Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
|
|
- Laura Mørk
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Dagens program Hypoteser: kap: Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
2 Estimationsmetoder Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Maximum likelihood estimation Ideen med maximum likehood estimation er, som navnet antyder, at vælge den værdi af parameteren, som maximerer likelihood funktionen. De nition: Maximum likelihood estimatet (m.l.e) af er den værdi ^; som maximerer likelihood funktionen L():Hvis der eksisterer en indre løsning, og likelihood funktionen er di erentiabel, kan maximum ndes ved L 0 (^) = 0: For en tilfældig stikprøve er det som regel lettere at arbejde med logaritmen til likelihood funktionen log L:Da logaritmen er en monoton stigende funktion, gælder der, at hvis ^ maximerer log L(); så maximerer ^ også L(): Bemærk når vi udleder m.l.e, betragtes likelihood funktionen som en funktion af stikprøven, og stikprøven beskrives som stokastiske variable. 2
3 Når populationsfordelingen indeholder ere end en parameter, ndes disse parametre ved simultant at nde maximum for likelihood funktionen. Hvis likelihood funktionen er di erentiabel, kan man dog nde maximum udfra de partielle a edte. En af de "pæne"egenskaber ved m.l.e er, at hvis man ønsker at nde en estimator for en funktion af parameterne, kan man blot transforme m.l.e estimatoren med samme funktion. F.eks. hvis vi ønsker at nde m.l.e for ; når vi kender m.l.e. for 2 : V. kan vi nde m.l.e som p V : Sætning: Hvis g() er en entydig funktion (bijektiv) funktion af ; og ^ er m.l.e af ;så gælder der at g(^) er m.l.e for g(): Egenskaber ved maximum likelihood estimatoren m.l.e er konsistent m.l.e er asymptotisk normalfordelt m.l.e. er en funktion af den su ciente stikprøvefunktion 3
4 Test (Statistisk hypoteseprøvning) Stikprøver kan også bruges til at få viden om hypoteser Eksempler på hypoteser: Når man undersøger, om en behandling virker, er man f.eks. interesseret i at vide, om den behandlede population er anderledes end den ubehandlede population (f.eks. om den lever længere). Når man laver meningsmålinger, kan man være interesseret i at vide, om det ene parti vil få halvdelen af stemmerne. For at undersøge disse påstande statistisk kan man benytte en testprocedure, hvor påstanden formuleres som en hypotese. 4
5 Hypoteser En påstand eller teori modsvares af en modpåstand eller modteori. Påstande og modpåstande kaldes hypoteser. Hypoteser er udsagn om populationsfordelingen. Eksempel: Sandsynligheden for at nde det rigtige kort. Eksperiment: En person skal nde et bestemt kort ud af re kort. Dette kan formuleres som en sandsynlighedsmodel med en Bernoulli fordelt variabel med sandsynlighedsparameter p. Hvis man vælger tilfældigt blandt de re kort, er der p = 0; 25 sandsynlighed for at nde det rigtige kort. En person A hævder at have specielle evner til at nde det rigtige kort blandt re kort. Person B hævder, at person A ikke har specielle evner. Disse påstande kan formuleres som hypoteser: Person A s påstand (hypotese): Sandsynligheden p > 0; 25 Person B s påstand (hypotese): Sandsynligheden p = 0; 25 5
6 Eksempel: Forskelle mellem drenge og pigers evner for matematik. Vi antager, at man kan måle evner ved en række test. Vi antager, at i populationen af piger er testresultatet beskrevet ved en fordeling med middelværdi 1, og for populationen af drenge er middelværdien 2. Vi har nu to påstande, som kan formuleres som hypoteser: Påstand 1: Der er ikke forskel på evnerne for matematik mellem drenge og piger: 1 = 2 Påstand 2: Der er forskel på drenge og pigers evner: 1 6= 2 Hypoteser som angiver ingen forskel kaldes normalt nulhypoteser H 0. 6
7 Eksempler på nulhypoteser H 0 : H 0 : p = 0; 25 H 0 : 1 = 2 Da nulhypotesen ikke altid er sand, er det nødvendigt at de nere en alternativ hypotese. Alternativ hypotesen speci cerer, hvorledes modellen for populationen er, hvis nulhypotesen ikke er sand. Som regel angiver alternativ hypotesen en fordeling for populationen eller en familie af fordelinger for populationen. Eksempel på alternativ hypotese: H A : p > 0; 25 H A : 1 6= 2 Vi ønsker nu at benytte en stikprøve til at undersøge hypotesen. At benytte en stikprøve til at opnå viden om hypotesen kaldes statistisk hypoteseprøvning 7
8 Testprocedure Når man undersøger en hypotese på baggrund af en stikprøve, skal man huske, at stikprøven består af stokastiske variable. Det betyder, at man med en anden stikprøve ville kunne nå til en anden konklusion vedr. hypotesen. Derfor kan man aldrig være fuldstændig sikker på konklusionen, som er baseret på en stikprøve (med mindre at stikprøven udgør hele populationen). Derfor ønsker vi en testprocedure, hvor der er gode chancer for at nå til den rigtige konklusion vedr. hypotesen. 8
