Prisfastsættelse af konverterbare obligationer

Transkript

1 Prisfastsættelse af konverterbare obligationer H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave - efterår 2009 Opgaveløser: Mikkel H. Skovsgaard Jensen Vejleder: Niels Rom-Poulsen Opgave nr. E7 2. november 2009

2 Indhold 1 Indledning 1 2 Problemformulering 1 3 Annuitetslån Amortisering af annuitetslån Effektiv rente Obligationslån Kontantlån Konverterbare obligationer Konvertering Omlægning Konverteringsoption Nulkuponrenter 19 6 Rentestrukturmodel BDT-modellen Arrow-Debreu Forward algoritmen Volatilitetsstruktur Beregning af volatiliteten Konverteringsmodellen 34 i

3 8.1 Den amerikanske optionsmodel Gevinstkravsmodellen Konverteringsgevinst Poolfaktor Restløbetid Datagrundlaget Konverteringsraten Konverteringsmodel med debitorer Implementering og resultater Konverteringsgevinst Konverteringsfunktion Prisfastsættelsen De forklarende variable Restløbetiden Poolfaktoren Konverteringsgevinsten Beregning af prisen Implementering og resultater Konklusion 71 A Programmeringskode (VBA) 76 ii

4 Figurer 1 Andelen af renter og afdrag på en 120 terminers annuitet En illustration af sammenhængen mellem kursen på en inkonverterbarog en konverterbar obligation som funktion af den effektive rente for den inkonverterbare obligation Markedskurser for en stats- og konverterbar obligation som funktion af den effektive rente for statsobligationen. Inspiration til figuren er hentet fra [Ras99] Binomialgitter som illustrerer notationen for knudepunkterne To eksempler på rentevolatilitet: a) Lav volatilitet. b) Høj volatilitet Den implicitte volatilitet på swaptioner tilpasset funktionen i ligning Den implicitte volatilitet på swaptioner fra Danske Analytics Den gennemsnitlige lange obligationsrente for realkreditobligationer i danske kroner. Kilde: Realkreditrådet Konverteringsraten (CPR) som funktion af terminerne for de 10 udvalgte obligationer Fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen, som angiver sandsynligheden svarende til en fraktil Konverteringsraten som funktion af konverteringsgevinsten Den faktiske konverteringsrate som funktion af den estimerede konverteringsrate Den faktiske- og den estimerede konverteringsrate som funktion af tiden iii

5 Tabeller 1 Amortisering af obligationslån og kontantlån Konverteringsmodellen er baseret på disse 10 obligationer De tre forklarende variable, konverteringsgevinsten, poolfaktoren og restløbetiden som indgår i konverteringsfunktionen, der skal estimere et skøn på konverteringsraten (CPR) Restgælden opdelt på debitorniveau til brug for beregning af konverteringsraterne for de to debitorgrupper Beta-værdierne for konverteringsfunktionen uden opdeling på debitorgrupper Beta-værdierne for konverteringsfunktionen med opdeling på debitorgrupper Teoretiske priser og markedspriser på de 10 udvalgte konverterbare obligationer, hvor afvigelsen angiver forskellen mellem markedsprisen og den pågældende teoretiske pris iv

6 2 PROBLEMFORMULERING 1 Indledning Interessen for fastforrentede lån er de seneste år faldet markant i takt med, at den korte rente er faldet til et historisk lavt niveau. Senest satte National Banken udlånsrenten ned til 1,25% p.a. Mens 6 ud af 10 låntagere i 3. kvartal 2008 valgte et fastforrentet lån, foretrak kun 1 ud af 10 låntagere i 2. kvartal 2009 denne lånetype. Den seneste tendens viser, at 2 ud af 10 låntagere vælger fastforrentet i 3. kvartal 2009 [Rea09c]. Renten på fastforrentede konverterbare realkreditobligationer har ikke fulgt samme tendens, hvilket naturligvis hænger sammen med denne lånetypes lange løbetid. Muligheden for en langt lavere ydelse på rentetilpasningslån har derfor resulteret i det store antal rentetilpasningslån. Udtalelserne fra økonomerne om at renterne muligvis vil begynde at stige til næste år (2010), har fået lidt flere låntagere end sidste kvartal til at vælge et fastforrentet lån. Der kommer flere og flere lånetyper på markedet, men i en situation hvor man står overfor stigende renter, vil efterspørgslen på lånetyper med en fast rente eller et loft over renten formentlig stige. Det er derfor sandsynligt, at man kan forvente en stigende interesse for de fastforrentede konverterbare realkreditobligationer igen. 2 Problemformulering Kursen på konverterbare obligationer følger ikke den normale kurs/rente sammenhæng, da en konverterbar obligation både består af en inkonverterbar obligation og en konverteringsoption. Konverteringsoptionen giver låntageren ret til at førtidsindfri sit lån til kurs 100. Låntager udnytter typisk denne option, såfremt der er mulighed for at konvertere til et lån med en lavere ydelse. Dette gør prisfastsættelsen kompliceret og skaber et behov for en konverteringsmodel, der kan beskrive låntagers konverteringsadfærd. For at prisfastsætte en konverterbar obligation kræves yderligere en model, som tager højde for konverteringsoptionen. Her benyttes en implementation af binomialmodellen (BDT-modellen), der kan kalibrere en rentestruktur til den gældende 1

7 2 PROBLEMFORMULERING nulkuponrente- og volatilitetsstruktur. Udover de financielle udfordringer indebærer prisfastsættelsen af konverterbare obligationer også programmeringsmæssige udfordringer. På grund af den lange løbetid på denne type obligationer vil beregningsarbejdet være en uoverkommelig opgave, såfremt dette skulle udføres manuelt. På baggrund af ovenstående beskrivelse vil jeg besvare følgende spørgsmål: Hvordan konstrueres en model til at prisfastsættes fastforrentede, konverterbare realkreditobligation i praksis? Hvor anvendelig er denne model i praksis? 2

8 3 ANNUITETSLÅN 3 Annuitetslån En obligation er et lån med en bestemt ydelsesprofil. Der findes grundlæggende tre forskellige lånetyper og afdragsformer [Chr05b]: Serielån Ståendelån Annuitetslån Da hovedparten af konverterbare realkreditobligationer er annuitetslån, vil kun denne lånetype blive beskrevet her. En annuitet er en betegnelse for en lånetype med konstant ydelse 1 hver termin i lånets løbetid. Ydelsen består af renter og ordinære afdrag på restgælden. Når låntager betaler afdrag, får investor udtrukket et tilsvarende antal obligationer. Et annuitetslån er karakteriseret ved at rentebetalingen er aftagende i lånets løbetid, mens afdraget stiger tilsvarende. Figur 1 viser et eksempel på ydelsesprofilen for en 30 årig annuitet med fire årlige terminer og en kupon på 5%. Det ses at rentebetalingerne (det hvide areal) i begyndelsen udgør ca. 80% af ydelsen og langsomt aftager mod udløb. Afdraget udgør derfor i begyndelsen ca. 20% af ydelsen og stiger mod udløb. Renten og antallet af terminer er afgørende for ydelsesprofilen. Havde kuponen f.eks. været højere, ville andelen af renter udgøre mere end 80% og have en stejlere hældning hen imod udløb. Renterne bliver beregnet på baggrund af restgælden, hvilket betyder at rentebeløbet reduceres i takt med, at der bliver afdraget på restgælden. På grund af den lange løbetid på et realkreditlån (typisk 30 år) består hovedparten af ydelsen i begyndelsen af renter. Da ydelsen typisk udgør en stor andel af låntagers indkomst, er det skattemæssigt afgørende at opnå et så stort rentefradrag i begyndelsen af 1 Realkreditinstitutterne benytter faste terminsdatoer. Hvis et annuitetslån ikke oprettes på disse datoer vil den første og sidste termin være såkaldte skæve terminer. Realkreditinstituttet justerer terminsydelsen herfor. 3

9 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN Y d e l s e Terminer Figur 1: Andelen af renter og afdrag på en 120 terminers annuitet. låneforløbet som muligt. Denne lånetype giver låntager de største nettorenteudgifter, som er fradragsberettigede og giver dermed låntager det største disponible beløb efter skat. I takt med at andelen af renter falder, reduceres rentefradraget og påvirker låntagers disponible beløb efter skat. Til gengæld bliver låntagers indkomst løbende justeret for inflation, hvorfor indkomsten med tiden bliver relativt større i forhold til den konstante ydelse. 3.1 Amortisering af annuitetslån Et annuitetslån består af en række ydelser. Som nævnt i forrige afsnit er ydelserne lige store, mens rentebetalingerne falder og afdragene stiger med løbetiden. Dette afsnit opstiller ligningerne og giver et eksempel på, hvordan et annuitetslån amortiseres (afvikling af lånet): Eftersom ydelsen er sammensat af renter og afdrag, må følgende ligninger gælde: 4

10 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN Y = R t + Z t (3.1) R t = R RG t 1 (3.2) Z t = Y R RG t 1 (3.3) RG t = RG t 1 Z t (3.4), hvor Y er den konstante ydelse pr. termin, R t er rentebetalingen til tid t, R er obligationens pålydende rente, Z t er afdraget til tid t og RG t er restgælden til tid t. Ligning 3.1 viser ydelsen beregnet som summen af rente og afdrag til tid t. Ligning 3.2 er renten til tid t, beregnet som den pålydende rente af restgælden til tid t 1. Ligning 3.3 er afdraget til tid t beregnet som ydelsen fratrukket renten til tid t 1. Endelig viser ligning 3.4, hvordan restgælden til tid t beregnes som restgælden til tid t 1 fratrukket afdraget til tid t. Dette ligningssystem gentages for alle terminer i løbetiden. Den sidste termin skal nedbringe restgælden til 0 og summen af afdrag skal således svare til hovedstolen. Ydelsen pr. termin, Y, for en annuitet kan bestemmes udfra følgende ligning: RG 0 = n j=1 Y (1 + R) j (3.5), hvor RG 0 er restgælden til tid 0, R er den årlige effektive rente (se afsnit 3.1.1), n er antal terminer og (1 + R) j er diskonteringsfaktoren. Da hovedstolen for en annuitet er 100, svarer den effektive rente til den pålydende rente. Restgælden er derfor summen af ydelser tilbagediskonteret med den pålydende rente. Ydelsen findes numerisk ved at lade Solveren i Excel finde den ydelse som løser ligningen. Ydelsen kan også findes direkte ved hjælp af følgende lukkede formel: R Y = RG 0 1 (1 + R) n (3.6), hvor R er obligationens pålydende rente, og n er tiden til udløb angivet i år. Hvis 5

