Intro Design of Experiments

Transkript

1 Intro Design of Experiments OH no: 1 Faktorer, niveauer, behandlinger og gentagelser Styrbare faktorer Faktorer Styrbare (controllable) faktorer Støjfaktorer (nuisance factors) Kvalitative Kvantitative INPUT PROCES OUTPUT Fuldstændig faktorstruktur med to gentagelser af hvert faktorniveau FAKTOR B Niveau B1 Niveau B2 Niveau B3 Støjfaktorer Niveau A1 Resultat1 Resultat1 Resultat1 Resultat2 Resultat2 Resultat2 En behandling med to gentagelser Faktor A Niveau A2 Niveau A3 Resultat1 Resultat1 Resultat1 Resultat2 Resultat2 Resultat2 Resultat1 Resultat1 Resultat1 Resultat2 Resultat2 Resultat2 OH no: 2 1

2 Forsøg med en enkelt faktor To niveauer t test Flere niveauer Ensidet variansanalyse Eksempel Lymfocyttal : OH no: 3 Støjfaktorer - Blokke 4 lægemidler undersøges for at se eventuel effekt på lymfocyttallet i mus. Der har måttet anvendes mus fra 5 forskellige kuld. DRUG Litter A B C D 1 7,1 6,7 7,1 6,7 2 6,1 5,1 5,8 5,4 3 6,9 5,9 6,2 5,7 4 5,6 5,1 5 5,2 5 6,4 5,8 6,2 5,3 OH no: 4 2

3 Variansanalyser af lymfocytforsøg Uden hensyn til kuld: Source DF SS MS F P Drug 3 1,845 0,615 1,40 0,280 IKKE signifikant Error 16 7,040 0,440 Total 19 8,886 MED hensyn til kuld: Source DF SS MS F P Drug 3 1,8455 0, ,59 0,001 STÆRK SIGNIFIKANS Litter 4 6,4030 1, ,16 0,000 Error 12 0,6370 0,05308 Total 19 8,8855 Forskellen på lægemidlerne ses kun, når der tages hensyn til kuld som støjfaktor OH no: 5 Forsøg med flere faktorer Eksempel Optimering af udbyttet i en kemisk proces, hvor man undersøger effekten af tryk og temperatur. Trykket varieres mellem 1 og 3 Bar Temperaturen varieres mellem 150 og 170 C Forsøgsstrategier: En faktor ad gangen forsøg Fuldstændige faktorforsøg OH no: 6 3

4 En faktor ad gangen Først fastholdes trykket til 2 Bar, og temperaturen varieres bedst udbytte ses for 160 C. Temperatur C: Udbytte %: Herefter fastholdes temperaturen på 160 C og trykket varieres: Tryk Bar 1 1,5 2 2,5 3 Udbytte %: Vi får altså optimalt resultat for 160 C og 2,5 Bar OH no: 7 En faktor ad gangen - strategi Tryk Bar Temperatur C , , Strategien tager ikke højde for, at det optimale tryk kan være afhængigt af værdien af den aktuelle temperatur og omvendt. En eventuel vekselvirkning mellem tryk og temperatur vil ikke blive opdaget ved et en-faktor-ad-gangen forsøg. OH no: 8 4

5 Fuldstændigt faktorforsøg Hver faktors niveauer kombineres med alle niveauer for de øvrige Tryk Bar Temperatur C x x x x x 1,5 x x x x x 2 x x x x x 2,5 x x x x x 3 x x x x x Her er 5 x 5 = 25 behandlinger i alt Fuldstændig faktorstruktur = mange forsøg, hvis man har mange faktorer, der hver har mange niveauer. En meget brugt strategi er derfor at lade alle faktorerne have 2 niveauer - 2 k faktorforsøg. OH no: 9 2 k faktorforsøg Behandlinger - Standardrækkefølge Faktorerne benævnes med store bogstaver, A, B, C osv. Alle faktorer har 2 niveauer, benævnt Lavt hhv. Højt, - hhv. + eller -1 hhv. +1 (1) er den behandling, hvor alle faktorer er på LAVT niveau a er den behandling, hvor faktor A er på HØJT niveau og alle andre faktorer på lavt niveau ab er den behandling, hvor faktor A og B begge er på HØJT niveau og alle andre på lavt niveau OH no: 10 5

6 2k faktorforsøg Behandlinger - Standardrækkefølge Alle behandlinger opstilles i standardrækkefølge (Yates rækkefølge. Der startes med (1) og faktorerne ganges på i alfabetisk rækkefølge (1) (1) x a = a (1) x b = b b x a = ab (1) x c = c a x c = ac b x c = bc ab x c = abc osv. OH no: 11 Standardrækkefølge StdOrder Behandling 1 (1) 2 a 3 b 4 ab 5 c 6 ac 7 bc 8 abc 9 d 10 ad 11 bd 12 abd 13 cd 14 acd 15 bcd 16 abcd 17 e 18 ae 19 be 20 abe 21 ce 22 ace 23 bce 24 abce 25 de 26 ade 27 bde 28 abde 29 cde 30 acde OH no: bcde 32 abcde Ved 5 faktorer: 5 hovedvirkninger 10 to-faktor vekselvirkninger 10 tre-faktor vekselvirkninger 5 fire-faktor vekselvirkninger 1 fem-faktor vekselvirkning 5 Antal faktorer

