b: Beskriv en algoritme, der for hver knude v beregner for hvor mange knuder u (u v) der findes en sti fra u til v. Hvad er udførselstiden for algoritmen? Spørgsmål c: Beskriv en algoritme, der for hver knude v beregner summen ( 1 d(u,v), 2) u N(v) hvor N(v) er de knuder u som opfylder u v d(u, v). D.v.s. en knude med afstand k til v bidrager med ( 1 2 )k til summen for v. Hvad er udførselstiden af algoritmen? Eksempel: Tabellen nedenfor angiver de beregnede værdier i spørgsmål a til c for nedenstående graf. Indgangen med 5/4 fremkommer ved at d(0, 5) = d(1, 5) = 3, d(4, 5) = d(6, 5) = 2, og d(3, 5) = 1. Summen for 5 er derfor 2 (1/2) 3 +2 (1/2) 2 + (1/2) 1 = 5/ v a b c 1/2 0 3/2 3/2 1 5/4 1

4 Opgave 3 (25%) Betragt en mængde {x 1, x 2,...,x n } af n forskellige tal (n 2). Opstillet i numerisk orden x i1 < x i2 <... < x in kalder vi (x ij, x ij+1 ) et nabo-par med afstand d j = x ij+1 x ij, og kalder for mængdens min-afstand. d = min{d j 1 j n 1} Spørgsmål a: Angiv min-afstand for nedenstående mængde. {4, 26, 1, 10, 23, 17} Spørgsmål b: Beskriv hvordan man givet en mængde af n forskellige tal kan finde min-afstand i tid O(n logn). Vi ønsker nu at vedligeholde en mængde S under følgende operationer. insert(x) : Indsæt tallet x i mængden. delete(x) : Slet tallet x fra mængden. min-afstand() : Returner min-afstanden for den aktuelle mængde. Spørgsmål c: Beskriv hvorledes et balanceret søgetræ kan udvides så insert og delete tager tid O(log n) og min-afstand tager tid O(1), hvor n betegner antal tal i mængden før operationen udføres. Vi ønsker nu at tilføje en operation interval-min-afstand(y 1, y 2 ), der returner min-afstand for mængden [y 1, y 2 ] S. Eksempel: interval-min-afstand(2, 23) på overstående mængde returnerer 6, hvilket er afstanden for både nabo-parret (4, 10) og naboparret (17, 23). Spørgsmål d: Beskriv hvordan man til operationerne fra spørgsmål c kan tilføje operationen interval-min-afstand, således at min-afstand udføres i tid O(1) og de tre andre operationer i tid O(log n).

5 Opgave 4 (25%) I denne opgave betragtes en mængde positive heltal x 1, x 2,...,x n, hvis sum er lig S. Vi ønsker at udvikle en algoritme, der kan finde en delmængde af tallene, hvis sum kommer tættest muligt på S/2. Betragt følgende udsagn: U(s, k): Der findes en delmængde af x 1, x 2,...,x k, hvis sum er lig med s. Spørgsmål a: Lad {x 1, x 2 } = {1, 3}. Udfyld følgende tabel med sandhedsværdierne for U(s, k) for 0 s 4 og 0 k 2. k s Det påstås at U(s, k) opfylder følgende rekursionsformel. U(s, k) = True hvis s = 0 False hvis (s > 0) (k = 0) U(s, k 1) hvis x k > s U(s, k 1) U(s x k, k 1) hvis x k s Spørgsmål b: Argumenter for denne påstand. Spørgsmål c: Angiv en algoritme baseret på dynamisk programmering, der givet x 1, x 2,...,x n, S og K beregner alle værdier U(s, k) for 0 s S og 0 k K. Argumenter for algoritmens udførelsestid. Spørgsmål d: Hvordan kan man udvide algoritmen ovenfor til at finde en delmængde af tallene x 1, x 2,...,x n hvis sum er tættest muligt på S/2?