11 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN obligationen har kvartårlige terminer, skal den pålydende rente divideres med fire og løbetiden skal angives i antal kvartaler Effektiv rente Den effektive rente er et udtryk for investors afkast på obligationen. Den effektive rente kan opfattes som den gennemsnitsrente, som tilbagediskonterer alle fremtidige ydelser og giver nutidsværdien. Ydelsen modtager investor, og det antages, at den kan geninvesteres til den effektive rente. For at kunne beregne den effektive rente, skal man kende den pålydende rente, antal terminer pr. år, samt den kurs obligationen blev købt til, svarende til bogført værdi. Den effektive rente består derfor af to komponenter - rente og kursregulering. Rentekomponenten kaldes for den direkte rente og udtrykker kuponen i forhold til bogført værdi. Køber investor f.eks. en 5% stående obligation til kurs 98, som udløber til kurs 100 om ét år, er den direkte rente 5%/ = 5,10%. Kursreguleringen udgør forskellen mellem udløbskursen og købskursen, dvs = 2. I forhold til det investerede beløb er afkastet på kursreguleringen (100 98)/98 = 2,04%. I alt bliver den effektive rente derfor 5,10% + 2,04% = 7,14% [Chr05b]. Ved kurs 100 er den effektive rente lig med den pålydende rente. Dvs. at den effektive rente svarer til den direkte rente, da kursreguleringen er 0. Overstiger den effektive rente den pålydende rente, vil kursen være under 100. Er den effektive rente derimod lavere end den pålydende rente vil kursen være over 100. Dette forhold skyldes diskonteringseffektens påvirkning af de fremtidige betalinger. Beregningen ser anderledes ud, hvis der er tale om en obligation med flere terminer. I så fald findes den effektive rente som den rente, der løser ligning 3.5. Ligningen kan løses numerisk, f.eks. ved hjælp af Solveren i Excel. Ønsker man yderligere en opdeling på direkte rente og kursregulering, kan afkastet på kursreguleringen findes ved hjælp af 3.5 og Solveren, hvorefter dette resultat trækkes fra den effektive rente for at finde den direkte rente. Det skal bemærkes, at den effektive rente antager, at rentekurven er flad, således investor kan genplacere til samme rente, som der oprindelig blev investeret til. 6

12 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN Derudover skal betalingsrækken være kendt, hvilket ikke er tilfældet med konverterbare obligationer, som påvirkes af låntagers ret til at indfri til kurs 100 (se afsnit 4) Obligationslån Realkreditlån optages som obligationslån eller som kontantlån (se afsnit 3.1.3). Det som karakteriserer et obligationslån er, at ydelsen og hovedstolen fastsættes ved, at realkreditinstituttet udsteder obligationerne til låntager til gengæld for pantebrevet. Låntager kan nu sælge obligationerne og forpligter sig til at tilbagebetale investor 100 kr. pr. stk. Det er derfor afgørende, at kurstabet er så lille som mulig, da kursen svarer til det låneprovenu som låntager får udbetalt 2. Hvis kursen er over 100, kan låntager lave overkurs arbitrage, hvilket vil sige at låntager omgående kan opsige lånet til kurs 100. På den måde kan låntager tjene forskellen mellem udstedelseskursen og kurs 100, som en arbitragegevinst [Sve99]. Hovedstolen svarer til den nominelle beholdning obligationer, som bliver solgt, og renten svarer til kuponerne på disse obligationer. Da ydelsen bliver beregnet på baggrund af hovedstolen og den pålydende rente, kan ydelsen enten bestemmes med den lukkede formel i ligning 3.6 eller numerisk med ligning 3.5. Låneprovenuet kendes som nævnt først, når obligationerne er solgt. Det har naturligvis den ulempe, at kursen kan nå at falde i perioden fra udstedelsen til obligationerne bliver solgt. Derfor risikerer låntager at stå med et mindre låneprovenu end nødvendigt. Denne opgørelsesmetode kaldes for obligationssiden. På side 8 er givet et eksempel på amortiseringen af en annuitet som obligationslån Kontantlån Et kontantlån er karakteriseret ved, at låneprovenuet (kontantlånshovedstolen) fastsættes med det samme, hvorefter mængden af obligationer, der bliver solgt, tilpasses låneprovenuet. Kontantlån eksisterer derfor kun på debitorsiden, mens 2 I virkeligheden er det dog realkreditinstituttet, som står for salget af obligationerne [Chr05a]. 7

13 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN kreditor kun ser obligationssiden. Låneprovenuet, X, er kursværdien, som er den restgæld, der beregnes rente af. Låneprovenuet fås ved at udstede obligationer til kurs k 0. I alt skal der udstedes obligationer for nominelt k X 0 for at opnå det fastsatte låneprovenu [Bec06a]. Ydelsen er den samme som på obligationssiden. Kontantlånsrenten findes nu som den rente, der tilbagediskonterer ydelserne og resulterer i en nutidsværdi svarende til låneprovenuet. Ligning 3.5 kan benyttes til at finde kontantlånsrenten, som svarer til den effektive rente, R. Denne opgørelsesmetode kaldes for kontantsiden. Som regel vil den effektive rente være højere end kuponrenten, da obligationerne udstedes til en kurs under 100 således at overkurs arbitrage (se afsnit 4) undgås. Den højere rente resulterer i større rentebetalinger på kontantlånet, da renten bliver beregnet på baggrund af den effektive rente. Der gælder, at desto større kurstab og dermed effektiv rente, desto større rentebetalinger. Dette skyldes, at kurstabet bliver omdannet til renter, som er fradragsberettigede for låntager. Isoleret set er dette naturligvis en fordel for låntager, og gør kontantlånet til det billigste lån. Til gengæld betød en ændring i skattelovgivningen i 1996, at kursgevinster er skattepligtige, hvis låntager førtidsindfrier sit lån [Bol09], sålænge det ikke er i forbindelse med et salg. Der er tale om en kursgevinst, hvis obligationerne kan købes tilbage til en lavere kurs end udbetalingskursen. Lovændringen har derfor gjort kontantlån uinteressante i forbindelse med opkonvertering (se afsnit 4.2). Set med investors øjne gælder det om at få så store kursgevinster som muligt, da disse er skattefri for nogle investorers vedkommende [Bec06a]. Eksempel: Formålet med dette eksempel er at vise forskellen på amortiseringen af en annuitet som et obligationslån og et kontantlån. I eksemplet vises en låntager som ønsker at optage et kontantlån på kr. finansieret ved udstedelse af 4 årige 5% annuitetsobligationer med helårlige terminer. Kursen er 98. Obligationssiden: Nominel hovedstol = =

14 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN Y = % Y = (1 + 5%) 4 R 1 = 5% R 1 = Z 1 = Z 1 = Kontantsiden: Ved hjælp af Solveren løses ligning 3.5 for den effektive rente, R: = (1 + R) j R = 5,875% j=1 R 1 = 5,875% R 1 = Z 1 = Z 1 = Obligationssiden Kontantsiden Tid Ydelse Rente Afdrag Restgæld Rente Afdrag Restgæld Sum Tabel 1: Amortisering af obligationslån og kontantlån. Tabel 1 viser amortiseringen af et obligationslån (obligationssiden) og et kontantlån (kontantsiden). Hovedstolen på obligationssiden svarer til den nominelle hovedstol, mens hovedstolen på kontantsiden svarer til låneprovenuet. Som det 9

15 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN fremgår er ydelsen identisk, uanset om der er tale om et obligationslån eller et kontantlån. Derimod er andelen af renter og afdrag ikke identiske. Fordelen ved kontantlånet er som nævnt under afsnit 3.1.3, at rentefradraget bedre kan udnyttes. Dette sker ved at låntager får vekslet nogle ikke fradragsberettigede afdrag til fradragsberettigede renter på grund af den højere kontantlånsrente [Bec06a]. Dette større rentefradrag giver dermed et større disponibelt beløb efter skat. 10

16 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER 4 Konverterbare obligationer Kursen på en fastforrentet inkonverterbar realkreditobligation 3 er bestemt udfra renterne i markedet. Desto lavere markedsrenter, desto højere vil kursen og dermed restgælden være. Den omvendte sammenhæng gør sig naturligvis også gældende. Ulempen ved et inkonverterbart lån er derfor usikkerheden omkring restgælden. Til gengæld er der sikkerhed omkring ydelsen, som er fast. Endvidere vil kursen på en inkonverterbar obligation være højere end på en konverterbar obligation med samme kupon (se afsnit 4.3). Den højere kurs har betydning for den nominelle restgæld, når der skal udstedes obligationer for at skaffe et låneprovenu. I perioder med lave markedsrenter er det billigt at låne penge. Den billige finansiering kan stimulere priserne på boligmarkedet til at stige. Da en inkonverterbar obligation ikke indeholder nogen garanti for, hvor meget restgælden kan stige, kan låntager (boligejeren) risikere, at restgælden overstiger markedsværdien på boligen. Såfremt låntager ikke ønsker at påtage sig denne risiko, kan han/hun vælge en konverterbar obligation. En konverterbar obligation har en indbygget restgældsgaranti. Denne type obligation har integreret en konverteringsoption (se afsnit 4.3), som giver låntager ret til at indfri (opsige) sit obligationslån til kurs 100 til førstkommende termin 4, hvis kursen er over 100. Restgælden kan med andre ord aldrig overstige kurs 100. Denne option er naturligvis ikke relevant, såfremt låntager holder sit lån til udløb. Ønsker låntager at indfri sit lån når kursen er under 100, straksindfrier låntager sit lån ved at købe obligationerne til markedskursen. Fordelen ved konverterbare obligationer er derfor, at sætte en begrænsning på størrelsen af restgælden. Dette kan være en stor fordel for låntager, da en salgssituation kan opstå uventet. Ulemperne ved en konverterbar obligation er dog følgende: Lavere markedskurs i forhold til inkonverterbare obligationer, da låntager 3 Med få undtagelser er alle realkreditobligationer konverterbare [Chr05a]. 4 Den sidste opsigelsesdato til kurs 100 er sidste hverdag to måneder før termin [Rea09a]. 11

