Eksamensopgaver i Astrofysik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Eksamensopgaver i Astrofysik"

Transkript

1 Eksamensopgaver i Astrofysik Anden udgave, april 2007 Disse eksamensopgaver har været brugt til kurset Af.4 Astrofysik I og, siden vinter , til kurset Astrofysik. De er lavet af Jørgen Christensen- Dalsgaard, Jes Madsen og Johan Fynbo. Det skal bemærkes at ikke alle sæt er komplette. De manglende opgaver vil om muligt blive tilføjet senere. Bemærk også at eksamensformen til og med vinter var en to-timers eksamen bedømt bestået/ikke bestået, mens der efterfølgende har været 4-timers eksamen. Endelig er kursernes omfang og lærebogsmateriale blevet ændret undervejs. Ikke desto mindre skulle opgaverne give et rimeligt indtryk af de typer af opgaver, der kan forventes i det nuværende kursus Astrofysik. 1

2 2

3 A4 ASTROFYSIK I VINTER OPGAVE 1 Mikro-gravitationslinsefænomenet (jævnfør Figur 7.3 i Introduktion til Kosmologi) menes at skyldes, at svagtlysende genstande, såkaldte MACHO s, i Mælkevejssystemets ydre dele fokuserer lyset fra stjerner i Den Store Magellanske Sky. Disse MACHO s har ifølge nye undersøgelser masser omkring 0.5 M, og da man ikke detekterer stråling fra dem, skal deres luminositet være meget mindre end luminositeten af en hovedseriestjerne med samme masse. I denne opgave betragtes nogle mulige forklaringer på disse MACHO s, blandt andet sorte huller dannet kort efter Big Bang. a) I DETTE SPØRGSMÅL KAN DET RIGTIGE SVAR AFHÆNGE NOGET AF DINE ANTAGELSER, SÅ GØR OMHYGGELIGT REDE FOR DISSE. Hvad er den omtrentlige luminositet, L MS, af en hovedseriestjerne med masse 0.5M? Hvad er den øvre grænse for overfladetemperaturen af en hvid dværg, henholdsvis en neutronstjerne med masse 0.5M såfremt disse stjerner skal have L < L MS? I resten af opgaven betragter vi KUN den del af Universets historie, hvor Universet var strålingsdomineret. Endvidere antages, at KUN fotonerne bidrager til energitætheden af strålingen. b) Vis at Universets alder under disse forudsætninger kan skrives som ( ) T 2 t = 2.3s, K hvor T er strålingens temperatur, og at partikelhorisontens udstrækning er ( ) T 2 s H (T ) = cm K Antag i resten af opgaven, at det største, kausalt sammenhængende område i Universet har et volumen V H 4πs 3 H/3. c) Forklar kort, hvordan man ved, at η n nukleon /n γ , og vis, at den samlede masse af nukleoner i horisontvolumenet, V H, er ( ) T 3 M H,nuk (T ) M K d) Find den tilsvarende masse, M H,γ (T ), indenfor horisontvolumenet, hvis også fotongassens energiækvivalente massefylde medregnes. 3

4 e) Antag at de observerede MACHO s er dannet ved at samle alle nukleoner indenfor horisontvolumenet til et sort hul (du skal ikke bekymre dig om, hvordan det finder sted, blot antage, at det sker). Find det tidligste tidspunkt, t min, hvor dette kan have fundet sted, hvis massen skal være mindst 0.5M. f) Man har påvist, at sorte huller med den ønskede MACHO-masse kan være dannet under den såkaldte quark-hadron faseovergang ved t QH 10 4 s efter Big Bang. Dette strider mod resultatet i spørgsmål e). Forklar, hvad der er galt med antagelsen i e), og vis ud fra tidligere delresultater i opgaven, at det i princippet kan være muligt at danne sorte huller på 0.5M ved t QH. OPGAVE 2 a) Gør kort rede for, under hvilke omstændigheder energitransporten i stjerner sker ved konvektion. Giv en oversigt over i hvilke stjerner (udtrykt ved masse og udviklingstadier) og hvor i stjernerne man kan forvente konvektion. Vi betragter nu hovedserieudviklingen af en stjerne med masse M = 5M. Som en grov approksimation antager vi, at stjernens lysstyrke L s = 1000L er konstant i hele denne fase. Stjernens oprindelige kemiske sammensætning er givet ved X = 0.7, Z = b) Stjernens konvektive kerne antages i gennemsnit at omfatte 0.15M under den udviklingsfase, hvor energiproduktionen sker ved central brintforbrænding. Beregn varigheden (i år) af denne fase. Det opgives at fusion af 1 g brint producerer erg. Vi betragter nu specielt den afsluttende fase af hovedserieudviklingen, hvor stjernen bevæger sig mod voksende effektiv temperatur T eff. Fra numeriske model-beregninger finder man, at denne fase starter når det centrale brintindhold X c er 0.05, samt at udviklingen vender igen, ved at skalkilden bliver dominerende, når X c = I denne fase er massen af den konvektive kerne 0.1M. c) Beregn varigheden (i år) af denne afsluttende fase. d) Temperaturen T i kernen er i denne fase omkring K. Argumenter for, at energiproduktionen er domineret af CNO cyklen, og vis at energiproduktions-raten ɛ opfylder ɛ X c T 16. 4

5 e) For at opretholde en konstant luminositet, må T øges i takt med at X c reduceres. Dette sker ved at stjernen som helhed trækker sig sammen. Brug et skøn over stjernens centrale temperatur til at argumentere for, at X c R 16 er konstant i denne fase, hvor R er stjernens overfladeradius. f) Bestem den samlede ændring i log R og log T eff (hvor log er titalslogaritmen) fra start til slut af denne fase. 5

6 A4 ASTROFYSIK I SOMMER 1999 OPGAVE 1 Nye målinger fra Hubble Space Telescope tyder på, at Hubble-parameteren har værdien 70 ± 7 km s 1 Mpc 1. a) Hvad er Universets nuværende alder, hvis Universet er hvilemassedomineret med Ω 0 = 1, samt hvis Universet er strålingsdomineret med Ω 0 = 1? b) Er antagelserne i spørgsmål a) rimelige? Begrund dit svar! c) Forklar, hvorledes observationer af kugleformede stjernehobe kan bruges til at bestemme disse hobes alder, og gør kort rede for, hvorledes sådanne aldersbestemmelser kan sætte grænser for Universets alder. d) Visse aldersbestemmelser af kugleformede stjernehobe tyder på, at de ældste er omkring 15 milliarder år gamle. Kommentér dette resultat i lyset af svarene på de foregående spørgsmål. e) Nye undersøgelser af meget fjerne supernovaeksplosioner tyder på eksistensen af en såkaldt kosmologisk konstant, der virker som en universel, kosmisk frastødning (acceleration). Forklar, at en sådan frastødning for givne værdier af Hubble-parameteren og Ω 0 betyder, at Universet er ældre end beregnet uden den kosmologiske konstant. OPGAVE 2 Vi betragter det kollaps af de centrale dele af en stjerne, der fører til en supernova-eksplosion. Det antages at kollapset omfatter 1M, hvor M = g er Solens masse, og at alt stoffet i denne del af stjernen omdannes til neutroner. a) Gør rede for, at der ved omdannelsen af kernestoffet til neutroner produceres neutrinoer, og giv et begrundet skøn over det samlede antal N ν af neutrinoer produceret ved denne proces. Detaljerede modeller viser, at andre processer under eksplosionen også bidrager til produktionen af neutrinoer. Således er det totale antal neutrinoer produceret ved supernova-eksplosionen N ν,tot =

7 b) De producerede neutrinoer har en middel-energi på 10 MeV. Argumenter for, at den samlede energi udsendt i neutrinoer udgør den dominerende del af den energi, der frigøres ved det gravitationelle kollaps. Vi betragter nu supernovaen SN1987A i den Store Magellanske Sky. Supernovaens afstand fra Jorden var 50 kpc. c) Antag af udsendelsen af neutrinoer skete over et tidsrum på 10 s, og at neutrinoerne er masse-løse. Bestem herudfra den gennemsnitlige fluks af neutrinoer, svarende til N ν,tot, på Jorden. d) Neutrinoerne blev detekteret med Kamiokande detektoren i Japan, ved spredning af neutrinoer på elektroner i vand. Detektoren indeholdt 2000 tons vand, og tværsnittet for en reaktion mellem en neutrino og en elektron er cm 2. Bestem det samlede antal reaktioner i detektoren. (Dette antal blev faktisk målt!) e) Hvis neutrinoerne har en endelig masse, bevæger de sig med hastigheder mindre end lysets. Det forårsager en forsinkelse t i deres ankomst, relativt til ankomsttiden svarende til lyshastigheden. Vis at for neutrinoer fra SN1987A er ( ) 10 MeV 2 ( mν c 2 ) 2 t 2.5 s, 10 ev E ν hvor E ν er neutrinoens energi, m ν er dens masse og c er lyshastigheden; det oplyses at den relativistiske sammenhæng mellem en partikels energi E, fart v og masse m er E = mc 2 1 (v/c) 2, samt at m ν c 2 kan antages at være meget mindre end E ν. f) De udsendte neutrinoer har en fordeling i energi, der antages at ligge mellem 5 MeV og 15 MeV. Argumenter for, at dette bidrager til spredningen i deres ankomsttidspunkter, og for, at man heraf i princippet har mulighed for at bestemme neutrinoernes masse. 7

8 A4 ASTROFYSIK I VINTER OPGAVE 1 Antag at Universet er hvilemassedomineret med nuværende tæthedsparameter Ω 0 = 1 og Hubble-parameter H 0 = 60 km s 1 Mpc 1. a) Beregn Universets nuværende alder, t 0, den nuværende tæthed, ρ 0, samt den nuværende kritiske tæthed, ρ c0. b) Beregn t, H, Ω, ρ, ρ c og K når skalafaktoren er dobbelt så stor som idag. c) Skitsér grafisk den tidslige udvikling fra Big Bang til t t 0 af følgende størrelser: R, H, Ω, ρ, ρ c, K. Giv en kort forklaring til de enkelte grafer. d) Som spørgsmål c), men for Ω 0 1. e) Som spørgsmål c), men for Ω 0 1. f) Sammenlign resultaterne fra spørgsmål c), d) og e) og kommentér forskelle og ligheder. g) Hvordan ville resultaterne ændre sig, hvis Universet var strålingsdomineret i stedet for hvilemassedomineret? OPGAVE 2 Vi betragter varigheden af forskellige udviklingsfaser for stjerner. a) Giv en kort diskussion af de faktorer, der bestemmer stjernens levetid t MS på hovedserien (dvs. under den centrale brintforbrænding). b) Beregn energiproduktionen (i erg/g) ved fusion af 1 g ren brint. Der ses bort fra neutrino-tabene. Værdierne i Appendix B fra Lecture Notes (vedhæftet) benyttes. c) Skitser på en graf hvordan t MS afhænger af stjernens masse, og argumenter for den viste opførsel. Vi betragter nu udviklingen af en 5M stjerne. Variationen af stjernens indre struktur fremgår af Lecture Notes, Fig. 12.3, panel a), fra Lecture Notes (vedhæftet). Stjernens oprindelige grundstofindhold er givet ved X = 0.6, Z = Vi antager at stjernens gennemsnitlige lysstyrke i de betragtede udviklingsfaser er 10 3 L. 8

9 d) Giv et skøn, ud fra figuren, af den del af stjernens masse der i gennemsnit er involveret i den centrale brintforbrænding, og bestem derudfra t MS. Sammenlign med den faktiske varighed, bestemt fra figuren. Vi betragter nu den centrale heliumforbrænding. e) Beregn energiproduktionen (i erg/g) ved fusion af 1 g ren helium til henholdsvis 12 C, 16 O and 20 Ne. Værdierne i Appendix B fra Lecture Notes (vedhæftet) benyttes. f) Giv et skøn, ud fra figuren, af den del af stjernens masse der i gennemsnit er involveret i den centrale heliumforbrænding, og bestem derudfra varigheden af denne fase. Sammenlign med den faktiske varighed, bestemt fra figuren, og diskuter årsagerne til en eventuel uoverensstemmelse. 9

10 A4 ASTROFYSIK I SOMMER 2000 Opgave 1 og 2 mangler indtil videre. OPGAVE 3 Vi betragter konvektive kerner i hovedseriestjerner. Som bekendt gælder det generelt at kernen omfatter en mindre del af stjernens masse efterhånden som stjernen udvikler sig. For stjerner, der netop har en konvektiv kerne, er der dog tilfælde hvor kernen vokser med voksende alder. Her betragter vi dette grænsetilfælde. a) Betingelsen for konvektiv ustabilitet er som bekendt at R > ad, hvor R er den temperaturgradient, udtrykt som d ln T/d ln p, der er nødvendig for at transportere energien ved stråling, og ad er den adiabatiske gradient. Vi kan antage at ad = 2/5. Vis at R kan skrives R = 3 κp L 16πa cg T 4 m, (1) hvor a er strålingsenergitæthedskonstanten, c lysets hastighed, og G gravitationskonstanten; desuden er κ opaciteten, p trykket, T temperaturen, L er lysstyrken i den betragtede afstand fra stjernens centrum og m er massen inden for denne afstand. b) Giv argumenter for at R har et lokalt maksimum ved stjernens centrum; det kan antages at opaciteten er domineret af elektronspredning. Vis at den centrale værdi af R kan skrives R,c = 3 16πa cg κ c p c ɛ Tc 4 c, (2) er den centrale en- hvor subscript c angiver centrale værdier, og ɛ c ergiproduktionshastighed, per masse- og tidsenhed. c) For de betragtede stjerner bidrager både PP kæderne og CNO cyklen til energiproduktionen. Vi antager at begge processer opererer i ligevægt. Vis at energiproduktionshastigheden kan skrives som ɛ ɛ (0) PPρX 2 T n PP + ɛ (0) CNOρXX 14 T n CNO, (3) hvor ρ er massefylden, X er brintindholdet per masseenhed, X 14 er indholdet af 14 N per masseenhed, og ɛ (0) PP, ɛ (0) CNO, n PP og n CNO er konstanter. Argumenter også for at n CNO n PP. 10

11 En vigtig effekt i udviklingen af den konvektive kerne er, at X 14 vokser med tiden ved at 16 O bliver transformeret til 14 N ved reaktionen 16 O( 1 H, γ) 17 F(e + ν e ) 17 O( 1 H, 4 He) 14 N. (4) I denne reaktions-serie er det den første reaktion, der styrer hastigheden; den er så langsom, at væksten i X 14 foregår på ca. samme tidsskala som stjernens øvrige udvikling. For at undersøge effekten af denne ændring på den konvektive ustabilitet gør vi følgende simplificerende antagelser: effekten af ændringer i p c, T c og κ c på R,c kan negliceres. ændringen i stjernens overflade-lysstyrke kan negligeres. energiproduktionshastighedens afhængighed af afstanden til stjernens centrum kan approximeres ved ɛ(q) = ɛ (c) PP(1 q) n PP + ɛ (c) CNO(1 q) n CNO ; (5) her er q = m/m hvor M er stjernens overflademasse, og ɛ (c) PP og ɛ (c) CNO er bidragene til den centrale energiproduktionshastighed fra henholdsvis PP kæderne og CNO cyklen. d) Vis, ud fra ligning (5), at ɛ c L s /M = (n PP + 1) 1 + ɛ(c) CNO ɛ (c) PP 1 + n PP + 1 n CNO + 1 ɛ (c) CNO ɛ (c) PP Argumenter herudfra, og ud fra de øvrige antagelser, for at R,c vokser når X 14 vokser, og dermed for, at der kan opstå en konvektiv kerne i stjernen under hovedserieudviklingen. e) Vi betragter en stjerne med oprindeligt brintindhold X 0 = 0, 7, hvor en konvektiv kerne opstår når det centrale brintindhold er reduceret til X c = 0, 5. Kernen antages herefter at vokse i udstrækning, målt i dens masse. Skitser variationen X(m) af brintindholdet for nogle efterfølgende tidspunkter. Vis også at denne udvikling fører til en diskontinuitet i massefylden ρ ved grænsen for den konvektive kerne. Vi kan retfærdiggøre antagelsen om den langsomme omdannelse af 16 O til 14 N ved at beregne tidsskalaen for forbrændingen af 16 O. Vi betragter reaktionen 16 O( 1 H, γ) 17 F; for denne reaktion kan middelværdien af produktet af tværsnit og kernefart skrives som σv 16 = η 2 exp( η) cm 3 s 1 ; (7) her er η = BT 1/3 6, hvor T 6 = T/(10 6 K) og konstanten B for denne reaktion er B = 166, (6)

12 f) Vis at ændringshastigheden i X 14 kan skrives som hvor 1 dx 14 X 14 dt = 14 X 16 τ16 1, (8) 16 X 14 τ 1 16 = σv 16 X A H m u ρ ; (9) her er A H atommassen af brint, m u er atommasse-enheden, og X 16 er indholdet af 16 O per massenhed. (Bemærk at da X 14 og X 16 er af samme størrelsesorden giver τ 16 derfor et mål for tidsskalaen for ændringen i indholdet af 14 N.) Beregn τ 16 i år for T = 16, K, ρ = 100 g cm 3 og X = 0, 7. 12

13 A4 ASTROFYSIK I VINTER OPGAVE 1 Figuren viser et farve-lysstyrke-diagram for en kugleformet stjernehob, kaldet 47 Tucanae, på grundlag af observationer med Hubble rumteleskopet. V og I c er størrelsesklasser i to størrelsesklassesystemer, sådan at farveindekset V I c giver et mål for den effektive temperatur. a) På farve-lysstyrke-diagrammet er markeret tre områder, I, II og III. Gør kvalitativt rede for udviklingsstatus for stjernerne i hvert af disse tre områder. I denne opgave skal vi specielt undersøge egenskaberne ved de stjerner, der er vist med større symboler, de såkaldte blue stragglers ( blå strejfere ; navnet kommer af, at de er varmere og dermed mere blå end de resterende stjerner i hoben). b) For stjernen V15 i figuren gælder at V = 15.3 og V I c = Beregn forholdet L V15 /L TO mellem denne stjernes lysstyrke og lysstyrken af en stjerne ved turn-off i diagrammet (ligeledes markeret); det antages at for en turn-off stjerne er størrelsesklassen V TO = 17.5 og farveindekset (V I c ) TO = 0.6. I sammenhængen mellem størrelsesklassen V og stjernens lysstyrke kan den bolometriske korrektion negligeres. Det opgives, at sammenhængen mellem stjernens effektive temperatur T eff og V I c kan skrives V I c = T eff, (1) i det relevante område af V I c, hvor T eff måles i K. Beregn også forholdet R V15 /R TO mellem stjernens radius og turn-off stjernens radius. For at bestemme stjernens masse antager vi at masse-lysstyrke relationen kan skrives L M 5.5 µ 7.5 envr 0.5, (2) hvor M er stjernens masse og µ env er middelmolekylvægten i den del af stjernen, der ligger uden for den energiproducerende kerne. c) Vi antager i dette spørgsmål at µ env er den samme for V15 og for turn-off stjernen. Beregn forholdet M V15 /M TO mellem stjernens masse og turnoff stjernens masse. 13

14 d) Giv et skøn over forholdet mellem V15 s levetid, fra alder-nul hovedserien frem til det tidspunkt hvor brinten er brugt op i stjernens centrum, og den tilsvarende levetid for turn-off stjernen; det antages at V15 udvikler sig på samme måde som en normal hovedseriestjerne. Argumenter for, at levetiden for turn-off stjernen svarer til hobens alder; argumenter derudfra for, at det kan være svært at forstå hvordan V15 og de andre blue stragglers kan være medlemmer af hoben. Andre undersøgelser har vist at blue stragglers rent faktisk er medlemmer af hoben. Deres beliggenhed i farve-lysstyrke-diagrammet forklares ved at de er dannet ved at to stjerner er smeltet sammen, under en kollision mellem stjernerne. Sandsynligheden herfor er tilstrækkelig høj i de centrale dele af en kugleformet stjernehob, hvor stjernetætheden er meget stor. e) Argumenter kvalitativt, ud fra det under punkt c) fundne masse-forhold M V15 /M TO, for at denne forklaring kan være rigtig. Som nævnt antages det at blue stragglers dannes ved at to stjerner smelter sammen, efter en kollision. Detaljerne i denne proces er dog endnu meget usikre. Her betragter vi to mulige scenarier for den struktur, der resulterer af dannelsesprocessen: 1) Den resulterende stjerne har nogenlunde samme grundlæggende struktur som de oprindelige stjerner; specielt sker der ikke nogen opblanding mellem de områder, hvor brintindholdet er reduceret på grund af kernereaktioner, og resten af stjernen. 2) Kollisionen er så voldsom, at den resulterende stjerne er kemisk homogen lige efter sin dannelse. f) Vi betragter en blue straggler, der er dannet ved at to stjerner ved turnoff er smeltet sammen, ifølge scenario 1). I dette tilfælde er µ env den samme i den nydannede blue straggler som i de oprindelige stjerner. Beregn forholdet L BS /L TO mellem den nydannede blue straggler og en turn-off stjerne; det antages, at der for de relevante stjerner gælder at R M 1.4. (3) g) Ved dannelse under scenario 2), med fuldstændig blanding, må vi først skønne over den resulterende grundstofsammensætning. Vi gør følgende antagelser: i) På alder-nul hovedserien havde hobens stjerner brintindholdet X 0 = 0.75 og indholdet af tunge grundstoffer Z 0 =

15 ii) Hobens alder er år. iii) Turn-off stjernens masse er M TO = 0.9M, hvor M er Solens masse. iv) Turn-off stjernens lysstyrke vokser lineært med tiden fra 0.65L på alder-nul hovedserien til 1.4L ved hobens alder; her er L Solens lysstyrke. v) Dannelse af et helium-atom ud fra fusion af fire brintatomer frigør effektivt 25 MeV. Beregn ud fra disse antagelser brintindholdet X i den nydannede blue straggler. h) Beregn ud fra resultatet i opgave g) forholdet L BS /L TO under scenario 2). Det antages at µ env i turn-off stjernen svarer til hobens oprindelige grundstofsammensætning (X 0, Z 0 ), samt at masse-radius relationen er givet ved ligning (3). i) Bestem V og V I c for den nydannede blue straggler i de to scenarier. Figur til Opgave 1. Den omtalte stjerne V15 samt en typisk stjerne ved turn-off (TO) er markeret. Opgave 2 mangler indtil videre. 15

16 A4 ASTROFYSIK I SOMMER 2001 OPGAVE 1 Forekomsterne af de radioaktive kerner 232 Th og 238 U er for nylig blevet målt i den meget gamle stjerne CS Disse to kerners halveringstider t 1/2 er sammenlignelige med den alder, man antager universet har (t 1/2 = år for 232 Th og år for 238 U). Det er sandsynligt, at begge kerner er blevet dannet samtidigt over en meget kort periode tidligt i galaksens historie. Vi sætter alderen t = 0 ved dette dannelsestidspunkt. Produktionsratioen for de to kerner defineres som: r(t = 0) = N U(t = 0) N Th (t = 0) = antal dannede U kerner antal dannede Th kerner Efter dannelsen af kernerne er begge kerner henfaldet i henhold til loven { N(t) = N(t = 0) exp ln 2 t }. Den observerede ratio for de to kerner er t 1/2 r( t) = N U( t) N Th ( t) = 0.18, hvor t svarer til stjernens alder. Produktionsratioen må findes ved hjælp af modeller, som forudser r(t = 0) 0.6. a) Hvor gammel er stjernen? Den relevante Fried- OPGAVE 2 Antag at universet altid har været domineret af stof. mann-ligning er givet ved Ṙ 2 (t) = 8 3 πgρ(t)r2 (t) kc 2, (2.1) hvor t betegner universets alder, R(t) er skalafaktoren, c er lysets hastighed, k(= ±1, 0) definerer krumningsparameteren, og ρ(t) er massetætheden. a) Vis at den kritiske massetæthed, som fører til et univers med k = 0, er ρ c (t) = 3H2 (t) 8πG, hvor H(t) = Ṙ(t)/R(t) er Hubble-parameteren. 16

17 I spørgsmål b) d) antager vi at universet er fladt (k = 0). b) Vis at ( ) 3 2/3 R(t) = (H 0 t) 2/3 R 0, 2 hvor H 0 er værdien af Hubble-parameteren ved universets nuværende alder t 0 og R 0 = R(t 0 ). Definer Hubble-tiden t H = H 1 0 og vis at universets nuværende alder er t 0 = 2 3 t H. c) Anvend relationen 1 + z = R 0 R(t), hvor z er rødforskydningen, til at vise at alderen t kan udtrykkes som en funktion af rødforskydningen ved t(z) = 2 3 t H (1 + z) 3/2. d) Lookback -tiden, t L defineres som, hvor langt tilbage i tiden man ser, når man betragter et objekt med rødforskydningen z. Det er blot forskellen mellem universets nuværende alder t 0 og dets alder på tidspunktet t(z): t L = t 0 t(z) En fjern kvasar har en rødforskydning på z = 5. Beregn t L /t H for denne kvasar. Hvor gammelt var universet (i brøkdel af dets nuværende alder t 0 ), da det observerede lys forlod kvasaren? Observationer af nyere dato viser, at vort univers har en kosmologisk konstant Λ forskellig fra nul. Et sådant univers beskrives af følgende Friedmann-ligning: Ṙ 2 (t) = 8 3 πgρ(t)r2 (t) kc 2 + Λ 3 c2 R 2 (t) (2.2) (bemærk at vi i spørgsmål e) g) betragter det generelle tilfælde, hvor k ikke nødvendigvis er 0). Vi definerer Ω(t) = ρ(t)/ρ c (t) 17

18 og Ω Λ (t) = Λc2 3H 2 (t) med den kritiske massetæthed ρ c (t) og Hubble-parameteren H(t). e) Vis at Friedmann-ligningen (2.2) kan omskrives til Ω(t) + Ω Λ (t) 1 = f) Anvend R 3 (t)ρ(t) = R 3 0ρ(t 0 ) = R 3 0ρ 0, hvor t 0 er den nuværende tid, til at vise at kc 2 R 2 (t)h 2 (t). ( R(t) d2 4 dt R(t) = 2 3 πgρ(t) 1 ) 3 Λc2 R(t). g) Universets decelerationsparameter q(t) defineres som Vis at R(t) R(t) q(t) =. (Ṙ(t))2 q(t) = Ω(t) 2 Ω Λ (t) h) Antag igen at universet et fladt (k = 0). Anvend resultatet af e) til at udtrykke q(t) alene som funktion af Ω(t). Målinger viser, at det nuværende univers muligvis accelererer, dvs. q(t 0 ) < 0. Hvad er den tilsvarende grænse for Ω(t 0 )? OPGAVE 3 Vi betragter isokroner, dvs modeller med samme alder og kemiske sammensætning, men forskellig masse. Specielt er vi interesserede i, hvordan stjernernes effektive temperatur T eff og overfladelysstyrke L s afhænger af alder og kemisk sammensætning. a) Gør kort rede for at fordelingen af stjerner i en stjernehob, plottet i et (log T eff, log L s ) diagram, kan beskrives ved en isokron. 18

19 For at undersøge egenskaberne ved isokroner antager vi, at en stjernes overfladelysstyrke tilfredsstiller ( ) 5.5 ( ) 9 ( ) 0.5 L s M 0.02 µ R =. (3.1) L s, M Z µ 0 R Her er L s, Solens overfladelysstyrke, M og R stjernens masse og overfladeradius, og M og R er værdierne for Solen; desuden er Z indholdet af tunge grundstoffer, og µ er et passende gennemsnit af middelmolekylvægten, som vi antager givet ved 4 µ = ; (3.2) X X er det gennemsnitlige brintindhold i stjernen, M X = M 1 Xdm, (3.3) hvor m er massen inden for det givne punkt. Referenceværdien µ 0 svarer til X = 0.7. Endelig antager vi at stjernens radius tilfredsstiller 0 R = M ( ) 4 µ ; (3.4) R M µ 0 denne relation udtrykker at radius vokser som følge af stjernens udvikling. (Det kan bemærkes at de her anvendte relationer afviger lidt fra hvad der er opgivet i Lecture Notes on Stellar Structure and Evolution; de anvendte parametre er tilpasset beregnede stjernemodeller.) b) Find et udtryk for L s /L s, ved M, µ og Z. Vis desuden at dette udtryk kan skrives ( ) 20/3 ( ( ) 26/3 L s Teff Z µ =. (3.5) L s, T eff, 0.02)2/3 µ 0 Vi betragter nu som et specielt tilfælde alder-nul hovedserien, hvor X er den samme for alle stjerner; vi antager at X = 0.7. c) Vis at ligning (3.5) definerer en lineær sammenhæng mellem M bol og log T eff, hvor M bol er den absolutte bolometriske størrelsesklasse. d) Betragt to alder-nul hovedserier, med henholdsvis Z = 0.02 og 0.01, men med samme X = 0.7. Find forskellen M bol (Z = 0.02) M bol (Z = 0.01) mellem de respektive bolometriske størrelsesklasser, ved fastholdt T eff. Vi betragter nu ændringen i beliggenheden af isokronen med alderen, for fastholdt Z =

20 e) Vis at ændringen i X med tiden t for en given stjerne tilfredsstiller hvor d X dt = 1 ( ) 7 µ, (3.6) τ 0 µ 0 τ 0 = QM 4m H L s,0 ; (3.7) her er Q den effektive energiproduktion ved fusion af fire brint-atomer, m H er massen af et brintatom, og L s,0 er lysstyrken ved t = 0, X = 0.7 for en stjerne med massen M. f) Vis at løsningen til ligning (3.6) kan skrives t = τ 0 10µ 0 1 ( µ0 µ ) 8. (3.8) g) Turn-off af isokronen er defineret som det punkt hvor brinten er brugt op i stjernens centrum. Vi antager at det svarer til at X er reduceret til 0.5. Til dette punkt svarer en bestemt masse, kaldet turn-off massen, der afhænger af isokronens alder t i. Bestem ud fra ligning (3.8) turnoff massen, i enheder af M, for t i = 10 7 år, 10 8 år, 10 9 år og år. Det opgives at Q = 25 MeV, M = g og L s, = erg s 1. 20

21 A4 ASTROFYSIK I VINTER OPGAVE 1 I det tidlige univers er entropien i et volumen R 3 (t), hvor R(t) er skalaparameteren og t er tiden, givet ved: S(R 3, T ) = 4 3 R 3 (t) T ρ(t )c2. T angiver temperaturen og ρ(t )c 2 den totale energitæthed, hvor c er lyshastigheden. Antag at universet består af relativistiske fermioner og fotoner. Dette giver: ρc 2 = a T 4 for fotoner og ρc 2 = g s 7 16 a T 4 for fermioner, hvor a angiver strålingstæthedskonstanten. Den statistiske faktor g s er 2 for elektroner og positroner, og g s = 1 for alle neutrinoer og antineutrinoer. Antag at universets ekspansion har været adiabatisk, dvs. S(R 3, T ) = konst. a) Vis at R 1/T for et adiabatisk ekspanderende univers, hvor energitætheden er givet ved fotoner og relativistiske fermioner. b) Beregn energitætheden ρ(t )c 2 for følgende tre temperaturområder, idet det antages at kun de nævnte partikler bidrog i de angivne temperaturintervaller, og at alle var relativistiske: K < T < K : fotoner, elektroner, positroner, 3 neutrinotyper, 3 antineutrinotyper K < T < K : fotoner, elektroner, positroner T < K : c) Beregn forholdet fotoner (RT ) T < K (RT ) T > K under antagelse af at universets ekspansion er adiabatisk (S(R 3, T ) = konst)., 21