6 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 13. august 2002, kl

7 Opgave 1 (25%) Betragt følgende algoritme, som kvadrerer et positivt heltal ved udelukkende at anvende addition, subtraktion og halvering af lige tal. Algoritme : Kvadrering Input : heltal A 1 Output : r = A 2 Metode : a 1; b 0; c 0; x A; { A 2 = ax 2 + bx + c x 1 } while x > 1 do if x er lige then a a + a + a + a; b b + b; x x/2 else c c + a + b; b b + a + a; x x 1 r a + b + c Spørgsmål a: Angiv hvilke bevisbyrder der skal eftervises i et gyldighedsbevis for algoritmen. Spørgsmål b: Eftervis bevisbyrderne fra spørgsmål a, og argumenter for at algoritmen er korrekt. Spørgsmål c: Hvad er udførselstiden for algoritmen?

8 Opgave 2 (25%) Betragt følgende graf en såkaldt H(2)-graf som består af 2 dobbelt-sekskanter, ( ) omgivet af 3 enkelt-sekskanter ( ). Dette er et specialtilfælde af de mere generelle H(k)-grafer, som består af k dobbelt-sekskanter omgivet af k + 1 enkelt-sekskanter. Spørgsmål a: Angiv udtrykt ved k antallet af knuder og kanter i en H(k)-graf. Betragt nu en vægtet H(k)-graf, hvor de vandrette kanter i enkelt-sekskanterne har vægt 1 (øverst) og 3 (nederst), og hvor alle andre kanter i såvel enkelt- som dobbelt-sekskanterne har vægt 2. Eksempelvis har H(1)-grafen vægtet på denne måde følgende udseende Spørgsmål b: Tegn en sådan vægtet H(2)-graf og angiv et letteste udspændende træ for grafen. Spørgsmål c: Angiv vægten af et letteste udspændende træ for en sådan vægtet H(k)-graf. Argumenter for svaret. (Vink: Husk at for en sammenhængende graf med n knuder indeholder et letteste udspændende træ n 1 kanter). Lad N > 3 være et vilkårligt heltal og betragt vægtede H(k)-grafer hvor alle øvre vandrette kanter i enkelt-sekskanterne har vægt 1 og alle de nedre vandrette kanter i enkelt-sekskanterne har vægt N (N erstatter 3), og hvor alle andre kanter i grafen har vægte der er strengt større end 1 og strengt mindre end N (vægtene kan være forskellige). Spørgsmål d: Angiv en algoritme med udførselstid lineær i grafens størrelse, der finder et letteste udspændende træ for en sådan graf. Argumenter for at algoritmen er korrekt. Antag at grafen som sædvanligt er givet ved en adjacency list repræsentation

9 Opgave 3 (25%) I denne opgave betragter vi mængder af tal hvor hvert tal enten er blåt eller gult. For en mængde af n tal x 1 < x 2 < < x n, er [x i, x j ] et maksimalt blåt interval hvis x i, x i+1,...,x j alle er blå og x i 1 er gult eller i = 1, og x j+1 er gult eller j = n. Tilsvarende defineres maksimale gule intervaller. Spændvidden af et maksimalt interval [x i, x j ] er differencen x j x i. Bemærk at et maksimalt interval, der kun indeholder ét element, har spændvidde 0. Spørgsmål a: Angiv de i alt 6 maksimale blå og gule intervaller for mængden, { 1, 3, 4, 6, 8, 9, 13, 14, 18, 29, 31, 42, 57, 59, 63 }, hvor x i angiver at x i er blåt. Angiv også spændvidderne af de seks maksimale intervaller. Spørgsmål b: Beskriv en algoritme, der givet en sorteret liste af n blå og gule tal kan finde de maksimale blå og gule intervaller i tid O(n). Vi ønsker nu at vedligeholde en mængde af farvede tal under følgende operationer. insert(x, c) : Indsæt tallet x i mængden og giv det farven c. delete(x) : Slet tallet x fra mængden. count() : Returner antal maksimale intervaller (både blå og gule) i mængden. Spørgsmål c: Beskriv en datastruktur, der understøtter insert og delete i tid O(log n) og count i tid O(1), hvor n betegner antal tal i mængden før operationen udføres. Spørgsmål d: Beskriv hvorledes datastrukturen kan udvides så den understøtter en operation sum der returnerer summen af spændvidderne af de maksimale intervaller i tid O(1).

