Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl

Transkript

1 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt. Opgavesættet består af 5 opgaver (8 sider incl. forside). For hver opgave er angivet den vægt i procent, hvormed opgaven indgår i bedømmelsen. 1

2 Opgave 1 (20%) Lad os begtrage en lille roulette med tallene fra 1 til 12, svarende til en uniform fordeling på mængden f1; 2; : : : ; 12g, således at hvert af de 12 udfald forekommer med sandsynlighed 1/12. Betragt følgende tre hændelser: A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g B = f5; 6; 7; 8g C = f4; 5; 6; 7; 8; 9g 1. Udregn sandsynlighederne P (A), P (B), P (A \ B), P (A [ B) og P (A n B). 2. Er hændelserne A og B uafhængige? Er hændelserne A og C uafhængige? Er hændelserne B og C uafhængige? Begrund dine svar. Opgave 2 (20%) I kampen mellem de 98 kommuner og staten, er det sådan at en kommune bliver stra et, hvis den bruger ere penge end budgetteret. Lad os antage, at sandsynligheden for at en kommune bliver stra et er 0:05; og at de 98 kommuner er uafhængige af hinanden. 1. Udregn sandsynligheden for at højst én kommune bliver stra et. 2. Udregn, ved hjælp af en normalfordelingsapproximation, sandsynligheden for at mindst 7 kommuner bliver stra et. 2

3 Opgave 3 (10%) Følgende tabel viser nøgletal for antallet af nye anmeldte astmatilfælde pr indbyggere i 30 amerikanske byer i 1980 og rate1980 rate1990 x s n Udfør t-testen for at sammenligne disse to observationsrækker under antagelse af at de to observationsrækker er uafhængige, og at de to varianser er ens. Gør rede for dine antagelser. 2. Den næste tabel viser nøgletal for de parvise di erenser for hver by, rate1980 rate1990. rate1980 rate1990 x s n 30 Udfør den parrede t-test for at sammenligne de to observationsrækker. Gør rede for dine antagelser. 3. Gør rede for hvilken af de to metoder, som bør anvendes til disse data, og forklar hvad konklusionen er, med hensyn til om der er nogen forskel i middelværdien for nye anmeldte astmatilfælde pr indbyggere i de 30 amerikanske byer. 3

4 Opgave 4 (20%) Det ber-optiske transatlantiske kabel TAT-14 har 64 kanaler, hver med en maksimal kapacitet på 10 Gbit/s. Lad os antage at den faktiske belastning på en enkelt kanal, målt i Gbit/s, er en stokastisk variabel X; som er normalfordelt N(; 2:5). 1. Lad os se på en enkelt kanal, og lad os vedtage, at vi ønsker en fejlrate på højst 1%, svarende til at vi kræver at P (X > 10) 0:01: Hvor høj kan vi maximalt tillade den gennemsnitlige belastning at være, hvis dette krav skal opfyldes? 2. Antag nu at = 9:5, og antag at de 64 kanaler er uafhængige af hinanden. Lad os se på den samlede belastning af kablet givet ved Y = X X 64, hvor X 1 ; : : : ; X 64 er uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable, alle med samme fordeling som X. Hvad er sandynligheden for at den samlede belastning overstiger kablets samlede kapacitet? Dvs. at du skal udregne sandsynligheden P (Y > 640). 4

5 Opgave 5 (30%) I en undersøgelse af forskellige typer mangrove i Inden er der foretaget målinger på 15 træer af arten Rhizophora mucronata. Der er målt to variable for hvert træ. Den ene variabel (betegnet D130) angiver stammens diameter i cm, målt i en højde af 130 cm over jorden. Den anden variabel er plantens biomasse, angivet som tørvægt målt i kg. I det konkrete tilfælde er analysen lavet med den logaritmetransformerede variabel ln(tørvægt). Figur 1 viser et scatterplot for de to variable ln(tørvægt) og D130. Nøglestørrelser for disse data ser således ud: Variabel Gennemsnit Standardafvigelse D ln(tørvægt) Kovarians mellem D130 og ln(tørvægt) = 49: Angiv hvilken analysemetode, der kan anvendes til at undersøge sammenhængen mellem D130 og ln(tørvægt). Begrund dit svar ud fra en vurdering af graferne i gur Eftervis, ved udregning baseret på ovenstående nøglestørrelser, at den estimerede værdi for hældningskoe cienten i nedenstående tabel er korrekt, og nd estimatet for interceptet. Coe cients: Estimate Std. Error t value Pr(>jtj) (Intercept) D Gennemfør en test for om der er en statistisk signi kant sammenhæng mellem D130 og ln(tørvægt). 4. Udregn den prædikterede værdi for ln(tørvægt) for et træ med en værdi for D130 på 12 cm. Udnyt dette til at udregne den tilsvarende prædikterede tørvægt for et træ med en værdi for D130 på 12 cm. 5. Udregn et 95% prædiktionsinterval for ln(tørvægt) for et træ med en værdi for D130 på 12 cm. Udnyt dette til at udregne et 95% prædiktionsinterval for tørvægt for et træ med en værdi for D130 på 12 cm. 5

6 Figure 1: Scatterplot for ln(tørvægt) og D130. 6

7 Figure 2: Residualplot for regressionsanalyse. 7

8 Figure 3: Normal Q-Q plot for residualerne fra regressionsanalyse. 8