17 4.1 Konvertering 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER også skal betale for konverteringsoptionen (dette vil blive beskrevet nedenfor). Låntager skal til hver opsigelsesdato overveje om det er en fordel at konvertere (se afsnit 4.1 og 4.2), hvilket koster ressourcer. På grund af større relative omkostninger er små låntagere langsommere til at konvertere end store låntagere, viser erfaringerne. Derfor er obligationsserier med små låntagere mere efterspurgte, hvilket bidrager positivt til kursen. I serier med både små og store låntagere sælges obligationerne til en gennemsnitspris, hvilket begunstiger de store låntagere på bekostning af de små [Bec06b]. Konverteringsoption koster en præmie, som afspejles i kursen. Dette skyldes, at investor er eksponeret overfor en kursrisiko. I tilfælde af at låntager konverterer, når kursen er over 100, bliver obligationerne udtrukket til kurs 100 og investor taber forskellen mellem markedskursen og kurs 100. Denne type afdrag kaldes for et ekstraordinært afdrag. En konverterbar obligation skaber derfor usikkerhed omkring de fremtidige betalingsrækker, hvilket påvirker den effektive rente (se afsnit 3.1.1). Dette kræver investor en præmie for. Derudover er investor eksponeret overfor en geninvesteringsrisiko, da det udtrukne beløb skal refinansieres i et marked med lavere renter. Såfremt der ikke er tale om et ekstraordinært udtræk, skal investor kun refinansiere det ordinære udtræk hver termin. 4.1 Konvertering Den årlige rente på et obligationslån er obligationens kupon af den nominelle hovedstol på 100 kr. Alt andet lige vil en højere kupon derfor give en højere ydelse. Da låntager naturligvis er interesseret i at betale så lidt i rente som muligt, er formålet med at konvertere derfor at opnå en lavere rentebetaling og dermed en lavere ydelse. Ved en konvertering indfris det eksisterende lån derfor med henblik på at optage et nyt lån med lavere kupon. Af den grund bliver denne form for konvertering populært kaldt for nedkonvertering. 12

18 4.2 Omlægning 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER I en periode med faldende renter vil obligationskurserne stige. Dette kan betyde, at en obligation med lavere kupon går hen og bliver attraktiv i forbindelse med konvertering, da kursen bevæger sig op i nærheden af 100. Kurstabet skal være så lille som muligt På grund af konverteringsoptionen vil restgælden være næsten uændret, idet låntager indfrier sit gamle lån til kurs 100 og optager et nyt lån til en kurs lige under 100. Når låntager optager et nyt lån, skal der udstedes et antal obligationer, som gør låntager i stand til at indfri det gamle lån. Da kursen på det nye lån som regel er under 100, vil låntager skulle udstede en nominel værdi der er større end den nominelle værdi for det gamle lån. Dette skyldes at der skal udstedes 100/kurs antal obligationer for at få et låneprovenu på 100 kr. Der er en sammenhæng mellem høj kupon og stor konverteringsaktivitet, idet sandsynligheden for at renterne i markedet er lavere end kuponen på obligationslånet er større end for et obligationslån med en lavere kupon. De højtforrentede lån bliver derfor konverteret først [Chr05b]. 4.2 Omlægning I en periode med stigende renter vil obligationskurserne falde, hvilket åbner muligheden for at låntager kan lægge sit lån om til en obligation med en højere pålydende rente. Derfor bliver denne type omlægning også kaldt for opkonvertering. Kursen på det gamle lån er derfor faldet, og restgælden kan købes billigt tilbage. Dette foregår ved at optage et nyt lån i en obligation med en højere pålydende rente. Til gengæld for den mindre restgæld stiger ydelsen som regel på grund af den højere pålydende rente. Incitamentet til omlægningen er derfor at nedkonvertere på et senere tidspunkt og dermed betale en lavere ydelse af en lavere restgæld. For at dette kan lade sig gøre, kræver det at renterne falder tilstrækkeligt til, at en nedkonvertering kan foretages. Sker dette ikke, hænger låntager på den højere ydelse i resten af løbetiden og summen af betalte ydelser kan ende med at være større, end hvis låntager aldrig havde opkonverteret. 13

19 4.3 Konverteringsoption 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER Denne form for låneomlægning er derfor af mere spekulativ karakter end nedkonvertering. Der er en række kriterier som skal være opfyldt, for at det overhovedet kan betale sig at opkonvertere. Bl.a. skal kursen på det gamle lån være så høj som mulig, da det blev oprettet. Der skal minimum være et givent antal kurspoint mellem det nye og gamle lån. Restgælden på det gamle lån skal have en hvis størrelse. Løbetiden skal minimum have en hvis længde. Både konverteringer og omlægninger resulterer derfor i, at restgæld bliver indfriet før tid, hvilket også bliver kaldt for ekstraordinære udtrækninger. 4.3 Konverteringsoption Når investor køber en konverterbar obligation svarer, det til at købe en inkonverterbar obligation og sælge en amerikansk call option på den inkonverterbare obligation. Når en call optionen sælges, modtager sælger den præmie som køber betaler. Det forklarer, hvorfor kursen er lavere på en konverterbar obligation end en inkonverterbar obligation. Det er call optionen, som hver termin giver låntager ret til at købe de udstedte obligationer tilbage til kurs 100 før udløb. Mere præcist er optionen en Bermuda option, idet den kan udnyttes (excercises) før udløb af obligationen, men kun på fire fastlagte tidspunkter om året. Der gælder følgende sammenhæng for kursen på den konverterbare obligation: K konverterbar = K inkonverterbar P c (4.1), hvor P c er prisen på call optionen og dermed konverteringspræmien [Bec06b]. Isoleres P c i denne ligningen ses, at konverteringspræmien er lig med forskellen mellem kursen på den inkonverterbare obligation og den konverterbare obligation. Kursen på den konverterbare obligation fås nu ved at finde kursen på den inkonverterbare obligation fratrukket værdien af call optionen. Den samlede værdi af konverteringsoptionen består af summen af indre værdi og 14

20 4.3 Konverteringsoption 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER tidsværdi. For call optioner, som der er tale om, gælder at den indre værdi er den maksimale værdi af nul og den værdi optionen ville have, hvis den blev udnyttet nu. Dvs. forskellen mellem kursen (spotkursen), S, på det underliggende aktiv (den inkonverterbare obligation) og excercisekursen, X, dog minimum nul: Indre værdi af call option = max(s X, 0) (4.2) Som det fremgår af ligning 4.2, består værdien af konverteringsoptionen først af indre værdi, når spotkursen er større end excercisekursen. For optionen gælder, at desto højere spotkursen på den inkonverterbare obligation bliver i forhold til excercisekursen, desto større vil værdien af optionen blive. Tidsværdi er den værdi, som optionen tilskrives, fordi der er tid til udløb og spotkursen på det underliggende aktiv kan nå at stige. Det kan ofte betale sig at vente med at udnytte en amerikansk option, i stedet for at udnytte den med det samme [Hul06]. Det skyldes, at der er en sandsynlighed for at optionen ender in-themoney, dvs. at S > X. Derfor tilskrives optionen tidsværdi. Derudover resulterer en højere pålydende rente i en højere konverteringspræmie, idet kursforskellen mellem den konverterbare- og den inkonverterbare obligation vil være større ved lave renter. Endelig bidrager en højere rentevolatilitet også til en større værdi af optionen. På figur 2 ses en inkonverterbar- og en konverterbar obligation. Figuren viser den ovenfor beskrevne sammenhæng mellem kursen på hhv. den inkonverterbare- og den konverterbare obligation som funktion af den effektive rente på den inkonverterbare obligation. Det ses, at der er en betydelig kursforskel afhængig af renteniveauet. Ved en høj effektiv rente opfører den konverterbare obligation sig næsten som en inkonverterbar obligation, dvs. at kurserne følges pænt ad. Dette skyldes, at den indre værdi er nul og tidsværdien er meget lille, da sandsynligheden for at spotkursen vil blive større end excercisekursen er meget lille. I ligning 4.1 er konverteringspræmien, P c, derfor tæt på nul og udgør et næsten ubetydeligt led. Derfor 15

21 4.3 Konverteringsoption 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER K u r s Effektiv rente Figur 2: En illustration af sammenhængen mellem kursen på en inkonverterbar- og en konverterbar obligation som funktion af den effektive rente for den inkonverterbare obligation. er kursen på den konverterbare obligation stort set lig med kursen på den inkonverterbare obligation. Falder renten nu, således at kursen på den konverterbare obligation er lige under kurs 100, øges kursforskellen til den inkonverterbare obligation yderligere. Dette skyldes, at sandsynligheden stiger for at låntager udnytter sin konverteringsoption. Optionen har stadig ingen indre værdi, men tidsværdien stiger, da sandsynligheden for at spotkursen bliver større end excercisekursen er vokset. I ligning 4.1 tager investor nu en lidt større konverteringspræmie, hvilket bidrager til en lidt lavere kurs på den konverterbare obligation. På figur 2 ses, at kursen på den konverterbare obligation kan overstige kurs 100. Dette skyldes bl.a., at en konvertering er forbundet med konverteringsomkostninger 5, skatteeffekter og manglende rationalitet fra låntagers side. I den ideelle verden uden omkostninger, skatter og manglende rationalitet ville alle låntagere konvertere nu, idet kursen (nutidsværdien) lige akkurat kommer over 100. Årsagen er, at nutidsværdien af det gamle lån er større end nutidsværdien af det nye lån, 5 De vigtigste konverteringsomkostninger er faste omkostninger, bidrag til reservefond, stiftelsesprovision, stempelafgift og kurtage [Bec06b] 16