10 Opgave 4 (25%) I denne opgave antager vi at n og S er positive heltal, og at C 1, C 2,...,C n er mængder af positive heltal, hvor hver mængde højest indeholder S positive heltal. Vi ønsker at afgøre om vi kan udtage ét element fra hver mængde således at deres sum er S, dvs. om der findes n elementer, x 1, x 2,...,x n, hvor x i C i, således at ni=1 x i = S. Betragt følgende udsagn for 0 k n og 0 s S: U(k, s) : Der findes x 1 C 1, x 2 C 2,...,x k C k således at k i=1 x i = s. Spørgsmål a: Lad n = 3, S = 7, C 1 = {1, 2, 4}, C 2 = {2, 3, 5}, og C 3 = {3, 4}. Udfyld nedenstående tabel med sandhedsværdierne for U(k, s) for 0 k n og 0 s S. s k Det påstås, at U(k, s) opfylder følgende rekursionsformel. U(k, s) = True hvis (k = 0) (s = 0) False hvis (k = 0) (s > 0) True hvis (k > 0) der findes y C k : (y s) U(k 1, s y) False ellers Spørgsmål b: Argumenter for denne påstand. Spørgsmål c: Angiv en algoritme, baseret på dynamisk programmering, der givet C 1, C 2,...,C n og S beregner værdien U(n, S). Argumenter for algoritmens udførselstid.

11 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl

12 Opgave 1 (25%) For konstanten π = gælder identiteten π 2 6 = = 1 2 i 2 Følgende algoritme beregner summen af de første n led i ovenstående sum, d.v.s Algoritme : π 2 /6 Input : heltal n 1 Output Metode : p 1; q 1; k 1; { p q = k n i=1 1 i 2 : heltal p og q, hvor p q = n i=1 1 i 2 i=1 } 1 k n while k < n do i=1 i 2 k k + 1; p p k k + q; q q k k Spørgsmål a: Angiv hvilke bevisbyrder der skal eftervises i et gyldighedsbevis for algoritmen. Spørgsmål b: Eftervis bevisbyrderne fra spørgsmål a. Spørgsmål c: Bevis at algoritmen er korrekt. Spørgsmål d: Hvor mange bits kræves til repræsentation af heltallene p henholdsvis q udtrykt som funktion af n i O-notation?

13 Opgave 2 (25%) Lad x 1 < x 2 < < x n være n heltallige elementer, og lad til hvert x i være tilknyttet en heltallig værdi y i. De n elementer og deres tilknyttede værdier kan opfattes som n punkter (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...,(x n, y n ) i planen. Opgaven beskæftiger sig med at understøtte operationen MinElementAbove(t) som returnerer det mindste element x i, hvis tilhørende værdi y i er større end eller lig med t, eller meddeler at der ikke findes et sådant element. I nedenstående figur er det returnerede element x-koordinaten af det markerede punkt. t y x Spørgsmål a: Hvad er MinElementAbove(10) for punkterne (4,9), (5,17), (19,6), (23,10), (25,15), (40,7)? I det følgende betragtes en udvidelse af rød-sorte søgetræer til opbevaring af elementerne. Lad v.x være elementet gemt i knuden v. Hver knude v udvides til også at gemme værdien v.y knyttet til v.x, og den største værdi, v.y max, tilknyttet en knude i undertræet med rod i v. Nedenstående er et udvidet rød-sort søgetræ for punkterne fra spørgsmål a. I knuderne er øverst angivet x, y og nederst y max. Røde knuder er markeret med dobbelt-cirkler. 19,6 17 4, , , , ,7 7 Spørgsmål b: Beskriv hvordan et udvidet rød-sort søgetræ kan vedligeholdes under indsættelse og sletning af elementer (og tilknyttede værdier) i tid O(log n). Spørgsmål c: Beskriv hvordan MinElementAbove(t) kan udføres i tid O(log n). Argumenter for algoritmens udførselstid og korrekthed.

