Kvantitative metoder 2

Transkript

1 Kvantitative metoder 2 Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 12. februar 2007 Kvantitative metoder 2: F3 1

2 Program for i dag: Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL ) Opsamling fra sidste gang To eksempler To-dimensionale kontingenstabeller (BL.13.5) 2 x 2 tabeller Generelle r x c tabeller Test af uafhængighed og homogenitet Ex: Ledelsestransitioner i danske virksomheder Kvantitative metoder 2: F3 2

3 Analyse af to-dimensionale kontingenstabeller Krydser to kategoriserede variabler, X og Y Ex. (fortsat fra sidste gang): Bennedsen mfl. Ledelsestransitioner i familieejede virksomheder To typer af transitioner: Familie eller ej-familie To værdier af kønnet på afgående direktørs førstefødte barn: Pige eller dreng 2x2 tabel: Begge variabler har to kategorier Danske virksomheder fordelt efter køn på afgående direktørs førstefødte barn og transitionstype Pige Dreng Familie Ejfamilie Kvantitative metoder 2: F3 3

4 Analyse af to-dimensionale kontingenstabeller: 2x2 tilfældet Generel notation: Y=1 Y=2 n ij antal udfald hvor X=i og Y=j n i+ antal udfald hvor X=i = n i1 + n i2 n +j antal udfald hvor Y=j = n 1j + n 2j X=1 X=2 n 11 n 21 n +1 n 12 n 22 n +2 n 1+ n 2+ n Estimat af sandsynlighed i den simultane fordeling af X og Y: pˆ = n / n ij ij Estimat af marginale sandsynligheder: pˆ = n / n og pˆ = n / n i+ i+ + j + j Kvantitative metoder 2: F3 4

5 Analyse af to-dimensionale kontingenstabeller: 2x2 tilfældet Uafhængighed mellem X og Y: Hvis og kun hvis for alle i og j: p = p p ij i+ + j Test af H 0 : Uafhængighed overfor H 1 : Generel form for afhængighed Testet baseret på sammenligning af urestrikterede sandsynligheder og sandsynligheder pålagt uafhængighedsantagelsen. Urestrikteret Y=1 Y=2 X=1 X=2 Marg. Under uafhængighed X=1 X=2 Marg. p 11 p 12 p 21 p 22 p +1 p +2 Y=1 Y=2 p 1+ p +1 p 1+ p +2 p 2+ p +1 p 2+ p +2 p +1 p +2 Marg. p 1+ p 2+ 1 Marg. p 1+ p 2+ 1 Kvantitative metoder 2: F3 5

6 Analyse af to-dimensionale kontingenstabeller: 2x2 tilfældet Under H 0 : Uafhængighed bliver den forventede cellefrekvens: 0 n n n n i+ e ˆ ˆ ˆ ij = npij = npi+ p+ j = n = n n n + j i+ + j hvor estimaterne af de marginale sandsynligheder er sat ind. Danske virksomheder fordelt efter køn på afgående direktørs førstefødte barn og transitionstype: n ij og e ij Familie Ejfamilie Pige Forventede cellefrekvenser med kursiv Dreng Kvantitative metoder 2: F3 6

7 Analyse af to-dimensionale kontingenstabeller: 2x2 tilfældet Q-testet for uafhængighed for 2x2 tabel: 2 2 ( nij eij ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q = = e i= 1 j= 1 ij H X Y Q 2 * Under 0 : og uafhængige er χ (1) asymp. i ekse H0 mplet. afvises for store værdier. Antal frihedsgrader i testet: Den urestrikterede 2x2 tabel har 3 frie sandsynligheder (summen er lig 1) Den restrikterede 2x2 tabel har 2 frie (marginale) sandsynligheder. Eller brug generelt resultat for parametrisk multinomialfordeling: Antal frihedsgrader = k 1 r = 1, hvor k = 4 og r = 2 : antal parametre under H (de to marginalsandsynligheder). 0 FAMTRANS.SAS beregner testet Q = Konklusion: H afvises meget markant! 0 Kvantitative metoder 2: F3 7

8 Analyse af to-dimensionale kontingenstabeller: rxc tilfældet Q-testet for uafhængighed for rx c tabel (NB. BL "genbruger" symbolet r): Q = r c ( n e ) ij e i= 1 j= 1 ij ij 2 * Under H : X og Y uafhængige er Q χ (( r 1)( c 1)) asymp. H afvises for store værdier Antal frihedsgrader i testet: Brug generelt resultat for parametrisk multinomialfordeling: Antal frihedsgrader = k 1 f, hvor k = rc og f er antal parametre under H0: r 1 frie rækkesandsynligheder og c 1 frie kolonnesandsynligheder. Samlet: k 1 f = rc 1 ( r 1) ( c 1) = ( r 1)( c 1) Kvantitative metoder 2: F3 8

9 Analyse af to-dimensionale kontingenstabeller: Homogenitetstestet I uafhængighedstestet betragtes stikprøven som et tilfældigt udvalg, hvor (X,Y) kombinationen registreres for hvert individ. Alternativ betragtning: Analysere fordelingen af udfaldene over Y for r givne værdier af X. Relevant i tilfælde, hvor værdien af X kan kontrolleres: Fx udtrækkes lige mange personer af hvert køn til stikprøven. Teste om de r betingede fordelinger af Y er ens. Hypotesen kan formuleres som No difference between subpopulations eller homogenitetshypotesen Q-testet er uændret i forhold til uafhængighedstestet. Antal frihedsgrader i testet også uændret. Kvantitative metoder 2: F3 9

10 Resume og NB er: Beskrivende statistisk analyse for at undersøge datasættets struktur (grafisk eller som tabel) Introducere et nyt statistisk redskab til analysen: Fordelinger af kategoriserede data. Q-testet til test af simple hypoteser på sandsynligheder Q-testet til test af sammensatte hypoteser i kontingenstabel: Estimation af frie parametre under nulhypotesen giver reduktion i antal frihedsgrader Test for uafhængighed og homogenitet er formelt ækvivalente, men afspejler forskellig fortolkning af data. Kvantitative metoder 2: F3 10

11 Hvad bliver det næste? Næste forelæsning: Onsdag den 14. februar: Lineær regression. W.2 Øvelserne: Begynder i denne uge. Læs Ugeseddel 1 Kast et blik på Varians kap. 6 om forbrugerens problem NB: Hold 1: Øvelser flyttet til onsdag kl i Større Øvelsessal Kvantitative metoder 2: F3 11