Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling

Transkript

1 Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner. De eneste to forskelle på foton- og fononmodellen er dels, at der i det strukturløse rum inde i kaviteten ikke er nogen øvre (nedre) grænse for de frekvenser (bølgelængder), der kan forekomme, og dels at de EM bølger udelukkende er transversale, sådan at udtryk (9.) erstattes med V dg = d ν ν. (0.) c Ifølge E-fordelingen i udtryk (9.9) er antallet af fotoner med ν [ νν ; + dν] dermed V ν ( ν ) dν = dν, (0.) hν c kt e og disse fotoner giver således anledning til energitætheden hν ρ ( ν) dν = ( ν) dν : V h ν ρν ( ) =. (0.) h c kt e ν For en grundlæggende beskrivelse af sortlegemestråling henvises til KM. Jf. EM4. emærk, at dette udtryk er identisk med KM udtryk (.). Thomas. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 07//007

2 Statistisk mekanik 0 Side af 7 Som det vises i en opgave, er ( ) hν h kt ρν νe for hν kt ( Wiens lov ), (0.4) c kt ν for hν ( ) ρ ν c k T ( Rayleigh-Jeans lov ), (0.5) og Fig. -5 viser en sammenligning af Plancks lov i udtryk (0.) med de to ovenstående udtryk. Fra udtryk (0.) fås endvidere den samlede energitæthed 4 4 (9.6) 4 4 h ( ) ν kt x kt d d dx h x c kt 0 0 e ν c h e c h 0 ρ = ρ ν ν = ν = = 4 π 5 : 5 4 k = T, = ( Stefans lov ). (0.6) 5ch 4 ρ σ σ Thomas. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 07//007

3 Statistisk mekanik 0 Side af 7 Paramagnetisme Som beskrevet i EM0 er et materiale paramagnetisk, hvis det er magnetisk lineært og isotropt og indeholder permanente magnetiske dipoler. Hvis der ses bort fra disse dipolers indbyrdes vekselvirkning, er et paramagnetisk materiale kendetegnet ved tre energibidrag i form af en indre, vibratorisk energi en indre, potentiel energi E pot,int E vib, for vekselvirkningen mellem dipolerne og E-feltet fra den resterende del af materialet 4 samt den potentielle energi E pot,eks for vekselvirkningen med et eksternt -felt: E = Evib + Epot,int + E. (0.7) Da energiniveauerne hørende til disse tre energibidrag er uafhængige, bliver systemets energiniveauer en sum som i udtryk (7.7) og tilstandssummen dermed et produkt som i udtryk (7.): Z = ZvibZpot,intZ. (0.8) I det flg. betragtes et assembly af skelnelige permanente magnetiske dipoler med et magnetisk dipolmoment på en ohr-magneton μ, og der ses bort fra E vib og E pot,int, sådan at Z = Z. Ifølge opg. J består assembliet således af spin- -partikler, hvis projektion af det magnetiske dipolmoment m på aksen defineret af -feltet er ± μ, svarende til at m er enten parallelt eller antiparallelt med feltet (spin op og spin ned). 4 De permanente magnetiske dipoler kunne f.eks. være ioner. Thomas. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 07//007

4 Statistisk mekanik 0 Side 4 af 7 Ifølge EM udtryk (8.) er de mulige energiniveauer dermed ε = μ, ε =+ μ, (0.9) som er ikke-degenererede og kan indeholde et vilkårligt antal dipoler. Ifølge udtryk (5.4) fås dermed 5 μ Z kt e e = + μ kt μ = cos h. kt (0.0) Middelbesættelsestallene for dette M-system er ifølge udtryk (5.6) givet ved μ kt = e, = e Z Z sådan at det samlede magnetiske dipolmoment 6 er μ kt, (0.) μ μ M = μ = μ e e = μ Z Z kt kt ( ) sinh μ = μ tan h. kt Udtryk (0.) udgør den magnetiske tilstandsligning. μ kt (0.) 5 emærk, at Z løber over en enkelt dipols Hele assembliet er kendetegnet ved (j + ) svarende til flg. tilstandssum for hele assembliet: j + = + = energiniveauer og dermed er for en enkelt dipol. (degenererede) energiniveauer givet ved, m { j, }, E = αgμ, α = m j α i i i = i E gμ gμ gμ gμ m m m ass Z = e = e e e = e = Z α k T j j j m j k T k T k T k T α. i ass Da ln Z = ln Z er der kun marginal forskel på at udlede de termodynamiske egenskaber ud fra 6 Ikke at forveksle med magnetiseringen defineret i EM udtryk (0.). Z. ass Z eller Thomas. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 07//007