22 d) I den tidlige epoke, som vi betragter, er universet strålingsdomineret, dvs. T = T γ, hvor T γ er fotonernes temperatur. Ved T K afkobles neutrinoerne fra resten af universet og det er nødvendigt at skelne mellem neutrinoernes temperatur T ν og T γ. For T > K har vi T = T γ = T ν = konst./r. Ved T K annihileres elektroner og positroner, hvilket forøger fotontemperaturen T γ men ikke har indflydelse på T ν. For T < K har vi således T = T γ > T ν. Bemærk at skalaparameteren er den samme for fotoner og neutrinoer, og benyt derefter resultatet fra b) til at beregne forholdet T γ /T ν = T/T ν for T < K. e) Forholdet T γ /T ν er uændret efter e + e annihilationen. Den nuværende temperatur for den kosmiske mikrobølgebaggrund er T γ,0 = 2.7 K. Beregn neutrinobaggrundens nuværende temperatur, T ν,0. f) Fotoners antalstæthed er givet ved n γ 2.4 π 2 hvor k er Boltzmann s konstant. ( ) 3 ktγ, hc Beregn det nuværende antal fotoner pr. cm 3 i den kosmiske mikrobølgebaggrund (det opgives at hc = 197 MeV fm, hvor 1 fm = m; kt = 86 MeV for T = K). g) Antalstætheden for hver af de 3 neutrinofamilier er givet ved: n ν 1.8 π 2 ( ) 3 ktν. hc Hvor mange neutrinoer (pr. familie) er der pr. cm 3 i den nuværende neutrinobaggrund? h) Nye eksperimenter indikerer at neutrinoer har masse. Antag at der er et massehierarki mellem de 3 neutrinofamilier: dvs. m 3 m 2 m 1, hvor m i er de 3 neutrinotypers masser. Massen m 3 er stor nok til at denne neutrinofamilie er ikke-relativistisk i det nuværende univers. Dens energitæthed er således givet ved ρ 0 c 2 = m 3 c 2 n ν. For hver neutrinofamilie antages universet at indeholde både neutrinoer og anti-neutrinoer, med samme masse og antalstæthed. Antag et lukket univers, Ω = 1. Dette gør det muligt at bestemme den øvre grænse for m 3 ved hjælp af ρ ν ρ cr. Benyt de nuværende værdier for ρ ν og ρ cr = ( ) g/cm 3 til at beregne den øvre grænse for m 3 c 2. 22

23 OPGAVE 2 Vi betragter reaktionen 2 D( 1 H, γ) 3 He. (1) For denne reaktion kan gennemsnittet σv af reaktionstværsnittet σ og den relative fart v findes som funktion af temperaturen T ud fra σv = η 2 exp( η), (2) i cgs enheder; her er η = 37.21T 1/3 6, hvor T 6 = T/(10 6 K). a) Vis at destruktionsraten af 2 D på grund af reaktionen (1) kan skrives dn2 D dt n2 D τ2 D = σv ρx m u A H n2 D, (3) hvor n2 D er antalstætheden af 2 D, ρ er massefylden, X er brintindholdet, m u er atommasseenheden, og A H er atomvægten af brint. b) Beregn τ2 D for forholdene i Solens centrum (T = K, ρ = 150 g cm 3, X = 0.33). Reaktionen (1) spiller en rolle under sammentrækningen af en stjerne før hovedserien, på grund af det, relativt til andre reaktioner, meget høje tværsnit; det betyder at reaktionen kan finde sted ved relativt lave temperaturer. Vi betragter her forholdene for en 1M stjerne, og antager at indholdet X2 D per masseenhed af 2 D i det stof, stjernen blev dannet af, var X2 D = c) Antag at 2 D-forbrænding finder sted i de indre 20 % af stjernens masse. Bestem, ud fra masse-excesserne i Appendix B i Lecture Notes on Stellar Structure and Evolution, den samlede mængde energi der kan produceres ved 2 D-forbrændingen. Bestem også hvor lang tid, i år, denne energimængde kan opretholde en lysstyrke på Solens lysstyrke, 1L s,. Vi betragter nu en stjerne på Hayashi-sporet; stjernen kan derfor approksimeres med en polytrop model, med polytropt index 3/2. Det oplyses, at for en sådan polytrop er den centrale temperatur T c og den centrale massefylde ρ c givet ved ( M T c = ( K) ) (R ) ( M µ, ρ c = (8.437 g cm 3 ) M ) (R ) 3 ; M R R (4) her er M og R stjernens masse og radius, M og R er Solens masse og radius, og µ er middelmolekylvægten. 23

24 d) Vi betragter en 1M stjerne under sammentrækning. Den kemiske sammensætning antages givet ved X = 0.7, Z = På et tidspunkt er T c = T 0 = K. Find den tilsvarende værdi ρ 0 af den centrale massefylde, samt tidsskalaen τ2 D for 2 D-forbrænding i stjernens centrum. e) Vi betragter tilfælde nær det i spørgsmål d) betragtede, og approksimerer σv med σv = σv 0 ( T T 0 ) n. (5) Bestem eksponenten n. (Bemærk at n ikke må forveksles med det polytrope index, der for den betragtede model er 3/2.) f) Vi antager igen at X2 D = 10 4 og X = 0.7. Vis, under den i spørgsmål e) benyttede approximation, at energiproduktionshastigheden per masseenhed er af formen og bestem konstanten ɛ 0. ɛ = ɛ 0 ( ρ ρ 0 ) ( T T 0 ) n, (6) g) Vis, under antagelserne i spørgsmål f), at det samlede bidrag L nuc fra 2 D-forbrændingen til stjernens lysstyrke kan skrives ( ) L nuc R 3 n = L 0, (7) L s, R 0 og bestem L 0 ; her er R 0 stjernens radius på det tidspunkt hvor den centrale temperatur, som i spørgsmål d), er T 0 = K. Det oplyses at ξ1 3 ξ1 ξ 2 θ 3/2 (ξ) n+3 dξ = , (8) 0 hvor θ 3/2 er Lane-Emden funktionen af index 3/2, og ξ = ξ 1 er det punkt hvor θ 3/2 (ξ) = 0. h) Vi antager at stjernerne på Hayashi sporet har den effektive temperatur T eff = 4000 K. Find, ud fra ligning (7), radius og den samlede lysstyrke L s af stjernen, hvis det antages at L nuc = L s. 24

25 A4 ASTROFYSIK I SOMMER 2002 OPGAVE 1 Vi betragter en stjerne på den røde kæmpegren, inden heliumantændelse. Stjernen antages at have massen M = 1M ; under stjernens udvikling antages den effektive temperatur T eff = 4000 K at være konstant, mens lysstyrken ændres. Stjernens grundstofsammensætning er givet ved X = 0.7, Z = a) Gør kort rede for den indre struktur af en sådan stjerne. Hvor sker energiproduktionen? Vi antager at den ydre konvektionszone har en adiabatisk temperaturgradient, d ln T d ln P = ad = 2/5, (1) hvor T er temperaturen og P er trykket. Tilstandsligningen antages givet ved idealgasloven. b) Vis at sammenhængen mellem massefylden ρ og temperaturen T i konvektionszonen kan skrives ρ = ρ 0 ( T T 0 ) 3/2, (2) hvor ρ 0 og T 0 er værdierne af ρ og T ved toppen af konvektionszonen. c) Antag at opaciteten κ er givet ved hvor κ 0, α og β er konstanter. konvektionszonen tilfredsstiller ( Tcz κ = κ 0 ρ α T β, (3) Vis at temperaturen T cz i bunden af )(3/2)(1 α)+β = 5 3k L ρ α+1 0 κ 0 ; (4) T πa cgm u µ m cz T 3+β 0 her er k Boltzmanns konstant, a er strålingstæthedskonstanten, c lyshastigheden, m u atommasseenheden, µ middelmolekylvægten, L lysstyrken i bunden af konvektionszonen, og m cz massen inden for konvektionszonen. d) Vi antager at T 0 = T eff, samt at ρ 0 = 10 7 g cm 3. Endvidere er opaciteten bestemt ved κ 0 = (i cgs enheder), α = 0.2 og β = 2 (disse værdier er fundet ud fra fits til de relevante opacitetstabeller). Endelig er stjernens lysstyrke L = 100L ; vi antager at der ikke sker nogen energiproduktion i konvektionszonen, og vi negligerer massen i konvektionszonen, så m cz = 1M. Udregn T cz. 25

26 e) Antag at ρ 0 varierer som gs 1/2 under stjernens udvikling, hvor g s er tyngdeaccelerationen på stjernens overflade. Argumenter for at T cz vokser med stjernens alder, under udviklingen på den røde kæmpegren. Antag fortsat at vi kan negligere massen i konvektionszonen. Ved hjælp af ligningen for hydrostatisk ligevægt kan man vise at temperaturen i konvektionszonen afhænger af r som T = T GMµm u 5 kr ( R r 1 ), (5) hvor R er stjernens overfladeradius. (Denne relation skal ikke eftervises.) f) Lad r cz være værdien af r i bunden af konvektionszonen; bestem r cz /R for tilfældet betragtet i spørgsmål d). (Vi kan negligere T 0 sammenlignet med T cz.) g) Vi kan vurdere gyldigheden af antagelsen om at m cz M ved at bestemme et skøn over massen i konvektionszonen. Vi antager at T (r) er givet ved ligning (5), hvor vi negligerer T 0, således at T kan skrives T = ˆT ( ) R r 1 2 GMµm u, hvor ˆT = 5 kr. (6) Vis ved hjælp af denne ligning, samt ligning (2), at massen i konvektionszonen er givet ved hvor ( ) 3/2 ˆT M m cz = 4πρ 0 R 3 f(r cz/r), (7) T 0 f(x) = 1 x (x x 2 ) 3/2 x dx. (8) h) Beregn 1 m cz /M for tilfældet betragtet i spørgsmål d) og f). Integralet i ligning (8) er ikke så simpelt; det opgives at en fornuftig approksimation er f(x) 2 (1 x) 5/ (1 x). (9) 2 OPGAVE 2 For et Univers i adiabatisk ekspansion gælder loven om lokal energibevarelse på formen du = pdv, hvor p er trykket, V = R 3 er et karakteristisk volumen (R(t) betegner skalafaktoren), og den tilhørende energi U = ρc 2 R 3, hvor ρc 2 er energitætheden. 26

27 (a) Vis, at energibevarelsesligningen kan omskrives på formen dρ ( ρ + p c 2 ) = 3 dr R. Antag at trykket er givet af en tilstandsligning på formen p = wρc 2, hvor w er en konstant, som ikke afhænger af tiden. (b) Vis, at tætheden opfylder ρ R 3(1+w). Antag at Universet rummer tre komponenter, der hver især opfylder betingelserne i (b): Hvilemasse (w = 0), stråling (w = 1/3) og vakuumenergi (w = 1). Antag endvidere, at Universet er fladt (k = 0), samt at hvilemasse, stråling og vakuumenergi idag bidrager med henholdsvis cirka 30%, 0.01% og 70% af den kritiske tæthed. (c) Vis, at Universet har gennemgået en udvikling, hvor tætheden først var domineret af stråling, dernæst i en periode af hvilemasse, og til sidst af vakuumenergi. (d) Ved hvilken rødforskydning (z) skiftede Universet fra hvilemassedominans til vakuumenergi-dominans? (e) Vis, at skalafaktoren for w > 1 opfylder R(t) t 3(1+w), samt at R(t) exp(ht) med konstant H for w = 1, såfremt Universet kun rummede én og ikke tre komponenter. (f) Giv et skøn over Universets alder på tidspunktet for skiftet mellem hvilemassedominans og vakuumenergi-dominans (kommentér dine antagelser/approximationer; der bedes ikke om en eksakt løsning af Friedmann-ligningerne, da den er ret kompliceret. Universets nuværende alder sættes til 14 milliarder år). (g) Beskriv Universets fremtidige udvikling under antagelse af, at Universet indeholder de omtalte tre komponenter. (h) I kursets gennemgang af Big Bang kernesyntese og galaksedannelse har vi set bort fra et eventuelt vakuumenergi-bidrag til tætheden. Er det en god eller en dårlig approximation i hvert af de to tilfælde? Begrund kort dit svar. 2 27

28 Af.4 ASTROFYSIK I SOMMER 2003 OPGAVE 1 Vi betragter tunge stjerner på alder-nul hovedserien, med masser over 10M. Energiproduktionen kommer fra brintforbrænding. Stjernernes kemiske sammensætning er givet ved indholdet X = 0.7 af brint og Z = 0.02 af tunge grundstoffer, per masseenhed. a) Argumentér for at brintforbrændingen overvejende sker ved CNO cyklen, og at stjernerne derfor har konvektive kerner. Uden for den konvektive kerne antages energitransporten at ske ved stråling; opaciteten antages domineret af elektronspredning, κ = κ e = 0.2(1 + X) cm 2 g 1. b) Vis at temperaturgradienten = d ln T/d ln P i området med strålingstransport er givet ved = r = 3κ e P 16πac GT 4 L m, hvor P er trykket, a er strålingsenergitæthedskonstanten, c er lyshastigheden, G er gravitationskonstanten, L er lysstyrken i det betragtede punkt og m er massen inden for dette punkt. Vi antager i hele opgaven at L = L s, hvor L s er overfladelysstyrken. I de ydre dele af stjernen kan vi ydermere antage at m = M, stjernens samlede masse. c) Vis at med disse antagelser tilfredsstiller T og P T 4 = 3κ e L 4πac G M P, og vis derudfra at i denne del af stjernen er r = 1 4. I tunge stjerner er vi nødt til at tage hensyn til strålingstrykket. Vi skriver det totale tryk som P = P g + P r, hvor P g = kρt µm u, P r = 1 3 at 4 ; her er k Boltzmanns konstant, ρ er massefylden, µ er middelmolekylvægten og m u er atommasseenheden. Desuden indfører vi β = P g /P ; det er klart at P r /P = 1 β. 28

29 d) Vis at 1 β = κ e L 4πc G M Argumenter for at β nødvendigvis er større end 0, og bestem derudfra en øvre grænse, i enheder af L /M, for L/M. Vi betragter nu det indre af stjernen, hvor m ikke længere kan antages at være konstant. e) Vis at massen m c for den konvektive kerne kan skrives som m c M = κ e L 16πc G M 1 (1 β c ) ad, hvor ad = ( ln T/ ln P ) ad er den adiabatiske temperaturgradient og β c er værdien af β på overgangen til den konvektive kerne. For at bestemme variationen af m c med stjernens masse antager vi følgende sammenhæng mellem masse og lysstyrke af de betragtede stjerner: L = ( Endvidere antager vi at β c tilfredsstiller 1 β c = 0.04 M 10M ( M 10M ) 2.6 L. ) 1.2. (Bemærk at disse relationer afviger fra de simple skøn udledt i Lecture Notes; de er fornuftige approksimationer for stjerner med masse mellem 10 og 50M.) Endelig må vi tage hensyn til at ad afhænger af β; vi kan approksimere denne afhængighed med ad (1 β). 2 f) Vis at m c /M er en voksende funktion af M. g) Bestem m c /M for M = 10M, 20M, 30M, 40M, 50M. Opgave 2 mangler indtil videre. 29

30 A4 ASTROFYSIK I VINTER OPGAVE 1 Vi betragter horisontalgrensstjerner i den kugleformede stjernehob M3. Et farve-lysstyrkediagram af hoben er vist på figuren, hvor HB markerer horisontalgrenen. Som bekendt drejer det sig om stjerner der har undergået heliumantændelse i et heliumflash, og hvor energiproduktionen sker ved en kombination af central heliumforbrænding og brintskalkildeforbrænding. Vi antager at udviklingseffekter efter heliumflashet kan negligeres. Vi er specielt interesserede i at forstå at stjernerne fordeler sig over et bredt område i B V og dermed i effektiv temperatur. Vi antager følgende sammenhæng mellem B V og den effektive temperatur T eff : 8540 K T eff = B V Effekten af bolometrisk korrektion kan negligeres. 30

31 (a) Argumentér for at stjernernes overfladeradius aftager med aftagende B V og dermed voksende effektiv temperatur på horisontalgrenen. (b) Giv et skøn over forholdet mellem radius af stjernerne markeret med de to lodrette streger. Vi antager at energitransporten sker ved stråling uden for brintskalkilden; opaciteten antages domineret af elektronspredning, κ = κ e = 0.2(1 + X) cm 2 g 1, hvor X er brintindholdet. I dette område antager vi også at lysstyrken L r = L s, overfladelysstyrken. Desuden negligerer vi massen indeholdt i dette område, så M r = M, stjernens totale masse. (c) Vis at dt dp = 3κ e L s 16πac GT 3 M, hvor T er temperaturen, P er trykket, a er strålingstæthedskonstanten, c er lyshastigheden, og G er gravitationskonstanten. Vis herudfra at P = 4πac G M T 4, (1) 3κ e L s hvor vi har negligeret tryk og temperatur på stjernens overflade. Vi antager at tilstandsligningen er givet ved idealgasloven for en fuldstændig ioniseret gas, og at strålingstryk kan negligeres. (d) Opskriv, ved hjælp af ligningen for hydrostatisk ligevægt, idealgasloven og ligning (1), en ligning for dt/dr, hvor r er afstanden til stjernens centrum. Vis at denne ligning har løsningen T = GMµm u 4k ( 1 r 1 R ), (2) hvor µ er middelmolekylvægten, m u er atomvægtenheden, k er Boltzmanns konstant og R er stjernens overfladeradius. Som vist på figuren kan stjernernes lysstyrke antages at være den samme over en stor del af horisontalgrenen. Vi antager derfor at alle stjerner har samme struktur i brintskalkilden og i de dele der ligger inden for skalkilden. Alle stjerner antages også at have samme masse, M = 0.5M, og den kemiske sammensætning af området uden for skalkilden er givet ved X = 0.75 og et indhold Z = af tunge grundstoffer. (e) Bidraget fra skalkilden til stjernernes lysstyrke kræver at temperaturen T sk i skalkilden er K. Bestem radius r sk af skalkilden, i enheder af Solens radius R, hvis det antages at r sk R. 31

32 Variationen i stjernernes effektive temperatur langs horisontalgrenen antages normalt at skyldes varierende grader af massetab i tidligere udviklingsfaser, specielt på den røde kæmpegren og under heliumflashet. Vi kan undersøge denne hypotese ved at bestemme massen m env af det område af stjernen, der ligger uden for skalkilden. (f) Vis ud fra ligning (1) og idealgasloven at Vis herudfra at ρ = BT 3, hvor B = 4πac Gµm u 3κ e k m env = ( ) 3 [ GMµmu 4πB 11 ( ) 4k 6 ln rsk + 3 R hvor ln er den naturlige logaritme. ( ) rsk 3 R 2 M L s. ( ) rsk R 3 ( ) ] rsk 3 R (g) Vi antager at alle stjerner på horisontalgrenen har lysstyrken L s = 40L, hvor L er Solens lysstyrke. Bestem m env /M for T eff = K, T eff = K og T eff = K., OPGAVE 2 Vi betragter et tænkt Univers, der alene indeholder en substans med energitæthed ɛ(t) (hvor t er tiden) med trykket givet ved tilstandsligningen P = ɛ/3. Skalafaktoren betegnes som sædvanlig a(t), og vi sætter a(t 0 ) a 0 1, hvor t 0 er det nuværende tidspunkt. (a) Bestem ɛ(a) udtrykt ved ɛ 0 og a. (b) Vis at ȧ da/dt = K, hvor K er en konstant, og udtryk konstanten K ved naturkonstanter, ɛ 0, samt krumningsradius R 0. (c) Bestem a(t), og beregn ɛ 0 og H 0 (Hubble-parameteren til tiden t 0 ) under forudsætning af at Universets nuværende alder er 13.7 milliarder år, samt at Universet har en uendelig stor krumningsradius. (d) Bestem horisontafstanden d hor (t) som funktion af tiden og kommentér resultatet. (e) Gør kort rede for den tidslige udvikling i en kosmologisk model som den beskrevne og beskriv kort nogle observationer, der stemmer med og/eller er i modstrid med denne model. 32

33 (f) Gør kort rede for, hvorledes udviklingen kvalitativt ville ændres i forhold til den beskrevne model, hvis der udover den beskrevne substans adderes yderligere 1) en lille smule almindeligt stof med tilstandsligning P = 0; eller i stedet 2) en lille smule kosmologisk konstant med tilstandsligning P = ɛ. 33

34 Af.4 ASTROFYSIK I SOMMER 2004 OPGAVE 1 Vi betragter den første generation af stjerner, dannet af den stofsammensætning der resulterede fra kernesyntesen i Big Bang. Vi er specielt interesseret i nydannede stjerner, hvor energiproduktionen sker ved brint-fusion. Stjernernes indhold af brint, X = 0.77, antages at være konstant. Det antages at opaciteten er domineret af elektronspredning. Sammenhængen mellem masse og overfladelysstyrke antages givet ved ( ) 3 ( ) M µ L s = M X erg s 1, hvor M er stjernens masse, M er solmassen og µ er middelmolekylvægten. (a) Argumenter for at vi kan antage at der for indholdet Z af tunge grundstoffer gælder at Z 0 i de nydannede stjerner. Argumenter også for at energiproduktionen i disse stjerner udelukkende skyldes pp-kæderne, samt at man derfor kunne forvente at stjernerne har strålingstransport i de centrale dele. (b) Vi betragter en stjerne med massen M = 5M og den effektive temperatur T eff = K. Find stjernens lysstyrke og radius. Vi er specielt interesseret i forholdene i de centrale dele af stjernen, hvor energiproduktionen finder sted. Her approksimerer vi temperaturen T og massefylden ρ med T = T c (1 q), ρ = ρ c (1 q) 3, hvor T c og ρ c er de centrale værdier af T og ρ, og q = M r /M, hvor M r er massen inden for det betragtede punkt. Endvidere antager vi at energiproduktionshastigheden ved pp kæderne kan approksimeres ved ɛ pp = ɛ 0 ρx 2 T 4 6, hvor ɛ 0 = 10 5 (i cgs enheder) og T 6 = T/(10 6 K). (c) Vis at stjernens overfladelysstyrke kan findes som hvor T c,6 = T c /(10 6 K). L s = 1 8 Mɛ 0ρ c T 4 c,6x 2, (1) Vi antager at forholdet mellem ρ c og den gennemsnitlige massefylde ρ = M/(4πR 3 /3) er givet ved værdien for en polytrop af indeks 3, ρ c ρ =

