Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler

Transkript

1 Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler Opgaven består af re delopgaver, som alle skal besvares. De re opgaver indgår med samme vægt. Opgaverne er lavet således at de første 3 delspørgsmål er i meget centrale dele af pensum. Det sidste delspørgsmål i hver opgave er et svært spørgsmål. I denne rettevejledning henvises til Berr & Lindgreen: "Statistics: Theor and methods"(b&l). Opgave 1 Det antages, at sandsnligheden for at skifte job i løbet af et år er p; og heraf følger at sandsnlighen for ikke at skifte job (forblive i sin ansættelse) er 1 p: Lad D t være en stokastisk variabel, som angiver, om man skifter job i år t: D t er de neret således 1 hvis der er et jobskifte i år t D t = 0 hvis man fortsætter i nuværende job i år t Det antages, at D i og D j er uafhængige for i 6= j: Lad X angive antallet af jobskift i løbet af en 10 års periode: X = D 1 + D 2 + ::: + D 10 Antag at p = 0:20: 1. For at udregne sandsnligheden for at en person har 5 jobskift i løbet af 10 år: P (X = 5) skal de studerende redegøre for, at X er binomialfordelt med antalsparameter 10 og sandsnlighedsparameter p: Dette kan gøre ved at henvise til B&L side 120 og i øvrigt bemærke at antagelserne om uafhængige Bernoulli fordelte variable er opfldt. Punktsandsnligheden udregnes som 10 P (X = 5) = (0:20) 5 (1 0:20) 5 = 0: Det forventede antal jobskift i løbet af en 10 års periode E(X) kan udregnes, idet man bentter at middelværdien i en binomialfordeling er (se B&L side 123) np : E(X) = 10 0:2 = 2: Alternativt kan man direkte udregne middelværdien som E(X) = E(D 1 +D 2 +:::+D 10 ) = 100:2: 3. De studerende skal i ord forklare hvad antagelsen "D i og D j er uafhængige for i 6= j" betder. Her er der ere måde at forklare det på f.eks ved at argumentere for, at det betder at sandsnligheden for at skifte job i år er upåvirket af om man skiftede job sidste år. Det er vigtigt, at de studerende viser, at de forstår begrebet uafhængighed. Det er acceptablet, hvis de studerende her gør rede for, hvad det vil sige, hvis der ikke er uafhængighed. Rimeligheden i antagelsen skal diskuteres. Her kan f.eks. nævnes at hvis personen tilstræber at have et job i mindst to år vil uafhængighedsantagelsen ikke være opfldt, idet sandsnligheden for at skifte job vil være lavere hvis man sidste år skiftede job.. 4. Det antages, at vi ser på en person, som kommer ind på arbejdsmarkedet i år 1: T 1 er længden af første ansættelse. (a) De studerende skal argumente for at P (T 1 = 8) = P (D 1 = D 2 = D 3 = ::: = D 7 = 0; D 8 = 1): Dette kan gøres verbalt, idet, man kan argumentere at hvis længden af den første ansættelse er præcis 8 år, betder det at personen skal beholde sit job i de første 7 år men i det ottende år skifte job. Altså der gælder at 8 er det samme som D 1 = D 2 = D 3 = ::: = D 7 = 0; D 8 = 1 1

