Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Save this PDF as:

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:"

Transkript

1 Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant. Noterne forudsætter kendskab til Geometrinoter 1. 1 Trekantens formler I dette afsnit ser vi på en trekant ABC hvor s betegner den halve omkreds, r er radius i den indskrevne cirkel, R er radius i den omskrevne cirkel, og T er arealet. Herons formel Arealet af en trekant kan beregnes ud fra trekantens sidelængder vha. Herons formel Ifølge cosinusrelationen er T = s(s a)(s b)(s c). (bc) cos A = (b + c a ). Vi ved at 4T = bc sin A, og ved kvadrering 16T = (bc) sin A. Desuden er sin A = 1 cos A. Samlet giver dette 16T = (bc) (bc) cos A = (bc) (b + c a ) = (bc + b + c a )(bc b c + a ) = ((b + c) a )(a (b c) ) = (a + b + c)(b + c a)(a + c b)(a + b c) = 16s(s a)(s b)(s c). Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: T = (s AB )(s BC )(s CD )(s DA ) hvor s også her betegner den halve omkreds. Opgave 1.1 (Om Brahmaguptas formel). Vis Brahmaguptas formel. (Hint: Del firkanten i to trekanter, og brug samme idé som i beviset for Herons formel). Sætning om areal og radius i den indskrevne cirkel Der gælder at T = rs. Opgave 1. (Om areal og radius i den indskrevne cirkel). sætningen om areal og radius i den indskrevne cirkel. Sætning om radius i den omskrevne cirkel Om radius i den omskrevne cirkel gælder der R = a sin A = b sin B = c sin C. Hermed er Herons formel bevist.

2 Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde Af figuren ses at sin A = sin A = a og sin C = c R, og dermed i alt R = a sin A = R. Tilsvarende ses at sin B = b R b sin B = c sin C. Sætning om areal og radius i den omskrevne cirkel Der gælder at 4RT = abc. Ifølge sætningen om radius i den omskrevne cirkel samt sætningen om arealet af en trekant udtrykt ved sinus til en vinkel og længden af de hosliggende sider, er a 4RT = R T = sin A 1 bc sin A = abc. Opgave 1.3. I et kvadrat ABCD er indskrevet en cirkel med radius R. kaldes E. Vis at AE + BE + CE + DE = 4R. Opgave 1.5. Vis at der findes uendeligt mange trekanter hvor sidelængderne er tre på hinanden følgende hele tal, og arealet af trekanten er et helt tal. (NMC 1995) Opgave 1.6. Vis for en trekant ABC at cos A + cos B + cos C = r R + 1. Her er r radius i den indskrevne cirkel, og R er radius i den omskrevne cirkel. Opgave 1.7. Vis for en trekant ABC at 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 rr. Her er r som før radius i den indskrevne cirkel, og R er radius i den omskrevne cirkel. Opgave 1.8. I en trekant ABC danner de tre fodpunkter for højderne en ny trekant. at radius i den omskrevne cirkel til den nye trekant er halvt så stor som radius i den omskrevne cirkel til trekant ABC. En tangent til cirklen skærer linjestykkerne AB og AD i henholdsvis P og Q. Radius i den indskrevne cirkel til trekant AP Q kaldes r. Udtryk arealet af trekant AP Q vha. r og R. Opgave 1.4. Firkant ABCD er indskrevet i en cirkel med radius R. Diagonalerne står vinkelret på hinanden, og deres skæringspunkt

3 Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 3 Trekantens ydre røringscirkler Definition af trekantens ydre røringscirkler En trekant ABC har tre ydre røringscirkler, en for hver side i trekanten. Den ydre røringscirkel til siden BC er en cirkel der ligger uden for trekanten, og som tangerer siden BC samt forlængelserne af AB og AC. Sætning om de ydre røringscirklers centre Centrum for den ydre røringscirkel til siden BC i trekant ABC er skæringspunktet for vinkelhalveringslinjen til vinkel A og de ydre vinkelhalveringslinjer til vinkel B og C. De tre ydre røringscirklers centre danner en trekant i hvilken vinkelhalveringslinjerne for trekant ABC er højder. Af dette ses at de ydre røringscirklers centre O A, O B og O C danner en trekant hvis sider går gennem henholdsvis A, B og C. Vinkelhalveringslinjen til vinkel A står vinkelret på siden O B O C, da BAO A = CAO A og O B AC = O C AB. Sætning om den ydre røringscirkel og den halve omkreds. Betragt den ydre røringscirkel til siden BC i trekant ABC hvor den halve omkreds betegnes s. Kald røringscirklens røringspunkter med siden BC samt forlængelserne af AB og AC for henholdsvis A 1, A B og A C. Da er s = AB + BA 1 = AC + CA 1 = AA B = AA C. Først bemærker vi at BA B = BA 1 og CA C = CA 1, dvs. at AA B + AA C er lig trekantens omkreds. Desuden er AA B = AA C, og dermed s = AA B = AA C og s = AB + BA 1 = AC + CA 1. Da den ydre røringscirkel til siden BC tangerer BC samt forlængelserne af AB og AC, må dens centrum ligge i samme afstand til disse tre linjer. Da vinkelhalveringslinjen netop er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til de to vinkelben, må den ydre røringscirkel centrum ligge på vinkelhalveringslinjen til vinkel A samt de ydre vinkelhalveringslinjer til vinkel B og vinkel C. Opgave.1. I trekant ABC indtegnes tre cevianer fra vinkelspidserne til røringspunkterne for de tre røringscirkler. Vis at de tre cevianer skærer hinanden i et punkt. Opgave.. For en trekant ABC betegner T arealet, r radius i den indskrevne cirkel og r 1, r og r 3 radierne i de tre ydre røringscirkler. Vis at T = rr 1 r r 3.

4 Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 4 3 Radikalakse I Geometrinoter 1 så vi at et punkt P s potens mht. en cirkel med centrum O og radius r defineres som tallet OP r, og dermed at potensen af et punkt på cirkelperiferien er nul. Definition af radikalakse Radikalaksen for to cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der har samme potens mht. de to cirkler. Sætning om radikalakse Kald centrum i de to cirkler for henholdsvis O 1 og O, cirklernes radier for henholdsvis r 1 og r, og lad d betegne afstanden mellem de to centre. Da er radikalaksen en ret linje der står vinkelret på linjen O 1 O. Radikalaksens afstand til henholdsvis O 1 og O er r1 r +d d og r r 1 +d d. Hvis cirklerne skærer hinanden i to punkter A og B, er radikalaksen netop linjen gennem A og B. Lad Q være punktet på linjen O 1 O med QO 1 = r 1 r +d d og QO = r r 1 +d d. (Dette er muligt da r 1 r +d d + r r 1 +d d = d). Antag at P er et punkt på radikalaksen, og lad P være projektionen af P på O 1 O. At P er et punkt på radikalaksen er ensbetydende med at P O 1 r1 = P O r. Dette er ensbetydende med at Hvis cirklerne skærer hinanden i to punkter A og B, har begge punkter potens nul mht. de to cirkler, og dermed er radikalaksen netop linjen gennem A og B. Opgave 3.1. En linje gennem A skærer en cirkel i to punkter, B og C, på en sådan måde at B ligger mellem A og C. Fra punktet A tegnes de to tangenter til cirklen. Tangenterne rører cirklen i punkterne S og T. Lad P være skæringspunktet mellem linjerne ST og AC. Vis at (NMC 007) AP P C = AB BC. P P + O 1 P r 1 = P P + (d O 1 P ) r, og yderligere at O 1 P = r 1 r + d. d Dette er ensbetydende med at P = Q, og dermed at P ligger på linjen gennem Q vinkelret på O 1 O. Vi har dermed vist at radikalaksen netop består af punkterne på denne linje.

5 Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 5 4 Eulerlinjen og Simsonlinjen Sætning om Eulerlinjen I en trekant ABC kaldes medianernes skæringspunkt som sædvanligt M, højdernes skæringspunkt H og midtnormalernes skæringspunkt O. Punkterne H, M og O ligger på en ret linje som kaldes Eulerlinjen, og M deler HO således at MO = MH. Kald midtpunkterne af BC og AC for henholdsvis M a og M b, og skæringspunktet mellem BM b og HO for P. Vi ønsker at vise at P = M samt at OM = HM. Simsonlinjen. Opgave 4.1 (Om Simsonlinjen). at punkterne P 1, P og P 3 ligger på en ret linje. Hint: Vis at firkanterne P CP P 1, P P 3 BP 1 og P P AP 3 er indskrivelige, og udnyt dette til at vise at CP 1 P = BP 1 P 3. Da AB er parallel med midtpunktstransversalen M a M b, OM b er parallel med BH da de begge står vinkelret på AC, og OM a er parallel med AH da de begge står vinkelret på BC, er trekanterne ABH og M a M b O ensvinklede med forholdet : 1. Desuden er trekant OP M b ensvinklet med trekant HP B med samme forhold. Dermed er M b P = P B, og heraf ses det ønskede nemlig at P = M og MO = MH. Sætning om Simsonlinjen Lad P være et punkt på den omskrevne cirkel til trekant ABC, P 1 projektionen af P på linjen BC, P projektionen af P på linjen AC og P 3 projektionen af P på linjen AB. Punkterne P 1, P og P 3 ligger på en ret linje, og denne linje kaldes Opgave 4.. Betragt fem punkter A, B, C, D og E sådan at firkant ABCD er et parallelogram, og firkant BCED har en omskreven cirkel. Lad l være en linje gennem A. Antag at l skærer det indre af linjestykket DC i F og linjen BC i G. Antag derudover at EF = EG = EC. at l er vinkelhalveringslinje for vinkel DAB. Hint: Benyt resultatet om Simsonlinjen til at vise at projektionen af E på linjen BD netop er skæringspunktet mellem diagonalerne i firkant ABCD. (IMO 007)

6 Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 6 5 Oversigt Herons formel: Arealet T af en trekant ABC er givet ved (s a)(s b)(s c) hvor s betegner den halve omkreds. Brahmaguptas formel: Arealet T af en indskrivelig firkant ABCD er T = (s AB )(s BC )(s CD )(s DA ) hvor s betegner firkantens halve omkreds. Trekantens formler: Arealet af en trekant ABC betegnes T, den halve omkreds s, og radius for den indskrevne og omskrevne cirkel betegnes henholdsvis r og R. Da gælder følgende formler: R = a sin A = T = rs b sin B = 4RT = abc c sin C Ydre røringscirkel En trekant ABC har tre ydre røringscirkler, en for hver side i trekanten. Den ydre røringscirkel til siden BC er en cirkel der ligger uden for trekanten, og som tangerer siden BC samt forlængelserne af AB og AC. Radikalakse Radikalaksen for to cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der har samme potens mht. de to cirkler. Radikalaksens beliggenhed Radikalaksen til to cirkler er en ret linje der står vinkelret på linjen mellem deres centre. Hvis cirklerne skærer hinanden i to punkter A og B, er radikalaksen netop linjen gennem A og B. Eulerlinjen: I en trekant ABC ligger højdernes skæringspunkt H, medianernes skæringspunkt M og midtnormalernes skæringspunkt O på en ret linje som kaldes Eulerlinjen, således at MO = MH. Simsonlinjen: Lad P være et punkt på den omskrevne cirkel til trekant ABC, P 1 projektionen af P på linjen BC, P projektionen af P på linjen AC og P 3 projektionen af P på linjen AB. Punkterne P 1, P og P 3 ligger på en ret linje, og denne linje kaldes Simsonlinjen. De ydre røringscirklers centre Centrum for den ydre røringscirkel til siden BC i trekant ABC er skæringspunktet for vinkelhalveringslinjen til vinkel A og de ydre vinkelhalveringslinjer til vinkel B og C. De tre ydre røringscirklers centre danner en trekant i hvilken vinkelhalveringslinjerne for trekant ABC er højder. Den ydre røringscirkel og den halve omkreds. Kald røringspunktet mellem den ydre røringscirkel og siden BC i trekant ABC for A 1, og trekantens halve omkreds for s. Da er s = AB + BA 1 = AC + CA 1.

7 Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 7 6 Løsningsskitser Opgave om Brahmaguptas formel 1.1 Lad ABCD være en indskrivelig firkant, og lad s betegne den halve omkreds. Sæt p = AD, q = AB, r = BC og t = AD. Arealet T af firkanten er summen af arealerne af trekant ABD og trekant BCD, dvs. at T = 1 pq sin A + 1 rt sin C T = 1 4 sin A(pq + rt) 4T = (1 cos A)(pq + rt), hvor vi undervejs har udnyttet at sin A = sin C da firkanten er indskrivelig. Ved at udnytte cosunusrelationen på trekanterne ABD og BCD får vi BD = q + p pq cos A og BD = r + t rt cos C. Af disse to ligninger ses at 4 cos A(pq + rt) = (p + q r t ), hvor vi har udnyttet at cos A = cos C. Ved at kombinere dette med udtrykket for arealet fås 16T = (pq + rt) (p + q r t ) = (pq + rt + p + q r t ) (pq + rt p q + r t ) = = ((p + q) (r t) )( (r + t) (p q) ) ( )( ) p + q + r t p + q + t r ( )( ) p + r + t q q + r + t p = 4 (s t)(s r)(s q)(s p) T = (s q)(s r)(s t)(s p). Opgave 1. Kald centrum for den indskrevne cirkel for I. Arealet af trekant ABI er da 1 rc da r er højden, og c er grundlinjen. Tilsvarende er arealet for trekant ACI og BCI henholdsvis 1 rb og 1 ra. Da arealet af trekant ABC netop er summen af arealerne af disse tre trekanter, er T = 1 (a + b + c)r = sr. Opgave 1.3 Kald den store cirkels røringspunkt med AB for E, med AD for F og med tangenten for G. Der gælder da at EP = P G og GQ = QF. Dermed er trekantens omkreds AP + AQ + P Q = AE + AF = R. Arealet af en trekant er givet ved den halve omkreds gange radius i den indskrevne cirkel, dvs. arealet er Rr. Opgave 1.4 Da diagonalerne står vinkelret på hinanden, er AE + BE + CE + DE = AB + CD. Kald vinkel ADB for u og vinkel DAC for v. Da er DBC = v da de spænder over samme bue, og v + u = 90, dvs. sin v = cos u. To gange radius for den omskrevne cirkel i en trekant er lig med længden af den ene side divideret med sinus til den modstående vinkel. Benyttes dette på trekant ABD og trekant BCD fås AB = R sin u og CD = R sin v. Dette giver som ønsket AB + CD = (R) (sin u+sin v) = 4R (sin u+cos u) = 4R. Opgave 1.5 Lad n 3, og lad n 1, n og n+1 være sidelængderne i en trekant. Den halve omkreds er da 3n. Ifølge Herons formel er arealet 3n ( 3n )( 3n )( 3n ) T n = n + 1 n n 1 = n 3 4 (n 4).

8 Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 8 For n = 4 er T = 6, så vi har mindst en trekant der opfylder betingelserne. Vi viser nu at vi ud fra en trekant der opfylder betingelserne, kan konstruere endnu en trekant med den ønskede egenskab og større sidelængde. Dette giver nemlig at der findes uendeligt mange. Lad n være et lige tal, n 4, og antag at 3 4 (n 4) er et kvadrattal. Betragt trekanten med sidelængderne m 1, m og m + 1 hvor m = n. Da er m > n, m er lige, og Dermed er 3 4 (m 4) = 3 4 (m )(m + ) = 3 4 (n 4)n. T m = m 3 4 (m 4) et helt tal. Der findes altså uendeligt mange trekanter med de ønskede egenskaber. Opgave 1.6 Ifølge cosinusrelationen er cos A + cos B + cos C = b + c a + a + c b + a + b c bc ac ab (a + b c)(a + c b)(b + c a) + abc = abc 8(s a)(s b)(s c) = + 1 abc = 8 T s 8RT + 1 Opgave 1.7 Bemærk først at = r R ab + 1 ac + 1 bc = a + b + c. abc Kald arealet af trekanten for T. Da er a+b+c = T r Vi har nu a + b + c = T abc r4rt = 1 rr. som ønsket. og abc = 4RT. Opgave 1.8 Hvis vi skal vise at radius i den omskrevne cirkel til trekant ABC er dobbelt så stor som radius i den omskrevne cirkel til trekant H a H b H c, svarer det ifølge formlen for radius i den omskrevne cirkel til at vise at H a H c sin( H a H b H c ) = c sin C. Vi ønsker derfor at finde udtryk for H a H c og H a H b H c som kun afhænger af sider og vinkler i trekant ABC. Det er kendt at AH c H a C er indskrivelig, og dermed er C = 180 AH c H a = H a H c B. Nu har trekant ABC og H a BH c to ens vinkler, dvs at de er ensvinklede. Ifølge sinusrelationen benyttet på trekant H a BH c er H a H c sin B = BH a sin C. Hvis vi benytter formlen for cosinus i den retvinklede trekant AH a B, får vi yderligere BH a = c cos B.

9 Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 9 Samlet giver dette H a H c = c cos B sin B sin C = c sin(b) sin C. Her har vi benyttet formlen for sinus til den dobbelte vinkel sin(b) = sin B cos B. På samme måde som ovenfor kan man vise at trekanterne ABC, AH b H c og H a H b C er ensvinklede, og dette giver at H c H b H a = 180 B. Samlet er H a H c = H ah c sin H a H b H c sin(b) = c sin C. Opgave.1 Kald røringscirklernes røringspunkter med siderne a, b og c for henholdsvis A 1, B 1 og C 1. Røringscirklen til siden a rører desuden linjen gennem A og B i et punkt vi kalder A B, og den rører linjen gennem A og C i et punkt vi kalder A C. Vi ved at AB + BA 1 = AB + AB 1 da de begge er den halve omkreds. Dette giver samlet at BA 1 = AB 1. På tilsvarende vis ses at AC 1 = CA 1 og BC 1 = CB 1. Om cevianerne gælder derfor at AB 1 CA 1 BC 1 B 1 C A 1 B C 1 A = 1, og Cevas sætning giver nu at de tre cevianer skærer hinanden i et punkt. Opgave. Lad s være den halve omkreds. Da ved vi at T = rs, samt fra Herons formel at T = s(s a)(s b)(s c). Betragt den ydre røringscirkel til siden a. Kald centrum for O og røringspunkterne mellem cirklen og linjerne AB, AC og BC for henholdsvis D, E og F. Det er kendt at AD = AE = s, og dermed at BF = BD = s c og CF = CE = s b. Nu er T = T ADO + T AEO T BDO T F BO T F CO T ECO = T = 1 sr sr 1 1 r 1(s c) 1 r 1(s c) 1 r 1(s b) 1 r 1(s b) T = r 1 (s (s c) (s b)) = r 1 (s a). Tilsvarende får man for de andre røringscirkler at T = r (s b) og T = r 3 (s c). Dette giver samlet T = T 4 T = rsr 1(s a)r (s b)r 3 (s c) = rr 1 r r 3. s(s a)(s b)(s c) Opgave 3.1 Først viser vi at hvis vi lader punkterne A, B og C være faste og lader cirklen variere, da vil også punktet P være fast: Betragt to forskellige cirkler C 1 og C som tangenterne fra P skærer i henholdsvis S 1, T 1 og S, T. De to cirklers radikalakse er linjen gennem deres fælles punkter B og C, dvs. A ligger på radikalaksen, og AS 1 = AT 1 = AS = AT er netop potensen af A mht. de to cirkler. Dermed ligger S 1, Q 1, S og Q på en cirkel med centrum i A. Lad Q være skæringspunktet mellem S 1 T 1 og S T. Vi vil vise at Q = P, for det betyder netop at P ligger fast uanset placeringen af cirklen. Ifølge sætningen om et punkts potens er potensen af Q mht. cirklen med centrum i A S 1 Q T 1 Q = S Q T Q. Men det viser netop at Q ligger på radikalaksen for de to cirkler C 1 og C, altså at Q ligger på linjen BC og dermed Q = P. Vi kan nu uden tab af generalitet antage at BC er diameter i opgavens oprindelige cirkel. Kald denne cirkels centrum for O og radius for r. Trekanterne ASO og SP O er ensvinklede da de begge er rette og yderligere har vinklen ved O til fælles. Dermed er OS AO = P O OS, og altså P O AO = OS = r. I alt er AP AO P O = = AO P O AO P C P O + r P O AO + r AO =

10 Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 10 AO r r + r AO = AO r r = AC BC. Opgave om Simsonlinjen 4.1 Firkant P CP P 1 er indskrivelig da begge diagonaler star vinkelret på en side, og dermed er CP 1 P = CP P. Firkant P P 1 BP 3 er indskrivelig da to modstående vinkler er rette, og dermed er BP 1 P 3 = BP P 3. Firkant P P AP 3 er indskrivelig da to modstående vinkler er rette, og da firkant ABP C pr. konstruktion er indskrivelig, er P 3 P P = 180 BAC = BP C. Af dette følger at BP P 3 = CP P, og samlet at CP 1 P = BP 1 P 3, dvs. at punkterne P 1, P og P 3 ligger på en ret linje. er også indskrivelig da to modstående vinkler er rette, dvs. at CNM = CEM. Alt dette giver samlet F AD = CNM = CEM = BEP = 1 BED = 1 BCD = 1 BAD. Hermed har vi vist at linjen l er vinkelhalveringslinje for vinkel BAD Opgave 4. Lad P, M og N være midtpunkterne af linjestykkerne CA, CF og CG. Da punkterne A, F og G ligger på linjen l, ligger P, M og N på en linje som er parallel med l. Da ABCD er et parallelogram, er P skæringspunktet mellem diagonalerne. Punktet E ligger på den omskrevne cirkel til trekant BCD, og da EF = EG = EC må projektionen af E på henholdsvis CD og BC være M og N. Projektionen af E på BD ligger ifølge sætningen om Simsonlinjen på linjen gennem M og N, dvs. at P er projektionen af E på BD. Da firkant BCED er indskrivelig, er DBE = DCE, hvilket giver at trekant BEP og trekant CEM er ensvinklede, dvs. at P EB = MEC. Firkant CMEN

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Geometri - Teori og opgaveløsning

Geometri - Teori og opgaveløsning Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Geometri Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden. Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Om ensvinklede og ligedannede trekanter

Om ensvinklede og ligedannede trekanter Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Elevark Niveau 2 - Side 1

Elevark Niveau 2 - Side 1 Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b. Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Svar på opgave 337 (Februar 2017) ny version d. 21/3-2017

Svar på opgave 337 (Februar 2017) ny version d. 21/3-2017 Svar på opgave 337 (Februar 07) ny version d. /3-07 I nedenstående besvarelse er der problemer med manglende ^ (hat) over visse vektorer. Evt. papirkopi kan rekvireres hos Jens Carstensen. Opgave: I ABC

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

Baltic Way opgavesæt Sorø 2005 Løsninger

Baltic Way opgavesæt Sorø 2005 Løsninger Baltic Way opgavesæt Sorø 005 Løsninger 1. Lad r > 1 være et reelt tal og lad a n være givet ved a n = 1 ( r n 1 ) n r n for n 1. Bevis at a n+1 > a n for alle n 1. Løsning: Vi har følgende serie af biimplikationer:

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsninger til opgaver i Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder

Læs mere

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Svar på sommeropgave (2019)

Svar på sommeropgave (2019) Svar på sommeropgave (9) Opgave: I B er O centrum for den omskrevne cirkel og DE er en korde parallel med. En cirkel med centrum O gerer DE, B og den omskrevne cirkel, og en cirkel med centrum O gerer

Læs mere

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Blandede opgaver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Blandede opgaver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Blandede opgaver -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Marts 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse Blandede opgaver... Årsprøve. 08... 7 Årsprøve. 07... 9 Årsprøve. 06... Årsprøve. 04...

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles

Læs mere

Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021

Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021 Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021 Alle eksisterende ejendomme på følgende matrikler skal separatkloakeres Arninge 4c Ore By, Arninge 2016-2021 Arninge 4e Ore By, Arninge 2016-2021 Arninge 4f Ore By,

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Svar på opgave 270 (Maj 2010)

Svar på opgave 270 (Maj 2010) Svar på opgave 70 (Maj 00) Opgave: I parallelogrammet ABCD er E og F midtpunkter af AB og BC Linjerne DF og CE skærer hinanden i P Vis, at linjestykkerne PA, PB, PC og PD deler parallelogrammet i fire

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post

Læs mere

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Link Mål Kompetence mål: Modellering Færdighedsmål Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser Videns mål Eleven har viden om

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere