eksaminand nr Opgavesættet består af 3 sædvanlige (essay) opgaver samt et antal opgaver af multiple choice typen.

Transkript

1 Københavns Universitet Det Farmaceutiske Fakultet Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve: Den 12. januar 2009 Kursus navn og nr: Statistisk Forsøgsplanlægning, A-343 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dette sæt er besvaret af eksaminand nr Opgavesættet består af 3 sædvanlige (essay) opgaver samt et antal opgaver af multiple choice typen. De sædvanlige opgaver er placeret forrest, og de ønskes besvaret på sædvanlig skriftlig måde på de dertil udleverede indskrivningsark. Ved bedømmelsen tillægges de sædvanlige opgaver samlet vægt 50% og multiple choice opgaverne ligeledes 50%. Multiple choice opgaverne er placeret efter essayopgaverne og er nummereret med romertallene IV, V,... i selve teksten. Numrene på de enkelte spørgsmål er angivet som (1),(2),(3),... i teksten. Bevarelserne af multiple choice spørgsmålene føres ind i følgende skema. Opgave IV V VI VII VIII IX X Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) Svar Svarmulighederne for multiple choice spørgsmålene er nummereret fra 1 til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Mht. multiple choice opgaverne skal kun skemaet afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal nærværende forside alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk nu at forsyne din besvarelse med eksaminantnummer. Sættets sidste side er nr 18; blad lige om og se, at den er der 1

2 Opgave I Der er udført et forsøg, hvor man ønsker at vurdere tre ekstraktionsmetoder, A1, A2 og B. For hver metode undersøger man tre batche af råmateriale, som indeholder det aktive stof, man vil udvinde. Data var som følger, idet der fra hver af de 9 batche er udtaget fire prøver: Metoder A1 A2 B Batche Sum for batche Metodesummer Total sum Man benytter modellen Y ijk = µ + m i + B(m) j(i) + E k(ij) med metode-parametrene m i med i m i =0, og varianskomponenterne σb(m) 2 og σ2 E,altiden sædvanlige notation. Et ANOVA skema er under udarbejdelse, men er knap færdigt: ANOVA beregninger Variationskilde SSQ df s 2 EMS Metoder ??? Batche σB(m) 2 + σ2 E Usikkerhed (E)??? σe 2 Totalt 76.64? Færdiggør skemaet og besvar følgende spørgsmål. Spørgsmål 1: Bestem estimater for µ og for metode-parametrene {m 1,m 2,m 3 }. Spørgsmål 2: Bestem estimater for modellens varianskomponenter, σ 2 B(m) og σ2 E. Spørgsmål 3: Test om modellen (dvs. m i og varianskomponenterne) er statistisk signifikant (benyt α =0.05). Spørgsmål 4: Benyt den estimerede model til at angive variansen for en enkelt måleværdi fra en tilfældigt valgt batch. Spørgsmål 5: Experimentator ønsker at vurdere, om variationen mellem metoder fortrinsvis skyldes forskellen mellem A- og B-metoden. Foretag den tilsvarende variansopspaltning og foretag det tilsvarende test (mod samme variationskilde, som benyttes ved testet af metoder generelt). Hvad vil du nu konkludere? Fortsæt på side 3 2

3 Opgave II I et forsøg med bakterievækst ønsker man at belyse 6 faktorers betydning. Faktorerne og de valgte faktorniveauer er gengivet i følgende tabel. Navn Betydning Niveauer A : Temperatur 18 o C 24 o C B : Tilsætning af NaCl Nej Ja C : Ph i opløsning D: Kulstofkilde KX11 AL13 E: Lysforhold Lyst Mørkt F : Vækstmedium V 1 V 2 Det målte respons var et index, som udtrykker bakteriemængden i en prøve fra hvert af de 8 enkeltforsøg. Design og data er angivet i følgende tabel: Design Data Kon- A B C D = AB E = +AC F = BC Y traster Der er på sædvanlig måde beregnet kontraster svarende til det underliggende fuldstændige faktordesign (dannet af faktorerne A, B og C) og anført i standardrækkefølgen. Man tænker sig, at følgende model kan benyttes: Y ijklmn = µ + A i + B j + C k + D l + E m + F n + ɛ ijklmn hvor alle indices, i n,på sædvanlig måde kan antage én af værdierne {0,1}. Som det fremgår, antages alle vekselvirkninger uden betydning (nul eller nær nul). Iøvrigt benyttes standardantagelser, som f.eks. A 0 + A 1 =0,B 0 +B 1 =0etc. Usikkerhedsbidragets varians kaldes σ 2 ɛ. Spørgsmål 1: Karakterisér (kort) den viste forsøgsplan. Angiv forsøgets definitionsrelation og hovedeffekten A s aliasrelationer. Hvilken resolution har det anførte design. Spørgsmål 2: Experimentator konkluderer, at modellen Y ijklmn = µ + A i + D l + ɛ ijklmn er egnet til at beskrive data, dvs. kun temperatur og kulstofkilde har væsentlig betydning for bakterievæksten. Angiv estimater for µ og faktoreffekterne A = A 1 A 0 og D = D 1 D 0. Fortsæt på side 4 3

4 Spørgsmål 3: Angiv det sædvanlige estimat for σ 2 ɛ (idet de variationsbidrag, som ikke kan tilskrives A og D, benyttes) og opskriv et variansanalyseskema, som illustrerer den valgte model og parametrenes signifikans : Variationskilde SSQ df F-værdi A D Restvariation Totalt Kommentér kortfattet mht. om den valgte model synes rimelig i lyset af det opstillede variansanalyseskema. Fortsæt på side 5 4

5 Opgave III Vi betragter et screeningsforsøg med 4 forskellige gødningstyper (G1, G2, G3, G4) ved dyrkning af en plante, hvorfra man vil udvinde et ekstrakt til brug i en naturmedicin. I forsøget anvendtes 4 niveauer af vandtilsætning (V1, V2, V3, V4) samt 4 forskellige tilsætninger af kompost (α, β, γ, δ). Den påtænkte forsøgsplan og de fundne data er vist i nedenstående skemaer: Design G1 G2 G3 G4 V1 (α) (γ) (δ) (β) V2 (β) (α) (γ) (δ) V3 (δ) (β) (α) (γ) V4 (γ) (δ) (β) (α) Data G1 G2 G3 G4 Sum V V V V Sum Kompost α β γ δ Ialt Sum Følgende beregninger (som du ikke skal kontrollere) er baseret på de viste data fra forsøget: Variationskilde SSQ Gødning Vand Kompost Rest Totalt Spørgsmål 1: Karakterisér forsøget og angiv en passende model til at analysere data fra forsøget. Spørgsmål 2:Analysér nu den opstillede model mht. indflydelse fra gødning, vand og kompost (benyt signifikansniveau 5%). Kommentér resultatet kort. Spørgsmål 3: Angiv et estimat for forsøgsusikkerhedens varians under hensyntagen til resultatet af spørgsmål 2. Spørgsmål 4: Effekterne svarende til de fire gødningstyper kaldes g 1, g 2, g 3 og g 4 med i g i =0. Bestem estimater for g 1, g 2, g 3 og g 4. Spørgsmål 5: Man interesserer sig for, om der kan være en vekselvirkning mellem gødningstype og mængde kompost, da deres fælles effekt muligvis ikke er additiv. Forklar kort, hvorfor dette ikke umiddelbart kan testes ved brug af ovenstående forsøgsplan. Fortsæt på side 6 5

6 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave IV I et biologisk forsøg ønsker man at studerede effekten fra 2 kontrollerbare faktorer, tid og ph. Samtidig har man en formodning om, at omgivelsernes temperatur kan påvirke forsøgsresultatet, men da denne ikke kan kontrolleres, nøjes man med at registrere temperaturen. Forsøget, der blev udført i en randomiseret rækkefølge, og data er vist (ordnet) i nedenstående tabel. Spørgsmål (1) / IV.1 Design Data Tid ph Temperatur Y (g/kg) Totalt I en model for ovenstående forsøg benævner man typisk temperaturen som 1 En whole plot faktor 2 En tilfældig effekt 3 En kovariat 4 En nested faktor 5 En hierarkisk effekt Fortsæt på side 7 6