14 Opgave 3 (25%) Givet to strenge S = S[1]S[2] S[n] og U = U[1]U[2] U[k], så er U en supersekvens for S hvis S er en delsekvens af U. For eksempel er ACACTGTA en supersekvens for A C C T (understregning angiver en sekvens af matchende positioner). I det følgende angiver S og T to strenge af længde henholdsvis n og m. En streng U er en korteste fælles super-sekvens for S og T, hvis U er en super-sekvens for både S og T, og der findes ikke en kortere streng der er en super-sekvens for både S og T. Spørgsmål a: Argumenter for at en korteste fælles super-sekvens for S og T har længde højest n + m, og for at en korteste fælles super-sekvens ikke altid er entydig. Lad C(i, j) betegne længden af en korteste fælles super-sekvens for S[1]S[2] S[i] og T[1]T[2] T[j] for 0 i n og 0 j m. Det påstås at C(i, j) opfylder følgende rekursionsformel. max{i, j} hvis (i = 0) (j = 0) C(i, j) = 1 + C(i 1, j 1) hvis (i > 0) (j > 0) S[i] = T[j] 1 + min{c(i, j 1), C(i 1, j)} hvis (i > 0) (j > 0) S[i] T[j] Spørgsmål b: Argumenter for ovenstående påstand. Spørgsmål c: Angiv en algoritme, baseret på dynamisk programmering, der givet S og T finder længden af en korteste fælles super-sekvens. Argumenter for algoritmens udførselstid. Spørgsmål d: Udvid algoritmen til også at finde en korteste fælles super-sekvens for S og T.

15 Opgave 4 (25%) En gitter-graf er en orienteret graf hvor knuderne er arrangeret i k rækker hver indeholdende k knuder, hvor k er et positivt heltal. Lad v i,j betegne den jte knude i den ite række. Lad s = v 1,1. En gitter-graf har følgende knuder og kanter: V = {v i,j 1 i k 1 j k} E = {(v i,j, v i,j+1 ) 1 i k 1 j < k} {(v i,j, v i,j 1 ) 1 i k 1 < j k} {(v i,j, v i+1,j ) 1 i < k 1 j k} Nedenstående figur viser gitter-grafen for k = 5. s I resten af denne opgave antager vi at alle kanter har en ikke-negativ vægt. Spørgsmål a: Lad n og m betegne henholdsvis antallet af knuder og kanter i en gitter-graf. Udtryk n og m som funktion af k. Spørgsmål b: Hvad er udførselstiden for Dijkstra s algoritme for at finde længden af de korteste veje fra s = v 1,1 til alle de øvrige knuder i en gitter-graf som funktion af k? Spørgsmål c: Beskriv en algoritme der finder længden af de korteste veje fra s = v 1,1 til alle de øvrige knuder i en gitter-graf i tid O(m). Argumenter for algoritmens udførselstid og korrekthed. En cylinder-graf er en gitter-graf udvidet med ikke-negative vægtede kanter mellem den venstre og højre knude i hver række, d.v.s. E indeholder også kanterne (v i,1, v i,k ) og (v i,k, v i,1 ) for 1 i k. Spørgsmål d: Beskriv en algoritme der finder længden af de korteste veje fra s = v 1,1 til alle de øvrige knuder i en cylinder-graf i tid O(m). Argumenter for algoritmens udførselstid og korrekthed.

16 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Onsdag den 13. august 2003, kl

17 Opgave 1 (25%) Lad A = A[1] A[n] være et array af heltal. Længden af det længste sammenhængende delarray af A hvor alle indgange er identiske betegnes LID(A). Længden af det længste suffix af A hvor alle indgange er identiske betegnes LIDS(A). Eksempel: LID(1,2,3,3,2,2,1,1,1,1,1,2,2,4,4,2,2,2,2) = 5 LIDS(1,2,3,3,2,2,1,1,1,1,1,2,2,4,4,2,2,2,2) = 4 Betragt følgende algoritme: Algoritme : LID Input: A : Array af længde n, hvor n 1 Output: m : LID(A) Metode: r 1; m 1; i 1; { I } while i < n do Update ; i i + 1; hvor I er invarianten (r = LIDS(A[1] A[i])) (m = LID(A[1] A[i])) (i n) Spørgsmål a: Angiv hvilke bevisbyrder der skal eftervises i et gyldighedsbevis for algoritmen. Spørgsmål b: Angiv konkret kode for Update, således at bevisbyrderne fra spørgsmål a kan eftervises. Spørgsmål c: Eftervis bevisbyrderne fra spørgsmål a, og argumenter for at algoritmen er korrekt.

18 Opgave 2 (25%) Lad x 1, x 2,, x n være n forskellige heltallige elementer. Opgaven beskæftiger sig med at understøtte rang-baserede operationer. Operationen rank(y) skal returnere antallet af elementer blandt x 1,...,x n der er mindre end eller lig med y, dvs. {i x i y}. Operationen atrank(r) skal, for 1 r n, returnere det rte mindste element blandt x 1,...,x n, dvs. det x j hvor rank(x j ) = r. I det følgende betragtes en udvidelse af rød-sorte søgetræer til opbevaring af elementerne. Lad v.x være elementet gemt i knuden v. Hver knude v udvides til også at gemme v.s, der angiver antallet af elementer gemt i undertræet med rod i v. Nedenstående er et udvidet rød-sort søgetræ for elementerne 3,5,8,11,14,17. I knuderne er øverst angivet v.x og nederst v.s. Røde knuder er markeret med dobbelt-cirkler. I det givne eksempel er rank(10) = 3 og atrank(5) = Spørgsmål a: Beskriv hvordan rank(y) og atrank(r) kan udføres i tid O(log n). Argumenter for algoritmernes udførselstid og korrekthed. Spørgsmål b: Beskriv hvordan en operation Count(y, z), der returner antallet af elementer i intervallet ]y ; z], dvs. {i y < x i z}, kan udføres i tid O(log n). Argumenter for algoritmens udførselstid og korrekthed. Spørgsmål c: Beskriv hvordan et sådant udvidet rød-sort søgetræ kan vedligeholdes under indsættelse og sletning af elementer i tid O(log n).

19 Opgave 3 (25%) Betragt følgende situation: En tømrer ønsker at udmåle en bestemt længde, men har glemt sin tommestok. Til gengæld har han forskellige æsker med søm i kendte størrelser, og får den idé at udmåle længden ved at lægge søm på række efter hinanden. I denne opgave ønsker vi at beregne, hvilke længder tømreren kan udmåle med en given beholdning af søm. Vi antager at der er K æsker med søm, og at der i æske nummer i er n i søm, alle med en længde på l i centimeter. Vi ønsker at afgøre om der findes en delmængde af sømmene, hvis samlede længde er S centimeter, dvs. om der findes heltal x 1,...,x K, hvor 0 x i n i, således at K i=1 x i l i = S. Vi antager at S og l i erne alle er positive heltal. Betragt følgende udsagn U(k, s) for 0 k K og 0 s S: U(k, s) : Der findes heltal x 1,...,x k, hvor 0 x i n i, så k i=1 x i l i = s. Spørgsmål a: Lad S = 10, K = 3, l 1 = 1, l 2 = 5, l 3 = 4, n 1 = 3, n 2 = 1, og n 3 = 25. Udfyld nedenstående tabel med sandhedsværdierne for U(k, s) for 0 k K og 0 s S. s k Det påstås at U(k, s) opfylder følgende rekursionsformel. U(k, s) = Sand hvis k = 0 s = 0 Falsk hvis k = 0 s > 0 Sand hvis k > 0 der findes x k : (0 x k n k ) (x k l k s) U(k 1, s x k l k ) Falsk ellers Spørgsmål b: Argumenter for ovenstående påstand. Spørgsmål c: Angiv en algoritme, baseret på dynamisk programmering, der beregner værdien U(K, S). Argumenter for algoritmens udførselstid.

