Undersøgelser af trekanter

Transkript

1 En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus, når vi ikke kan komme til at måle den direkte? Hvordan kan vi finde bredden af en flod, som vi heller ikke kan komme til at måle? Det teoretiske grundlag for at kunne svare på dette spørgsmål er først og fremmest viden om ligedannede trekanter og kendskab til Pythagoras sætning. Dette grundlag søges opbygget i kapitlet igennem elevernes undersøgende og eksperimenterende arbejde. Undersøgelserne vedrører indledningsvist teoretiske problemstillinger fx undersøgelser, der beskæftiger sig med forholdet mellem ensliggende sider i ligedannede trekanter. Efterfølgende skal eleverne bruge deres (nye) viden til at løse praktiske problemstillinger fx til beregninger af afstande. Set i forhold til andre matematikfaglige emner, er det bl.a. i dette kapitel, at der arbejdes med grundlaget for trigonometri. Det er også i dette kapitel, at eleverne introduceres for Pythagoras sætning. I forhold til elevernes udvikling af matematiske kompetencer giver kapitlet især mulighed for at fokusere på problembehandlings-, ræsonnements- og hjælpemiddelkompetence, men også repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen kan komme i spil. I kapitlet arbejdes med følgende matematiske centrale begreber: Ensvinklede figurer Ensliggende sider Ensliggende vinkler Topvinkler Kateter, hypotenuse Forhold i ligedannede trekanter Pythagoras sætning Tangens Huskeliste: Et geometriprogram (evt. til side 68, 70, 74, 78) Meterhjul, meterstok eller målebånd (til side 72 og 79) Teodolit eller vinkelmåler (til side 79) Sømbræt og elastikker (til side 76) Lommeregner med tangensfunktion (til side 79, 80 og 81) UNDERSØGELSER AF TREKANTER 1

2 FRA FAGHÆFTET Kompetencer opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (problembehandlingskompetence) udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) Matematiske emner I arbejdet med geometri at kende og anvende forskellige geometriske figurers egenskaber benytte grundlæggende geometriske begreber, herunder størrelsesforhold og linjers indbyrdes beliggenhed kende og anvende målestoksforhold, ligedannethed og kongruens udføre enkle geometriske beregninger, bl.a. ved hjælp af Pythagoras sætning arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og beregne sider og vinkler bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer Matematik i anvendelse erkende matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag Matematiske arbejdsmåder undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske problemstillinger arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb Indhold og mål I dette skal kapitel skal I undersøge ligedannede trekanter og retvinklede trekanter Målet er, at I lærer mere om ligedannede trekanter. får viden om og lærer at bruge Pythagoras sætning. får viden om og lærer at bruge funktionen tangens. kan bruge jeres viden til at beregne afstande, som I ikke kan måle. UNDERSØGELSER AF TREKANTER 2

3 FACIT Side 66 1a Trekanters former kan beskrives ved hjælp af vinkler: Retvinklet, spidsvinklet eller stumpvinklet. Trekanters former kan også beskrives ved hjælp af sidelængder: Ligebenet, ligesidet. 3a 3b To trekanter er kongruente, når den ene kan bringes til at dække den anden ved en flytning. To trekanter er ligedannede, når den ene er en forstørrelse af den anden. 1b Vinkelsummen i en trekant er 180. Hver vinkel i en trekant er derfor mindre end og 5 er kongruente. 1, 5 og 6 er ligedannede. 2 og 7 er ligedannede. 3 og 4 er ligedannede. 1c 1d En højde i en trekant er et linjestykke fra en af trekantens vinkelspidser, vinkelret på den modstående side eller dennes forlængelse. Ordet højde bruges også om linjestykkets længde. En trekant har tre højder. Arealet af en trekant kan bestemmes ved hjælp af formlen:, hvor h står for en af trekantens højder og g for den tilknyttede grundlinje. 2 Trekant 1 er ligesidet. Den har sidelængden 3 cm, og dens areal er cirka 3,9 cm 2. 5 Målestoksforholdet mellem 1 og 5 er 1:1. Målestoksforholdet mellem 1 og 6 er 1:2. Målestoksforholdet mellem 6 og 5 er 2:1. Målestoksforholdet mellem 2 og 7 er 4:1. Målestoksforholdet mellem 3 og 4 er 1:3. 6a 6b Det kan ikke lade sig gøre at konstruere to trekanter, som er ensvinklede, men ikke ligedannede. Det kan ikke lade sig gøre at konstruere to trekanter, som er ligedannede, men ikke ensvinklede. 7 Ligedannede firkanter er også ensvinklede, men ensvinklede firkanter er ikke nødvendigvis ligedannede. er et kvadrat ensvinklet med et hvilket som helst rektangel. UNDERSØGELSER AF TREKANTER 3

4 Side 67 Side 70 8c 8d I trekant 1 er a og b kateter. I trekant 2 er a og b kateter. I trekant 3 er d og e kateter. I trekant 4 er p og q kateter. I trekant 1 er c hypotenuse. I trekant 2 er c hypotenuse. I trekant 3 er f hypotenuse. I trekant 4 er r hypotenuse. 1 De to topvinkler, der er markeret med rødt, er begge De to topvinkler, der er markeret med blåt, udgør forskellen mellem en lige vinkel og en rød vinkel. De kan derfor begge beregnes ved udtrykket: Side 68 1,2,3 og 4 PROBLEM = 134 De blå topvinkler er således også lige store. a = 4,71 cm b = 4,49 cm c = 4,31 cm A d = 1,57 cm e = 1,50 cm f = 1,44 cm c B a d = 3,00 b e = 3,00 c = 3,00 f 4 Topvinkler er lige store. 5 V 1 og V 5, V 1 og V 7 V 2 og V 6, V 2 og V 8 V 2 og V 5, V 2 og V 7 V 4 og V 6, V 4 og V 8 b a D f E 6 og 7 Ensliggende vinkler er lige store. De tre forhold (divisionsstykker) giver samme resultat. 5 og 6 Forholdet mellem ensliggende sider i to ligedannede trekanter vil altid give samme resultat. Side 69 C FÆRDIGHED (Facit står i grundbogen side 180) e F d 8 Samme regel gælder ikke, hvis to linjer, som ikke er parallelle skæres af en tredje linje. Side 71 9 De to trekanter er ensvinklede og derfor ligedannede. De har begge en ret vinkel. Desuden er vinklerne ved B topvinkler og dermed lige store. Vinkel A og E må også være lige store, da vinkelsummen i begge trekanter er 180. UNDERSØGELSER AF TREKANTER 4