9 Ideen bag statistiske test af nulhypoteser er at sammenligne den givne stikprøve, med hvad man ville forvente, hvis nulhypotesen var sand. Til at lave disse sammenligninger konstrueres en teststørrelse. Teststørrelsen er også en stikprøvefunktion og derfor en stokastisk variabel. Fordelingen af teststørrelsen er bestemt af populationsfordelingen (dvs. det afhænger af, om vi antager, at det er nulhypotesen eller alternativhypotesen, som er sand). Fordelingen under nulhypotesen er fordelingen af teststørrelsen, når vi antager, at det er nulhypotesen, som er sand. 9
10 Sandsynligheden f(y) 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, y f(y) Eksempel Antag at vi ønsker at undersøge, om person A har specielle evner til at nde bestemte kort ved at udføre 10 forsøg. Vi ved, at antallet af succeser i dette eksperiment Y (teststørrelsen) er binomialfordelt Y ~Bin(10; p). Under nulhypotesen (dvs. under antagelse af at p = 0; 25) gælder der, at sandsynlighedsfordelingen for Y er givet ved guren 10
11 I et konkret forsøg på ti gange får person A seks succeser. Dette resultat er ret overraskende, hvis sandsynligheden faktisk er p = 0; 25 (som nulhypotesen angiver). For at angive hvor ekstremt det er at få det observede udfald, angives sandsynligheden for at få noget, som er mindst lige så ekstremt P (Y 6jH 0 ) = P (Y = 6jH 0 ) + P (Y = 7jH 0 ) + P (Y = 8jH 0 ) + P (Y = 9jH 0 ) + P (Y = 10jH 0 ) = 0; 019 Dette resultat siger, at der er en meget lille sandsynlighed for at få et sådan resultat, hvis p = 0; 25. Omvendt hvis p > 0; 25, vil det være mere sandsynligt at få seks successer. Denne undersøgelse giver således en indikation af, at nulhypotsen ikke er sand. 11
12 Sandsynligheden for at få en lige så ekstremt teststørrelse i retning af alternativ hypotesen, når nulhypotsen er sand, kaldes testsandsynligheden eller P -værdien. Jo mindre testsandsynlighed, jo længere væk ligger teststørrelsen fra det forventede, når nulhypotesen er sand, og jo sværere er det at acceptere, at forskellen bare skyldes tilfældighed i stikprøven. Derfor tages en lille testsandsynlighed som indikation af, at nulhypotesen ikke er sand. Hvor lille skal testsandsynligheden være for at kunne tage det for indikation mod nulhypotesen (tommel ngerregel). P < 0; 01: Stærk indikation mod H 0 0; 01 < P < 0; 05: indikation mod H 0 P > 0; 10 ingen eller meget svag indikation mod H 0 Ofte siger man at hvis P < 0; 05 er det statistisk signi kant. 12
13 Testprocedure Når man skal lave hypoteseprøvning kan følgende procedure anvendes: Trin 1: Angiv H 0 (Find den relevante nulhypotese ud fra den påstand som ønskes undersøgt i det givne eksperiment) Trin 2: Angiv H A : (Angiv den relevante alternativ hypotese) Trin 3: Konstruer teststørrelsen Y (en stikprøvefunktion som kan anvendes til at diskriminere mellem nulhypotesen og alternativ hypotesen) Trin 4: Angiv ekstreme værdier af Y (i retning af alternativ hypotesen er bedre til at forklare data) når nulhypotesen er sand. Trin 5: Med den konkrete stikprøve udregnes værdien af stikprøvefunktionen og på baggrund af denne værdi bestemmes testsandsynligheden (P -værdien). 13
14 Ensidet og tosidet alternativ I tilfældet hvor nulhypotesen er hypotese af formen H 0 : = 0 kan alternativ hypotesen formuleres som et ensidet eller et tosidet alternativ. Det ensidede alternativ er hypoteser af formen: eller H A : > 0 H A : < 0 Det dobbelsidet alternativ er hypoteser af formen H A : 6= 0 Hvilken type af alternativ hypotese som er den rigtige: det afhænger af problemet Teststørrelsens ekstreme værdier vil afhænge af alternativhypotesen. 14
15 Bemærkninger Hvis man anvender 0,05 som en grænse for hvornår noget er signi kant, skal man huske at hvis man tester mange hypoteser (og testsandsynlighederne er uafhængige) er det sandsynligt at man vil nder statistisk signi kans selvom alle nulhypoteserne er sande. Hvorfor det? Hvis konklusionen er at der ikke er statistisk signi kans, er det ikke nødvendigvis det samme som at nulhypotesen er sand. Det kan blot være at der er for stor variation eller stikprøven ikke er stor nok til at skelne forskelle som faktisk eksistere Fordi noget er statistisk signi kant er det ikke det samme som at det i praksis er signi kant. 15
16 Opsummering Estimationsmetoder Test Hypoteser Testprocedure 16
17 Næste gang Onsdag d. 2/5: Z-test kap T-test kap Ikke parameteriske test kap
Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereDagens program. Praktisk information: Husk evalueringer af kurset