7 Man påtænker at anvende følgende principielle model for forsøget: Y ijk = µ + t i + p j + tp ij + α T ijk + ɛ ijk hvor t i angiver tid, p j angiver ph og T ijk angiver temperaturen. i er index for tid, j er index for ph og k er gentagelsesnummer - alt på sædvanlig måde. Alle tre indices løber fra 1 til 2, som det fremgår af data tabellen. Der benyttes den sædvanlige restriktioner i t i = j p j = i p ij = j p ij =0. Svarende til de forskellige mulige (rimelige) varianter af den anførte model er der beregnet følgende residual-kvadratafvigelsessummer: Spørgsmål (2) / IV.2 Nr Model SSQ df 1 Y ijk = µ + t i + p j + tp ij + α T ijk + ɛ ijk Y ijk = µ + t i + p j + tp ij + ɛ ijk Y ijk = µ + t i + p j + α T ijk + ɛ ijk Y ijk = µ + t i + p j + ɛ ijk Y ijk = µ + t i + α T ijk + ɛ ijk Y ijk = µ + t i + ɛ ijk Y ijk = µ + p j + α T ijk + ɛ ijk Y ijk = µ + p j + ɛ ijk Y ijk = µ + α T ijk + ɛ ijk Y ijk = µ + ɛ ijk Du bliver bedt om at teste, om model nr. 1 kan reduceres til model nr. 8. Ved test af, om denne reduktion er tilladelig, fås test værdien, F, og kritisk værdi, C (α =0.05): 1 F = 2.04 og C = F = 1.92 og C = F = 2.89 og C = F = 3.85 og C = F = og C = 4.34 Fortsæt på side 8 7

8 Spørgsmål (3) / IV.3 Angiv under antagelse af model 8 et estimat af hovedeffekten p j, j = {1, 2} (j =1 ph=5.7, og j =2 ph=6.2): 1 p = { -3.25, +3.25} 2 p = { , } 3 p = { -13/8, +13/8} 4 p = { 6.75, -6.75} 5 p = {30.25, } Fortsæt på side 9 8

9 Opgave V Der er gennemført et valideringsstudie af en målemetode på humant fuldblod, hvor man primært har været interesseret i at vurdere den variation, der er mellem de anvendte apparater. I studiet indgik 6 apparater (A1.. A6), der hver blev brugt til dobbeltbestemmelse af på 3 forskellige blodprøver (P1, P2 og P3). Da forsøget krævede forholdsvis meget donorblod, var der tale om forskellige blodprøver på alle apparater, dvs. ialt anvendtes 6 3 = 18 blodprøver fra 18 forskellige donorer. Alle prøver måltes med 2 gentagelser markeret med xx. Alle forhold som tildeling af de enkelte prøver til apparaterne og rækkefølgen af de 6 enkeltmålinger på ét apparat blev randomiseret. Som matematisk model for dette forsøg benyttes P1 P2 P3 A1 x x x x x x A2 x x x x x x A3 x x x x x x A4 x x x x x x A5 x x x x x x A6 x x x x x x y ijk = µ + A i + P (A) j(i) + ɛ k(ij) hvor A i er bidraget fra apparater i = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ogp(a) j(i) er bidraget fra prøver indenfor apparater. Endelig angiver ɛ k(ij) målefejlen på den enkelte måling, k = {1, 2} Alle effekter opfattes som stokastiske, og modellens varianskomponenter er, i rækkefølge som modellens led, σ 2 A, σ2 P (A) og σ2 ɛ. Spørgsmål (4) / V.1 Ved variansanalysen af data skal bl.a. benyttes EMS værdierne svarende til modellens enkelte led. For effekten apparater findes EMS = E{S 2 A } som 1 E{SA 2 } =6σ2 A +σ2 ɛ 2 E{SA 2}=6σ2 A +4σ2 P(A) +σ2 ɛ 3 E{SA 2}=6σ2 A +2σ2 P(A) +σ2 ɛ 4 E{SA 2}=2σ2 P(A) +σ2 ɛ 5 E{S 2 A }=6σ2 A +2σ2 P(A) 6 Ved ikke Fortsæt påside 10 9