2 (b) Sandsnligheden for at længden af første ansættelse er 8 år: P (T 1 = 8) kan udregnes på to måder. De studerende kan direkte tage udgangspunkt i udtrkket for spørgsmål 4.a og så bentte at der er uafhængighed mellem D 0 erne P ( 8) = P (D 1 = D 2 = D 3 = ::: = D 7 = 0; D 8 = 1) = P (D 1 = 0) P (D 2 = 0) :::: P (D 7 = 0) P (D 8 = 1) = (1 p) (1 p) (1 p) (1 p) (1 p) (1 p) (1 p) p = (1 p) 7 p = 0:8 7 0:20 = 0:042 Alternativ kan de studerende redegøre for at T er geometrisk fordelt med sandsnlighedsparameter p(se B&L side 131) og udregne punktsandsnligheden som P ( 8) = (1 p) 7 p = 0:8 7 0:20 = 0: De studerende skal her redegøre for at T 1 er geometrisk fordelt. Det er vigtigt at de studerende gør rede for at forudsætningerne er opfldt (se B&L side 131). 6. T 2 er længden af den anden ansættelse. De studerende skal her angive fordelingen af T 1 + T 2 ; som er negativt binomialfordelt med sandsnlighedsparameter p og r = 2: Fordelingen kan f.eks. bestemmes ved at bentte eksemple 4.4b i B&L side 131. De studerende bør bemærke at alle forudsætningerne (identiske fordelte uafhængige Bernoullifordelt variable) er opfldt. Opgave 2 Lad M være en stokastisk variabel, som angiver jobskifte og tpen af jobskifte indenfor et år. Y er en stokastisk variabel, som angiver den procentuelle årlige lønstigning (bemærk "lønstigninger"kan også være negative, altså lønnedgange). 1. Den forventede lønstigning for forskelige personer kan udregnes som betingede middelværdier. Ved at anvende formlen for betingede middelværdier (se B&L side 85) udregnes følgende: (a) E(Y jm = IJ) = 5 0: : : :1 = 1 (b) E(Y jm = F J) = 5 0: : : :20 = 3:5 (c) E(Y jm = UJ) = 5 0: : : = 1:5 2. Den marginale sandsnlighed P (Y = 5%) kan udregnes ved at anvende B&L formel (5) side 65. Her skal de studerende indse, at fm = IJg; fm = F Jg; fm = UJg er hele udfaldsrummet opdelt i disjunkte hændelser (partition): P (Y = 5%) = P (Y = 5%jM = IJ) P (M = IJ) + P (Y = 5%jM = F J) P (M = F J) +P (Y = 5%jM = UJ) P (M = UJ) = 0:15 0:80 + 0:10 0:15 + 0:50 0:05 = 0:16 3. De studerende skal angive at lønstigningen Y og jobmobilitet M ikke er uafhængige. De studerende bør anføre et argument for at uafhængighedsantagelsen ikke er opfldt, f.eks. at de betingede fordelinger i tabel 1 afhænger af M. 4. De studerende skal i ord redegøre for sandsnligheden P (M = U JjY = 5%) : Sandsnligheden for en person som har en 5% lønnedgang ufrivilligt har skiftet job. Sandsnligheden kan udregnes ved at anvende Baes formel (B&L side 59 formel (1)): P (M = UJjY = 5%) = = 0:50 0:05 0:16 = 0:156 P (Y = 5%jM = UJ)P (M = UJ) P (Y = 5%) 2

3 5. Den betingede varians kan udregnes som (se B&L side 92) V (Y jm = IJ) = E(Y 2 jm = IJ) E(Y jm = IJ) 2 = ( 5) 2 0: :60 + (5) 2 0:15 + (10) 2 0:10 (1) 2 = 16:5 6. I praksis observerer man sjældent, om en person skifter job frivilligt eller ufrivilligt, men kun om personen skifter job. De studerende skal udregne den forventede lønstigning for en person som skifter job E(Y jm = F J ellerm = UJ): Denne middelværdi kan beregnes på ere måder. En måde er at anvende B&L formlen øverst side 85 E(Y jm = F J ellerm = UJ) = X f(jm = F J eller M = UJ) = X f(; (M = F J eller M = UJ) P (M = F J eller M = UJ) = X f(; M = F J) + f(; M = UJ) P (M = F J) + P (M = UJ) = X f(; M = F J) P (M = F J) P (M = F J) P (M = F J) + P (M = UJ) + X f(; M = UJ) P (M = UJ) P (M = UJ) P (M = F J) + P (M = UJ) P (M = F J) P (M = UJ) = E(Y jm = F J) + E(Y jm = UJ) P (M = F J) + P (M = UJ) P (M = F J) + P (M = UJ) 0:15 0:05 = 3:5 1:5 0:15 + 0:05 0:15 + 0:05 = 2:25 Andet lighedstegn følger af at anvende de nitionen på betingede sandsnligheder. Tredje lighedstegn følger af at anvende at M = F J og M = UJ er disjunkte mængder. Den betingede middelværdi kan bestemmes som et vægtet gennemsnit af de to betingede middelværdier fra spørgsmål 1.b og 1.c. Hvis de studerende intuitivt kan komme med det korrekte svar, bør dette også regnes som korrekt. Af beregningerne ses, at den "observerede"lønstigning er mindre end lønstigningen ved frivilligt jobskifte. Opgave 3 Vi ønsker at undersøge sandsnligheden for at skifte job. Det antages, at jobskifte mellem 1993 og 1994, X; kan beskrives ved en Bernoulli fordelt variabel med sandsnlighedsparameter p; dvs. P (X = 1) = p: Lad (X 1; X 2 ; X 3 ; :::; X n ) være en tilfældig stikprøve fra populationen af danskere som var beskæftiget i 1993 og Vi vil i det følgende bentte gennemsnittet X = 1 n P n i=1 X i som estimator for p: 1. På baggrund af en tilfældig stikprøve bestående af personer beskrevet i tabel 2 og estimatoren X = 1 P n n i=1 X i udregnes estimatet for p : ^p = X = 220 = 0:207; idet gennemsnittet af Bernoulli variable er lig andellen af 1-taller i stikprøven. 2. De studerende bør redegøre for, hvad det vil sige at en estimator er konsistent. Dernæst skal de studerende vise, at estimatoren X = 1 P n n i=1 X i er en konsistent estimator. Dette kan gøres ved at anvende at E( X) = p og V ( X) p(1 p) = n (se B&L side 372). Der gælder nu at lim E( X) = p og lim V ( X) = 0 n!1 n!1 hvilket er tilstrækkeligt for, at vise at estimatoren er konstistent for p (se B&L side 378). 3

