MM-86 Matematisk-naturvidenskabelig fagdidaktik - læring og formidling. UGE 39 : Naturvidenskab og matematik som kulturarv

Transkript

1 MM-86 Matematisk-naturvidenskabelig fagdidaktik - læring og formidling UGE 39 : Naturvidenskab og matematik som kulturarv

2 Agenda Almendannelse, kultur, samfund, matematik og naturvidenskab Hverdagssprog, videnskabssprog og fejlopfattelser Matematik: Hvad, hvor meget og hvordan Moderne matematik? Betydning for undervisningsfaget matematik

3 Dietrich Schwanitz

4 ALLES, WAS MAN WISSEN MUß Die naturwissenschaftlichen Kenntnisse werden zwar in der Schule gelehrt; sie tragen auch einiges zum Verständnis der Kultur bei [..] Naturwissenschaftliche Kenntnisse müssen zwar nicht versteckt werden, aber zur Bildung gehören sie nicht. S. 482

5 De to kulturer C.P. Snow: The Two Cultures and the Scientific Revolution. Litterater og naturvidenskabsmænd Foragt og næsegrus beundring Beundring og tvivl Kritisk og realistisk forhold til naturvidenskaben

6 Matematik en (bort-) integreret del af kulturen Matematikken spiller en afgørende - men ofte skjult rolle i vores moderne kultur. Matematiske modeldannelser er integreret i vores kultur i en sådan grad, at det er vanskeligt at forestille sig, hvordan verden ville se ud uden disse modeller. Tænk f.eks. på Vores kalender- og tidssystem... Morten Blomhøj

7 BØRSKURSER PÅ FORMEL Forskere ved Massachusetts Institute of Technology (MIT) mener ifølge tidsskriftet Nature at have fundet matematiske love, der forudsiger børskrak. Og de viser en slående lighed mellem børskrak og jordskælv. Eller i hvert fald en lighed med de matematiske formler, der kan beskrive dem. Ikke så overraskende er det de største investorer, der former markedet. Men ligesom med jordskælv mener forskerne ikke at deres fund kan bruges til at forhindre nedture på børsen. Blot hjælpe sofistikerede investorer. Politiken, 18. maj 2003

8 Relevansparadokset Matematiske modeller bruges ifm. mange samfunds- og erhvervsmæssige beslutninger og påvirker dermed vigtige beslutningsprocesser. Den sociale og samfundsmæssige betydning af matematiske modeller er usynlig for almindelig mennesker. Der består med andre ord et relevans-paradoks, hvad angår matematikkens samfundsmæssige betydning. (Mogens Niss)

9 Hverdagssprog Alt er relativt Nu er Danmarks chancer for at kvalificere sig til EM mere teoretiske end kvantefysik 10 = 44 Naturvidenskaben og dens abstrakte tænkning er svær fordi den bryder med hverdagstænkningen. Evolutionen har ikke flyttet den menneskelige hjerne ind i det moderne samfund

10 Kirsten Paludan Naturvidenskaberne kræver evner til at tænke abstrakt. Det kan vi også godt, men vore tænkeevner blev grundlagt for år siden og har ikke ændret sig stort i de sidste år Dem, vi benytter os af til "normalt brug", er beregnet til et nomadesamfund med få medlemmer og et liv mellem sletter, klipper og floder, dyr og planter og vind og vejr. At forstå naturvidenskabelige fænomener, der følger andre regler end savannens, kræver derimod, at vi bruger vore evner på noget, de ikke fra begyndelsen er indstillet til. Mange af naturfagsundervisningens problemer udspringer af modsætningen mellem vores år gamle hjerne og så den delvist "unaturlige" tankegang, der er udviklet af de sidste 500 års abstrakte videnskab.

11 De hårde fag Det ville være at lokke folk ind med falsk reklame. De hårde fag er og bliver hårde, og der er intet venligt imødekommende ved kvantemekanikken, populationsgenetik og differentialligninger (..) vi kan ikke pille det hårde ud af fagene og fritage de studerende for det hårde arbejde, vi skal ikke spæde studierne med tynde ting, der hører hjemme i andre studier, og vi skal ikke pynte på hårde og svære fag med det drys humanisme og pædagogik for at lokke for dem, der ikke er indstillet på et knokkelarbejde og en stor kontant udfordring

12 Facts, facitter og formler Vender den danske skole tingene på hovedet? Bliver børnene præsenteret for grovrids og store overblik i 8-13-års-alderen, hvor de er meget mere motiverede for detaljerne? Og får de unge i års-alderen facts, facitter og formler, hvor de er meget mere motiverede for sammenhæng, overblik og perspektiver - for ikke at tale om tanker om fremtiden, uddannelse og karriere og forholdet til andre unge?

13 Elever i 1. g Lad mig starte med at fortælle, at tal, variabler og funktioner ikke er det jeg har lettest ved i matematikken. Måske er det på grund af de alt for hurtige gennemgange i skolen, hvor vi ikke får andet end et par uger til at sætte os ind i kapitlerne i vores lærebøger. Jeg tror, at det er forklaringen på, at jeg har svært ved at give en nøjagtig forklaring på, hvad begreberne betyder. (..) f.eks. ville det ikke være særlig hurtigt hvis man f.eks. skulle skrive æbler eller pære efter det antal man har af dem (6 æbler + 7 pærer + 23 æbler 7 pærer) i dette tilfælde ville det være meget nemmere/hurtigere at skrive (6æ + 7p + 23æ 7p).

14 Misconceptions: Shlomo Vinner (1983) Korrespondancen skal være givet en regel En funktion skal være givet ved et symbolsk udtryk En funktion defineres ved graf eller symbolsk udtryk En funktion er givet ved præcis en regel Der kan være forskellige regler for en funktions korrespondance i disjunkte domæner under forudsætning af, at disse er regulære En regel for korrespondance, der ikke er givet ved et symbolsk udtryk, er kun en funktion, hvis matematisk ekspertise har udnævnt den til funktion En funktions graf skal være regulær og systematisk

15 VINNER Begrebsbillede (concept image) Billede Symbol Sprog MATEMATISK BEGREB Problemløsning Situation Relation til andre begreber Eksempel

16 Davis & Hersh (1990) The definition-theorem-proof approach to mathematics has become almost the sole paradigm of mathematical exposition and advanced instruction. Of course this is not the way mathematics is created, propragated, or even understood. The logical analysis of mathematics, which reduces a proof to an (in principle) mechanizable procedure, is a hypothetical possibility, which is never realized in full. Mathematics is a human activity, and the formal-logical account of mathematics is only a fiction; mathematics itself is to be found in the actual practice of mathematicians.

17 Hvor meget matematik? nye sætninger pr år It would appear from the record that mankind can go on generating mathematics. But this may be a naive assessment based on linear (or exponential) extrapolation, an assessment that fails to take into account diminution due to irrelevance or obsolescence. (Side 24)

18 Helge Kragh: Videnskabens Væsen

19 Videnskabens grænse Videnskabelige publikationer siden 1700-tallet: Fordoblingstid på omkring 15 år! Økonomiske omkostninger ved videnskab: Fordoblingstid på omkring 10 år!! Omkring 80% af alle videnskabsmænd gennem historien lever i dag!!! Opgave: Hvornår er samtlige mennesker i verden videnskabsmænd?

20 Vladimir Arnold All mathematics is divided into three parts: cryptography (paid for by CIA, KGB and the like), hydrodynamics (supported by manufactures of atomic submarines) and celestial mechanics (financed by military and other institutions dealing with missiles, such as NASA) (..) The existence of mysterious relations between all these different domains is the most striking and delightful feature of mathematics (having no rational explanation)

21 Growing specialization and bureaucratic subdivision of mathematics into small domains becomes an obstacle to its development (..) This lack of understanding of interrelations between different domains of mathematics originates from the disastrous divorce of mathematics and physics in the middle of the 20 th century, and from the resulting degeometrisation of mathematical education.

22 Hans Freudenthal Mathematical structures have arisen in richer contexts and be created in order to be applied where they have arisen and beyond. Mathematics have arisen and arises through mathematising. This phenomenological fact is didactically accounted for by the principle of guided reinvention.

23 Ian Stewart Physics and mathematics have also changed beyond recognition, becoming more powerful, more general, more flexible, and a lot closer to intricacies of life. These advances offer radical new opportunities for uniting the biological and mathematical worldsviews, at a time when there is a renewed and urgent need for just such a unification. New mathematical ideas will interact with the biological and physical sciences in totally new ways. Where physics and mathematics cease and biology takes over will be a matter of taste.

24 Et resultat fra fagdidaktisk forskning Overførselsproblemet. En undersøgelse af besvarelser af eksamensopgaver i fysik ved studentereksamen 1998

25 B/µT I/mA

26 CLAUSSEN ET. AL. (2000): Eksamensopgaver i fysik Spørgsmål 1b: 10 Korrekt besvarelse. 70 Anvender korrekt formel, men fratrækker ikke jordfeltet. 79 Andre fejl.

27 KORRESPONDANCE/ COVARIATION Korrespondance opfattelsen er i overensstemmelse med Dirichlets definition fra 1837 af en funktion som en eller anden regel, der knytter en bestemt værdi y til ethvert x i en bestemt mængde af punkter. Hvis det på en eller anden måde kan beskrives, hvordan der til en given værdi af x kan bestemmes en værdi for y (eller f(x)), så foreligger der en funktionel sammenhæng. I covariation opfattelsen beskrives sammenhængen mellem ændringer i den uafhængige variabel x og ændringer i den afhængige variabel y.

28 Uddybning Hvilken udgave af matematik skal formidles i uddannelssessytemet? Naturvidenskab og matematik et trygt sted for utrygge mennesker? Er matematik kulturfri? konteksfri? Naturvidenskab, matematik og kunst kunsten har altid været stærkt påvirket af ideer og tanker fra naturvidenskab!

29 Udleveret materiale Martin P. Bendsøe (2001): Matematik er teknikkens sprog. I Mogens Niss (red.) Matematikken og Verden. Fremad,