20 Opgave 4 (25%) En s t-lagdelt graf er en orienteret graf hvor knuderne er arrangeret i s rækker hver indeholdende t knuder, hvor s og t er positive heltal. Lad v i,j betegne den jte knude i den ite række. En s t-lagdelt graf har følgende knuder og kanter: V = {v i,j 1 i s 1 j t} E = {(v i,j, v i+1,k ) 1 i < s 1 j t 1 k t} Nedenstående figur viser en 5 3-lagdelt graf. v 1,1 Spørgsmål a: Lad n og m betegne henholdsvis antallet af knuder og kanter i en s t-lagdelt graf. Hvad er n og m som funktioner af s og t? Vi antager nu at alle kanter har en ikke-negativ vægt. Hvad er udførselstiden som funktion af s og t for Dijkstra s algoritme til at finde korteste afstand fra v 1,1 til alle de øvrige knuder i en s t-lagdelt graf? I resten opgaven antages at vægtene på kanterne er reelle tal (både positive og negative). Spørgsmål b: Beskriv hvordan man kan finde korteste afstand fra v 1,1 til alle de øvrige knuder i en s t-lagdelt graf i tid O(st 2 ). Spørgsmål c: Angiv som funktion af s og t udførselstiden i en s t-lagdelt graf for den variant af Floyd-Warshalls algoritme, der finder korteste afstand mellem alle par af knuder. Anvend løsningen fra spørgsmål b til at beskrive en mere effektiv algoritme, og argumenter for dennes udførselstid. Spørgsmål d: Når kanterne kan have negative vægte, vil Dijktra s algoritme ikke nødvendigvis finde korteste afstand fra v 1,1 til alle de øvrige knuder. Angiv en vægtet 3 2-lagdelt graf hvor Dijkstra s algoritme fejler, og argumenter for at den fejler på denne graf.

21 DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Onsdag den 11. august 2004, kl Eksamenslokale: Trøjborg-komplekset, Niels Juelsgade 84, lok. 139, 8200 Århus N Tilladte medbragte hjælpemidler: Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger og notater) Materiale der udleveres til eksaminanden: OPGAVETEKSTEN BEGYNDER PÅ NÆSTE SIDE ooo

22 Eksamen august 2004 Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Skriftlig prøve Side 2 af 6 sider Opgave 1 (25%) I denne opgave betragtes nedenstående algoritme, der givet et input array indeholdende 0-1 værdier, beregner længden af det længste delarray hvor alle indgange indeholder værdien 1. Algoritme Ones(A) Inputbetingelse : Array A af længde n 0 indeholdende 0-1 værdier Outputkrav : m = MaxOnes(A) Metode : i 0; m 0; l 0; {I} while i < n do if A[i] = 1 then l l + 1; m max{l, m} else l 0 i i + 1 hvor I er invarianten l = MaxSuffixOnes(A[0..i]) m = MaxOnes(A[0..i]) 0 i n Her betegner A[0..i] = A[0]A[1] A[i 1], MaxOnes(X) længden af det længste delarray af X kun indeholdende værdien 1, og MaxSuffixOnes(X) længden af det længste suffix af X kun indeholdende værdien 1. For nedenstående eksempel er MaxOnes(A) = MaxOnes(A[8..14]) = 6 og f.eks. er MaxSuffixOnes(A[0..17]) = MaxOnes(A[15..17]) = A Spørgsmål a: Hvilke værdier får l tildelt i linien l l + 1; i løbet af algoritmen, og hvor mange gange tildeles l de forskellige værdier på ovenstående eksempel? Spørgsmål b: Angiv hvilke bevisbyrder der skal eftervises i et gyldighedsbevis for algoritmen. Spørgsmål c: Eftervis bevisbyrderne fra spørgsmål b, og argumenter for at algoritmen er korrekt. (Opgavesættet fortsætter)

