Analyse af ombytningspuslespil
|
|
|
- Karla Lindholm
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7
2 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7
3 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? 2 / 7
4 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme bruger du? 2 / 7
5 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme bruger du? Kan du sige noget om bedste og værste køretid for din algoritme for puslespil med n brikker? 2 / 7
6 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme bruger du? Kan du sige noget om bedste og værste køretid for din algoritme for puslespil med n brikker? Afhænger det af input (startopstillingen)? 2 / 7
7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme bruger du? Kan du sige noget om bedste og værste køretid for din algoritme for puslespil med n brikker? Afhænger det af input (startopstillingen)? Er køretiden relateret til antal brikker, som står rigtigt til at starte med? 2 / 7
8 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme bruger du? Kan du sige noget om bedste og værste køretid for din algoritme for puslespil med n brikker? Afhænger det af input (startopstillingen)? Er køretiden relateret til antal brikker, som står rigtigt til at starte med? Er den grådige algoritme (sæt én på plads i hvert skridt) bedst mulig, eller kan man få flere skridt hvor to sættes på plads ved nogle gange at undlade at sætte een på plads? 2 / 7
9 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme bruger du? Kan du sige noget om bedste og værste køretid for din algoritme for puslespil med n brikker? Afhænger det af input (startopstillingen)? Er køretiden relateret til antal brikker, som står rigtigt til at starte med? Er den grådige algoritme (sæt én på plads i hvert skridt) bedst mulig, eller kan man få flere skridt hvor to sættes på plads ved nogle gange at undlade at sætte een på plads? Hvis grådig er bedst mulig, er der andre algoritmer som er lige så gode (eller skal man sætte én på plads hver gang for at være bedste mulig)? 2 / 7
10 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme bruger du? Kan du sige noget om bedste og værste køretid for din algoritme for puslespil med n brikker? Afhænger det af input (startopstillingen)? Er køretiden relateret til antal brikker, som står rigtigt til at starte med? Er den grådige algoritme (sæt én på plads i hvert skridt) bedst mulig, eller kan man få flere skridt hvor to sættes på plads ved nogle gange at undlade at sætte een på plads? Hvis grådig er bedst mulig, er der andre algoritmer som er lige så gode (eller skal man sætte én på plads hver gang for at være bedste mulig)? Mere generelt, kan vi præcist karakterisere de bedst mulige algoritmer? 2 / 7
11 Model af puslespil Vi modellerer brikkerne i et puslespil som tallene 1, 2, 3,..., n, nummereret efter opstillingen når puslespillet er løst: / 7
12 Model af puslespil Vi modellerer brikkerne i et puslespil som tallene 1, 2, 3,..., n, nummereret efter opstillingen når puslespillet er løst: NB: dette kan også ses som et array: Dette gør vi til opgavetimerne (i Java-opgaverne) 3 / 7
13 Model af puslespil Vi modellerer brikkerne i et puslespil som tallene 1, 2, 3,..., n, nummereret efter opstillingen når puslespillet er løst: NB: dette kan også ses som et array: Dette gør vi til opgavetimerne (i Java-opgaverne) En opstilling af tallene 1, 2, 3,..., n i et array af længde n kaldes også en permutation. 3 / 7
14 Den grådige algoritme WHILE ikke alle brikker på plads: vælg en brik ikke på plads byt den med brikken på dens plads 4 / 7
15 Den grådige algoritme WHILE ikke alle brikker på plads: vælg en brik ikke på plads byt den med brikken på dens plads For et puslespil med n brikker, hvad er det maksimale antal ombytninger? 4 / 7
16 Den grådige algoritme WHILE ikke alle brikker på plads: vælg en brik ikke på plads byt den med brikken på dens plads For et puslespil med n brikker, hvad er det maksimale antal ombytninger? For hver ombytning: mindst én brik kommer på plads, og ingen brik forlader dens plads. Derfor maksimalt n ombytninger. 4 / 7
17 Den grådige algoritme WHILE ikke alle brikker på plads: vælg en brik ikke på plads byt den med brikken på dens plads For et puslespil med n brikker, hvad er det maksimale antal ombytninger? For hver ombytning: mindst én brik kommer på plads, og ingen brik forlader dens plads. Derfor maksimalt n ombytninger. For et puslespil med n brikker, hvoraf k allerede står på plads, hvad er det maksimale antal ombytninger? 4 / 7
