Konverterbare Realkreditobligationer

Transkript

1 Konverterbare Realkreditobligationer Niels Rom-Poulsen Danske Markets, Kvantitativ Analyse Konverterbare Realkreditobligationer p. 1/20

2 Kurs-rente grafer BND MBS PV PV Parallel Shift Parallel Shift Konverterbare Realkreditobligationer p. 2/20

3 Følsomheds grafer - BPV og konveksitet BPV 4 3 konveksitet Parallel Shift Parallel Shift Konverterbare Realkreditobligationer p. 3/20

4 Hvorfor dette udseende? Når renten falder vil låntagerne konvertere deres lån Dvs. de indfrier dem til kurs 100 selvom kursen>100 Låntagerne konverterer ikke samtidigt, men i takt med at renten falder stiger omfanget af konverteringerne Er kursen<100 er der ingen konverteringer. Indfrielser sker ved opkøb af obligationerne For lave renter vil MBS-kursen derfor bøje over par Præcist hvor afhænger af størrelser som burn-out og debitorfordelingen For høje renter ligger kursen tæt på den tilsvarende inkonverterbare obligation Konverterbare Realkreditobligationer p. 4/20

5 Rentefølsomhed - BPV BPV er den 1. afledte af MBS-kursen mht. renten For høje renter er MBS-BPV tæt på BPV-BND Når renterne falder stiger konverteringerne - betalinger flyttes fra fremtiden til nutiden Derfor falder BPV når renterne falder Ved ekstremt store rentefald vil alle konvertere og MBS bliver et pengemarkedspapir => BPV stabil tæt på 0 Ved store rentefald (høje konverteringer) kan observeres negativ BPV. Årsagen er, at svagt stigende renter medfører et fald i konverteringerne hvilket i nogle situationer mere end udligner den Konverterbare Realkreditobligationer p. 5/20

6 Rentefølsomhed - Konveksitet Konveksitet er den 2. afledte af MBS-kursen mht. renten Siger noget om krumningen på Kurs-rente grafen For MBS der nærmer sig par vil konveksiteten være negativ Et kursfald for en given rentestigning er større end kursstigningen ved et tilsvarende rentefald Skyldes at optionselementet får højere værdi tættere på par Karakteristisk for konverterbare obligationer For MBS langt fra par vil konveksiteten blive positiv Konverterbare Realkreditobligationer p. 6/20

7 Hvordan modelleres dette? Alle låntagere opfører sig rationelt => P MBS = P BND P OPT Maksimale kurs er lig med strike - modsiges af kursbevægelser Indfør heterogenitet Inddel låntagerne i grupper med forskellige omkostninger og minimer hver gruppes låneomkostninger - en udgave af den rationelle tilgang Modeller konverteringerne(cpr) direkte som en funktion af størrelser som konverteringsgevinst, løbetid osv. Estimer CPR-funktionen på baggrund af markedsdata Konverterbare Realkreditobligationer p. 7/20

8 Skitse af en prepaymentmodel Gevinsten defineres som nutidsværdibesparelsen efter skat og omk. Kritisk element: refinansieringsrenten kendes ikke i fremtiden Løsning: brug fremtidig swaprente eller nk-rente + konstant Gevinstkravet følger en given parametrisk fordeling, hvis parametre kan være bestemt af lånespecifikke størrelser samt evt. pool factors Konverterbare Realkreditobligationer p. 8/20

9 Prepaymentmodeller I - gevinstkravsmodeller Beregn konverteringsgevinst, g, under hensyntagen til refinasieringsalternativ, omk. og skat Gevinstkravet, µ, varierer over låntagere i henhold til en given fordeling På den måde undgår vi at alle indfrier på samme tid. Modellens estimat på prepaymentprocenten er givet ved λ(p(t,t)) = Prob(µ < g) betinget af kendte størrelser på tidspunkt t Eksempelvis lånestørrelse, lånets restløbetid samt burnout (giver stiafhængighed) Prepaymentmodel for forskellige debitorgrupper Konverterbare Realkreditobligationer p. 9/20

10 Prepaymentmodeller II Ide med burnout: hvis der har været mange indfrielser, vil de tilbageværende låntagere være mindre tilbøjelige til at konvertere Nogle modeller checker at der ikke sker konverteringer under pari - svært i et Monte Carlo set-up Konverterbare Realkreditobligationer p. 10/20

11 Prepaymentmodeller - eksempler Lad Φ være den kumulative normalfordeling ( [0, 1]) ( c ) r(n,s) f(r(n,s),c,ǫ,β) = Φ ǫ β ) f(r(n,s),µ,σ) = Φ( g(n,s) µ, hvor g(n,s) kunne være σ givet ved 1 Bny (n,s) f( ) = Φ B gl. (n,s) ( (c r)kén 1 j=1 (1 λ j) ǫ β f( ) = Φ (β 1 g(n,s) f(poolfactor) + β ) 2 + β 5 TTM) med f(poolfactor) = Φ( ln(poolfactor) β3 β 4 ) Konverterbare Realkreditobligationer p. 11/20

12 Generel prisfastsættelse af MBS b n = P 0 = n 1 (1 λ j ) j=1 } {{ } tilbageværende lån N PV (b n ) n=1 PV (b n ) = E Q 0 [ exp ( tn 0 λ n H n } {{ } cpr i n + (1 λ n )o n } {{ } ordinær afdrag + i n }{{} rentebetaling } {{ } samlet betaling fra MBS en i t n ) ] r s ds b n Konverterbare Realkreditobligationer p. 12/20

13 Notation - træløsning (n,s) : Tilstand s på tidspunkt t n λ(n,s) : CPR i tilstanden (n,s) b(n, s) : Betalingen fra aktivet i tilstanden (n, s) o(n) : Ordinær udtrækning på tidspunkt n i(n) : Rentebetaling på tidspunkt n P(n, s) : Prisen på konverterbar obligation i tilstanden(n, s) B gl (n,s) : Værdien af det nuværende låns inkonverterbare betalingsrække i tilstanden (n, s) B ny (n,s) : Værdien af et nyt låns inkonverterbare betalingsrække i tilstanden (n, s) Vi skal beregne P(0, 0) Konverterbare Realkreditobligationer p. 13/20

14 Prisfastsættelse af inkonverterbare obligationer b(n,s) = o(n) + i(n) uafhængig af tilstanden s 1: P(N,s) = b(n,s), s = 0,...,N + 1 2: for (n = N 1 to 0) do 3: for (s = 0 to n) do 4: P(n,s) = b(n,s) : end for 6: end for P(n+1,s+1)+P(n+1,s) 1+r(n,s) Konverterbare Realkreditobligationer p. 14/20

15 Prisfastsættelse af konverterbare obligationer - optimal adfærd I b(n,s) = λ(n,s)h(n) + (1 λ(n,s))o(n) + i(n) λ(n,s) = { 1 Hvis konvertering 0 ellers b(n,s) = { H(n) + i(n) Hvis konvertering o(n) + i(n) ellers Konverterbare Realkreditobligationer p. 15/20

16 Prisfastsættelse af konverterbare obligationer - optimal adfærd II 1: P(N,s) = b(n,s), s = 0,...,N + 1 2: for (n = N 1 to 0) do 3: for (s = 0 to n) do 4: if (Konvertering) then 5: P(n,s) = H(n) + i(n) 6: else 7: P(n,s) = o(n) + i(n) : end if 9: end for 10: end for P(n+1,s+1)+P(n+1,s) 1+r(n,s) Konverterbare Realkreditobligationer p. 16/20

17 Prisfastsættelse af konverterbare obligationer - optimal adfærd III Det er i beslutningen om konvertering, at konverteringsomkostningerne indgår Hvis samme konverteringsomkostninger => alle konverterer på samme tid Konverteringsbeslutning: B gl (n,s) + omk. > B ny (n,s), hvor B(n, s) er værdien af det inkonverterbare cash flow Konverterbare Realkreditobligationer p. 17/20

18 Prisfastsættelse af konverterbare obligationer - heterogene debitorer I b(n,s) = λ(n,s)h(n) + (1 λ(n,s))o(n) + i(n) λ(n,s) = f(r(n,s),x) 1: P(N,s) = b(n,s), s = 0,...,N + 1 2: for (n = N 1 to 0) do 3: for (s = 0 to n) do 4: P(n,s) = b(n,s) + (1 λ(n,s)) 1 2 5: end for 6: end for P(n+1,s+1)+P(n+1,s) 1+r(n,s) Konverterbare Realkreditobligationer p. 18/20

19 Når man ikke rammer markedkursen Ved nøgletalsberegninger er det essentielt at man kan ramme markedskursen (se kurs-rente grafen) Derfor indføres en obligationsspecific parameter OAS, som er et konstant tillæg til rentekurven bestemt således at teoretisk kurs=markedskurs Implikationen er at betalinger fra forskellige MBS diskonteres forskelligt OAS fanger alt det man ikke fanger med prepaymentmodellen Konverterbare Realkreditobligationer p. 19/20

20 OAS Isin Navn OAS Pool factor DK RD 4% DK RD 5% DK RD 6% DK RD 7% DK RD 8% Konverterbare Realkreditobligationer p. 20/20