Sandsynlighedsregning og statistik

Transkript

1 og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides og lektionssedler: Kursusform: 2x45 min forelæsning, og derefter opgaveregning 1

2 STATISTIK Hvad kan det så bruges til??? Lave forecasts: Forventninger til fremtiden? Hvordan går det med aktiemarkedet? Analyse af salg: Hvor meget sælger vi, og hvornår? Skal vi satse anderledes? A B C Kvalitetskontrol: Hvad er min fejlprocent? Hvordan kan jeg styre min produktion? Hvad er en god stikprøveplan? 2

3 Udfaldsrum og hændelser Betragt et forsøg Udfaldsrum S: Hændelse A: S VENN DIAGRAM S A eksempel: S={1,2,,6} ved terningkast S={plat,krone} ved møntkast eksempel: A={1,6} ved terningkast Komplementærhændelse A : S A A eksempel: A ={2,3,4,5} ved terningkast 3

4 Hændelser Eksempel: kast med terning S={1,2,3,4,5,6} A={2,4,6} B={1,2,3} S A B Fællesmængde: A B={2} Foreningsmængde: A B={1,2,3,4,6} Disjunkte hændelser: C D = Ø C={1,3,5} og D={2,4,6} er disjunkte S C D 4

5 Antal muligheder Antal måder at udfylde tipskupon: 1 X 2 3 muligheder 3 muligheder 3 muligheder SVAR: = 3 13 Multiplikationsregel 5

6 Antal muligheder Placering af n forskellige objekter i rækkefølge Antallet af permutationer??? Der er n måder at vælge den første på } n -1 måder at vælge den anden på 1 måde at vælge den sidste på n (n -1) 1 = n! måder Multiplikationsregel 3!= 6 6

7 Antal muligheder Multiplikationsregel: Hvis k uafhængige operationer hhv. kan udføres på n 1, n 2,, n k måder, så kan de k operationer i alt udføres på Tælletræ: 7 P K n 1 n 2 n k måder P K P K P K P K P K P K 3 gange kast med mønt (Plat/Krone) 2 3 = 8 mulige udfald

8 Antal muligheder Antal mulige måder/kombinationer at udtage/placere r elementer af en mængde med n elementer: ordnet uordnet uden tilbagelægning n P r = n! ( n r)! n n! = r r!( n r)! med tilbagelægning r n - 8

9 Antal muligheder Eksempel: Anders, Birgitte, Claus, og Ditte skal lave et udvalg bestående af to personer, dvs. uordnet uden tilbagelægning. Antal mulige kombinationer: 4 4! = = 2 2!2! Nemlig : AB AC AD BC BD CD 6 9

10 Antal muligheder Eksempel: Udtag 2 ud af 4 forskellige kugler ordnet og uden tilbagelægning 4! Antal mulige kombinationer: 4P 2 = = (4 2)! 12 10

11 Sandsynlighed Lad A være en hændelse, da betegner P(A): sandsynligheden for A S A Der gælder 0 < P(A) < 1 P(Ø) = 0 P(S) = 1 Betragt et forsøg, der har N lige sandsynlige udfald, og lad præcis n af disse forsøg svare til hændelsen A. Da gælder n P(A) = (# gunstige / # mulige) N Eksempel: Terningkast P( #øjne lige) 3 1 = =

12 12 Sandsynlighedsregning Sandsynlighed Eksempel: Kvalitetskontrol Vareparti på 20 enheder med 8 defekte enheder. Udtag 6 enheder (uordnet og uden tilbagelægning). Hændelsen A: ingen defekte enheder i stikprøven. 20 Antal stikprøver: N = (# mulige) 6 12 Antal stikprøver uden defekte enheder: n = (# gunstige) !6!14! 77 P(A) = = = = !6!20!

13 Sandsynlighed Eksempel: fortsat Hændelsen B: netop 2 defekte enheder i stikprøven 12 8 Antal stikprøver med netop 2 defekte enheder: n = 4 2 (# gunstige) !8!6!14! P(B) = = = !8!2!6!20! 6 13

14 Regneregler for sandsynlighed A B Fællesmængde: A B Foreningsmængde: A B P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(B) = P(B A) + P(B A ) Hvis A og B er disjunkte: P(A B) = P(A) + P(B) Specielt: P( A ) + P(A ) = 1 14

15 Betinget sandsynlighed Betinget sandsynlighed for A givet B: P(A B) P(A B) = hvor P ( B ) > 0 P(B) A B Bayes formel: P(A B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) Omskrivning af Bayes formel: P(A B) P(B A)P(A) = = P(B) P(B A)P(A) P(B A)P(A)+P(B A )P(A ) 15

16 Betinget sandsynlighed Eksempel s 59: Køns-fordeling af arbejdsløse/ikke-arbejdsløse med studentereksamen i en lille by I arbejde Arbejdsløs Total Mand Kvinde Total P(mand & i arbejde) 460 / P (mand i arbejde) = = = = = P(i arbejde) 600 / % P(mand& arbejdsløs) 40/ P(mand arbejdsløs) = = = = = 13.3% P(arbejdsløs) 300/

17 Bayes formel Eksempel: Lungesygdom & rygning Iflg. The American Lung Association lider 7% af befolkningen af en lungesygdom, og 90% af disse er rygere. For folk uden lungesygdomme er 25.3% rygere. A: person har lungesygdom P(A) = 0.07 B: person er ryger P(B A) = 0.90 P(B A ) = P(B A)P(A) P(A B) = = = P(B A)P(A)+P(B A )P(A )

18 Bayes formel udvidet A 1,, A k disjunkt opsplitning af S A 3 A 4 A 5 S 18 Eliminations reglen: K P(B)= P(B A i)p(a i) i=1 Bayes formel udvidet: P(A B)= r A 1 P(B A )P(A ) r r K P(B A i)p(a i) i=1 B A 2 A 6

19 Uafhængighed Definition: To hændelser A og B siges at være uafhængige, hvis P(B A) = P(B) (eller P(A B) = P(A)) Alternativ Definition: To hændelser A og B siges at være uafhængige, hvis P(A B) = P(A) P(B) 19

20 Betinget sandsynlighed Eksempel: I arbejde Arbejdsløs Total Mand Kvinde Total / 900 P (mand i arbejde) = = 600 / % P(mand) = 500/900 = 55.6% Dvs. de to variable køn og beskæftigelse er afhængige 20

21 Regneregler for betinget sandsynlighed P(A B) = P(A B) P(B) P(A B C) = P(A B C) P(B C) P(C) bevis : P( A B C) = P( A B C ) P(B C) = P( A B C ) P( B C) P( C ) Generel regel: P(A 1 A 2 A k ) = P(A 1 A 2 A 3 A k ) P(A 2 A 3 A 4 A k ) P(A k-1 A k ) P(A k ) 21