Dagens program Praktisk information: Husk evalueringer af kurset Hypoteseprøvning kap. 11.1-11.3 Fokastelsesområdet kap. 11.1 Type I og Type II fejl kap. 11.1 Styrkefunktionen kap. 11.2 Stikprøvens størrelse
Læs mereDagens program. Praktisk information:
Dagens program Praktisk information: Husk hjemmeopgaven i statistik Hypoteseprøvning kap. 11.2,11.3 og 11.8 Eksempel på test Styrkefunktionen kap. 11.2 Stikprøvens størrelse kap. 11.3 Likelihood ratio
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mereRettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler
Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni 2007 4 timers prøve med hjælpemidler Opgaven består af re delopgaver, som alle skal besvares. De re opgaver indgår med samme vægt. Opgaverne
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereBayesiansk statistik. Tom Engsted. DSS Aarhus, 28 november 2017
Bayesiansk statistik Tom Engsted DSS Aarhus, 28 november 2017 1 Figure 1: Nicolajs gur 2 Klassisk frekvensbaseret statistik Statistisk beslutningsteori Bayesiansk statistik Et kompromis mellem den klassiske
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele
Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereEt statistisk test er en konfrontation af virkelighenden (data) med en teori (model).
Hypotesetests, fejltyper og p-værdier og er den nu også det? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet (updated: 2019-03-17) 1 / 40 Statistisk test Et statistisk test er en konfrontation
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereSAS-øvelse: Vi starter ud med model et hvor x=(kvotient, eksald, halvaar, kvinde, MatB,, Gif).
Vi vil formulere en model for et kvalitativ variabel y i med to udfald, at bestå og ikke at bestå første årsprøve. Derefter modeller vi respons-sandsynligheden: Specifikation af sandsynligheden for at
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereProgram. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration
Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag
Læs mere! Husk at udfylde spørgeskema 3. ! Lineær sandsynlighedsmodel. ! Eksempel. ! Mere om evaluering og selvselektion
Dagens program Økonometri 1 Dummy variable 4. marts 003 Emnet for denne forelæsning er kvalitative variable i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.5-7.6+8.1)! Husk at udfylde spørgeskema 3!
Læs mereOpsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Generaliserede lineære modeller Log-lineære modeller
Opsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Binær respons og kategorisk eller kontinuerte forklarende variable. Generaliserede lineære modeller Normalfordelt respons og kategoriske forklarende
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Kapitel 7 Introduktion til statistik Organisering af data Diskrete variabler Kontinuerte variabler Beskrivende statistik Fraktiler Gennemsnit Empirisk varians og spredning Empirisk korrelationkoe
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs mere02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)
02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1
Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006 Økonometri 1: F6 1 Oversigt: De næste forelæsninger Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereKapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser
Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs mereHypotesetests, fejltyper og p-værdier
Hypotesetests, fejltyper og p-værdier Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 25, 2018 Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Hypotesetests, Universitet
Læs mereKvantitative metoder 2
Opgave fra sidst (Gauss-Markov teoremet) Kvantitative metoder Inferens i den lineære regressionsmodel 7. marts 007 Opgave: Vis at hvis M = I X X X X ( ' ) ' er M idempoten dvs der gælder gælder M = M '
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder Heteroskedasticitet 11. april 007 KM: F18 1 Oversigt: Heteroskedasticitet OLS estimation under heteroskedasticitet (W.8.1-): Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS Gyldige test
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Indledende om Signifikanstest Boldøvelser
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Indledende om Signifikanstest Boldøvelser 1 Påstand: Et nyt præparat M virker mod migræne. Inden præparatet kan markedsføres, skal denne påstand
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl
Læs mereModul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereHvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau
Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi
Læs mere9. Chi-i-anden test, case-control data, logistisk regression.
