1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre.

Transkript

1 NATURVIDENSKABELIG GRUNDUDDANNELSE Københavns Universitet, 6. april, 2011, Skriftlig prøve Fysik 3 / Termodynamik Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er tilladt. Der må skrives med blyant. Opgave 1 Det velkendte spil Hønseskidning foregår ved at 3 høns lukkes inde på en kvadratisk bane bestående af 100 lige store, nummererede felter (med numrene 1-100). En hønseskidningsbane findes i Svaneke på Bornholm. Hver høne får lov til at lægge 3 klatter inden de tages ud af banen. I et spil lægges der altså 9 klatter i alt. Vi vil gøre den simple antagelse at hønsene bevæger sig tilfældigt rundt overalt, og at de ikke går i vejen for hinanden. Man kan nu spille på et nummereret felt. Man vinder hvis der lægges en klat i feltet. Overskuddet fra spillet går til et godt formål (egen lomme, værdigt trængende sømandsenker eller lignende). Spillet er designet således at halvdelen af omsætningen i gennemsnit tilbagebetales som præmier. Hvert lod koster 10kr, så eksempelvis vinder man 500kr hvis man spiller på at den første klat der lægges, lander i det felt man har spillet på. 1

2 1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre. 2. Beregn sandsynligheden for at netop 3 klatter lander i felt nummer Beregn præmien på et 10krs-lod for at der lægges netop 1 klat i det felt man har spillet på. Hvert spilharetudfald,såsom(82,91,13,92,64,10,28,55,96),derbetegner at første klat landede i felt 82, anden klat i felt 91 osv. Vi betegner dette som en mikrotilstand. BanendelesnuopitohalvdeleAogB.EnmakrotilstandM betegnerantallet af klatter i halvdel A. (Altså M = m, betyder m klatter i A og 9 m klatter i B). 4. Opstil en tabel over multipliciteten Ω(M) for makrotilstandene M = 0,...,9 5. Bestem den (de) tilstand(e) med maksimal entropi S max og angiv S max /k. 2

3 Opgave 2 En varmepumpe anvendes til husopvarmning. Den kan virke ved at gas indesluttet i et rørsystem med stor overflade ekspanderer, så den er koldere end udendørstemperaturen T u, hvorved den varmes op til denne. Gassen føres igennem en kompressor, hvor den varmes op til en temperatur, der er højere end indendørstemperaturen T i, hvor den føres ind, køles af til T i og dermed afgiver varme. Dernæst udvides gassen, så dens temperatur igen er lavere end udendørstemperaturen. 1. Varmepumpens virkningsgrad udtrykkes som forholdet mellem udbyttet (husopvarmning) og omkostning (tilført arbejde). Angiv den maksimalt mulige virkningsgrad for en vilkårlig varmepumpe som funktion af T i og T u. 2. I tilfældet at T u er -3 o C og T i er 20 o C, bestem med svaret ovenfor den mindst mulige energi der skal bruges for at opnå en opvarmning i huset på 1 kj. Den faktiske proces er ikke helt optimal. Den antages at forløbe som den cykliske process vist på figuren, denne kaldes en Brayton-cyklus. Cyklussen består af to adiabatiske delprocesser og to isobare delprocesser. Vi antager 3

4 at hele processen forløber reversibelt, og at gassen er ideel og består af n mol di-atomig luft. 3. Angiv på et PV-diagram (som figuren) hvor systemet har temperatur hhv T u og T i. 4. Angiv på PV-diagrammet hvor varmen Q u optages i gassen, og hvor varmen Q i afgives inde i huset. Resultaterne i det følgende ønskes udtrykt i T i,t u,n,p 1, P 2, samt naturkonstanterne R og γ = (f + 2)/f. Desuden definerer vi størrelsen A = (P 2 /P 1 ) (γ 1)/γ = (P 2 /P 1 ) 2/(2+f), som ligeledes kan anvendes. 5. Vi undersøger først processen 1 2: Bestem V 1, V 2 og T 2 i tilstandene 1 og 2 (vink: temperaturen T 1 er kendt) og vis at arbejdet, som omgivelserne udfører på gassen er givet som W 1 2 = f 2 nrt i((p 2 /P 1 ) (γ 1)/γ 1) = f 2 nrt i(a 1). 6. Bestem voluminerne V 3, V 4 og T 4 (vink: temperaturen T 3 er kendt). Angiv de indre energier i tilstandene 3 og Angiv ændringen i indre energi, tilført varme og arbejdet systemet udfører på omgivelserne i processen Indfør resultaterne ovenfor og fuldfør tabellen over ændringen i indre energi U, tilført varme Q og arbejde W udført på systemet for de fire delprocesser samt hele cyklussen: Proces U Q W 1 2 (f/2)nrt i (A 1) Angiv virkningsgraden for denne cyklus. 4

5 Opgave 3 I denne opgave ser vi på en isoterm (konstant temperatur) atmosfære med temperaturent = 280K.Vikanantageatatmosfærenshøjdeerlilleiforhold til Jordens radius, hvormed tyngdeaccelerationen g = 9,8 m/s 2 er tilnærmelsesvis konstant som funktion af højden i atmosfæren. Atmosfæren er velblandet og består af 78% N 2 (28), 21% O 2 (32) og 1% Ar (40). Tallene i parantes angiver molvægten i gram. Trykket ved havoverfladen er P 0 = 10 5 Pa. 1. Bestem atmosfærens gennemsnitlige molvægt m, og vis at idealgasligningen for atmosfæren kan skrives som P = (ρ/m)rt. 2. Bestem atmosfærens densitet ρ 0 ved havoverfladen. Et molekyle, som befinder sig i højden z over havoverfladen, har udover sin kinetiske og indre energi også en potentiel energi (m/n a )gz. Vi antager her at alle molekyler har den gennemsnitlige molekylemasse (m/n a ). Betragtes et molekyle i termisk ligevægt med resten af atmosfæren, vil det følge en Boltzmann fordeling i energien. Reminder: R = N a k. 3. Bestem forholdet mellem sandsynlighederne for at finde et molekyle i højden z og ved ved overfladen (z = 0). Angiv densiteten som funktion af højden. 4. Bestem trykket P(z) som funktion af højden z. Lad os nu omvendt bestemme trykket ud fra atmosfærens vægt. Betragt et vandret areal A i højden z, hvor trykket er P(z). Trykket er bestemt af vægten af den ovenliggende luft (hydrostatisk balance). 5. Betragt et tilsvarende areal i højden z dz. Bestem forøgelsen af kraften på arealet forårsaget af vægten af den luft, der er i laget mellem de to arealer. Bestem dermed ændringe i trykket; dp = P(z dz) P(z). 6. Opskriv en ligning for ændringen af trykket med højden dp/dz. Denne ligning kaldes den barometriske ligning. 7. Bestem trykket som funktion af højden ud fra den barometriske ligning og sammenlign med resultatet fra spørgsmål 4. Opgavesættet slut. 5