23 Eksamen august 2004 Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Skriftlig prøve Side 3 af 6 sider Opgave 2 (25%) I denne opgave betragtes en datastruktur til at opbevare en mængde af intervaller, og som understøtter forespørgsler om et punkt q er indeholdt i mindst et interval. For intervallerne [2, 9], [14, 21], [17, 30], [33, 39], [35, 58], [41, 50], [45, 54], [52, 62] gælder at f.eks. q = 10 ikke er indeholdt i et interval, hvorimod q = 53 er indeholdt i mindst et interval (faktisk tre intervaller, men dette er uvæsentligt for denne opgave). Datastrukturen for at opbevare intervallerne er et (balanceret) søgetræ, hvor hver indre knude opbevarer et interval og hvor intervallerne er gemt sorteret efter intervallernes venstre endepunkt. Hver knude opbevarer desuden en værdi r max, som er det maksimale højre endepunkt der er opbevaret i knudens undertræ. Nedenstående viser datastrukturen for ovenstående intervaller, hvor der for hver knude øverst er angivet knudens interval og nederst er angivet knudens r max værdi. 33, , ,9 17, , ,58 52, ,50 50 Spørgsmål a: Tegn en tilsvarende datastruktur for intervallerne [21, 23], [1, 6], [18, 20], [11, 13], [17, 19], [3, 8], [5, 10], [22, 24] Spørgsmål b: Beskriv hvordan et nyt interval [l, r] kan indsættes i ovenstående datastruktur, hvor det antages at træet ikke kræves balanceret efter indsættelsen. Spørgsmål c: Beskriv hvordan man under indsættelser af nye intervaller i tid O(log n) kan holde ovenstående datastruktur balanceret, d.v.s at træets højde er O(log n). Spørgsmål d: Beskriv en rekursiv procedure Covered(q), der afgør om et punkt q er indeholdt i mindst et interval. Procedurens udførelsestid skal være O(h), hvor h er træets højde. (Opgavesættet fortsætter)

24 Eksamen august 2004 Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Skriftlig prøve Side 4 af 6 sider Opgave 3 (25%) I denne opgave betragtes (r, k) gitter-grafer, som er orienterede grafer hvor knuderne er arrangeret i et gitter med r rækker og k søjler. Hver knude v har en kant til knuden umiddelbart nedenunder v i v s søjle (såfremt v ikke er i den nederste række) og en kant til knuden umiddelbart til højre for v (såfremt v ikke er i søjlen længst til højre). Den øverste venstre knude betegnes s og knuden nederst til højre betegnes t. Nedenstående er en (5, 8) gitter-graf. s t I det følgende antages alle kanter at have en ikke negativ vægt. Spørgsmål a: Angiv antal kanter m og antal knuder n i en (r, k) gitter-graf som funktion af r og k. Angiv udførelsestiden af Dijkstra s algoritme til at finde de korteste afstande fra s til t. Spørgsmål b: Angiv en algoritme med udførelsestid O(n), der beregner den korteste afstand fra s til t i en (r, k) gitter-graf. Spørgsmål c: Angiv en algoritme med udførelsestid O(n), der beregner længden af den længste sti fra s til t i en (r, k) gitter-graf. Antag nu at kanterne også kan have en negativ vægt. Spørgsmål d: Angiv en algoritme der beregner længden af den længste sti i en (r, k) gitter-graf. Angiv algoritmes udførelsestid. Bemærk at stien ikke behøver at gå fra s til t. (Opgavesættet fortsætter)

25 Eksamen august 2004 Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Skriftlig prøve Side 5 af 6 sider Opgave 4 (25%) I denne opgave betragtes to strenge S = s 1 s 2 s n T = t 1 t 2 t m af længde henholdsvis n og m. Vi ønsker at finde den fælles delsekvens for S og T der opnår den maksimale blok-score, som er defineret nedenfor. Antag at en fælles delsekvens for S og T kan deles op i p blokke B 1,...,B p, hvor B i er en sammenhængende delsekvens i både S og T. Vi definerer blok-scoren af opdelingen som B 1 + B B p p Den maksimale blok-score er blok-scoren af den fælles delsekvens for S og T der har den maksimale blok-score. For eksempel har nedenstående to strenge en maksimal blokscore på = 7. Kasserne angiver opdelingen i blokke af den fælles delsekvens for S og T. S = ab cc baca ba abad T = ab aba baca abad ad Vi definerer nu: B(i, j) = den maksimale blok-score af s 1 s 2 s i og t 1 t 2 t j. Spørgsmål a: Lad S = bbcba og T = bccbba. Udfyld følgende tabel for B(i, j) for 0 i 5 og 0 j 6. i j (Opgavesættet fortsætter)