7 Forsøg med 3 faktorer 2 3 faktorforsøg Fremstilling (ætsning) af Silicone Wafers OH no: 13 Forsøg med 3 faktorer 2 3 faktorforsøg Plasma Etch Experiment Low (-1) High (+ 1) A Gap, cm 0,8 1,2 B C2F6 flow C Power, W Factor levels Etch Rate Å/minute Run Treatment A B C Replicate 1 Replicate 2 1 (1) a b ab c ac bc abc Fra: Douglas C. Montgomery: Design and Analysis of Experiments, 6th Ed. Wiley 2005 OH no: 14 7

8 Analyse i Minitab Half Normal Plot of the Standardized Effects (response is Etch Rate, Alpha = 0,05) 98 Effect Ty pe Not Signific ant Significant C F acto r A B C Name Gap cm C2F6 flow Po we rw Percent A AC Absolute Standardized Effect OH no: 15 Analyse i Minitab Par eto Char t of the Standardized Effects (response is EtchRate, Alpha =0,05) C 2,31 F actor A B Nam e Gap cm C2F 6 f low AC C P owe rw A Term AB B ABC BC Standardized Effect OH no: 16 8

9 Reduktion af model Kun faktorerne A, C og vekselvirkningen AC ser ud til at være signifikante. Modellen reduceres, så kun disse faktorer indgår OH no: 17 Modelestimater Middelværdi OH no: 18 Enkeltbestemmelser 9

10 Forsøg uden gentagelser 3 - eller flerfaktor vekselvirkninger er sjældent forekommende Ved forsøg med mange faktorer kan variansbidragene fra højere ordens vekselvirkninger derfor pooles og give et godt estimat på den tilfældige variation Det er derfor sjældent relevant at medtage gentagelser i forsøg med mange faktorer OH no: 19 Partielle faktorforsøg 3 eller højere ordens vekselvirkninger har ofte ingen effekt på forsøgsresultatet I så fald er ikke alle behandlinger i et fuldfaktorforsøg lige relevante og man kan nøjes med at gennemføre en delmængde af forsøget Hvis ABCD ikke har effekt, kunne man i stedet for at estimere virkningen af ABCD i steder estimere virkningen af en ny faktor, E. Dermed kan man estimere virkningen af 5 faktorer i 16 behandlinger i stedet for 32 man taler om et halvt (half fraction) - ½ x 2 5 eller et faktorforsøg Prisen er SAMMENBLANDING af effekter Meget udbredte til screeningsforsøg OH no: 20 10

11 Eksempel på faktorforsøg Analog til Filter1, men i stedet bruges et design, hvor faktor D defineres ud fra D = ABC relationen (defining relation). GENERATOR: I = ABCD I D = ABC I = ABCD D flyttes over på den anden side af lighedstegnet og erstattes af I på venstre side OH no: 21 Fortegnsmatrix (kontraster) for 2 3 faktorforsøg Behandling A B C AB AC BC ABC (1) a b ab c ac bc abc Vi lægger nu faktor D ind i ABC kolonnen OH no: 22 11

12 Fortegnsmatrix (kontraster) for faktorforsøg Behandling A B C AB AC BC D=ABC Ny benævnelse (1) a ad b bd ab ab c cd ac ac bc bc abc abcd OH no: 23 Aliasrelationer = Sammenblanding af effekter I = ABCD A x I = A A x A = A 2 = 1 A = A x I = A x ABCD = A 2 BCD = BCD B = B x I = B x ABCD = AB 2 CD = ACD C = C x I = C x ABCD = ABC 2 D = ABD D = D x I = D x ABCD = ABCD 2 = ABC Alle hovedvirkninger sammenblandes med 3-faktor vekselvirkninger OH no: 24 12

13 Aliasrelationer = Sammenblanding af effekter AB = AB x I = A 2 B 2 CD = CD AC = AC x I = A 2 BC 2 D = BD AD = AD x I = A 2 BCD 2 = BC 2- faktor vekselvirkninger sammenblandes med hinanden Resolution IV design OH no: 25 Resolution Hovedvirkninger sammenblandes med 2-faktor vekselvirkninger sammenblandes med Resolution III 2-faktor vekselvirkninger 2-faktor vekselvirkninger Resolution IV 3- faktor vekselvirkninger 2-faktor vekselvirkninger Resolution V 4- faktor vekselvirkninger 3-faktor vekselvirkninger OH no: 26 13