5 Statistisk mekanik 0 Side 5 af 7 Feltet vil søge at ensrette dipolerne parallelt med feltet, hvorimod dipolernes termiske bevægelse vil modvirke denne ensretning. For meget kraftige felter eller meget lave temperaturer vil dipolerne således være rettet ind efter feltet: og M sat μ lim M = lim M = μ, (0.) T 0 = kaldes derfor mætningsmagnetiseringen. For svage felter eller høje temperaturer fås der er kendt som Curies lov. μ M, μ kt, (0.4) k T Ifølge udtryk (0.) og (0.4) vokser magnetiseringskurven M ( T ) lineært for små argumenter og går asymptotisk mod M sat for store argumenter, jf. Fig. -6. Ifølge udtryk (5.4), (0.0) og (0.) er ln Z μμ E = E = kt = kt sinh T Z kt k T μ = μtanh kt = M, som ses at være i overensstemmelse med udtryk (5.4). (0.5) emærk, at E 0, idet E > 0 ifølge udtryk (0.) ville svare til, at der var flere partikler i det øverste energiniveau end i det nederste, og en sådan populationsinversion forekommer ikke (umiddelbart) inden for denne models rammer 7. Thomas. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 07//007

6 Statistisk mekanik 0 Side 6 af 7 Ifølge udtryk (0.5) er E ( T, ), sådan at Dermed udtrykker C E E de = d + dt. (0.6) T T = = T kt k E μ μ k sech (0.7) T energitilvæksten pr. temperaturtilvækst ved en proces med fastholdt feltstyrke og kan derfor identificeres som systemets varmekapacitet for konstant feltstyrke. Ifølge udtryk (7.), (7.9), (0.0) og (0.5) er S * E F μ μ = = μtanh + ktln cosh : T T kt kt S μ μ μ = k ln cosh tanh kt kt kt. (0.8) Som det blev vist i opg. -6, er lim S = lim S = 0, (0.9) T 0 idet alle dipolerne i så fald ifølge udtryk (0.) er rettet ind efter feltet, svarende til at der kun er én mulig mikrotilstand: S = k ln = 0. Som det også fremgik, er lim S = lim S = k ln = k ln, (0.0) T 0 idet de skelnelige dipoler i så fald er vilkårligt fordelt imellem de to nu degenererede tilstande, svarende til mulige mikrotilstande. 8 7 Mere herom sidst i denne kursusgang. 8 emærk i den forbindelse, at udtryk (0.4) angiver, at magnetiseringen i så fald i middel er nul. Thomas. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 07//007

7 Statistisk mekanik 0 Side 7 af 7 Fra udtryk (0.) fås egative temperaturer μ kt = e, (0.) og dermed T = μ k ln ln. (0.) Som det fremgår af udtryk (0.), er T > 0 for halvdelen af dipolerne er i det laveste energiniveau., svarende til at mindst Hvis -feltets retning vendes 80, vil der i sagens natur være byttet om på spin op og spin ned. Hvis en sådan ændring af feltorienteringen sker gradvist, vil der til stadighed være termisk ligevægt, idet middelbesættelsestallene vil justere sig i henhold til udtryk (0.). Men hvis ændringen sker pludseligt, vil der umiddelbart efter være populationsinversion, idet det overtal af dipoler, der før var spin op nu vil være spin ned og vice versa. Ifølge udtryk (0.) svarer dette til, at temperaturen skifter fortegn og bliver negativ. Muligheden for populationsinversion kan således inkluderes i modellen ved at tillade temperaturen at blive negativ. Thomas. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 07//007