18 Den grådige algoritme WHILE ikke alle brikker på plads: vælg en brik ikke på plads byt den med brikken på dens plads For et puslespil med n brikker, hvad er det maksimale antal ombytninger? For hver ombytning: mindst én brik kommer på plads, og ingen brik forlader dens plads. Derfor maksimalt n ombytninger. For et puslespil med n brikker, hvoraf k allerede står på plads, hvad er det maksimale antal ombytninger? For hver ombytning: mindst én brik kommer på plads, og ingen brik forlader dens plads. Derfor maksimalt n k ombytninger. 4 / 7
19 Den grådige algoritme WHILE ikke alle brikker på plads: vælg en brik ikke på plads byt den med brikken på dens plads For et puslespil med n brikker, hvad er det maksimale antal ombytninger? For hver ombytning: mindst én brik kommer på plads, og ingen brik forlader dens plads. Derfor maksimalt n ombytninger. For et puslespil med n brikker, hvoraf k allerede står på plads, hvad er det maksimale antal ombytninger? For hver ombytning: mindst én brik kommer på plads, og ingen brik forlader dens plads. Derfor maksimalt n k ombytninger. For et puslespil med n brikker, hvoraf k allerede står på plads, hvad er det minimale antal ombytninger? 4 / 7
20 Den grådige algoritme WHILE ikke alle brikker på plads: vælg en brik ikke på plads byt den med brikken på dens plads For et puslespil med n brikker, hvad er det maksimale antal ombytninger? For hver ombytning: mindst én brik kommer på plads, og ingen brik forlader dens plads. Derfor maksimalt n ombytninger. For et puslespil med n brikker, hvoraf k allerede står på plads, hvad er det maksimale antal ombytninger? For hver ombytning: mindst én brik kommer på plads, og ingen brik forlader dens plads. Derfor maksimalt n k ombytninger. For et puslespil med n brikker, hvoraf k allerede står på plads, hvad er det minimale antal ombytninger? For hver ombytning: højst to brik kommer på plads. Derfor mindst (n k)/2 ombytninger. 4 / 7
21 Kredse Bedre analyse end mellem (n k)/2 og n k ombytninger? 5 / 7
22 Kredse Bedre analyse end mellem (n k)/2 og n k ombytninger? Observation: en permutation giver på naturlig måde anledning til en samling kredse (engelsk: cycles): A B C D Figur 2: Et puslespil hvor brikkerne udgør 4 cykler A, B, C, og D. Idé: Et tal (brik) t peger på det tal (brik), som står på plads t. evis. Lad de to brikker der byttes om være x og y, og antag de er placeret på henholdsv elterne f 1 og f 2, og at deres korrekte placering er på henholdsvis f 3 og f 4 (hvor muligvis f 3 5 / 7 og/eller f = f ). De to tilfælde er illustreret i nedenstående figur. Ombytningen i samm
23 Kredse og ombytninger 6 / 7
24 Kredse og ombytninger Bevis. Lad de to brikker der byttes om være x og y, og antag de er placeret på henholdsvis felterne f 1 og f 2, og at deres korrekte placering er på henholdsvis f 3 og f 4 (hvor muligvis f 3 = Observation: En ombytning af to brikker i samme kreds øger antal kredse f 2 og/eller f 4 = f 1 ). De to tilfælde er illustreret i nedenstående figur. Ombytningen i samme medcykel præcis svarerén. til aten gå fra ombytning venstre modafhøjre, to brikker hvor en cykel i forskellige deles i to cyklere. kredseombytningen mindsker antal mellem kredse to forskellige med præcis cykler svarer én: til at gå fra højre mod venstre, hvor to cykler sættes sammen til en cykel. f 4 y f 2 ombyt(x, y) f 4 f 2 x x f 3 f 1 ombyt(x, y) y f 1 f 3 Lemma 5 Algoritmen kræver præcis n k ombytninger for at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten. Bevis. Da algoritmen altid ombytter to brikker fra samme cykel (y kommer umiddelbart efter x i cyklen), øger hver ombytning antallet af cykler med én (Lemma 4). Da man starter med k cykler og slutter med n cykler (Lemma 3) foretages der præcis n k ombytninger. Sætning 1 For at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten kræves præcis n k ombytninger. Bevis. At n k ombytninger er tilstrækkeligt (en øvre grænse) følger af Lemma 5. At man ikke kan gøre det med færre ombytninger (en nedre grænse) følger af at ingen ombytning kan forøge antallet af cykler med mere end én (Lemma 4), og at man skal starte og slutte med 6 / 7
