DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

Transkript

1 DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix A siges at være invertibel, hvis der findes en n n-matrix C, så AC = CA = I I bekræftende fald kaldes C en invers til A. Hvis kun AC = I, siger man, at A har en højreinvers C. Hvis kun CA = I, siger man, at A har en venstreinvers C. Hvis A har en invers, er den entydigt bestemt: Antag, at AC 1 = I og C A = I. Så gælder C = C I = C (AC 1 ) = (C A) C 1 = IC 1 = C 1 Den inverse af A betegnes med A 1. Sætning. Matricen A er invertibel hvis og kun hvis A er regulær, dvs. har fuld rang. Matricen A 1 er entydigt bestemt som løsningen C til AC = I. 1. Invers matrix II, Algoritmen Invers matrix II, Algoritmen Vi vil bestemme C, så AC = I. Totalmatricen dermed [A j I ]. AC = I har en løsning C, netop når A har fuld rang, og C findes ved Gauss-Jordan [A j I ]! [I j C ]. 1

2 Hermed har vi fundet en højreinvers C. Men så fås A (CA I) = ACA A = (AC) A A = A A = 0 (nulmatricen). Men af A (CA I) = 0 fås CA I = 0 da AX = 0 kun har nulløsningen, når A har fuld rang. Altså CA = I. Konklusion: Når A har en højreinvers, så er denne også venstreinvers, og dermed er den invers, altså A Invers matrix II Invers matrix II Hvis A er invertibel, så er A 1 invertibel og A 1 1 = A. Hvis A og B begge er invertible, så er AB invertibel og (AB) 1 = B 1 A 1. Bevis: (AB) B 1 A 1 = A BB 1 A 1 = AIA 1 = AA 1 = I B 1 A 1 (AB) = B 1 A 1 A B = B 1 IB = B 1 B = I Hvis A er invertibel, så er A T invertibel og A T 1 = A 1 T. Bevis: A T A 1 T = A 1 A T = I T = I og A 1 T A T = AA 1 T = I T = I. Determinanter.1 Permutationer I Permutationer I Definition. En bijektiv afbildning P : f1,,,..., ng! f1,,,..., ng kaldes en permutation af tallene 1,,,..., n. En permutation af tallene 1,,,..., n kan opfattes som en omordning af tallene til ordenen P (1), P (), P (),..., P (n). Eksempelvis er, 5, 1,, en permutation af 1,,,, 5. Her er funktionen P givet ved P (1) =, P () = 5, P () = 1, P () =, P (5) =

3 Den omvendte funktion P 1 er permutationen,, 1, 5,. Med S n betegner vi mængden af samtlige permutationer af tallene 1,,,..., n. S = f(1, ), (, 1)g. S = f(1,, ), (1,, ), (, 1, ), (,, 1), (, 1, ), (,, 1)g. Der er n! medlemmer i S n.. Permutationer II Permutationer II Lad j 1, j, j,..., j n være en permutation af 1,,,..., n. Hvis p < q, men j p > j q, så kaldes talparret j p, j q en inversion indenfor permutationen. Permutationen, 5, 1,, indeholder inversionerne (, 1), (, ), (5, 1), (5, ), (5, ). Altså 5 inversioner. Antallet af inversioner i en permutation betegnes I (j 1, j, j,..., j n ). Vi har altså I (, 5, 1,, ) = 5. En permutation kaldes lige eller ulige, hvis inversionsantallet er lige eller ulige, henholdsvis. Fortegnet sgn(j 1, j, j,..., j n ) for en permutation defineres som 1, hvis permutationen er lige, og 1, hvis den er ulige. Lemma.1. Ved ombytning af to elementer i en permutation skifter denne fortegn. Eksempelvis er sgn(, 5, 1,, ) = 1, men sgn(,, 1, 5, ) = 1.. Definition af determinant Definition af determinant Lad n n-matricen A være givet ved a 11 a 1 a 1... a 1n a 1 a a... a n A = a n1 a n a n... a nn 7 5 Determinanten af A defineres ved en sum over alle permutationer i S n : det A = S n sgn (j 1, j, j,..., j n ) a 1j1 a j a njn Determinanten af en -matrix A findes dermed til det A = a 11 a 1 a 1 a = sgn (1, ) a 11a + sgn (, 1) a 1 a 1 = a 11 a a 1 a 1 Heldigvis det vi kender fra gymnasiet.

4 . Determinanter: Eksempler Determinanter: Eksempler Eksempel. S = f(1,, ), (1,, ), (, 1, ), (,, 1), (, 1, ), (,, 1)g. Med A = a 11 a 1 a 1 a 1 a a 5 fås determinanten jaj til a 1 a a sgn (1,, ) a 11 a a + sgn (1,, ) a 11 a a +sgn (, 1, ) a 1 a 1 a + sgn (,, 1) a 1 a a 1 +sgn (, 1, ) a 1 a 1 a + sgn (,, 1) a 1 a a 1 = a 11 a a a 11 a a a 1 a 1 a + a 1 a a 1 +a 1 a 1 a a 1 a a 1 = a 11 a a + a 1 a a 1 + a 1 a 1 a (a 11 a a + a 1 a 1 a + a 1 a a 1 ) Sarrus regel. Maple-illustrationer af definitionen..5 Determinant af triangulær matrix Determinant af triangulær matrix Hvis n n-matricen A opfylder a ij = 0 for i > j dvs. har den specielle form a 11 a 1 a 1... a 1n 0 a a... a n A = 0 0 a... a n a nn kaldes den øvre triangulær. Hvert led i summen Sn sgn (j 1, j, j,..., j n ) a 1j1 a j a njn indeholder et element fra hver række. Det eneste led, der ikke giver nul er sgn (1,,,..., n) a 11 a... a nn = a 11 a... a nn. Altså har vi for en øvre (eller nedre) triangulær matrix, at det A = a 11 a... a nn..6 Rækkeoperationernes virkning på determinanten Rækkeoperationernes virkning på determinanten R i! R j (i 6= j) skifter fortegn på determinanten. R i := kr i gør determinanten k gange større. R i := R i + kr j (i 6= j) ændrer ikke determinantens værdi.

5 Beregn determinanten D = ved brug af Gauss-elimination: Operationen R := R R 1 og derefter R := R 1R giver 5 D = 6 5 = = = ( 1) 17 =. Maple-illustrationer..7 Sætninger om determinanten Sætninger om determinanten Sætning.9 A er regulær, hvis og kun hvis det A 6= 0. Bevis. Hvis B fremkommer af A ved en tilladelig rækkeoperation så gælder, at det A 6= 0, det B 6= 0. A er regulær, hvis og kun hvis A er rækkeækvivalent med enhedsmatricen. Men det I = 1 6= 0. Sætning.10 det (AB) = det (A) det (B). Bevis. Hvis AB er invertibel, så er A også, idet (AB) C = I jo medfører, at BC er invers til A. Vi kan antage, at A er invertibel. Ved Gauss-eliminationen [A j I]! I j A 1 ses, at det A = ( 1) r produkt_pivot_elementer. Samme rækkeoperationer gør: [A j AB]! [I j B]. Men herved fås, at det (AB) = det A det B. Korollar.11. det A 1 = (det A) 1. Sætning.1 det A T = det A. Bevis: det A = Sn sgn (j 1, j, j,..., j n ) a 1j1 a j a njn = Sn sgn (i 1, i, i,..., i n ) a i1 1a i i a in n = det A T. 5