Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Transkript

1 Hans Kjeldsen 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion finder sted i det indre af en stjerne. I nærværende computerøvelse skal vi undersøge denne betingelse for en simpel model af Solen. Det er tanken at øvelsen skal bruges som optakt til øvelse Ø-0. I det følgende ser vi på en simpel model af Solen, hvor ligningen for en ideal gas antages at gælde: k B μ m Vi antager at gassen i Solens indre er fuldstændigt ioniseret og at værdien af middel molekylvægten overalt i Solen er: μ 0,60 Vi antager desuden at opaciteten kan beskrives ved Kramers approksimation. I denne øvelse benyttes følgende udtryk: κ κ 4 0,4 0 cm / u g il undersøgelsen af (6.8) og (6.9) benytter vi nu følgende approksimation for temperaturen i Solens indre (som funktion af radius): 7 (,33 0 K , ( r / R) + 0,54 hvor r er afstanden fra Solen centrum og R er Solens radius. Side

2 For tætheden benyttes følgende approksimation (som er mindre præcis end den vi benytter for temperaturen): ( 0,77g / cm ( r / R) + 0,0 0, / + 0 (,44,0 ( r / R) ) g / cm C-3..: lot (eller log()) som funktion af r/r (vi benytter ovenstående approksimation for (). C-3.: Antag at L(/m( er konstant ud gennem Solen. Beregn og plot ud fra denne antagelse værdien af strålings-temperaturgradienten som funktion af r (benyt ligning 6.8). Hvor i Solen er der konvektion? Bestem dybden af den ydre konvektions zone. Sammenlign med figur 6.3. C-3.3.: Benyt nu approksimationen for ( til at beregne m( ved numerisk integration (benyt ligning 4.5). C-3.4.: Beregn massen af konvektionszonen i forhold til hele Solens masse, ved at benytte m( (fra C-3.3) og dybden af konvektionszonen som blev fundet i C-3.. Side

3 eoretiske Øvelser nr. 0 Fagpakke i Astronomi: Stjerner Vi skal i denne øvelse (som i computerøvelsen ovenfo regne på ligning (6.8) og via (6.9) undersøge betingelsen for konvektion i Solen. I C-3 benyttede vi MatLab til generelt at plotte strålings-temperaturgradienten som funktion af r, mens vi i denne opgave skal undersøge den samme problemstilling analytisk. I områder med adiabatisk konvektion er temperaturgradienten givet ved ad 0,4 Ø-0.: Vi antager at Solen består af en atmosfære og under dette ligger et område med adiabatisk konvektion, som vi antager begynder lige under atmosfæren. Vi antager at atmosfæren når % ind i Solen (til r/r 0,99) og at værdierne for temperatur og tryk (i cgs-enhede ved bunden af atmosfæren (og toppen af konvektionszonen) er: 4 4,0 0 K og 9,5 0 dyn / cm Vi antager at stoffet er fuldstændigt ioniseret (og at strålingstrykket negligeres). Bestem sammenhængen mellem og i konvektionszonen. Ø-0.: Vi antager nu (i lighed med computerøvelse C-3) at ligningen for en ideal gas gælder for stoffet i Solen: k B μ m Vi antager samtidigt at værdien af middel molekylvægten overalt i Solen er: μ 0,60 Desuden antages at opaciteten kan beskrives ved Kramers approksimation. I denne øvelse benyttes (som i C-3) følgende udtryk: κ κ 4 0,4 0 cm / u g Vi ønsker nu at bestemme værdierne for temperaturen, trykket og tætheden ved bunden af konvektionszonen i Solen, idet vi antager at værdien for L/m er konstant i konvektionszonen og er lig med L(sol)/M(sol). Side 3