22 4.3 Konverteringsoption 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER som i denne opgave antages at være et kontantlån med en kontantlånshovedstol på 100. Dvs. at låntager kan opnå en lavere ydelse ved at konvertere. I en verden med omkostninger kan det ikke betale sig at konvertere til denne kurs. Dette skyldes, at ydelserne og dermed nutidsværdien på det nye lån ikke er tilstrækkelig lav, til at kunne opveje omkostningsbyrden. Markedsrenterne, og dermed den effektive rente, skal derfor falde yderligere. Derfor gælder der den sammenhæng, at desto større konverteringsomkostningerne er, desto højere skal kursen være, før låntager opnår en konverteringsgevinst og konverterer. Derfor kan kursen stige væsentligt over 100. Falder markedsrenterne yderligere, vil konverteringsgevinsten blive endnu større, men kursen på den konverterbare obligation vil falde. Dette skyldes, at sandsynligheden for konvertering er blevet så stor, at bidraget fra både indre værdi og tidsværdi nu er blevet så stor, at værdien af låntagers konverteringsoption overstiger kursstigningen på den inkonverterbare obligation. Set med investors øjne er tabet rykket endnu nærmere og nutidsværdien af tabet er faldet yderligere på grund af den faldende diskonteringsrente [Dah91]. Denne kurs/rente sammenhæng betyder, at den normale sammenhæng mellem faldende renter og stigende kurser ikke gælder for konverterbare obligationer. Investors incitament til at købe konverterbare obligationer er højere effektiv rente på grund af den lavere kurs. Både den direkte rente og afkastet på kursreguleringen er højere end på en inkonverterbar obligation med samme pålydende rente. For at kunne opnå denne effektive rente kræves, at obligationerne ikke bliver førtidsindfriet, hvilket ændrer på betalingsrækkerne. Investorer ser derfor helst at der ikke blive konverteret. Derfor er serier med små låntagere mere attraktive, som tidligere beskrevet. Figur 3 viser kurs/rente sammenhængen mellem en 4% statsobligation 2017 og en 5% konverterbar realkreditobligation 2032 for samme periode. Formålet med grafen er at vise et eksempel fra praksis på teorien beskrevet ovenfor. Af grafen fremgår, at kurs/rente sammenhængen for statsobligationen er en ret linie, hvor kursen stiger ved faldende renter. Kurs/rente sammenhængen for den konverterbare obligation er en nogenlunde ret linie ved høje effektive renter og 17

23 4.3 Konverteringsoption 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER K u r s Effektiv rente (4 Stat St. 2017) Figur 3: Markedskurser for en stats- og konverterbar obligation som funktion af den effektive rente for statsobligationen. Inspiration til figuren er hentet fra [Ras99]. aftager ved faldende renter i takt med at kursen nærmer sig 100. Dette er et tegn på at værdien af konverteringsoptionen er tiltagende. Det ses, at kursen på sit højeste kommer op på 102. Siden grafen mangler den nedadgående trend, kunne det tyde på at renten ikke er faldet tilstrækkeligt. 18

24 5 NULKUPONRENTER 5 Nulkuponrenter Nulkuponrenten er den rente, som investor får i hver periode fra tid 0 til tid t. Nulkuponrenten kan derfor opfattes som den effektive rente på en nulkuponobligation, hvor prisen på en nulkuponobligation er nutidsværdien af 1 krone på tidspunkt t. Afkastet i hver periode på en nulkuponobligation fra tid 0 til udløb svarer derfor til nulkuponrenten. Der gælder derfor følgende sammenhæng mellem diskonteringsfaktoren og nulkuponrenten: d t = 1 (1 + y t ) t (5.1), hvor d t er diskonteringsfaktoren til tid t og y t er nulkuponrenten, svarende til nulkuponobligationens effektive rente fra tid 0 til tid t. For at være i stand til at prisfastsætte konverterbare obligationer, kræves nulkuponrenterne for samtlige terminer, hvor der forfalder betalinger. Der eksisterer imidlertid ikke nulkuponobligationer med løbetider svarende til konverterbare obligationer, hvorfor det ikke er muligt at benytte nulkuponrenterne 6. Til gengæld kan nulkuponobligationer dog fremstilles syntetisk udfra kuponobligationer med en teknik, der hedder bootstrapping. Denne teknik vil dog ikke blive beskrevet her, da den ikke bliver anvendt. Når en konverterbar obligation skal prisfastsættes, er det vigtigt, at den rentekurve som ligger til grund for prisfastsættelsen passer til obligationen. Dette skal forstås på den måde, at det optimale valg for en rentekurve er en rentekurve, som indeholder den samme mængde kredit- og likviditetsrisiko som konverterbare obligationer og er baseret på et instrument som har samme likviditet. Foretager man forkerte antagelser, vil dette afspejle sig i prisen. Kreditrisikoen udtrykker den præmie, som investor forlanger for at påtage sig risikoen for at miste hele eller en del af den udlånte hovedstol. Mange realkreditobligationer er rated AAA af Standard & Poor s [Dan09], hvilket svarer til den 6 På det danske marked er skatkammerbeviser den eneste nulkuponobligation, som har en løbetid på 1 år [Chr05b]. 19

25 5 NULKUPONRENTER kreditrisiko som er forbundet med swaprenterne. Swaprenterne er de rentesatser, som de bedst ratede (prime) banker låner til hos hinanden og forskellen til renterne på statsobligationer er et udtryk for den kreditrisiko, der er på den pågældende prime bank [Chr05b]. Likviditeten er vigtig for at sikre en god kurs på konverterbare realkreditobligationer. Desto mere likvid en obligation er, desto mindre er den likviditetspræmie som investor kræver. Ønsker en investor hurtigt at sælge sine illikvide obligationer, vil prisen sandsynligvis ikke være så god, som hvis obligationerne var likvide. Investorer foretrækker derfor likvide obligationer og forlanger en likviditetspræmie på illikvide obligationer. For at opnå en god pris på realkreditobligationer udstedes de derfor i store serier over længere tid. Ikke desto mindre har introduktionen af nye produkter såsom rentetilpasningslån, lån med afdragsfrihed og obligationer med renteloft m.v. udvandet likviditeten, idet det samlede udlån er blevet spredt på flere obligationsserier. I følge [Røg07] er det danske marked derfor kun likvidt ud til 10 år. I opgaven er swaprenterne derfor valgt som den rentekurve, der bedst passer til at prisfastsætte konverterbare obligationer på. Kreditrisikoen svarer til den på konverterbare obligationer. Likviditetsrisikoen på realkreditobligationer er muligvis en smule højere, da likviditeten i markedet er aftagende efter 10 år. Derudover løber swaprenterne tilstrækkelig langt, til at de kan benyttes til at prisfastsætte konverterbare obligationer. I opgaven er swaprenterne hentet fra Danske Analytics. 20

26 6 RENTESTRUKTURMODEL 6 Rentestrukturmodel For at være i stand til at prisfastsætte en konverterbar obligation, er der behov for en model, som kan tage højde for de specielle forhold, som gør sig gældende. Som nævnt i afsnit 4 har låntager mulighed for at reducere lånets løbetid ved at indfri lånet til kurs 100. Dette forhold skal der tages højde for, når prisen på en konverterbar obligation skal findes. Binomialmodellen har den fordel, at den giver et setup, hvori mere specielle rentebetingede fordringer såsom diverse optioner og konverterbare obligationer kan prisfastsættes [Bec07]. En af fordelene ved binomialmodellen er, at den sikrer, at prisfastsættelsen bliver konsistent med den gældende nulkuponrentestruktur volatilitetsstruktur i markedet. Derudover har binomialmodellen også den egenskab, at prisfastsættelsen af den inkonverterbare obligation og konverteringsoptionen sker samtidigt. Derfor er binomialmodellen valgt til at prisfastsætte konverterbare obligationer i denne opgave. Baseret på nulkuponrenter (se afsnit 5) og en volatilitetsstruktur (se afsnit 7) konstrueres et binomialgitter, som indeholder de korte én periode renter. Disse korte renter afstemmes (kalibreres) i forhold til input i form af nulkuponrenter og volatilitet. Dvs. at man på baggrund af nulkuponrenter og volatilitet til samtlige relevante løbetider beregner de korte én periode renter. Årsagen til at denne rentestruktur bliver kaldt for et binomialgitter skyldes, at den består af en masse rentescenarier, hvor hver enkelt rente splittes op i to scenarier. P op r P P ned Renten, r, er den korte én periode diskonteringsrente. Pilene indikerer, at renten i den efterfølgende periode enten kan gå op eller ned, mens forskellen mellem renterne er bestemt udfra volatiliteten. Denne struktur gentager sig og danner på den måde en masse rentescenarier, som tilsammen danner et binomialgitter. Forskellen i prisen på to perioder er derfor givet ved diskonteringsrenten. Derfor gælder følgende fundamentale sammenhæng mellem P, P op og P ned : 21

27 6.1 BDT-modellen 6 RENTESTRUKTURMODEL P = q Pop + (1 q) P ned 1 + r (6.1), hvor priserne, P op og P ned, tilbagediskonteres med den korte én periode rente, r, som er afstemt til nulkuponrentestrukturen. q er den risikoneutrale sandsynlighed, som angiver sandsynligheden for P op og P ned. Denne sættes til 0,5. Ved at prisfastsætte obligationen med denne formel, opnår man en arbitragefri pris. 6.1 BDT-modellen BDT-modellen 7 er en populær implementation af binomialmodellen, da den udover nulkuponrentestrukturen som input også tager den nuværende volatilitetsstruktur. Udover rentestrukturen har volatiliteten også en betydning, når en konverterbar obligation skal prisfastsættes, da volatiliteten påvirker prisen på konverteringsoptionen. Resultatet af BDT-modellen er, at alle de korte én periode renter samt den korte én periode volatilitet bliver beregnet. BDT-modellen sikrer, at hele rentegitteret er kalibreret til den nulkuponrente- og volatilitetsstruktur, som bliver givet som input. Modellen kan implementeres ved hjælp af en forward algoritme, som resulterer i en reduceret beregningstid i forhold til mere simple implementationer af binomialmodellen. For at kunne identificere de forskellige variable og knudepunkter i binomialmodellen benyttes en notation. I figur 4 ses et binomialgitter. Hvert knudepunkt i gitteret kan identificeres ved hjælp af en tid, t, og en tilstand, s. Udgangssituationen er t = 0 og s = 0, dvs. (0,0). Fra et hvilket som helst knudepunkt, (t,s), er der to efterfølgende muligheder, (t + 1,s) eller (t + 1,s + 1). For eksempel, hvis man står i knudepunkt (1, 1), vil det efterfølgende knudepunkt enten være (2, 1) eller (2,2). 7 Black, Derman og Toy modellen. 22

28 ) 6.1 BDT-modellen 6 RENTESTRUKTURMODEL (t 2, s 2 ) (t 1, s 1 (t 0, s 0 ) (t 2, s 1 ) (t 1, s 0 ) (t2, s0) Figur 4: Binomialgitter som illustrerer notationen for knudepunkterne. D(T ;0) Prisen til tid 0 på den nulkuponobligation som udløber til tid T. D(T ;t,s) Prisen i knudepunkt (t,s) på den nulkuponobligation som udløber til tid T. r(t ;t,s) Renten i knudepunkt (t,s) på den nulkuponobligation som udløber til tid T., hvor der gælder følgende sammenhæng: D(T ;t,s) = (1 + r(t ;t,s)) (T t) (6.2) De korte én periode renter findes ved at bestemme r(t;t,s), som kalibreres i modellen i forhold til de gældende nulkuponrenter. Modellen bygger på følgende betingelse: r(t;t 1,s) = v(t) r(t;t 1;s 1) (6.3), hvor den fremtidige volatilitet, v(t), er den volatilitet som er gældende mellem de korte renter. For at den fremtidige volatilitet kan være et produkt af modellen, skal den nuværende volatilitetsstruktur gives med som argument. Den nuværende 23

29 6.1 BDT-modellen 6 RENTESTRUKTURMODEL volatilitetsstruktur målt som forholdet mellem renterne på tidspunkt 1 [Bec07] er: r(t;1,1) = c(t) r(t;1;0) (6.4), hvor c(t) er den nuværende volatilitet på tidspunkt t. Intuitionen i formlen er, at renten i knudepunkt (1,1) med udløb på tidspunkt t fås som produktet af den kendte nuværende volatilitet på tidspunkt c(t) og renten i knudepunkt (1, 0) med udløb på tidspunkt t. Denne betingelse benyttes nedenfor når den ubekendte rente r(t;1,0) skal findes, hvorefter r(t;1,1) kan findes. For at finde de korte renter omskrives den fundamentale ligning 6.1 for arbitragefri prisfastsættelse til følgende formel: D(t;0) = (1 + r(1;0)) 1 [q D(t;1,1) + (1 q) D(t;1,0)] = (1 + r(1;0)) 1 [q (1 + r(t;1,1)) (t 1) + (1 q) (1 + r(t;1,0)) (t 1) ] = (1 + r(1;0)) 1 [q (1 + c(t) r(t;1,0)) (t 1) + (1 q) (1 + r(t;1,0)) (t 1) ] (6.5) Ved hjælp af ligning 6.5 kan de korte én periode renter, r(2;1,0) og r(2;1,1), nu findes. Intuitionen bag ligningen er, at prisen på nulkuponobligation, D(t;0), med udløb på tidspunkt t er kendt på tidspunkt 0. Derudover kendes diskonteringsrenten, r(1;0) fra tidspunkt 0 til 1, da den svarer til prisen på en nulkuponobligation på tidspunkt 0 med udløb på tidspunkt 1. Værdien af nulkuponobligationen ved udløb, tidspunkt t, er 1 og den nuværende volatilitet, c(t), er også kendt. Den eneste ubekendte i ligningen er derfor renten r(t;1,0). Ligningen kan løses numerisk ved hjælp af Solveren ved at opstille et binomialgitter som i figur 4, implementeret med ligning 6.5. Herved afhænger knudepunkterne indbyrdes af hinanden, hvilket resulterer i værdien for r(t;1,0) ved at gætte på renten under betingelse af, at den tilbagediskonterede værdi er D(t;0). På den måde findes r(2;1,0), hvorved r(2;1,1) kan findes ved hjælp af ligning

30 6.2 Arrow-Debreu 6 RENTESTRUKTURMODEL Det næste skridt er at finde den korte én periode rente, r(t;t 1,0) og den fremtidige volatilitet, v(t), mellem renterne på tidspunkt t. Priserne, D(t;1,0) og D(t;1,1), findes med ligning 6.5. Dette er priserne på de nulkuponobligationer som udløber to perioder senere til 1. Derfor mangler vi renterne for de to mellemliggende perioder. Igen opstilles et binomialgitter frem til tidspunkt t implementeret med ligning 6.5. Der gættes på r(t;t 1,0) og v(t) som de to eneste ubekendte, og ligningssystemet løses nu ved hjælp af Solveren. Ulempen ved denne metode er, at for hver gang metoden rykker et tidspunkt frem for at finde en ny rente, skal der tilbagediskonteres til tidspunkt 0. Dette betyder, at der skal foretages unødig mange beregninger for at bestemme alle korte én periode renter. Beregningsarbejdet kan derfor lettes ved at implementere forward algoritmen, som først blev beskrevet i [BT90]. 6.2 Arrow-Debreu Forward algoritmen er baseret på de såkaldte Arrow-Debreu aktiver, som er tilstandsafhængige priser i binomialgitteret. Dvs. at prisen på et Arrow-Debreu aktiv i et givet knudepunkt afhænger af, i hvilket knudepunkt udbetalingen sker. Ideen bag Arrow-Debreu aktiver er følgende 8 : Prisen på et Arrow-Debreu aktiv på tidspunkt 0, som udbetaler 1 på tidspunkt (T,s) betegnes som (T,s;0). Prisen på det samme Arrow-Debreu aktiv, men i knudepunkt (t, v) betegnes som (T, s;t, v). Prisen på Arrow-Debreu aktivet (t + 1,s;t,v) og (t + 1,s + 1;t,v) er forskellige, da de ikke udbetaler i samme knudepunkt. For at komme til et givet knudepunkt (T,s) skal de to knudepunkter, (T 1,s) og (T 1,s 1), som fører til dette knudepunkt passeres. På kanterne er der dog kun en sti som fører til et givet knudepunkt. For at komme til knudepunktet (T,T ) på den øverste kant skal (t 1,s 1) passeres. For at komme til knudepunkt (T,0) på den nederste kant skal (T 1,0) passeres. Et Arrow Debreu aktiv på tidspunkt 0, som udbetaler 1 på tidspunkt (T,s) kan konstrueres som en portefølje af de Arrow-Debreu aktiver, som passeres for at 8 Notationen og beskrivelsen af forward algoritmen er inspireret af [BT90]. 25

31 6.2 Arrow-Debreu 6 RENTESTRUKTURMODEL komme til det pågældende knudepunkt: AD(T,s;0) = AD(T,s;T 1,s)AD(T 1,s;0) + AD(T,s;T 1,s 1)AD(T 1,s 1;0) (6.6) Intuitionen bag ligning 6.6 er følgende: Et Arrow-Debreu aktiv betegnes med AD. Første led siger, hvis knudepunkt (T 1,s) passeres fås et afkast på AD(T,s;T 1,s), som geninvesteres i en enhed af det Arrow-Debreu aktiv som udbetaler på tidspunkt (T,s). Andet led siger, hvis knudepunkt (T 1,s 1) passeres fås et afkast på AD(T,s;T 1,s 1), som geninvesteres i en enhed af det Arrow-Debreu aktiv som udbetaler på tidspunkt (T,s). I alt udbetaler denne portefølje 1 på tidspunkt (T,s). De stier som hverken passerer (T 1,s) eller (T 1,s 1) udbetaler intet. Denne portefølje har samme betalinger som det Arrow-Debreu aktiv som udbetaler 1 på tidspunkt (T,s) og har prisen AD(T,s;0) på tidspunkt Forward algoritmen Pointen med forward algoritmen er at reducere antallet af beregninger, der skal til for at bestemme samtlige korte én periode renter i binomialgitteret. Det første skridt kaldes for initialiseringen: AD(1, 0; 0) = (1 q)d(1; 0) (6.7) AD(1, 1; 0) = qd(1; 0) (6.8), hvor de to Arrow-Debreu aktiver findes ved at gange den risikoneutrale sandsynlighed på prisen på den nulkuponobligation, som løber fra tidspunkt 0 til 1. Investeres der i disse to Arrow-Debreu aktiver på tidspunkt 0, vil de udbetale 1 på tidspunkt 1. Det næste skridt i initialiseringen er at finde samtlige priser på nulkuponobligationerne på tidspunkt (1, 0) og (1, 1) med udløb på tidspunkt 26

32 6.2 Arrow-Debreu 6 RENTESTRUKTURMODEL T = 2,3,... indtil udløb for den konverterbare obligation. D(T ;0) = D(1;0)[(1 q)d(t ;1,0) + qd(t ;1,1)] (6.9) Ligning 6.9 beskriver den samme fundamentale sammenhæng som i ligning 6.5, som skal gælde for at opnå en arbitragefri prisfastsættelse. D(T ;0) er kendt udfra nulkuponrentestrukturen, hvilket betyder, at den eneste ubekendte i ligning 6.9 er D(T ;1,0), da D(T ;1,1) kan bestemmes udfra ligning 6.4, hvor c(t) er kendt. De næste Arrow-Debreu aktiver kan nu findes som: AD(2,0;1,0) = (1 q)d(2;1,0) (6.10) AD(2, 1; 1, 0) = qd(2; 1, 0) (6.11) AD(2,1;1,1) = (1 q)d(2;1,1) (6.12) AD(2, 2; 1, 1) = qd(2; 1, 1) (6.13) I ligning 6.10 til 6.13 ses igen, hvordan de enkelte nulkuponpriser ganges med den risikoneutrale sandsynlighed for at få det pågældende Arrow-Debreu aktiv. Det næste skridt introducerer den procedure, som skal gentages for at bestemme de resterende korte én periode renter i gitteret. D(t;1,0) = D(t;1,1) = t 2 s=0 AD(t 1,s;1,0)D(T ;t 1,s) (6.14) t 1 AD(t 1,s;1,1)D(T ;t 1,s) (6.15) s=1 I hver af de to ligninger 6.14 og 6.15 er der to ubekendte, da betingelsen i ligning 6.3 udnyttes og giver de to ubekendte, D(T ;t 1,0) og v(t). Prisen omskrives til den tilsvarende rente: 27

33 6.2 Arrow-Debreu 6 RENTESTRUKTURMODEL D(T ;t 1,0) = (1 + r(t ;t 1,0)) 1 (6.16) De to ubekendte findes ved at løse ligningssystemet bestående af 6.14 og Dette kan for eksempel gøres ved hjælp af Solveren. I denne opgave løses det ved at implementere Newtons metode for ikke-lineære ligningssystemer i VBA 9 [sp08]. De resterende korte renter i de øvrige tilstande på samme tidspunkt findes som: r(t;t 1,s) = v(t) s r(t;t 1,0) (6.17) Alle korte renter til tidspunkt 3 er nu fundet. Det næste skridt er herefter at finde priserne på de Arrow-Debreu aktiver, som løber fra tidspunkt 2 til 3: AD(t,s;t 1,s 1) = qd(t;t 1,s 1) f or 1 s t (6.18) AD(t,s;t 1,s) = (1 q)d(t;t 1,s) f or 0 s t 1 (6.19) AD(t,s;1,0) = AD(t,s;t 1,s 1)AD(t 1,s 1;1,0)+AD(t,s;t 1,s)AD(t 1,s;1,0) (6.20) AD(t,s;1,1) = AD(t,s;t 1,s)AD(t 1,s;1,1)+AD(t,s;t 1,s 1)AD(t 1,s 1;1,1) (6.21) De nye Arrow-Debreu priser findes med ligningerne 6.18 til Disse priser skal benyttes i næste iteration til at finde de korte renter for næste periode. Næste iteration starter med at løse ligningssystemet 6.14 og Denne forward algoritme giver som nævnt en bedre performance, da den hele tiden arbejder sig frem i gitteret, hvorved tilbagediskontering til tidspunkt 0 kan undgås. 9 Microsoft Visual Basic for Applications. 28