10 Følgende skema giver kvadratafvigelsessummer svarende til en fuldstændig krydset struktur Variationskilde Kvadratafvigelsessum Apparater Prøver Prøver Apparater 97.4 (??) Gentagelser (error) (??) (??) Totalt (??) I skemaet mangler der kvadratafvigelsessum for gentagelserne og frihedsgrader for de enkelte led, hvor der er markeret med (??). Fyld nu resten af skemaet ud og besvar følgende spørgsmål. Spørgsmål (5) / V.2 Angiv kvadratafgivelsessum og frihedsgrader svarende til modellens varianskomponent P (A): 1 SSQ = og df = 2 2 SSQ = og df = 11 3 SSQ = og df = 12 4 SSQ = og df = 18 5 SSQ = og df = 23 Spørgsmål (6) / V.3 Angiv F-teststørrelsen og kritisk værdi, C (α =0.05), ved test af om varianskomponenten for apparater, σ 2 A =0: 1 F = (453.1/5)/(( )/12) og C = F = (453.1/5)/((134.5)/18) og C = F = (658/ /5)/((134.5)/18) og C = F = (619.1/12)/((134.5)/18) og C = F = (619.1/12)/((484.6)/11) og C = 2.78 Fortsæt påside 11 10

11 Opgave VI Et forsøg går ud på at optimere udbytte af en kemisk process. Specielt er man interesseret i at belyse effekten af et enzym med doser C1, C2, C3 og C4, samt temperatur T1, T2 og T3. Processen foregår i et varmeskab ved konstant temperatur i 30 minutter. Da temperaturen i varmeskabet tager tid at regulere, har man besluttet, at udføre forsøg med alle fire doser ved en fastholdt temperatur, hvorefter temperaturen indstilles på en ny værdi, og forsøg med alle fire doser gentages. Hele forsøget, der gentages over 2 dage, er vist i nedenstående tabel, hvor randomiseringen er illustreret ved numrene i parentes. C1 C2 C3 C4 T1 x(3) x(1) x(2) x(4) Dag 1 T2 x (12) x (11) x(10) x(9) T3 x(5) x(8) x(6) x(7) C1 C2 C3 C4 T1 x (23) x (21) x (22) x (24) Dag 2 T2 x (13) x (16) x (15) x (14) T3 x (19) x (17) x (20) x (18) Som matematisk model for dette forsøg benyttes følgende standard model for et split plot forsøg: y ijkl = µ + D i + T j + DT ij + C k + DC ik + TC jk + DTC ijk + E ijkl hvor D i er et tilfældigt bidrag fra dage i = {1, 2}, T j angiver bidraget fra temperatur j = {1, 2, 3},og C k er bidraget fra k te dose enzym k = {1, 2, 3, 4}. Videre angiver DT ij, DC ik, TC jk og DTC ijk de sædvanlige led i et forsøg som det foreliggende. Endelig angiver E ijkl målefejlen på den enkelte måling, ijkl, hvor der dog ikke er gentagelser (og l 1). Spørgsmål (7) / VI.1 I variansanalysen kan den såkaldte whole plot varians findes ved hjælp af 1 kvadratafvigelsessummen for hovedvirkningerne af D og T 2 kvadratafvigelsessummen for hovedvirkningen af D 3 kvadratafvigelsessummen for vekselvirkningen DT 4 kvadratafvigelsessummen for hovedvirkningen C og vekselvirkningen CT 5 kvadratafvigelsessummen for den tilfældige fejl Fortsæt påside 12 11

12 Efter forsøget er blevet udført, er følgende kvadratafvigelsessummer beregnet, svarende til en fuldstændig krydset struktur: Variationskilde SSQ df D ? T ? DT 14.44? C 9.28? DC 0.88? TC 3.27? DTC 1.12? Error 0 0 Totalt Find de til skemaet svarende frihedsgrader og besvar følgende Spørgsmål (8) / VI.2 Split plot variansen findes umiddelbart til Spørgsmål (9) / VI.3 I modellen for forsøget kaldes leddet TC jk sædvanligvis 1 En whole plot vekselvirkning 2 En split plot vekselvirkning 3 En stokastisk effekt 4 En to-faktor vekselvirkning 5 En blok effekt Fortsæt påside 13 12

13 Se venligst side 18, hvor der er et par hjælpeskemaer, du eventuelt kan bruge til nogen af de sidste spørgsmål. Opgave VII Der skal udarbejdes en forsøgsplan for et forsøg med 5 faktorer: Navn Betydning Niveauer A : Temperatur 18 o C 24 o C B : Tilsætning af NaCl Ja Nej C : Ph i opløsning D: Lysforhold Lyst Mørkt E : Væksttid 1 dag 2 dage Forsøget ønskes udført som et faktorforsøg ved at indføre faktorerne D og E ved generatorerne D=+AC og E=+BC. Spørgsmål (10) / VII.1 Angiv for dette forsøg aliasrelationen for hovedeffekten A: 1 A=CD=ABCE=BDE 2 A=ACD=BCE=ABDE 3 A=ABCD=CE=ADE 4 A=CDE=ABC=BD 5 A=CD=BC=BD Idet forsøget påtænkes udført af 2 laboranter, der hver udfører 4 enkeltforsøg, indføres Laborant=AB. Forsøgenes fordeling på de to laboranter ønskes bestemt. Fortsæt påside 14 13

14 Spørgsmål (11) / VII.2 Forsøgene, som skal udføres og fordelt på to laboranter, er: 1 e abd cd abce og e abd cd abce 2 abe d abcd bce og bde a bc abcde 3 ae bd acd bce og de ab c abcde 4 (1) a b c og e abc bcd abcde 5 (1) abde cde abc og de ab c abcde Opgave VIII Et 2 4 faktorforsøg med faktorerne A, B, C og D er delt ud på 4 blokke (batche), defineret efter I 1 = AB og I 2 = CD. Forsøgene, der udføres i den principale blok, ønskes. Spørgsmål (12) / VIII.1 Forsøgene, der udføres i den principale blok, er: 1 (1) ac bcd abd 2 (1) abc abd cd 3 (1) bc abc a 4 (1) b acd abcd 5 (1) ab cd abcd Fortsæt påside 15 14

15 Opgave IX Et faktorforsøg med faktorerne A, B, C, D, E har definitions-relationerne I 1 = ABD og I 2 = BCE Spørgsmål (13) / IX.1 Forsøgets resolution er 1 I 2 II 3 III 4 IV 5 V Fortsæt påside 16 15

16 Opgave X I et indledende forsøg med 3 forskellige præparater (A, B, C) har man udført et forsøg med henblik på at sammenligne disse. I forsøget indgik 6 rotter, der hver blev udsat for 2 af de 3 præparater (eventuelt i randomiseret rækkefølge): Forsøgets design blev: Rotte Præparat 1 A C 2 B A 3 B C 4 C A 5 A B 6 B C Analysen af dette forsøg bygger på følgende grundlæggende model: Y ij = µ + R i + p j + ɛ ij hvor µ angiver forsøgets niveau, R i, i = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, angiver indflydelsen fra rotte i og p j, j = {1, 2, 3}, angiver virkningen fra præparat j. Endelig er ɛ ij den tilfældige målefejl i enkeltforsøg nr. (i, j). Spørgsmål (14) / X.1 Hvad kalder man sædvanligvis variablen Rotte i et sådant forsøg: 1 En whole plot faktor med 6 niveauer 2 En kovariat med 6 værdier 3 En deterministisk faktor med 6 niveauer 4 En ufuldstændig blok af størrelse 2 5 En tilfældig faktor med 3 niveauer Fortsæt påside 17 16

17 Inden udførelse af forsøget bliver det alligevel diskuteret, om det kan have betydning i hvilken rækkefølge, de to målinger på en rotte udføres. Efter at have overvejet problemet, er der stillet 4 forskellige alternativer op, som vist nedenfor. Betegnelsen (1) betyder, at målingen udføres først, og (2) betyder, at målingen udføres som den anden (efter nogle dages ventetid): Rotte Forslag 1 A(1) C(2) A(1) B(2) B(1) C(2) C(1) A(2) B(1) A(2) C(1) B(2) Forslag 2 C(1) A(2) B(1) A(2) B(1) C(2) A(1) C(2) A(1) B(2) C(1) B(2) Forslag 3 C(1) A(2) B(1) A(2) C(1) B(2) A(1) C(2) A(1) B(2) B(1) C(2) Forslag 4 A(1) C(2) B(1) A(2) B(1) C(2) C(1) A(2) B(1) A(2) B(1) C(2) Spørgsmål (15) / X.2 Hvilket eller hvilke af de stillede forslag er velegnede: 1 Kun forslag 1 og 2 2 Kun forslag 4 3 Kun forslag 3 4 Kun forslag 1 5 Alle undtagen forslag 4 Slut på opgaverne, og så ønskes du et godt nyt år Hjælpeskemaer på næste side. 17

18 Hjælpeskema A B C Hjælpeskema A B C D