35 (d) Bestem ρ c og find herudfra T c, ved hjælp af ligning (1). (e) Vi kan nu checke formodningen om at den centrale dele er konvektivt stabile. Som bekendt kræver det at r = 3k κ e 16πac Gm u µ L r (r) ρ < 2/5, (2) M r (r) T 3 hvor vi har antaget idealgasloven; her er k Boltzmann s konstant, a er strålingsenergitæthedskonstanten, c er lyshastigheden, G er gravitationskonstanten, m u er atommasseenheden, og κ e er opaciteten fra elektronspredning. Argumenter for r har sin største værdi i stjernens centrum, og vis at denne værdi tilfredsstiller uligheden (2). På grund af den relativt høje centraltemperatur sker der en begrænset energiproduktion på grund af heliumforbrænding, ved triple-alfa processen, selv i denne udviklingsfase. Energiproduktionshastigheden ved denne reaktion kan approksimeres ved ɛ 3α = ρ 2 Y 3 T8 41, (3) i cgs enheder, hvor Y er heliumindholdet og T 8 = T/(10 8 K). (f) Beregn ɛ 3α i stjernens centrum og vis at den er meget mindre end energiproduktionen fra brintfusionen. En anden effekt af heliumforbrændingen er dannelsen af 12 C; dermed er der mulighed for brintfusion ved CNO-cyklen. Vi approksimerer energiproduktionshastigheden ved CNO-cyklen med ɛ CNO = ρxx CNO T 20 6, i cgs enheder, hvor X CNO er det samlede indhold af C, N og O, der kan approksimeres med mængden af 12 C produceret ved helium-fusionen. Produktionshastigheden af 12 C kan bestemmes ud fra ligning (3), hvor det opgives at hver produceret 12 C kerne svarer til frigivelse af 7.26 MeV. (g) På grund af det voksende bidrag fra CNO-cyklen til energiproduktionen vokser den centrale energiproduktion og dermed den centrale værdi af r. Giv et skøn over hvor lang tid der går fra stjernens dannelse inden stjernen får en konvektiv kerne; det antages at alle andre størrelser end X CNO er uændrede under denne del af stjernens udvikling. (Bemærk at dette tidsrum er så kort at stjernen i praksis må forventes at etablere en konvektiv kerne allerede under udviklingen før hovedserien.) 35

36 OPGAVE 2 I denne opgave vil vi kaste lys over Olbers paradoks. (a) Forklar med egne ord, hvori Olbers paradoks består og hvilke antagelser, der ligger bag. Betragt nu et støvdomineret (ω=0), fladt (κ=0) univers med Hubblekonstant H 0 =70 km s 1 Mpc 2. (b) Vis, at i et sådant univers er skalafaktoren givet ved: a(t) = ( 3 2 H 0t) 2/3 Hvad er universets alder t 0 i denne model? (c) Hvad er horisontafstanden i et sådant univers? Forklar hvordan svaret hjælper til at løse Olbers paradoks. Vi vil nu beregne, hvor stor energitætheden fra stjernelys er i denne model. Lad α(t) betegne den energi, der udstråles fra stjerner per volumen i tiden dt. Den udstrålede energi dq i et volumen V er altså: dq = α(t)v dt (d) Brug termodynamikkens 1. hovedsætning for denne strålingskomponent (dq = d(ɛ γ V ) + P γ dv, P γ = 1 3 ɛ γ) til at vise: d(v 4/3 ɛ γ ) = V 1/3 dq = α(t)v 4/3 dt (e) Brug resultatet fra (d) samt V a(t) 3 til at vise: a(t 0 ) 4 ɛ γ (t 0 ) = a(t 1 ) 4 ɛ γ (t 1 ) + t0 t 1 α(t)a(t) 4 dt Antag, at strålingen udsendes af galakser med konstant luminositet L og en antalstæthed n, der er konstant i medfølgende koordinater. Dermed er α(t 0 ) = n L og α(t) a(t) 3. Antag endvidere, at t 1 = 0, ɛ γ (t 1 ) = 0 og α(t 0 ) = L Mpc 3 (jvf. afsnit 2.3 i Ryden: Introduction to Cosmology). (f) Brug resultatet fra (b) og (e) til at vise ɛ γ (t 0 ) = 2 α(t 0 ) 5 H 0. Sammenlign med den observerede værdi på ɛ γ (t 0 ) J m 3. Hvilke antagelser kan være forkerte? Hvor stor er ɛ γ (t 0 ) sammenlignet med energitætheden i den kosmiske mikrobølge-baggrundstråling? 36

37 ASTROFYSIK VINTER OPGAVE 1 Vi betragter en rød kæmpestjerne. Stjernen er observeret at have en parallakse π = , og en tilsyneladende bolometrisk størrelsesklasse m bol = 5.0. Vi negligerer interstellar rødfarvning. Ud fra analyse af stjernens spektrum er tyngdeaccelerationen g bestemt til log 10 g = 1.5, i cgs enheder. Den generelle intensitetsfordeling I λ i stjernens spektrum, som funktion af bølgelængden λ, kan approksimeres med en Planck funktion; I λ har et maksimum ved λ = 8300Å. Det opgives endvidere at solens lysstyrke er L = erg s 1 og solens absolutte bolometriske størrelsesklasse er M bol, = Grundstofsammensætningen af stjernen bestemmes til et indhold per masseenhed af brint og tunge grundstoffer på X = 0.7 og Z = (a) Vis ud fra disse oplysninger at stjernens lysstyrke L, effektive temperatur T eff, radius R og masse M er L = 166.8L, T eff = 3491 K, R = 35.38R, M = 1.445M. hvor M er solens masse. Sådanne røde kæmpestjerner er karakteriseret ved en dyb ydre konvektionszone. Vi skal undersøge egenskaber ved denne konvektionszone. Som bekendt er betingelsen for konvektion karakteriseret ved temperaturgradienten d ln T/d ln P, hvor T er temperaturen og P er trykket; der er konvektion når 3 κp L r rad = > 16πacG T 4 ad. (1.1) M r Her er a strålingsenergitæthedskonstanten, c er lyshastigheden, G er gravitationskonstanten, κ er opaciteten, og L r og M r er luminositet ved, og massen inden for, det betragtede punkt. Vi antager i hele opgaven at tilstandsligningen er givet ved en fuldstændig ioniseret idealgas, uden strålingstryk, således at ad = 2/5. Vi betragter først forholdene i stjernens fotosfære, karakteriseret som det punkt hvor T = T eff. Man kan vise at forholdene ved fotosfæren er karakteriseret ved at trykket er givet ved P ph = β g ph, (1.2) κ ph hvor β er en konstant, og g ph og κ ph er tyngdeacceleration og opacitet i fotosfæren. Vi antager her at β = 2.2. (b) Vis at med denne antagelse er der konvektion ved stjernens fotosfære. Vi antager at opaciteten er givet som [ ( ) T νe ( ) T νi ] 1 κ = κ 0 ρ +, (1.3) Ti T eff 37

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion

Læs mere

Stjerneudvikling, grundstofsyntese og supernovaer. Jørgen Christensen-Dalsgaard Dansk AsteroSeismologi Center Institut for Fysik og Astronomi

Stjerneudvikling, grundstofsyntese og supernovaer. Jørgen Christensen-Dalsgaard Dansk AsteroSeismologi Center Institut for Fysik og Astronomi Stjerneudvikling, grundstofsyntese og supernovaer Jørgen Christensen-Dalsgaard Dansk AsteroSeismologi Center Institut for Fysik og Astronomi SN 1994D Starmodels ifølge GOOGLE Tromsø Astronomiforening Stjernebrettingskomiteen

Læs mere

A4: Introduction to Cosmology. Forelæsning 2 (kap. 4-5): Kosmisk Dynamik

A4: Introduction to Cosmology. Forelæsning 2 (kap. 4-5): Kosmisk Dynamik A4: Introduction to Cosmology Forelæsning (kap. 4-5): Kosmisk Dynamik 1-komponent modeller Robertson-Walker metrikken ds = c dt² a t [ Metrik med medfølgende koordinater (x,θ,φ), x= S κ (r) i den rumlige

Læs mere

Formelsamling i astronomi. Februar 2016

Formelsamling i astronomi. Februar 2016 Formelsamling i astronomi. Februar 016 Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder Jordens sideriske

Læs mere

Formelsamling i astronomi. November 2015.

Formelsamling i astronomi. November 2015. Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 010 Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 010 Computerøvelse (brug MatLab) Det er tanken at I - i forbindelse med hver øvelsesgang - får en opgave som kræver

Læs mere

Dannelsen af Galakser i det tidlige. Univers. Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse. første galakser. Johan P. U.

Dannelsen af Galakser i det tidlige. Univers. Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse. første galakser. Johan P. U. Dannelsen af Galakser i det tidlige Johan P. U. Fynbo, Adjunkt Univers Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse Observationer af de første galakser Et dybt billede af himlen væk fra Mælkevejens

Læs mere

Benyttede bøger: Introduction to Cosmology, Barbara Ryden, 2003.

Benyttede bøger: Introduction to Cosmology, Barbara Ryden, 2003. Formelsamling Noter til Astronomi 1 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009

Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 21. september 2009 Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009 Øvelse nr. 10: Solen vor nærmeste stjerne Solens masse-lysstyrkeforhold meget stort. Det vil sige, at der

Læs mere

Kernefysik og dannelse af grundstoffer. Fysik A - Note. Kerneprocesser. Gunnar Gunnarsson, april 2012 Side 1 af 14

Kernefysik og dannelse af grundstoffer. Fysik A - Note. Kerneprocesser. Gunnar Gunnarsson, april 2012 Side 1 af 14 Kerneprocesser Side 1 af 14 1. Kerneprocesser Radioaktivitet Fission Kerneproces Fusion Kollisioner Radioaktivitet: Spontant henfald ( af en ustabil kerne. Fission: Sønderdeling af en meget tung kerne.

Læs mere

Big Bang Modellen. Varmestråling, rødforskydning, skalafaktor og stofsammensætning.

Big Bang Modellen. Varmestråling, rødforskydning, skalafaktor og stofsammensætning. Big Bang Modellen Varmestråling, rødforskydning, skalafaktor og stofsammensætning. Jacob Nielsen 1 Varmestråling spiller en central rolle i forståelsen af universets stofsammensætning og udvikling. Derfor

Læs mere

Kvalifikationsbeskrivelse

Kvalifikationsbeskrivelse Astrofysik II Kvalifikationsbeskrivelse Kursets formål er at give deltagerne indsigt i centrale aspekter af astrofysikken. Der lægges vægt på en detaljeret beskrivelse af en række specifikke egenskaber

Læs mere

Universets opståen og udvikling

Universets opståen og udvikling Universets opståen og udvikling 1 Universets opståen og udvikling Grundtræk af kosmologien Universets opståen og udvikling 2 Albert Einstein Omkring 1915 fremsatte Albert Einstein sin generelle relativitetsteori.

Læs mere

MODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI

MODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI MODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI T (K) t (år) 10 30 10-44 sekunder 1 mia. 10 sekunder 3000 300.000 50 1 mia. He, D, Li Planck tiden Dannelse af grundstoffer Baggrundsstråling

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Stjernernes død De lette

Stjernernes død De lette Stjernernes død De lette Fra hovedserie til kæmpefase pp-proces ophørt. Kernen trækker sig sammen, opvarmes og trykket stiger. Stjernen udvider sig pga. det massive tryk indefra. Samtidig afkøles overfladen

Læs mere

Spiralgalakser - spiralstruktur

Spiralgalakser - spiralstruktur Galakser 2014 F6 1 Spiralgalakser - spiralstruktur Spiralstruktur skyldes formentligt en quasistatisk tæthedsbølge. Tæthedsbølger er områder med 10-20% højere massetæthed end gennemsnittet jf. en trafikprop.

Læs mere

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET Hubble Space Telescope International Space Station MODUL 3 - ET SPEKTRALT FINGERAFTRYK EM-STRÅLINGS EGENSKABER Elektromagnetisk stråling kan betragtes som bølger og

Læs mere

Mælkevejens kinematik. MV er ikke massiv, så der vil være differentiel rotation. Rotationen er med uret set ovenfra.

Mælkevejens kinematik. MV er ikke massiv, så der vil være differentiel rotation. Rotationen er med uret set ovenfra. Galakser 2014 F4 1 Mælkevejens kinematik MV er ikke massiv, så der vil være differentiel rotation. Rotationen er med uret set ovenfra. 2 Mælkevejens rotationskurve for R

Læs mere

DET USYNLIGE UNIVERS. STEEN HANNESTAD 24. januar 2014

DET USYNLIGE UNIVERS. STEEN HANNESTAD 24. januar 2014 DET USYNLIGE UNIVERS STEEN HANNESTAD 24. januar 2014 GANSKE KORT OM KOSMOLOGIENS UDVIKLING FØR 1920: HELE UNIVERSET FORMODES AT VÆRE NOGENLUNDE AF SAMME STØRRELSE SOM MÆLKEVEJEN OMKRING 30,000 LYSÅR GANSKE

Læs mere

Bitten Gullberg. Solen. Niels Bohr Institutet

Bitten Gullberg. Solen. Niels Bohr Institutet Solen Niels Bohr Institutet 1 Sol data Gennemsnits afstanden til Jorden Lysets rejse tid til Jorden 1 AU = 149 598 000 km 8.32 min Radius 696 000 km = 109 Jord-radier Masse 1.9891 10 30 kg = 3.33 10 5

Læs mere

Kosmologi supplerende note

Kosmologi supplerende note Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 1/10 Kosmologi supplerende note Denne note omhandler skalafaktoren for Universets ekspansion, og i modellen er inkluderet de seneste

Læs mere

STJERNEMODEL. Hydrodynamik. Termodynamik. Kernefysik. Atomfysik. Strålings teori. Numeriske teknikker. Matematik. Elementar partikelfysik

STJERNEMODEL. Hydrodynamik. Termodynamik. Kernefysik. Atomfysik. Strålings teori. Numeriske teknikker. Matematik. Elementar partikelfysik Strålings teori Termoynamik Atomfysik Kernefysik Hyroynamik Matematik STJENEMODE Numeriske teknikker Stjerners egenskaber Svingnings perioer Elementar partikelfysik Stjernehobe OBSEVATIONE Solneutrinoer

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Opgaver i kosmologi - fra

Opgaver i kosmologi - fra Opgaver i kosmologi - fra www.borgeleo.dk Opgave 1 - Dopplereffekt - eksempel Et bilhorn i hvile udsender lydbølger, og bølgetoppene udbreder sig med lydens fart v = 340 m/s i alle retninger med bølgelængden

Læs mere

Universet bliver mørkere og mørkere

Universet bliver mørkere og mørkere Universet bliver mørkere og mørkere Af Signe Riemer-Sørensen, School of Physics and Mathematics, University of Queensland og Tamara Davis, School of Physics and Mathematics, University of Queensland samt

Læs mere

Kosmologi Big Bang-modellen

Kosmologi Big Bang-modellen Kosmologi 6/BN - fra www.borgeleo.dk 1/17 Kosmologi Big Bang-modellen De tre søjler De tre grundpiller, som teorien om Big Bang bygger på, er 1) Rødforskydningen af bølgelængder i lyset fra fjerne galakser

Læs mere

Hvordan blev Universet og solsystemet skabt? STEEN HANNESTAD INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI

Hvordan blev Universet og solsystemet skabt? STEEN HANNESTAD INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI Hvordan blev Universet og solsystemet skabt? STEEN HANNESTAD INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI HVAD BESTÅR JORDEN AF? HVILKE BYGGESTEN SKAL DER TIL FOR AT LIV KAN OPSTÅ? FOREKOMSTEN AF FORSKELLIGE GRUNDSTOFFER

Læs mere

Denne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart.

Denne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart. Kære bruger Denne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart. Af hensyn til copyright indeholder den ingen fotos. Mvh Redaktionen Nye

Læs mere

A4: Introduction to Cosmology. Forelæsning 5: Big Bang Nukleosyntese: Dannelsen af grundstofferne 2. time: inflation

A4: Introduction to Cosmology. Forelæsning 5: Big Bang Nukleosyntese: Dannelsen af grundstofferne 2. time: inflation A4: Introduction to Cosmology Forelæsning 5: Big Bang Nukleosyntese: Dannelsen af grundstofferne. time: inflation Idag: Dannelsen af H, D, He, Li Hvad skete før rekombinationen? Hvornår blev atomkernerne

Læs mere

I dagligdagen kender I alle røntgenstråler fra skadestuen eller tandlægen.

I dagligdagen kender I alle røntgenstråler fra skadestuen eller tandlægen. GAMMA Gammastråling minder om røntgenstråling men har kortere bølgelængde, der ligger i intervallet 10-11 m til 10-16 m. Gammastråling kender vi fra jorden, når der sker henfald af radioaktive stoffer

Læs mere

Kapitel 2. Dannelse af stjerner. 2.1 Hydrostatisk ligevægt

Kapitel 2. Dannelse af stjerner. 2.1 Hydrostatisk ligevægt Kapitel Dannelse af stjerner Vi befinder os i en galakse kaldet Mælkevejen. Mælkevejen er et stort fladtrykt system af stjerner, gas og støv, og Solen befinder sig ca. 5.000 lysår (, 0 7 km) fra centrum

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

I dag. Hvad adskiller aktive galakser fra normale galakser? Hvilken betydning har skiven omkring det sorte hul?

I dag. Hvad adskiller aktive galakser fra normale galakser? Hvilken betydning har skiven omkring det sorte hul? Galakser 2014 F8 1 I dag Hvad adskiller aktive galakser fra normale galakser? Hvad er en quasar og hvordan ser spektret fra sådan en ud? Hvilke andre typer af aktive galakser findes der, og hvad er deres

Læs mere

Praktiske oplysninger

Praktiske oplysninger Galakser 2014 F1 1 Praktiske oplysninger Forelæser Hans Kjeldsen, hans@phys.au.dk, 1520-527 Instruktor Magnus Johan Aarslev, maj@phys.au.dk, 1520, 4th floor Bog Extragalactic Astronomy and Cosmology, Schneider

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 1/12. Cepheider

Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 1/12. Cepheider Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober 2017. side 1/12 Cepheider Af Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf Oktober 2017 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober 2017. side 2/12 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Resumé fra sidst. Stjernerne i bulen er mere metalrige end i skiven

Resumé fra sidst. Stjernerne i bulen er mere metalrige end i skiven Galakser 2014 F3 1 Resumé fra sidst Mælkevejen består grundlæggende af en skive, en bule og en halo. Solen befinder sig sammen med spiralarmene i skiven i en afstand af ca. 8.0 kpc fra centrum af galaksen.

Læs mere

Lysets kilde Ny Prisma Fysik og kemi 9 - kapitel 8 Skole: Navn: Klasse:

Lysets kilde Ny Prisma Fysik og kemi 9 - kapitel 8 Skole: Navn: Klasse: Lysets kilde Ny Prisma Fysik og kemi 9 - kapitel 8 Skole: Navn: Klasse: Opgave 1 Der findes en række forskellige elektromagnetiske bølger. Hvilke bølger er elektromagnetiske bølger? Der er 7 svarmuligheder.

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q3-1 Large Hadron Collider (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner fra den separate konvolut, før du starter på denne opgave. Denne opgave handler om fysikken bag partikelacceleratorer LHC (Large

Læs mere

I dag. Hvad er principperne i strukturdannelse i Universet og hvordan kan vi simulere det?

I dag. Hvad er principperne i strukturdannelse i Universet og hvordan kan vi simulere det? Galakser 2014 F11 1 I dag Hvad er principperne i strukturdannelse i Universet og hvordan kan vi simulere det? Hvad fortæller simuleringerne os er der nogen forskelle/problemer i forhold hvad der observeres?

Læs mere

Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner

Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner V.Beckmann / ESA Daniel Lawther, Dark Cosmology Centre, Københavns Universitet Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner Vi skal snakke om: - Hvad

Læs mere

Antistofteorien, en ny teori om universets skabelse.

Antistofteorien, en ny teori om universets skabelse. Antistofteorien, en ny teori om universets skabelse. Hvad er mørk energi? Big Bang har længe været en anerkendt model for universets skabelse. Den har imidlertid mange mangler. For at forklare universets

Læs mere

Mørkt stof og mørk energi

Mørkt stof og mørk energi Mørkt stof og mørk energi UNF AALBORG UNI VERSITET OUTLINE Introduktion til kosmologi Den kosmiske baggrund En universel historietime Mørke emner Struktur af kosmos 2 KOSMOLOGI Kosmos: Det ordnede hele

Læs mere

Begge bølgetyper er transport af energi.

Begge bølgetyper er transport af energi. I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling(em-stråling). Herunder synligt lys, IR-stråling, Uv-stråling, radiobølger samt gamma og røntgen stråling. I skal stifte bekendtskab med EM-strålings

Læs mere

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel

Læs mere

Termodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system

Termodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system Termodynamik Esben Mølgaard 5. april 2006 1 Statistik Hvis man har N elementer hvoraf t er defekte, eller N elementer i to grupper hvor forskydningen fra 50/50 (spin excess) er 2s, vil antallet af mulige

Læs mere

Rapport uge 48: Skråplan

Rapport uge 48: Skråplan Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................