26 Eksamen august 2004 Algoritmer og Datastrukturer (gammel ordning) Skriftlig prøve Side 6 af 6 sider Det påstås at B(i, j) opfylder følgende rekursionsformel: B(i, j) = 0 hvis i = 0 j = 0 max{b(i, j 1), B(i 1, j)} hvis s i t j max{b(i, j 1), B(i 1, j), B(i k, j k) + k 1} hvis s i = t j k 1 er maksimal så: s i = t j s i 1 = t j 1 s i k+1 = t j k+1 Spørgsmål b: Beskriv en algoritme baseret på dynamisk programmering, der givet to strenge S og T af længde henholdsvis n og m, beregner B(n, m), d.v.s. den maksimale blok-score for strengene S og T. Angiv algoritmens udførelsestid. Spørgsmål c: Beskriv en udvidelse af algoritmen fra spørgsmål b til også at rapportere en fælles delsekvens af S og T der har maksimal blok-score. Angiv algoritmens udførelsestid.

27 Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Fredag den 28. maj 2004, kl

28 Opgave 1 (20%) En (r, k) kryds-graf er en orienteret graf med r rækker af k knuder, hvor knude j i række i, for 1 i < r, har en kant til knude j 1 i række i + 1, for 1 < j k, og en kant til knude j +1 i række i+1, for 1 j < k. Desuden findes en knude s, der har kanter til alle knuder i den første (nederste) række, og en knude t, der har kanter fra alle knuder i den sidste (øverste) række. Lad m betegne antal kanter og n antal knuder i en (r, k) kryds-graf Nedenstående viser en (4, 5) kryds-graf. t s Spørgsmål a: Angiv antal kanter m og antal knuder n i en (r, k) kryds-graf som funktion af r og k. Antag alle kanter har en ikke negativ vægt. Angiv udførselstiden af Dijkstra s algoritme til at finde de korteste afstande fra s til alle de øvrige knuder som funktion af r og k. Spørgsmål b: Angiv en (1, 2) kryds-graf med positive og negative vægtede kanter, hvor Dijkstra s algoritme beregner en forkert afstand fra s til t. Angiv for hver knude i eksemplet de korrekte afstande fra s samt de afstande Dijkstra s algoritme beregner. Spørgsmål c: Angiv en algoritme med udførselstid O(n) til at beregne de korteste afstande fra s til alle de øvrige knuder i en (r, k) kryds-graf med positive og negative vægtede kanter. Argumenter for algoritmens udførselstid.

29 Opgave 2 (20%) En cyklisk (r, k) kryds-graf er en orienteret graf med r rækker af k knuder, hvor knude j i række i, for 1 i < r, har en kant til knude j 1 i række i + 1, for 1 < j k, og en kant til knude j + 1 i række i +1, for 1 j < k. Desuden findes en knude s, der har kanter til alle knuder i den første (nederste) række, en knude t, der har kanter fra alle knuder i den sidste (øverste) række, og en kant fra t til s. Lad m betegne antal kanter og n antal knuder i en cyklisk (r, k) kryds-graf Nedenstående viser en cyklisk (4, 5) kryds-graf. t u s I denne opgave betragtes problemet at finde de korteste afstande fra en vilkårlig knude u til alle de øvrige knuder i en cyklisk (r, k) kryds-graf, hvor alle kanter har vægte der kan være både positive og negative. Der antages at der ikke findes negative cykler. Spørgsmål a: Angiv som funktion af r og k udførselstiden af Bellman-Ford s algoritme for at finde de korteste afstande fra en knude u til alle de øvrige knuder i en cyklisk (r, k) kryds-graf. Spørgsmål b: Angiv en algoritme med udførselstid O(n), der finder de korteste afstande fra en knude u til alle de øvrige knuder i en cyklisk (r, k) kryds-graf. Argumenter for algoritmens udførselstid. Spørgsmål c: Angiv en algoritme med udførselstid O(n 2 ), der finder de korteste afstande mellem alle par af knuder i en cyklisk (r, k) kryds-graf. Argumenter for algoritmens udførselstid.