4 Hint: Opskriv sammenhængen mellem og, og samt og i konvektionszonen. Indsæt nu værdierne for middel molekylvægten, opaciteten (som funktion af og ) og L/m i ligning (6.8) og bestem det sted hvor (6.9) går fra at være opfyldt til ikke længere at gælde. Dette sted udgør bunden af konvektionszonen. Ved indsættelse af () i (6.8) er den eneste ubekendte som derfor kan bestemmes under antagelse af (6.9). Bestem herefter og ud fra. Ø-0.3: Det er nu muligt at bestemme den brøkdel af Solens radius som konvektionszonen strækker sig over. Idéen er at benytte relationen mellem tætheden () og trykket () i konvektionszonen i sammenhæng med ligningen for hydrostatisk ligevægt. Herved er det muligt at opstille følgende ligning, hvor konstanten (k) er bestem ud fra værdierne i Ø-0. og Ø-0.: d dr k r Vis (ved at kombinere () med ligningen for hydrostatisk ligevægt) at ovenstående ligning er korrekt i konvektionszonen og bestem værdien af k. Vis nu at denne ligning har følgende løsning: 3/5 5 / 5 c + k r hvor c er en ny konstant. Benyt værdien for trykket i toppen af konvektionszonen (ved r/r 0,99) til at bestemme c. Indsæt herefter værdien for trykket i bunden af konvektionszonen og find r/r for konvektionszonens bund. Sammenlign resultatet med det vi fandt i øvelse C-3 og det vi finder ved aflæsning på figur 6.3. Side 4

5 eoretiske Øvelser nr. Fagpakke i Astronomi: Stjerner Den dynamiske tidsskala for Solen er omkring 30 millioner år og udtrykker bl.a. den tid energien er om at bevæge sig fra centrum af Solen til overfladen. Det er i forlængelse af dette, naturligvis interessant at undersøge om energistrømmen ud gennem Solen sker med konstant hastighed, eller om der er steder i Solen hvor energien transporteres væsentligt hurtigere. Dette vil vi undersøge i denne øvelse. Ø-.: Den termiske tidsskala (Kelvin-Helmholtz tiden) er givet ved: t KH GM RL S U L tot S Vis at vi kan opstille et lignende udtryk for den tid det tager energien at strømme gennem kugleskallen dr i afstanden r fra stjernens centrum, hvor u( er den indre energi pr. enhedsvolumen og L( er total luminositeten dt 4 r u( dr π L( Benyt sammenhængen mellem u og til at opstille et udtryk for hastigheden dr/dt som funktion af r, ( og L( og vis at for Solen bliver denne energistrømningshastighed (i cgs-enhede: v Energi dyn cm s L / L 0 S 4, 0 ( r / R) Ø-.: Benyt tabellen herunder til at beregne hastigheden i forskellige dybder af Solen. Værdierne i tabellen er hentet fra tabel. (side 47 i Lecture Notes). r/r L/LS log( cm²/dyn) 0,0 0,938 6,637 0,30 0,999 6,04 0,40,000 5,433 0,50,000 4,86 0,60,000 4,33 0,70,000 3,80 0,80,000 3,3 0,90,000,38 0,99,000 9,37 0,999,000 6,063 Side 5

6 eoretiske Øvelser nr. I følgende opgave skal en sollignende stjerne undersøges. å de to figurer herunder ses Solens temperatur og tryk som funktion af afstanden fra centrum. De afsatte værdier er identiske med værdierne i tabel. i Lecture Notes on Stellar Structure and Evolution. Den fuldtoptrukne kurve er en analytisk beskrivelse af temperatur- og trykprofilen, som i store dele af Solens indre stemmer godt overens med den model, der er vist i figurerne. Nær centrum af den stjernemodel, som er vist ovenfor, kan den analytiske beskrivelse opskrives som ( ( C C e e r / R 8r / R Hvor C og C er hhv. den centrale temperatur og det central tryk. R er stjernens radius, og r er afstanden fra centrum. Ø-. Bestem værdien for temperaturgradienten d ln d ln d dr d dr nær stjernens centrum. og undersøg om energien nær den pågældende stjernes centrum transporteres ved stråling eller ved konvektion. Side 6

7 Det antages, at idealgasligningen kan benyttes til at beskrive sammenhængen mellem tryk, tæthed og temperatur i stjernens indre. Ø-. Vis, at der i centrum af denne stjerne (hvis vi ser bort fra variationen i middelmolekylvægten (μ)) gælder ( hvor C er den centrale densitet. r e 7r / R ) C eoretiske Øvelser nr. 3 Middel vejlængden for en foton i det indre af en stjerne er givet ved ligning (5.3): λ n σ R κ Beregn hvor langt en foton bevæger sig (i middel) i forskellige afstande fra Solens centrum. Benyt værdierne i tabellen herunder (fra tabel.) til beregningen af middel vejlængden. r/r log( cm³/g) κ g/cm² 0,00,88,4 0,0,94,54 0,0,543, 0,40 0,595 5,0 0,60-0,95,54 0,70-0,68 9,6 0,80 -,038 50,9 0,90 -, ,95 -,0 00 0,98 -, ,99-3, ,996-4, ,999-5, Side 7