Læs mere

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve. Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve. Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 6 opgaver med tilsammen 17 spørgsmål. Svarene på de stillede

Læs mere

Kosmologi. December Michael A. D. Møller. Kosmologi

Kosmologi. December Michael A. D. Møller. Kosmologi Kosmologi. December 017. Michael A. D. Møller. side 1/16 Kosmologi Planck-satellittens målinger af den kosmologiske baggrundsstråling. Sådan et billede kan bruges til at måle kosmologiske parametre. Kilde:

Læs mere

Tillæg til partikelfysik (foreløbig)

Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Opgavesvar til Kosmologi

Opgavesvar til Kosmologi Side 2 af 14 Opgavesvar til Kosmologi Opgave 1, side 12 Soldøgn og stjernedøgn P * = 23 h 56 m 4.09 s med de forelagte tal 365.24 soldøgn: 8765.76 timer 366.24 stjernedøgn: 8765.76 timer Opgave 2, side

Læs mere

Det anbefales ikke at stå for tæt på din færdige stjerne, da denne kan være meget varm.

Det anbefales ikke at stå for tæt på din færdige stjerne, da denne kan være meget varm. Vi advarer om, at stjerner har en udløbsdato, afhængig af deres masse. Hvis du ikke er opmærksom på denne dato, kan du risikere, at din stjerne udvider sig til en rød kæmpe med fare for at udslette planeterne

Læs mere

Standardmodellen og moderne fysik

Standardmodellen og moderne fysik Standardmodellen og moderne fysik Christian Christensen Niels Bohr instituttet Stof og vekselvirkninger Standardmodellen Higgs LHC ATLAS Kvark-gluon plasma ALICE Dias 1 Hvad beskriver standardmodellen?

Læs mere

Kernereaktioner. 1 Energi og masse

Kernereaktioner. 1 Energi og masse Kernereaktioner 7 1 Energi og masse Ifølge relativitetsteorien gælder det, at når der tilføres energi til et system, vil systemets masse altid vokse. Sammenhængen mellem energitilvæksten og massetilvækstener

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Nr. 6-2007 Grundstoffernes historie Fag: Fysik A/B/C Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, november 2008

Nr. 6-2007 Grundstoffernes historie Fag: Fysik A/B/C Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, november 2008 Nr. 6-007 Grundstoffernes historie Fag: Fysik A/B/C Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, november 008 Spørgsmål til artiklen. Hvilket grundstof, mente Hans Bethe, var det

Læs mere

Stabilitet af kølet tankreaktor

Stabilitet af kølet tankreaktor Stabilitet af kølet tankreaktor Vi betragter en velomrørt tankreaktor, i hvilken den exoterme reaktion B skal gennemføres. Tankreaktorens volumen er V m 3 ), og reaktanten tilføres i en opløsning med den

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Liv i Universet. Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA)

Liv i Universet. Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA) Liv i Universet Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA) Er der liv andre steder i universet end her på Jorden? Det er et af de store spørgsmål, som menneskeheden har stillet sig

Læs mere

CHRISTIAN SCHULTZ 28. MARTS 2014 DET MØRKE UNIVERS CHRISTIAN SCHULTZ DET MØRKE UNIVERS 28. MARTS 2014 CHRISTIAN SCHULTZ

CHRISTIAN SCHULTZ 28. MARTS 2014 DET MØRKE UNIVERS CHRISTIAN SCHULTZ DET MØRKE UNIVERS 28. MARTS 2014 CHRISTIAN SCHULTZ OUTLINE Hvad er kosmologi Observationer i astrofysik Hvorfor må vi have mørk energi og mørkt stof for at forstå observationerne? 2 KOSMOLOGI Kosmos: Det ordnede hele Logi: Læren om Kosmo+logi: Læren om

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Det kosmologiske verdensbillede anno 2010

Det kosmologiske verdensbillede anno 2010 Det kosmologiske verdensbillede anno 2010 Baseret på foredrag afholdt i foreningen d. 6. maj 2010. Af Anja C. Andersen Niels Bohr Instituttet Københavns Universitet. Hvad består Universet egentlig af?

Læs mere

Røntgenspektrum fra anode

Røntgenspektrum fra anode Røntgenspektrum fra anode Elisabeth Ulrikkeholm June 24, 2016 1 Formål I denne øvelse skal I karakterisere et røntgenpektrum fra en wolframanode eller en molybdænanode, og herunder bestemme energien af

Læs mere

Antistofteorien. I denne undersøgelse vil jeg antage, at gravitationskraften mellem antipartikler

Antistofteorien. I denne undersøgelse vil jeg antage, at gravitationskraften mellem antipartikler Antistofteorien. Big Bang har længe været en anerkendt teori om universets skabelse. Den har imidlertid mange mangler. Da universet tilsyneladende kun indeholder masser der tiltrækker hinanden er det svært

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2009 Landsfinale fredag den 21. november Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2009 Landsfinale fredag den 21. november Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2009 Landsfinale fredag den 21. november 2008 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 6 opgaver med i alt 17 spørgsmål. Bemærk at de enkelte spørgsmål ikke tæller

Læs mere

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag

Læs mere

Big Bang og universets skabelse (af Jeanette Hansen, Toftlund Skole)

Big Bang og universets skabelse (af Jeanette Hansen, Toftlund Skole) Big Bang og universets skabelse (af Jeanette Hansen, Toftlund Skole) Har du nogensinde tænkt på, hvordan jorden, solen og hele universet er skabt? Det er måske et af de vigtigste spørgsmål, man forsøger

Læs mere

Fysik 3 Frie øvelser. Massen af galaksehob Abell 2218

Fysik 3 Frie øvelser. Massen af galaksehob Abell 2218 Fysik 3 Frie øvelser Massen af galaksehob Abell 18 Udført af: Anne Mette Frejsel, Andreas Terkildsen, Maja Larsen og Christian Eistrup Københavns Universitet Forår 008 Massen af galaksehob Abell 18 Anne

Læs mere

Afstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk

Afstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk 1/7 Afstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk Afstandsstigen I astronomien har det altid været et stort problem at bestemme afstande. Først bestemtes afstandene til de nære objekter som Solen,

Læs mere

Årets nobelpris i fysik bygger videre på resultater opnået af danske forskere

Årets nobelpris i fysik bygger videre på resultater opnået af danske forskere Årets nobelpris i fysik bygger videre på resultater opnået af danske forskere Hans Ulrik Nørgaard-Nielsen, DTU Space og Leif Hansen, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Nobelprisen i fysik 2011

Læs mere

Stjernetællinger IC 1396A

Stjernetællinger IC 1396A Galakser-Mælkevejen Mælkevejen Aktører: William Herschel (1738-1822) Jacobus Kapteyn (1851-1922) Harlow Shapley (1885-1972) Robert Trumpler (1886-1956) Edwin Hubble (1889-1953) Stjernetællinger Herschel

Læs mere

Moderne Fysik 8 Side 1 af 9 Partikelfysik og kosmologi

Moderne Fysik 8 Side 1 af 9 Partikelfysik og kosmologi Moderne Fysik 8 Side 1 af 9 I dag: Noget om det allermest fundamentale i naturen; nemlig naturens mindste byggesten og de fundamentale naturkræfter, som styrer al vekselvirkning mellem stof. Desuden skal

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere

Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?

Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:

Læs mere

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.

Læs mere

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som

Læs mere

Lyset fra verdens begyndelse

Lyset fra verdens begyndelse Lyset fra verdens begyndelse 1 Erik Høg 11. januar 2007 Lyset fra verdens begyndelse Længe før Solen, Jorden og stjernerne blev dannet, var hele universet mange tusind grader varmt. Det gamle lys fra den

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus

Læs mere

Fysik A. Studentereksamen

Fysik A. Studentereksamen Fysik A Studentereksamen stx132-fys/a-15082013 Torsdag den 15. august 2013 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Side 1 af 9 Billedhenvisninger Opgave 1 U.S. Fish and wildlife Service Opgave 2 http://stardust.jpl.nasa.gov

Læs mere

I dag. Er der cooling flows i centrum af hobe? Hvad er Sunyaev-Zeldovich effekten, og hvad kan den bruges til?

I dag. Er der cooling flows i centrum af hobe? Hvad er Sunyaev-Zeldovich effekten, og hvad kan den bruges til? Galakser 2014 F10 1 I dag Er der cooling flows i centrum af hobe? Hvad er specielt ved The Bullet Cluster? Hvad er Sunyaev-Zeldovich effekten, og hvad kan den bruges til? Hvilke egenskaber for galaksehobe

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 2. juni 2017 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 2. juni 2017 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Fredag d. 2. juni 2017 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet

Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet RØNTGENSTRÅLING FRA KOSMOS: GALAKSEDANNELSE SET I ET NYT LYS Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet KOSMISK RØNTGENSTRÅLING Med det blotte øje kan vi på en klar

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Bølgeligningen. Indhold. Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1

Bølgeligningen. Indhold. Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1 Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1 Bølgeligningen Indhold 1. Bølgeligningen.... Udbredelseshastigheden for bølger på en elastisk streng...3 3. Udbredelseshastigheden for longitudinalbølger

Læs mere

Troels C. Petersen Lektor i partikelfysik, Niels Bohr Institutet

Troels C. Petersen Lektor i partikelfysik, Niels Bohr Institutet Troels C. Petersen Lektor i partikelfysik, Niels Bohr Institutet Big Bang til Naturfag, 6. august 2018 Skabelsesberetninger 2 Tidlig forestilling om vores verden 3 13.8 milliarder år siden Big Bang 4 Hubbles

Læs mere

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En cylinderkapacitor

Læs mere

Alt det vi IKKE ved Morten Medici Januar 2019

Alt det vi IKKE ved Morten Medici Januar 2019 Alt det vi IKKE ved Morten Medici Januar 2019 Universets historie Første atomer 379.000 år Udviklingen af galakser, planeter, etc. Big Bang Hubbleteleskopet Første stjerner omkring 200 millioner år Big

Læs mere

Førsteårsprojekt. Strukturen af mørkt stof

Førsteårsprojekt. Strukturen af mørkt stof Førsteårsprojekt Strukturen af mørkt stof Lavet af Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt. Vejledere: Steen Hansen og Ole Høst (begge fra Dark Cosmology Centre). Afleveringsdato:

Læs mere

F = -C*(e/3)²/d² = - 8,99*10⁹*(1,6*10 ¹⁹/3)²/(1,8*10 ¹⁵)² = -8N

F = -C*(e/3)²/d² = - 8,99*10⁹*(1,6*10 ¹⁹/3)²/(1,8*10 ¹⁵)² = -8N Antistofteorien. Big Bang har længe været en anerkendt teori om universets skabelse. Den har imidlertid mange mangler. Da universet består af masser der tiltrækker hinanden er det svært at forklare universets

Læs mere

Strålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen

Strålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen Strålingsintensitet Skal det fx afgøres hvor skadelig en given radioaktiv stråling er, er det ikke i sig selv relevant at kende aktiviteten af kilden til strålingen. Kilden kan være langt væk eller indkapslet,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Skråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008

Skråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008 Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................

Læs mere

1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre.

1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre. NATURVIDENSKABELIG GRUNDUDDANNELSE Københavns Universitet, 6. april, 2011, Skriftlig prøve Fysik 3 / Termodynamik Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er

Læs mere