34 7 VOLATILITETSSTRUKTUR 7 Volatilitetsstruktur Volatiliteten på en markedsvariabel måler usikkerheden om den fremtidige værdi af variablen. I forbindelse med en konverterbar obligation er markedsvariablen renten, som påvirker prisen på konverteringsoptionen. En højere volatilitet øger prisen på konverteringsoptionen, da sandsynligheden for at optionen på tidspunktet for excercise er in the money stiger. Derfor er både rentevolatiliteten og renten risikofaktorer, som har betydning for prisfastsættelsen. I afsnit 6 introduceres den model som skal prisfastsætte obligationen. Eftersom at både nulkuponrenterne og rentevolatiliteten har en afgørende betydning for prisfastsættelsen, optræder disse som input-parametre til modellen. Inputtet i form af en volatilitetsstruktur er den gældende volatilitet på tidspunkt 0 til tidspunkt t. Dvs. at for hvert tidspunkt t skal modellen have en rentevolatilitet. Volatilitet på renterne skal forstås ved spredningen på renterne. En lav volatilitet giver en mindre spredning, mens en højere volatiliteten giver en større spredning på renterne, som vist på nedenstående figur: Figur 5: To eksempler på rentevolatilitet: a) Lav volatilitet. b) Høj volatilitet. I figur 5 ses en rentestruktur baseret på de gældende nulkuponrenter, hvor nulkuponrenten på tidspunkt 0 er 5,0% og 5,1% på tidspunkt 1. Figuren skal forstås således, at renten på tidspunkt 0 er den kendte rente gældende fra tidspunkt 0 til 1. Renterne på tidspunkt 1, gældende fra tidspunkt 1 til 2, er ikke kendte på tidspunkt 0, men estimeres udfra volatiliteten. Det fremgår af figuren, at renten i situation b) er mere volatil end i situation a). En højere volatilitet er altså ensbetydende med at usikkerheden omkring de fremtidige renter er større, hvilket medfører at spredningen på renterne bliver større. 29

35 7.1 Beregning af volatiliteten 7 VOLATILITETSSTRUKTUR Effekten af en højere volatilitet på en konverterbar obligation er, at værdien af konverteringsoptionen stiger. Med andre ord så ønsker investor ikke at give så høj en pris for obligationen, da konverteringsoptionen er blevet mere værd for låntager. Resultatet er en reduktion i prisen på den konverterbare obligation. For at opnå en så korrekt prisfastsættelse som muligt, er det vigtigt at benytte en volatilitet, som passer til det instrument, man skal prisfastsætte. Skal man for eksempel prisfastsætte et likvidt instrument, skal volatiliteten derfor også komme fra et likvidt instrument. Da realkreditobligationer generelt er likvide, benyttes volatiliteten for swaptioner, som både er et likvidt instrument og kan opfattes som en option på en kuponobligation. En swaption er en option på en renteswap, hvor køberen har retten men ikke pligten til at indgå en swap. Strikerenten på swaptionen svarer til forward swaprenten på tidspunktet for excercise af swaptionen. På tidspunktet for excercise sammenlignes strikerenten med den gældende swaprente. Såfremt der er indgået en payer swaption, betales fast rente og modtages variabel rente (omvendt for receiver swaption). Er swaprenten steget i forhold til strikerenten er swaptionen in the money. Dette skyldes at køberen af swaptionen nu kan indgå en swap til strikerenten. Alternativt afregnes værdien af swaptionen i stedet for at indgå en swap. Er swaprenten faldet i forhold til strikerenten er swaptionen værdiløs ( out of the money ). 7.1 Beregning af volatiliteten I den rentestrukturmodel som benyttes i opgaven (se afsnit 6.1 om BDT-modellen) til at prisfastsætte konverterbar obligationer, er det ikke muligt at benytte volatiliteten for swaptioner direkte. Årsagen er, at BDT-modellen mangler ægte mean reversion [Sve02], som er tendensen for en markedsvariabel (renten) til at søge mod et langsigtet niveau. Konsekvensen er, at renterne i modellen bliver større og større, desto flere terminer ud i fremtiden, som modellen skal fastlægge renterne for. I stedet skal modellen have en aftagende volatilitetsfunktion, hvor følgende funk- 30

36 7.1 Beregning af volatiliteten 7 VOLATILITETSSTRUKTUR tionsform fra [Sve02] benyttes i opgaven: σ BDT (t) = a + b exp( c t) (7.1) Renterne i BDT-modellen kalibreres til volatiliteten på swaptioner. Dette gøres ved at bestemme de parametre i ligning 7.1, som resulterer i at den teoretiske pris på swaptionen svarer til markedsprisen på swaptionen. Volatiliteten bliver således kalibreret til den implicitte volatilitet på swaptioner, som er markedets forventninger til den fremtidige volatilitet i renten, svarende til c(t) i ligning 6.4. Strikerenten på swaptionerne er forward swaprenten, da swaptioner er mest sensitive overfor volatiliteten på at-the-money niveauet. En swaption kan have forskellig længde, hvor der i opgaven er benyttet swaptioner med en løbetid fra 1 til 20 år med en underliggende swap på 10 år. Dvs. at køberen ved udløb af swaptionen har mulighed for at indgå en swap med en løbetid på 10 år. Prisen på en swaption findes ved at tilbagediskontere betalingerne fra swappen til excercise-tidspunktet for swaptionen. Swappen kan betragtes som en fastforrentet obligation med en kupon svarende til forward swaprenten. Værdien af swaptionen ved excercise, tilbagediskonteres til tidspunkt 0. De korte én periode renter fra binomialmodellen benyttes til tilbagediskonteringen. Volatiliteten findes på følgende måde: Den teoretiske pris på swaptionen findes ved at tilbagediskontere betalingerne med de korte én periode renter, som findes ved hjælp af BDT-modellen. BDT-modellen tager som input både en nulkuponrentestruktur, i form af swaprenterne, og en volatilitetsstruktur. Volatiliteten på tidspunkt t bestemmes ved hjælp af ligning 7.1. Ved hjælp af mindste kvadraters metode sættes Solveren til at finde parametrene a, b og c i ligningen, som minimerer den kvadratiske forskel mellem swaptionernes teoretiske pris og swaptionernes markedspris, som er hentet fra Danske Analytics. Resultatet af de tre parametre er: a = 10,08%, b = 25,00% og c = 5,56%. Hvordan volatiliteten er beregnet kan findes på den vedlagte CD-ROM i Excel-arket CPR.xls på fanebladet Swaption. Generelt har lange renter lavere volatilitet end korte renter, hvilket beskrives med 31

37 7.1 Beregning af volatiliteten 7 VOLATILITETSSTRUKTUR ligning 7.1. På figur 6 ses den beregnede volatilitetskurve, som aftager fra ca. 34% til ca 15% over 30 år. På figur 7 ses den implicitte volatilitet på de swaptioner fra Danske Analytics, hvis markedsværdi benyttes til at beregne volatilitetskurven. Sammenlignes volatiliteten, ses at der er stor forskel. Eksponentialfunktionen starter på et højere niveau og slutter på et lavere niveau end volatiliteten fra Danske Analytics. Derudover er eksponentialfunktionen aftagende, hvilket er nødvendigt for at renterne i BDT-modellen ikke bliver urealistisk store. I modsætning til de normale tendenser for volatilitet, stiger volatiliteten fra Danske Analytics efter år 2019, hvilket muligvis kan skyldes usikkerheden under finanskrisen. Resultatet er, at den estimerede volatilitetskurve afviger mere fra den virkelige volatilitet på swaptioner, end den ellers ville gøre under mere normale tilstande. Figur 6: Den implicitte volatilitet på swaptioner tilpasset funktionen i ligning

38 7.1 Beregning af volatiliteten 7 VOLATILITETSSTRUKTUR Figur 7: Den implicitte volatilitet på swaptioner fra Danske Analytics. 33

39 8 KONVERTERINGSMODELLEN 8 Konverteringsmodellen Låntagernes konverteringsadfærd er ikke umiddelbar forudsigelig. Der er med andre ord ikke et endegyldigt facit for, hvornår låntagerne konverterer. Udover forskellige målbare faktorer afhænger denne handling også af låntagernes personlige vurdering af konsekvensen ved at konvertere. Derfor bygges en konverteringsmodel for låntagernes konverteringsadfærd på historiske data for konverteringsadfærd. Formålet med konverteringsmodellen er at få et estimat på, hvor stor en andel af låntagerne, som kan forventes at konvertere som funktion af en given konverteringsgevinst. Eftersom en konvertering nedbringer restgælden i obligationsserien, vil dette påvirke den fremtidige ydelsesrække og prisen på realkreditobligationen. Derfor benyttes konverteringsmodeller også til at prisfastsætte konverterbare realkreditobligationer. 8.1 Den amerikanske optionsmodel Den amerikanske optionsmodel benytter teorien om amerikanske optioner til at prisfastsætte konverteringsoptionen. Teorien siger, at den som har optionen skal vente med at excercise, sålænge værdien ved at holde den er større end excerciseværdien. Bliver excercise-værdien af optionen derimod større end værdien ved at vente, skal optionen excercises. Låntager skal derfor først konvertere lånet, når excercise-værdien af konverteringsoptionen er større end værdien af konverteringsoptionen ved at vente. Rationelle låntagere vil derfor udnytte optionen optimalt og konvertere på dette tidspunkt, da restgælden af lånet her er mindst. Dette betyder, at alle låntagere konverterer på samme tid samt, at kursen på den konverterbare obligation ikke kan overstige 100. I virkelighedens verden er der omkostninger forbundet med at konvertere, hvilket betyder at der konverteres til kurser over 100. Den amerikanske optionsmodel splitter derfor den konverterbare obligation op i en inkonverterbar obligation og en amerikansk call option. Ifølge ligning 4.1 fås den 34