4 3. De studerende skal angive et 90% kon densinterval for parameteren p: Kon densintervallet kan bestemmes ved at bentte B&L formel (6) side 383, hvor k=1.645, idet det bemærkes at stikprøven er stor. r ^p(1 ^p) ^p 1:645 90% Kon densintervallet er [0.187;0.227]. 4. De studerende skal teste nulhpotesen H 0 : p = 0:20 mod alternativhpotesen H A : p > 0:20; hvor der anvendes et 5% signi kansniveau. (a) For at udføre testet bør de studerende redegøre for teststørrelsen. Teststørrelsen, som bør anvendes, er Z-teststørrelsen (se B&L side 432), idet man udntter, at stikprøven er stor, så de asmptotiske resultater kan anvendes. Teststørrelsen er Z = q ^p p 0 p 0(1 p 0) N(0; 1) I dette test er store værdier af Z ekstreme værdier. Teststørrelsens værdi er Z = 0:207 0:20 q 0:200:8 = 0:57 Testsandsnligheden kan (jvf. B&L side 433) udregnes til P = 1 (0:57) = 0:2843: De studerende bør også angive konklusionen på testet, idet man anvender et 5% signi kansniveau. Konklusionen er, at nulhpotesen ikke kan forkastes. (b) De studerende bør redegøre for, at teststørrelsens fordeling er udledt under en række antagelser: populationen er Bernoullifordelt, stikprøven er tilfældig, stikprøven er stor. (c) De studerende bør kunne beskrive hvad signi kansniveauet angiver. Dette kan gøres ved at relatere signi kansniveauet til tpe I fejl. 5. De studerende bør her angive strkefunktionen. For at gøre dette skal man først angive forkastelses området for testet i spørgsmål 4. Forkastelsesområdet er R = [1:645; 1[: Desuden anvendes at p(1 p) ^p N(p; ):Strkefunktionen kan bestemmes idet man anvender B&L eksempel 11.2b side 458-9: (p) = P (Z 2 Rjp) = P (Z > 1:645jp) r 0:2 0:8 = P (^p > 0:2 + 1:645 ) = : 1 : (0:22) = 1 (0:015) = : 1 (0) = 0:5 p! 0:2 p 0:2 0:8 p + 1:645p p(1 p)= p (1 p) Strkefunktionen angiver, at man med ca. 50% sandsnlighed ved forkaste nulhpotesen når p = 0:22: Opgave 4 Det antages, at timelønnen før et jobskifte er normalfordelt Y 1 ~N( 1 ; 2 1); og at timelønnen efter et jobskifte er normalfordelt Y 2 ~N( 2 ; 2 2). Desuden antages, at vi udtager en tilfældig stikprøve af beskæftigede i 1993 og 1994, som skiftede job mellem 1993 og Lad JS være givet ved JS = 2 1 :De studerende skal angive en middelret estimator for JS og redegøre for, at den er middelret. Her er et oplagt valg af estimator (se B&L side 391) ^JS = D = X 2 X1 4