25 Kredse og ombytninger Bevis. Lad de to brikker der byttes om være x og y, og antag de er placeret på henholdsvis felterne f 1 og f 2, og at deres korrekte placering er på henholdsvis f 3 og f 4 (hvor muligvis f 3 = Observation: En ombytning af to brikker i samme kreds øger antal kredse f 2 og/eller f 4 = f 1 ). De to tilfælde er illustreret i nedenstående figur. Ombytningen i samme medcykel præcis svarerén. til aten gå fra ombytning venstre modafhøjre, to brikker hvor en cykel i forskellige deles i to cyklere. kredseombytningen mindsker antal mellem kredse to forskellige med præcis cykler svarer én: til at gå fra højre mod venstre, hvor to cykler sættes sammen til en cykel. f 4 y f 2 ombyt(x, y) f 4 f 2 x x f 3 f 1 ombyt(x, y) Observation: En brik er på den rigtige plads brik er i en kreds af længde én. Lemma 5 Algoritmen kræver præcis n k ombytninger for at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten. Bevis. Da algoritmen altid ombytter to brikker fra samme cykel (y kommer umiddelbart efter x i cyklen), øger hver ombytning antallet af cykler med én (Lemma 4). Da man starter med k cykler og slutter med n cykler (Lemma 3) foretages der præcis n k ombytninger. y f 1 f 3 Sætning 1 For at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten kræves præcis n k ombytninger. Bevis. At n k ombytninger er tilstrækkeligt (en øvre grænse) følger af Lemma 5. At man ikke kan gøre det med færre ombytninger (en nedre grænse) følger af at ingen ombytning kan forøge antallet af cykler med mere end én (Lemma 4), og at man skal starte og slutte med 6 / 7
26 Kredse og ombytninger Bevis. Lad de to brikker der byttes om være x og y, og antag de er placeret på henholdsvis felterne f 1 og f 2, og at deres korrekte placering er på henholdsvis f 3 og f 4 (hvor muligvis f 3 = Observation: En ombytning af to brikker i samme kreds øger antal kredse f 2 og/eller f 4 = f 1 ). De to tilfælde er illustreret i nedenstående figur. Ombytningen i samme medcykel præcis svarerén. til aten gå fra ombytning venstre modafhøjre, to brikker hvor en cykel i forskellige deles i to cyklere. kredseombytningen mindsker antal mellem kredse to forskellige med præcis cykler svarer én: til at gå fra højre mod venstre, hvor to cykler sættes sammen til en cykel. f 4 y f 2 ombyt(x, y) f 4 f 2 x x f 3 f 1 ombyt(x, y) Observation: En brik er på den rigtige plads brik er i en kreds af længde én. Lemma 5 Algoritmen kræver præcis n k ombytninger for at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten. Derfor: puslespil løst der er n kredse. Bevis. Da algoritmen altid ombytter to brikker fra samme cykel (y kommer umiddelbart efter x i cyklen), øger hver ombytning antallet af cykler med én (Lemma 4). Da man starter med k cykler og slutter med n cykler (Lemma 3) foretages der præcis n k ombytninger. y f 1 f 3 Sætning 1 For at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten kræves præcis n k ombytninger. Bevis. At n k ombytninger er tilstrækkeligt (en øvre grænse) følger af Lemma 5. At man ikke kan gøre det med færre ombytninger (en nedre grænse) følger af at ingen ombytning kan forøge antallet af cykler med mere end én (Lemma 4), og at man skal starte og slutte med 6 / 7
27 Kredse og ombytninger Bevis. Lad de to brikker der byttes om være x og y, og antag de er placeret på henholdsvis felterne f 1 og f 2, og at deres korrekte placering er på henholdsvis f 3 og f 4 (hvor muligvis f 3 = Observation: En ombytning af to brikker i samme kreds øger antal kredse f 2 og/eller f 4 = f 1 ). De to tilfælde er illustreret i nedenstående figur. Ombytningen i samme medcykel præcis svarerén. til aten gå fra ombytning venstre modafhøjre, to brikker hvor en cykel i forskellige deles i to cyklere. kredseombytningen mindsker antal mellem kredse to forskellige med præcis cykler svarer én: til at gå fra højre mod venstre, hvor to cykler sættes sammen til en cykel. f 4 y f 2 ombyt(x, y) f 4 f 2 x x f 3 f 1 ombyt(x, y) Observation: En brik er på den rigtige plads brik er i en kreds af længde én. Lemma 5 Algoritmen kræver præcis n k ombytninger for at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten. Derfor: puslespil løst der er n kredse. Bevis. Da algoritmen altid ombytter to brikker fra samme cykel (y kommer umiddelbart efter x i cyklen), øger hver ombytning antallet af cykler med én (Lemma 4). Da man starter med k cykler og slutter med n cykler (Lemma 3) foretages der præcis n k ombytninger. Konklusion: Et puslespil med n brikker og k kredse i startopstillingen kræver mindst n k ombytninger, og man kan altid gøre det med n k ombytninger (f.eks. via den grådige algoritme, som i hvert skridt deler en kreds af længde t i to kredse af længde t 1 og 1). Sætning 1 For at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten kræves præcis n k ombytninger. y f 1 f 3 Bevis. At n k ombytninger er tilstrækkeligt (en øvre grænse) følger af Lemma 5. At man ikke kan gøre det med færre ombytninger (en nedre grænse) følger af at ingen ombytning kan forøge antallet af cykler med mere end én (Lemma 4), og at man skal starte og slutte med 6 / 7
28 Kredse og ombytninger Bevis. Lad de to brikker der byttes om være x og y, og antag de er placeret på henholdsvis felterne f 1 og f 2, og at deres korrekte placering er på henholdsvis f 3 og f 4 (hvor muligvis f 3 = Observation: En ombytning af to brikker i samme kreds øger antal kredse f 2 og/eller f 4 = f 1 ). De to tilfælde er illustreret i nedenstående figur. Ombytningen i samme medcykel præcis svarerén. til aten gå fra ombytning venstre modafhøjre, to brikker hvor en cykel i forskellige deles i to cyklere. kredseombytningen mindsker antal mellem kredse to forskellige med præcis cykler svarer én: til at gå fra højre mod venstre, hvor to cykler sættes sammen til en cykel. f 4 y f 2 ombyt(x, y) f 4 f 2 x x f 3 f 1 ombyt(x, y) Observation: En brik er på den rigtige plads brik er i en kreds af længde én. Lemma 5 Algoritmen kræver præcis n k ombytninger for at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten. Derfor: puslespil løst der er n kredse. Bevis. Da algoritmen altid ombytter to brikker fra samme cykel (y kommer umiddelbart efter x i cyklen), øger hver ombytning antallet af cykler med én (Lemma 4). Da man starter med k cykler og slutter med n cykler (Lemma 3) foretages der præcis n k ombytninger. Konklusion: Et puslespil med n brikker og k kredse i startopstillingen kræver mindst n k ombytninger, og man kan altid gøre det med n k ombytninger (f.eks. via den grådige algoritme, som i hvert skridt deler en kreds af længde t i to kredse af længde t 1 og 1). Sætning 1 For at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten kræves præcis n k ombytninger. Konklusion: En algoritme bruger det optimale antal ombytninger (n k) hvis og kun hvis hver ombytning er med to brikker som er i samme kreds. Bevis. At n k ombytninger er tilstrækkeligt (en øvre grænse) følger af Lemma 5. At man ikke kan gøre det med færre ombytninger (en nedre grænse) følger af at ingen ombytning kan forøge antallet af cykler med mere end én (Lemma 4), og at man skal starte og slutte med y f 1 f 3 6 / 7
29 Forventet antal kredse Sætning (uden bevis her): Det forventede antal kredse i en tilfældig permutation er n H n = 1/i i=1 7 / 7
30 Ifølge Sætning 1 har vi at ikke alle puslespil kræver det samme antal ombytninger. Det afgørende er antallet af cykler i permutationen (omplaceringen) af brikkerne. Hvis permutationerne er tilfældige valgt således at alle permutationer er lige sandsynlige, så gælder nedenstående sætning. Det følger heraf at det forventede optimale antal ombytninger for et Forventet antal kredse Sætning (uden bevis her): Det forventede antal kredse i en tilfældig permutation tilfældigt puslespil er er n n 1 i=1 i. Sætning 2 Det forventede antal cykler i en tilfældig n permutation af n brikker er H n = 1/i n H n = i=1 i=1 Ved simulering (afprøvning, tilfældige permutationer) for H n = 64 ses følgende n ln n + γ + fordeling 1 af antallet af permutationer: 1 i. H n betegnes det n-te harmoniske tal og kan tilnærmelsesvis beskrives ved 2n 1 12 n n n 6 +, hvor γ = er Euler-Mascheroni konstanten. % antal cykler [Figur: Gerth Brodal] Figur 3: Fordelingen af antallet af cykler i tilfældige puslespil med 64 brikker. Det forventede antal cykler er H / 7
Analyse af ombytningspuslespil
Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme
Algoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal Aarhus Universitet
Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal Aarhus Universitet Kursusbeskrivelsen Kursusbeskrivelsen: Algoritmer og datastrukturer 1 Formål Deltagerne vil efter kurset have indsigt i algoritmer
Algoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal
Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal Kursusbeskrivelsen Kursusbeskrivelsen: Algoritmer og datastrukturer 1 Formål Deltagerne vil efter kurset have indsigt i algoritmer som model for sekventielle
Algoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal
Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal Kursusbeskrivelsen Kursusbeskrivelsen: Algoritmer og datastrukturer 1 Formål Deltagerne vil efter kurset have indsigt i algoritmer som model for sekventielle
Rolf Fagerberg. Forår 2013
Forår 2013 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: DM536 og DM537 Timer: 50% forelæsninger, 50% øvelser Forudsætninger: DM536 og DM537 Eksamenform: Skriftlig eksamen: Timer: 50% forelæsninger,
Grundlæggende Algoritmer og Datastrukturer
Grundlæggende Algoritmer og Datastrukturer Om kurset Grundlæggende Algoritmer og Datastrukturer Undervisningsformer Forelæsninger: 4 timer/uge (2+2). Øvelser: 3 timer/uge. Café. Obligatorisk program 13
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Sandsynlighed (DM538)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Fredag den 25. januar 2013 kl. 1013 Alle hjælpemidler (computer, lærebøger, notater,
Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Grafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Grafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Sommeren 2001, opgave 1
Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =
Invarianter og kombinatoriske beviser
Invarianter og kombinatoriske beviser Anders Nedergaard Jensen Institut for Matematik, Aarhus Universitet Matematiklærerdag, Aarhus, 24. Marts 2017 En invariant er en værdi/udsagn der forbliver konstant
Grafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).
Invarianter. Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af) dens udførelse. Udgør ofte kernen af ideen bag algoritmen.
Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af) dens udførelse. Udgør ofte kernen af ideen bag algoritmen. Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af)
Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Grafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Rolf Fagerberg. Forår 2015
Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software
Sortering af information er en fundamental og central opgave.
Sortering Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,
Grafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Rolf Fagerberg. Forår 2015
Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software Engineering BA i Matematik-Økonomi BA i Anvendt Matematik BA
Sortering i lineær tid
Sortering i lineær tid Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel. Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel.
Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:
Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus
Sortering af information er en fundamental og central opgave.
Sortering 1 / 36 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,
Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt.
Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer
.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}
Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Rolf Fagerberg. Forår 2014
Forår 2014 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: Format: Programmering og Diskret matematik I (forelæsninger), TE (øvelser), S (arbejde selv og i studiegrupper) Eksamenform: Skriftlig
Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun
Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun 1 Analyse af algoritmer Input Algoritme Output En algoritme er en trinvis metode til løsning af et problem i endelig tid 2 Algoritmebegrebet D.
Introduktion til DM507
Introduktion til DM507 Rolf Fagerberg Forår 2017 1 / 20 Hvem er vi? Underviser: Rolf Fagerberg, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer 2 / 20 Hvem er vi? Underviser: Rolf Fagerberg, IMADA
Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!
Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består
DM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Introduktion til kurset Rolf Fagerberg Forår 2019 1 / 20 Hvem er vi? Underviser: Rolf Fagerberg, Institut for Matematik og Datalogi (IMADA) Forskningsområde: algoritmer
Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Målet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt.
Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer (2. semester). Mål
Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Rolf Fagerberg. Forår 2012
Forår 2012 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: DM502 og DM503 Timer: 50% forelæsninger, 50% øvelser Forudsætninger: DM502 og DM503 Eksamenform: Skriftlig eksamen: Timer: 50% forelæsninger,
Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige
Algoritmeanalyse. Øvre grænse for algoritme. Øvre grænse for problem. Nedre grænse for problem. Identificer essentiel(le) operation(er)
Algoritmeanalyse Identificer essentiel(le) operation(er) Øvre grænse for algoritme Find øvre grænse for antallet af gange de(n) essentielle operation(er) udføres. Øvre grænse for problem Brug øvre grænse
Tilgang til data. To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer.
Merging og Hashing Tilgang til data To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer. API for sekventiel tilgang (API =
DM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt
Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012
Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk
Datastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Sammenhængskomponenter i grafer
Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv
P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk
Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/
Danmarks Tekniske Universitet
Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Algoritmer og invarianter
Algoritmer og invarianter Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker. Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker.
Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer
Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers
Datastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Beat the Clock Sorteringsnetværk
Aktivitet 8 Beat the Clock Sorteringsnetværk Resumé Selvom computer er hurtige, er der en grænse for, hvor hurtigt de kan løse et problem. En måde at speed e det op på er at bruge flere computere til at
Dynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer
DM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2010 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 24. april, 2010 (let justeret 10. maj og 21. maj 2010) Dette projekt udleveres i tre
Dynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur (struktur opbygget af et endeligt antal enkeltdele) blandt mange mulige. Eksempler:
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00
Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Nordisk Matematikkonkurrence Danmarks Matematiklærerforening Skoleåret 2010-2011 Opgaver ved semifinalen
Opgave 1 Sum af produkter i en trekant Antag at der i et koordinatsystem er en trekant hvis vinkelspidser ligger i punkterne ( 2, 1), (3, 3) og (4, 3). Find alle de punkter inden i trekanten hvis koordinater
Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter
Planfejning 1 Skæring 2 Geometrisk skæring Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Løsningsmetoder: Rå kraft Planfejning (eng. plane sweep)
Om hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Introduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal
Philip Bille Algoritmer og datastrukturer Algoritmisk problem. Præcist defineret relation mellem input og output. Algoritme. Metode til at løse et algoritmisk problem. Beskrevet i diskrete og entydige
Statistik viden eller tilfældighed
MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår
Introduktion. Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3. Philip Bille
Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Philip Bille Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Algoritmer
Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion
Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Onsdag den 11. august 2004, kl.
Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur
6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært
DM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Danmarks Tekniske Universitet
Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre.
NATURVIDENSKABELIG GRUNDUDDANNELSE Københavns Universitet, 6. april, 2011, Skriftlig prøve Fysik 3 / Termodynamik Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er
Tilgang til data. To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (key, nøgle) for dataelementer.
Merging og Hashing Tilgang til data To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (key, nøgle) for dataelementer. API for sekventiel tilgang (API = Application
Ugeseddel 4 1. marts - 8. marts
Ugeseddel 4 1. marts - 8. marts Læs følgende sider i kapitel 6 i lærebogen: s. 233 258 og s. 291 317 (afsnit 6.3 overspringes). Begynd at overveje, hvad afleveringsopgaven skal omhandle. Læs vejledningen,
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve
Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion
Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af
28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign
28 Algoritmedesign. Algoritmeskabelon for Del og Hersk. Eksempler på Del og Hersk algoritmer. Binær søgning i et ordnet array. Sortering ved fletning og Quicksort. Maksimal delsums problem. Tætteste par
Mindste udspændende træ
Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation
Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.
Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 6. juni 2016, kl. 15:00 19:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Merging og Hashing (del I)
Merging og Hashing (del I) Tilgang til data To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer. API for sekventiel tilgang
Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer
Eksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver
Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.
Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur
Om sandhed, tro og viden
Om sandhed, tro og viden Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet http://www.math.ku.dk/ topsoe med mange manuskripter se specielt http://www.math.ku.dk/ topsoe/sandhednatfest09.pdf
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave
Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer
Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.
Matroider Majbritt Felleki
18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte