Prevalens af navnet Lars i det danske folketing

Transkript

1 Prevalens af navnet Lars i det danske folketing Ege Rubak Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 18. januar 011 Som udgangspunkt oplyses det fra Danmarks Statistik at der er personer der hedder Lars ud af Danmarks samlede befolkning på personer. Det betyder at sandsynligheden for at en tilfældigt udvalgt dansker hedder Lars er Antal Lars Befolkningstal = = 0, 0084 = 0, 84% Dette betyder at sandsynligheden for at en tilfældigt udvalgt dansker hedder alt andet end Lars er P (Ikke Lars) = 100% 0, 84% = 99, 16% Nu antager vi, at de 179 folketingsmedlemmer vælges helt tilfældigt i den danske befolkning. Hvor stor er sandsynligheden for, at der præcis er to folketingsmedlemmer der hedder Lars? Et folketing med præcis Lars er kan vælges på flere måder. F.eks. kunne vi først vælge de to Lars er og dernæst ikke-lars er hvilket vi kan repræsentere som LL I...I }{{} Sandsynlighed for at der vælges to Lars er på præcis denne måde er P (LL }{{} I...I ) = P (L) P (L) P (I) P (I) }{{} = 0, 84% 0, 84% 99, 16% 99, 16% = 0, 0016% }{{} Vi kunne imidlertid lige så vel have valgt først en Lars, så en ikke-lars og så igen en Lars: LIL I...I }{{} 176 Dette valg optræder med sandsynlighed 0,0016% ligesom det forgående. Dvs. vi har brug for at vide på hvor mange måder vi kan vælge præcis to Lars er ud af 179, hvilket repræsenteres ved den såkaldte binomialkoefficient ( ) 179 = =

2 Således bliver sandsynligheden for der er præcis to Lars er i folketinget , 0016% = 5, 4%. Mere generelt kan vi skrive formlen for at der er præcis x Lars er i folketinget som ( ) 179 P (Præcis x Lars er) = P (Lars) x P (Ikke Lars) 179 x. x Denne sandsynlighed vises for forskellige værdier af x nedenfor Den opmærksomme lytter/læser vil nu pointere, at vi ikke har taget hensyn til at udvælgelsen foregår uden tilbagelægning. Det betyder f.eks. at sandsynligheden for at vælge en Lars ændrer sig når vi har valgt den første Lars, da vi nu har en Lars mindre at vælge imellem næste gang. Denne fejl er dog så lille at den ikke betyder noget for resultaterne når tallene rundes af. Hvis tager hensyn til denne effekt bliver den korrekte sandsynlighed for, at der er to Lars er i folketinget 5,44% mod 5,419% når man regner som gjort ovenfor. Altså er forskellen på mindre end en tusindedel af en procent. Mange vil nok mene, at det virker underligt, at der er mere end en der hedder Lars i folketinget, men sandsynligheden for dette er faktisk ikke så lille som man kunne tro: P (Mere end 1 Lars) = 100% P (0 Lars er) P (1 Lars) = 100%, 13% 33, 5% = 44, 35%. Navnet Lars var meget mere populært for 30 år siden end det er i dag, og dette bør man klart tage hensyn til i beregninger som disse. Hvis vi i stedet antager at folketingsmedlemmer vælges tilfældigt blandt alle danskere mellem 0 og 69 år ændres billedet af hvor sandsynligt det er at have to Lars er i folketinget. I denne aldersgruppe findes der danskere, hvoraf hedder Lars. Det betyder, at i denne aldersgruppe er sandsynligheden for en tilfældig person hedder Lars = 1, 3%.

3 Når denne væsentlig større sandsynlighed tages i betragtning ser sandsynlighedsfordelingen af Lars er i folketinget ganske anderledes ud: Det viser sig at det mest sandsynlige faktisk er, at der er to Lars er hvilket sker med en sandsynlighed på 6,96%, og sandsynligheden for at der er mere end 1 Lars i folketinget er hele 64,71%. Tingene bliver endnu mere Lars-venlige hvis vi tager i betragtning at 111 af folketingets 179 medlemmer er mænd samt at det kun er 49% af befolkningen der er mænd. Sandsynligheden for et tilfældigt udvalgt dansk mand mellem 0 og 69 år hedder Lars er cirka =, 51%. 0, Når der vælges 111 mænd til folketinget er sandsynligheden for x Lars er som vist nedenfor Nu er sandsynligheden for to Lars er på 4,1%, mens sandsynligheden for at der 3

4 er mere end 1 Lars i folketinget er hele 76,99%. Faktisk er der på baggrund af disse tal over 50% sandsynlighed (nemlig 5,89%) for at folketinget har 3 eller flere medlemmer der hedder Lars, og sandsynligheden for ikke at have en Lars i folketinget er blot 5,97%. Hvad er så sandsynligheden for at to Lars er bliver valgt til de to ledende positioner i landet (hhv. stats- og vicestats-minister)? Hvis man ikke på forhånd ved hvor mange Lars er der er i folketinget ser regnestykket således ud: De to positioner kan besættes af Lars er ved at der vælges præcis to Lars er til folketinget og disse vælges til posterne eller der kan vælges tre Lars er hvoraf de to vælges til posterne osv. Ved dette regnestykke bliver sandsynligheden for Lars er på de to poster 0,0151%. Når vi ved, at der er to Lars er i folketinget og hvis vi antager at de to poster besættes tilfældigt af folketingsmedlemmerne hvad er da sandsynligheden for at posterne besættes af Lars erne? Først skal vi vælge en af to Lars er til statsminister og dernæst skal den tilbageværende Lars vælges til vicestatsminister, hvilket giver = 0, 0063%. Man kan nu spørge om det ikke er lige så (u)sandsynligt at få præcis en Helle og en Villy på de to poster? Denne konstallation er faktisk lidt mere sandsynlig, da der findes to Helle r i folketinget (Thorning-Schmidt og Sjelle): = 0, 016%. Ud fra en sandsynlighedsteoretisk betragtning var det dog endnu mere sandsynligt at landet skulle ledes af to Pia er, da der er fire af disse i folketinget: = 0, 0377%. Med folketingets nuværende sammensætning ville det være mest sandsynligt at have to der hedder Per på magten, da der er 6 folketingsmedlemmer der hedder Per. Det betyder at hvis man vælger tilfældige medlemmer af det nuværende folketing er der = 0, 094% sandsynlighed for det bliver to der hedder Per. Regeringen bestående af Venstre og De Konservative tæller i alt 64 folketingsmedlemmer hvoraf 4 er mænd. Hvor sandsynligt er det at to ud af 4 mænd hedder Lars? Svaret er 19,6% De resterende partier i folketinget har 0 Lars er ud af 69 mænd. Dette er faktisk meget Lars-fjendsk, da der kun er 17,34% sandsynlighed for at have 0 Lars er blandt 69 tilfældige mænd mellem 0 og 69 år. 4

5 Det er værd at bemærke, at blandt de årige mænd (hvor stats- og vicestatsminister typisk vælges i blandt) er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt hedder Lars hele = 3, 31%. 0,