Biostatistik - Cand.Scient.San. 2. semester Karl Bang Christensen Biostatististisk afdeling, KU kach@biostat.ku.dk, 35327491 9. Chi-i-anden test, case-control data, logistisk regression. http://biostat.ku.dk/~kach/css2014/
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Inferens i den lineære regressionsmodel 7. marts 2007 regressionsmodel 1 Opgave fra sidst (Gauss-Markov teoremet) Opgave: Vis at hvis M = I X X X X 1 ( ' ) ' er M idempoten dvs der
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereKønsproportion og familiemønstre.
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,
Læs mereAdgangsgivende eksamen (udeladt kategori: Matematisk student med matematik på niveau A)
Økonometri 1 Forår 2003 Ugeseddel 13 Program for øvelserne: Gruppearbejde Opsamling af gruppearbejdet og introduktion af SAS SAS-øvelser i computerkælderen Øvelsesopgave 6: Hvem består første årsprøve
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Estimation
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Estimation Eksempel: Bissau data Data kommer fra Guinea-Bissau i Vestafrika: 5273 børn blev undersøgt da de var yngre end 7 mdr og blev herefter
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereDagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22
Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som
Læs mereSkriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl. 9.00 12.00 IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt. Opgavesættet består af 5
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 1.7-1.8 Fødselsdagseksemplet, fra sidst Eksperimenterikkealleerligesandsynlige Diskrete sandsynlighedsfordelinger -Definition af sandsynligheder - Regneregler Hvad er sandsynligheder?
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mere1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau...
Indhold 1 Statistisk inferens: Hypotese og test 2 1.1 Nulhypotese - alternativ.................................. 2 1.2 Teststatistik........................................ 3 1.3 P-værdi..........................................
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006. Oversigt: De næste forelæsninger
Oversigt: De næste forelæsninger Økonometri Inferens i den lineære regressionsmodel 5. september 006 Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan drage konklusioner på
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereØkonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater
Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi
Læs mereStatistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable
Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P
Læs mereDagens Temaer. Test for lineær regression. Test for lineær regression - via proc glm. k normalfordelte obs. rækker i proc glm. p. 1/??
Dagens Temaer k normalfordelte obs. rækker i proc glm. Test for lineær regression Test for lineær regression - via proc glm p. 1/?? Proc glm Vi indlæser data i datasættet stress, der har to variable: areal,
Læs mereKvantitative metoder 2
Program for i dag: Kvantitative metoder Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 1. februar 007 Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-) Opsamling fra sidste gang To eksempler To-dimensionale
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006
Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske
Læs mereStatistik viden eller tilfældighed
MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår
Læs mereVelkommen til kurset. Teoretisk Statistik. Lærer: Niels-Erik Jensen
1 Velkommen til kurset Teoretisk Statistik Lærer: Niels-Erik Jensen Plan for i dag: 1. Eks: Er euro'en skæv? 4. Praktiske informationer 2. Eks: Regressionsmodel (kap. 1) 5. Lidt om kursets indhold 3. Hvad
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 12. februar 2007 Kvantitative metoder 2: F3 1 Program for i dag: Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-2) Opsamling
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Mål for sammenhæng mellem to variable
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Mål for sammenhæng mellem to variable Estimation Stikprøve Data Population Teori relativ hyppighed parameter estimat sandsynlighed parameter
Læs mereStastistik og Databehandling på en TI-83
Stastistik og Databehandling på en TI-83 Af Jonas L. Jensen (jonas@imf.au.dk). 1 Fordelingsfunktioner Husk på, at en fordelingsfunktion for en stokastisk variabel X er funktionen F X (t) = P (X t) og at
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs merefor gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereKapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven
Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på
Læs mereEn intro til radiologisk statistik
En intro til radiologisk statistik Erik Morre Pedersen Hypoteser og testning Statistisk signifikans 2 x 2 tabellen og lidt om ROC Inter- og intraobserver statistik Styrkeberegning Konklusion Litteratur
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereProgram. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data
Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration
Læs mereGenerelt er korrelationen mellem elevens samlede vurdering i forsøg 1 og forsøg 2 på 0,79.
Olof Palmes Allé 38 8200 Aarhus N Tlf.nr.: 35 87 88 89 E-mail: stil@stil.dk www.stil.dk CVR-nr.: 13223459 Undersøgelse af de nationale tests reliabilitet 26.02.2016 Sammenfatning I efteråret 2014 blev
Læs mereDagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder
Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives
Læs mere