5 Det fremgår direkte af B&L side 391, at estimatoren er middelret. Alternativt kan det vises direkte at estimatoren er middelret: E(^ JS ) = E( X 2 X1 ) = E( X 2 ) E( X 1 ) = 2 1 = JS : Andre middelrette estimatorer skal også regnes for et korrekt svar. 2. De studerende skal angive estimatet for JS baseret på estimatoren fra spørgsmål 1 og stikprøven gengivet i tabel 3. Estimatet er (med estimatoren fra spørgsmål 1) ^JS = 142:19 134:74 = 7:45 3. De studerende skal kunne gennemføre et test for hpotesen H 0 : JS = 0 mod alternativ hpotesen H A : JS 6= 0 på et 5% signi kansniveau. For at gøre dette bør de studerende angive teststørrelsen og teststørrelsens fordeling. Teststørrelsen kan i dette tilfælde ndes ved bentte B&L side 509, som er en teststørrelse for parvise observationer. De studerende bør bemærke, at der her er tale om parvise observationer (de to stikprøver er ikke uafhængige). Teststørrelsen er D p 0 ~t(n 1); S 2 D =n med 0 = 0 og n = 31: Værdien af teststørrelsen for den konkrete stikprøve kan udregnes til 7:45 p 366:52=31 = 2:17: Testet kan udføres enten ved at udregne testsandsnligheden eller at anvende et forkastelsesområde. Begge metoder skal regnes for et korrekt svar. Benttes testsandsnligheden, skal de studerende redegøre for, at både store og små værdier af teststørrelsen taler for alternativ hpotesen. Testsandsnligheden er derfor P = 2P (T > 2:17) : = 2 P (T > 2:2) = 2 0:018 = 0:038 I tabel IIIb kan halesandsnligheden for en t-fordeling med 30 frihedsgrader bestemmes for værdien 2.2. Dette kan anvendes som en approksimation. De studerende bør angive hvad konklusionen på testet er, nemlig at nulhpotesen forkastes, idet P < 0:05. Alternativt kan testet udføres ved anvendelse af et forkastelsesområde. I dette tilfælde er forkastelsesområdet bestemt ved 2.5% fraktilen og 97.5 % fraktilen i en t-fordeling med 30 frihedsgrader. Da R sluttes at nulhpotesen forkastes. R =] 1; 2:04] [ [2:04; 1[: 4. På baggrund af en stikprøve af personer, som ikke skifter job mellem 1993 og 1994, undersøger man ændringen i timelønnen fra 1993 til Lad IJ angive ændringen i timelønnen for personer som ikke skifter job. (a) De studerende skal i ord beskrive nulhpotesen H 0 : JS = IJ : Det er her vigtigt, at de studerende er i stand til at redegøre for den økonomiske betdning af hpotesen. Denne hpotese angiver at den forventede lønstigningen mellem 1993 og 94 var den samme for personer som skiftede job og ikke skiftede job. Hpotesen i spørgsmål 3 angiver at den forventede lønstigning er lig 0. (b) De studerende skal angive et estimat for IJ. Analogt til spørgsmål 1 og 2, kan estimatet direkte a æses fra tabel 4 til ^IJ = 3:25: De studerende bør bemærke, at estimatet er lavere end estimatet for den forventede lønstigning for personer, som skifter job JS : 5

6 5. Det antages, at variansen for timelønsændringen (Y 2 Y 1 ) er den samme for personer, uanset om de skifter job eller ej. De studerende skal teste hpotesen H 0 : JS = IJ mod alternativ hpotesen H A : JS > IJ. De studerende skal her selv angive hvilket signi kansniveau de anvender. I denne besvarelse anvendes et 5% signi kansniveau, andre rimelige niveuaer skal også godtages. Testet er et test for sammenligning af to populationer. Teststørrelsen bestemmes som (se B&L side 499) D JS DIJ q ~t(n JS + n IJ 2): Sp(1=n 2 JS + 1=n IJ ) For de to stikprøver kan teststørrelsen beregnes først S 2 p (se B&L side 498) Sp 2 = : :15 = 203: :45 3:35 p = 1:54 203:68(1=31 + 1=362) Konklusionen på testet kan opnås enten ved at nde forkastelsesområdet eller testsandsnligheden. Forkastelsesområdet kan bestemmes idet teststørrelsen er t-fordelt med 391 frihedsgrader, som approksimeres med en normalfordeling. Da testet er ensidet benttes 95% fraktilen i en normalfordeling R = [1:645; 1[: Det ses, at nulhpotesen ikke kan forkastes (hvis man anvender et 5% signi kansniveau). Alternativt kan testsandsnligheden beregnes P = 1 (1:54) = ( 1:54) = 0:0618: Konklusionen er, at nulhpotesen ikke kan forkastes. Der er altså ikke signi kant forskel på den forventede lønstigning for personer, som skifter job og personer, som ikke skifter job. 6