40 8.1 Den amerikanske optionsmodel 8 KONVERTERINGSMODELLEN mindste værdi af den konverterbare obligation, når værdien af konverteringsoptionen er størst. Dvs. at restgælden er mindst, når værdien af konverteringsoptionen er størst. Under disse forudsætninger vil dette afsnit fokusere på den optimale konverteringsbeslutning for den rationelle låntager. I hvert knudepunkt, (t,s), skal låntager tage stilling til, om det er optimalt at konvertere. Det antages, at denne beslutning tages på den sidste dag i opsigelsesperioden. Beslutter låntager sig for at konvertere, er værdien af lånet, W(t,s) 10, den resterende restgæld inklusive vedhængende renter og afdrag siden sidste termin. Dertil kommer konverteringsomkostninger, som antages at udgøre en fast procentdel, γ, af W(t, s). De totale konverteringsomkostninger beløber sig derfor til W m (t,s,γ) = (1 +γ)w(t,s), hvor m står for den pågældende konverterbare obligation (mortgage backed bond). I tilfælde af at låntager ikke konverterer vil værdien af lånet være V m + (t,s,γ). Det afgørende for denne beslutning er, om en konvertering resulterer i en lavere nutidsværdi af restgælden end, hvis låntager venter med at konvertere. Derfor findes den mindste værdi af lånet i knudepunkt (t,s) som: V m (t,s,γ) = min{w m (t,s,γ),v + m (t,s,γ)} (8.1), hvor der gælder at værdien af lånet i tilfælde af konvertering er: W m (t,s,γ) = f (t,s) + c(t,s) + RG(t,s,γ) (8.2), hvor RG(t, s, γ) er restgælden inklusive omkostninger efter afdraget f (t, s). Værdien af lånet i tilfælde af, at låntager ikke konverterer findes ved at tilbagediskontere alle betalinger med efter skat renten: V + m (t,s,γ) = f (t,s) + c(t,s) p(t,s){v m(t + 1,s + 1,γ) +V m (t + 1,s,γ)} (8.3) 10 Den notation der bliver brugt i konverteringsmodellen er inspireret af [Jak91]. 35

41 8.2 Gevinstkravsmodellen 8 KONVERTERINGSMODELLEN I den amerikanske optionsmodel udnyttes konverteringsoptionen som sagt optimalt, hvilket medfører, at alle låntagere opfører sig rationelt og går efter den mindst mulige nutidsværdi af restgælden. Det betyder, at modellens konverteringsrate springer fra 0% til 100% [Jak92] så snart der konverteres. Derfor er der kun to muligt udfald - enten konverterer alle eller ingen. Konverteringsfunktionen er derfor givet ved: λ(n,s,γ) = { 1 W m (t,s,γ) < V + m (t,s,γ) 0 ellers λ(t, s, γ) er konverteringsfunktionen og angiver den andel af låntagerne som konverterer. Konverteringsfunktionen er binær, og kan derfor kun antage værdierne 1 og 0, idet den amerikanske optionsmodel antager at alle låntagere er rationelle og træffer beslutning om at konvertere samtidigt. Kursen på den konverterbare obligation til tid 0 findes nu ved at tilbagediskontere værdien af lånet fra udløb. Værdien af 8.2 og 8.3 findes i hvert knudepunkt. Er W m (t,s,γ) < V m + (t,s,γ) konverterer alle låntager - ellers konverterer ingen. Denne procedure gentages indtil værdien af lånet til tid 0 er fundet. I praksis er den konverteringsadfærd, som beskrives med konverteringsfunktionen i den amerikanske optionsmodel, ikke realistisk. Dette skyldes, at låntagerne er individuelle og ikke altid handler rationelt og har ikke fuld information. Derfor er det låntagernes faktiske konverteringsadfærd som konverteringsfunktionen skal beskrive i stedet for den rationelle konverteringsadfærd. 8.2 Gevinstkravsmodellen [Jak91] introducerer en model, gevinstkravsmodellen, som udover de ovenfor nævnte parametre tager højde for både rationel og irrationel låntageradfærd. Den irrationelle låntageradfærd kan skyldes manglende information eller spekulation. Modellen forsøger derfor at modellere låntagers faktiske adfærd og ikke den rationelle adfærd [Bec06c]. Dvs. at den faktiske adfærd inkluderer både rationel og irrationel låntageradfærd. I [Jak92] konkluderes at denne model giver en mere re- 36

42 8.2 Gevinstkravsmodellen 8 KONVERTERINGSMODELLEN alistisk beskrivelse af sammenhængen mellem renteniveau og konverteringsraten, hvorfor denne model benyttes i opgaven. I gevinstkravsmodellen er låntagers gevinstkrav den primære årsag til konvertering. Modellen antager derfor, at hver låntager har et krav til konverteringsgevinsten, hvilket betegnes som gevinstkravet. Derfor konverterer låntagerne på forskellige tidspunkter afhængig af det individuelle gevinstkrav, g mi. Dette betyder, at der i praksis eksisterer en middelværdi, g, og en spredning, σ, på gevinstkravet. Det antages i denne opgave, at gevinstkravet er normalfordelt, hvilket betyder at overgangen fra at 0% konverterer til at 100% konverterer er kontinuert. Ligning 4.1 kan omskrives til Cm = B m W m, hvor Cm er værdien af konverteringsoptionen, B m og W m er værdien af hhv. den inkonverterbare- og den konverterbare obligation tilbagediskonteret med efter-skat renten, og m står for den pågældende obligation. Cm angiver derfor låntagers besparelse ved at konvertere. Den gevinst låntager hver termin kan opnå ved at konvertere beregnes som g m = (B m W m )/B m. Denne ligning udtrykker værdien af konverteringsoptionen, Cm, i forhold til værdien af den inkonverterbare obligation. Hver termin afgører låntagerne, om der skal konverteres ved at holde det individuelle gevinstkrav, g mi, op i mod den aktuelle gevinst ved at konvertere, g m. i er den individuelle låntager, og m er den pågældende obligation. For de låntagere hvor det gælder at g m > g mi, skal de konvertere. Dvs., hvis låntager kan opnå en gevinst ved at konvertere, g m, som er større end sit gevinstkrav, g mi, så skal låntager konvertere. Det betyder, at en andel af de resterende låntagere konverterer. Denne andel kaldes for konverteringsraten (conditional prepayment rate (CPR)) og bliver estimeret udfra konverteringsfunktionen, λ(g m ). Konverteringsraten er derfor en funktion af gevinstkravet. Som nævnt ovenfor antages gevinstkravet i opgaven for at være normalfordelt. Dvs. at en konverteringsgevinst på g m vil resultere i en konverteringsrate på N(g m,g,σ), eftersom at en vis andel af låntagernes individuelle gevinstkrav vil være opfyldt. Værdien af den konverterbare obligation i et knudepunkt fås derfor som: 37

43 8.2 Gevinstkravsmodellen 8 KONVERTERINGSMODELLEN V = λ(g m )W + (1 λ(g m ))V + (8.4), hvor W og V + er givet ved henholdsvis ligning 8.2 og 8.3. Nogle af de forskellige faktorer som afgører om låntagerne konverterer er følgende: Konverteringsomkostninger, da de relative omkostninger er størst for små lån. For at opnå en konverteringsgevinst skal markedsrenterne derfor falde mere for små lån end for store lån for at kunne opveje de relativt større konverteringsomkostningerne. Irrationelle låntagere. Nogle låntagere venter for længe med at konvertere, mens andre ikke tør kaste sig ud i en konvertering, da de ikke kan overskue det [Bec06b]. Skatteeffekten. De skattemæssige forhold er individuelle for låntagerne. Restløbetid. Desto kortere tid der er til udløb, desto større en andel vil konverteringsomkostningerne udgøre af restgælden, hvilket vil eliminere en eventuel konverteringsgevinst. Kontantlån. Desto højere en effektiv rente låntager har oprettet sit gamle lån til, desto mindre er fordelen ved at konvertere på grund af rentefradraget. Endvidere bidrager forhold som mangel på information eller spekulation til, at der er et behov for en adfærdsmodel. Gevinstkravsmodellen skal derfor på bedste vis forsøge at tage højde for alle de forhold som påvirker gevinstkravet, ved at modellere hvorledes låntagerne rent faktisk opfører sig. De ekstraordinære udtrækninger kan forklares udfra en række forskellige variable. Til konverteringsmodellen udvælges de variable, der bedst beskriver låntagernes faktiske konverteringsadfærd. Disse variable er alle kendt historisk og danner derfor grundlag for at estimere de parametre, der indgår i konverteringsfunktionen. Nogle publiceres af realkreditinstitutterne, og andre er observerbare i markedet. 38

44 8.2 Gevinstkravsmodellen 8 KONVERTERINGSMODELLEN Der eksisterer flere forklarende variable end der indgår i den konverteringsmodel som er valgt i opgaven. Følgende variable bliver ofte nævnt som hovedårsagen til førtidsindfrielse som kan udgøre konverteringsmodellen kan nævnes: Omkostninger Størrelsen på lån Oprindelig lånerente Fordeling på private og erhverv Burnout Restløbetid Refinansieringsrente Konverteringsgevinst Gevinstkravsmodellen bygger som tidligere nævnt på, at hver låntager har et krav til størrelsen af gevinsten, før der konverteres. Dette gør konverteringsgevinsten til en central variabel, når konverteringsraten skal beregnes. Da låntager oprindelig oprettede sit lån, blev alle fremtidige betalinger samtidig kendte størrelser. Hver termin har låntager mulighed for at konvertere sit lån 11. Om låntager vælger at konvertere, afhænger af hvor lav en fremtidig ydelse den tilbageværende restgæld kan finansieres til, hvor låntager naturligvis er interesseret i en så lav ydelse som muligt. Renterne på de finansielle markeder ændrer sig hele tiden og er derfor afgørende for størrelsen af den ydelse, og dermed konverteringsgevinsten, som låntager kan opnå ved en konvertering. De følgende afsnit beskriver, hvordan denne gevinst beregnes. Ydelsen før skat på en annuitet er som tidligere nævnt konstant, i modsætning til ydelsen efter skat, som er mindre på grund af påvirkningen fra rentefradraget. 11 Det antages i opgaven, at alle låntagere træffer beslutning om konvertering den sidste dag i opsigelsesperioden. Derfor benyttes rentekurven for denne dag til diskontering. 39