5 10 Længden af linjestykket AC er 12 cm. 11 De to trekanter har to ensliggende vinkler og en vinkel til fælles. 12 Vi ved fra side 68, at forholdet mellem ensliggende sider i ligedannede trekanter er ens. Det må derfor gælde, at. Da, gælder derfor også, at 13 er 6 cm.. 1c er derfor ensvinklede og dermed ligedannede. Trekanterne til højre har to ensliggende vinkler og en fælles vinkel. De er derfor ensvinklede og dermed ligedannede. I trekanterne til venstre er forholdet mellem ensliggende sider. Den søgte afstand (bredden af åen) er derfor 5 2,4 m = 12 m. I trekanterne til højre er forholdet mellem ensliggende Side 72 1a 1b PROBLEM På tegningen til venstre er der først opmålt 10 meter langs kysten, derefter 2 meter mere i samme retning. Vinkelret på kystlinjen er derefter opmålt 2,4 meter til punktet på sigtelinjen til målet (træet på den modsatte kyst). På tegningen til højre er der opmålt 6 meter langs kysten, 4 meter vinkelret på 6-meter linjestykket og 8 meter parallelt med 6 meter linjestykket til punkter på sigtelinjen til målet (træet på den modsatte kyst). Trekanterne til venstre har en topvinkel og en ret vinkel til fælles. De sidste vinkler i trekanterne er også ens, da vinkelsummen i begge trekanter er 180. Trekanterne 2 - Side 73 sider. Det gælder derfor, at den søgte afstand (bredden af åen), b, skal opfylde:. På den måde kan b findes (fx ved at gætte sig frem) til 12. Bredden af åen er altså 12 meter. FÆRDIGHED (Facit står i grundbogen side 180) Side 74 1a 4 1b 9 1c 13 UNDERSØGELSER AF TREKANTER 5

6 2 Areal Mindste = 1,28 cm 2 Areal Næstmindste = 2,52 cm 2 Areal Største = 3,79 cm 2 Største det underforstået, at der er tale om kvadraternes arealer. 9 I den røde trekant er = c 2, fordi kateternes længder er 5 cm og 4 cm. I den blå trekant er a = 5 2, fordi den ene katetes længde er 4 cm, og hypotenusens længde er 5 cm. Mindste Næstmindste 10 I den røde trekant er c = cm. I den blå trekant er a = 3 cm. 3-4 Summen af de mindste kvadraters areal svarer til arealet af det største kvadrat. Side 76 PROBLEM 1 Der er 14 forskellige afstande på et sømbræt. 5 Sammenhængen gælder kun for retvinklede trekanter. 6 Beskrivelsen harmonerer med undersøgelsen, idet a 2 udtrykker arealet af det mindste kvadrat, b 2 udtrykker arealet af det næstmindste kvadrat, og c 2 udtrykker arealet af det største kvadrat. Side 75 7 d 2 + e 2 = f 2 8 Kateternes kvadrater er kvadraterne ved trekantens korteste sider (ved den rette vinkel), og kvadratet på hypotenusen er kvadratet ved den længste side (overfor den rette vinkel). I sætningen er UNDERSØGELSER AF TREKANTER 6

7 2 De præcise længder er Side 79 (i samme rækkefølge som her over) 3 Med a = 16,2 meter fås tan(a) = = 0, Det passer tilnærmelsesvist med resultatet i opgave 3. Side 77 FÆRDIGHED 5 Vi ved (fra lommeregneren), at (Facit står i grundbogen side 180) Side 78 1 Det kan ikke lade sig gøre at finde højden af huset ved hjælp af Pythagoras sætning, da kun én sidelængde er kendt. 2 Vi ved også, at b = 24 (meter). Det gælder derfor, at 6 Ved at løse ligningen fås a = 16,188. Ifølge denne beregning er huset højde altså cirka 16,19 meter. Resultatet harmonerer godt med resultatet i opgave 2.. B 5,4 cm 7 Hvis A var 40, og b var 25 meter, ville husets højde være 25 m tan (40 ) 21 meter. 8-34,0 A AC = 8,0 cm C Målene på tegningen er angivet i målestoksforholdet 1: 300. Det betyder, at husets højde er 300 5,4 cm = 1620 cm = 16,20 m UNDERSØGELSER AF TREKANTER 7

8 Side 80 PROBLEM 1-2 Tangens kan aflæses som y- koordinaten i skæringspunktet mellem vinkelbenet og ligningen med x = 1. 3 Ifølge definitionen på tangens er tan (30 ) =. 5a 5b Fordi 0 divideret med ethvert tal er 0. Hvis vinklen er 90, vil vinkelbenet ikke kunne være hypotenuse i en retvinklet trekant (kateten bliver uendelig lang ). 4 Tan ( Side 81 FÆRDIGHED 0,18 0,27 0,36 0,47 0,58 0,70 0,84 1 1,19 (Facit står i grundbogen side 180) UNDERSØGELSER AF TREKANTER 8