45 8.2 Gevinstkravsmodellen 8 KONVERTERINGSMODELLEN Derudover stiger ydelsen efter skat hver termin, da rentefradraget bliver beregnet på baggrund af en mindre rentebetaling. I opgaven antages at låntager konverterer til et kontantlån med et låneprovenuet svarende til den tilbageværende restgæld. For at være i stand til at beregne konverteringsgevinsten skal ydelserne på det nye og det gamle lån være sammenlignelige. Derfor beregnes nutidsværdien af ydelserne efter skat for begge lån ved at tilbagediskontere med kontantlånsrenten efter skat, hvorefter gevinsten kan beregnes. g m = (PV e.s. gl.lån (PV e.s. nyt lån + omk.)) PV e.s. gl.lån (8.5) Ligning 8.5 viser hvorledes konverteringsgevinsten, g m, beregnes som den procentvise forskel mellem nutidsværdien af det gamle lån, PVgl.laan e.s. efter skat og det nye lån, PVnytlaan e.s. efter skat inkl. konverteringsomkostninger. Inspiration til størrelsen af konverteringsomkostningerne er hentet fra [sp08] og sættes i opgaven til 1% af den nominelle restgæld. Konverteringsgevinsten kan beregnes både før og efter skat, hvor der i denne opgave fokuseres på gevinsten efter skat, eftersom det er det mest realistiske scenarie. I opgaven antages det, at første termin for alle lån forfalder når obligationsserien lukker 12. Det betyder at hele amortiseringen for obligationslånet (det gamle lån) er kendt. Hver termin afgører låntager, om det kan betale sig at konvertere. Dvs. om en konvertering vil medføre en reduktion i ydelsen og dermed en lavere nutidsværdi. Den nye ydelse beregnes som et kontantlån med en hovedstol svarende til restgælden. Følgende formel giver annuitetsydelsen for et kontantlån før skat 13 : PV e.s. nyt lån = RG 0 = T t=1 Ỹ (1 + r t ) t Ỹ = RG 0 T t=1 (1 + r t) t (8.6) Kontantlånsydelsen i ligning 8.6 findes som den tilbageværende restgæld, RG 0, divideret med summen af diskonteringsfaktorerne, r, på den gældende rentekurve. Den effektive rente (kontantlånsrenten) er den rente som resulterer i, at nutidsvær- 12 I praksis bliver der udstedt lån i den periode hvor serien er åben, hvilket typisk er 1-3 år. 13 Inspiration til formlerne er hentet fra [Chr05a] 40

46 8.2 Gevinstkravsmodellen 8 KONVERTERINGSMODELLEN dien af disse ydelser er lig med restgælden, hvilket kan beskrives med følgende ligning: RG 0 = T t=1 Ỹ (1 + R) t (8.7), hvor kontantlånsrenten før skat er, R. Kontantlånsrenten efter skat findes som den rente, der resulterer i at nutidsværdien af efter skat ydelserne er lig med restgælden. Med udgangspunkt i restgælden findes ydelserne efter skat på følgende måde: R t = R RG t 1 (8.8) Z t = Ỹ R t (8.9) RG t = RG t 1 Z t (8.10) R t e.s. = R t (1 S) (8.11) Ỹt e.s. = R t e.s. + Z t (8.12) I ligning 8.12 findes ydelsen efter skat til tid t som summen af efter skat renten og afdraget til tid t. Dernæst findes kontantlånsrenten efter skat som den rente, der resulterer i at summen af de tilbagediskonterede ydelser efter skat er lig med restgælden: RG 0 = T t=1 Ỹ e.s. t (1 + R e.s. ) t (8.13) Nu findes nutidsværdien af efter skat ydelserne fra obligationslånet ved at tilbagediskontere med kontantlånsrenten efter skat. Nutidsværdien af det nye lån (kontantlånet) svarer til restgælden, hvortil der skal lægges konverteringsomkostninger. Konverteringsgevinsten findes derfor som den procentvise forskel mellem de to nutidsværdier. 41

47 8.2 Gevinstkravsmodellen 8 KONVERTERINGSMODELLEN Poolfaktor Burnout beskriver en obligationsseries konverteringshistorie, dvs. hvor udbrændt en serie er. Hvis hovedparten af de spekulative låntagere har konverteret, vil dette afspejler sig i en lav burnout-værdi. Det vil sige, at der har været en konverteringsmulighed i serien, men ikke alle har benyttet sig af den. Derfor forventer man, at de tilbageværende låntageres gevinstkrav stiger med den faldende burnout-værdi [Jak92]. Med tiden vil de mindst konverteringsaktive låntagere derfor komme til at udgøre en større del af serien. Betragter man eksempelvis en 10% obligation og en markedsrente på 7%, som giver anledning til konverteringer. Hvis markedsrenten tidligere har været nede på 6% har de spekulative låntagere allerede konverteret. Derfor kan man ikke forvente mange konverteringer ved en markedsrente på 7%, før renten kommer under 6% [Bec06b]. Dette fænomen kan tilnærmes med poolfaktoren, som opsummerer den hidtidige konvertering i serien. Dette gøres ved at angive størrelsen på den tilbageværende restgæld i serien, i forhold til hvad den maksimalt kunne være, såfremt der ikke havde været nogle konverteringer, se ligning Poolfaktoren er hentet fra Danske Analytics på serieniveau. Pool f aktor = Tilbageværende restgæld Maksimale restgæld (8.14) Restløbetid Desto længere restløbetiden er på et lån, desto større er gevinstkravet, idet der vil være en potentiel gevinst ved at vente med at konvertere. Korte lån konverterer derfor ved et lavere gevinstkrav relativt til lange lån [Sve99]. Restløbetiden indgår i konverteringsmodellen som den relative restløbetid beregnet som antal dage fra opsigelsesdatoen til udløb relativt til antal dage fra seriens åbningsdato til udløbsdato. Beregningen af den relative restløbetid ses i ligning 8.15, hvor resultatet af brøken er aftagende fra 1 mod 0. 42

48 8.3 Datagrundlaget 8 KONVERTERINGSMODELLEN Udløbsdato - Opsigelsesdato Tid = Udløbsdato - Åbningsdato (8.15) 8.3 Datagrundlaget Konverteringsmodellen er estimeret på baggrund af historisk data om udtrækninger og debitorfordelinger for en samling konverterbare obligationer. Udtrækningerne er delt op i ordinære- og ekstraordinære udtrækninger. Den ordinære udtrækning er den kvartalsvise ydelse, som låntager betaler. Når låntager vælger at indfri sit lån før udløb, forekommer den ekstraordinære udtrækning. Derudover er restgælden opdelt på debitorniveau (privat og erhverv), da disse to grupper ikke har samme konverteringsadfærd. For at tilpasse konverteringsadfærden til den enkelte gruppe, estimeres en konverteringsfunktion til hver af disse to grupper. Data er hentet fra Danske Banks tabeller, hvor restgælden på debitorniveau kun har været tilgængelige fra december Konverteringsmodellen i opgaven er derfor baseret på historiske data for 10 fastforrentede konverterbare realkreditobligationer i perioden 1. april 2005 til 1. juli For at beregne udtrækningsprocenterne er det nødvendigt at have data for en termin tidligere end den nævnte periode. Dette giver i alt 380 observationer fordelt på 10 obligationer, 19 terminer og 2 debitorgrupper 14. For samtlige af obligationerne gælder, at de har en løbetid på 30 år 15 med 4 årlige terminer, hvor ingen er afdragsfri. Derudover er der udelukkende tale om lukkede serier, således at en bevægelse i restgælden fra termin til termin ikke skyldes nye lån. De 10 obligationer er endvidere udvalgt med henblik på følgende kriterier: Høj poolfaktor i begyndelsen af den betragtede periode og lav poolfaktor i slutningen af perioden. Dette skal sikre at der har været konverteringsaktivitet i serierne. Den cirkulerende mængde skal for den sidste termin være over 100 mio. kr. 14 Restgælden kan yderligere nedbrydes på lånestørrelse, hvor restgælden opdeles i 5 intervaller. 15 Løbetiden fra lukningsdato til udløbsdato er 30 år. Løbetiden fra serien åbner til udløb er typisk år. 43

49 8.3 Datagrundlaget 8 KONVERTERINGSMODELLEN nominelt for at sikre en vis likviditet i serien. Da låntagere opfører sig forskelligt afhængig af den pålydende rente på obligationen, har jeg valgt at fokusere på obligationer med en pålydende værdi på 5%. #"## Et antal på 10 obligationer for at begrænse datamængden.!"#!"# Følgende konverterbare obligationer er udvalgt på baggrund af kriterierne: ISIN Papirnavn Kupon Åbningsdato Lukningsdato Udløbsdato Tabel 2: Konverteringsmodellen er baseret på disse 10 obligationer. I tabellen ses, at obligationerne alle har en pålydende værdi på 5% og er udstedt af et bredt udsnit af de danske realkreditinstitutter. Det ses endvidere, at serierne har lukningsdato i henholdsvis 1999 og 2002, hvilket betyder, at der herefter ikke kan udstedes lån i serierne. Det er bevidst, at der i opgaven er valgt obligationer med lukningsdato tilbage i 1999 og 2002, da der i slutningen af 2004 og hele 2005 forekommer store konverteringer i disse serier. De næste store serier har først lukningsdato i 2005, hvilket er for sent såfremt resultatet af disse store konverteringsrater ønskes afspejlet i de udvalgte serier. Årsagen til de store konverteringer i den nævnte periode skyldes, at den lange rente er faldet kraftigt. På figur 8 ses, hvordan den lange rente for realkreditobligationer er faldet støt fra lidt over 8% i år 2000 til bunden på lige over 4% i En sådan renteudvikling giver gode betingelser for de låntagere, som ønsker at konvertere. Det skal bemærkes, at renten på figuren er den effektive rente beregnet på konverterbare obligationer, som påvirkes af konverteringsoptionen. 44

50 8.3 Datagrundlaget 8 KONVERTERINGSMODELLEN Figur 8: Den gennemsnitlige lange obligationsrente for realkreditobligationer i danske kroner. Kilde: Realkreditrådet. På figur 9 ses konverteringsraterne (CPR 16 ) for den betragtede periode i opgaven, hvor konverteringsraterne er markant højest i Årsagen er det kraftige rentefald, som har gjort en konverteringsmulighed attraktiv. Mange låntagere har formentlig omlagt deres lån til rentetilpasningslån, lån med renteloft eller prioritetslån. Disse lånetyper er blevet mere og mere populære [Røg07], navnlig på grund af den lave rente i denne periode Konverteringsraten Dette afsnit vil give en nærmere beskrivelse af hvorledes konverteringsraten beregnes. Ovenfor fremhæves konverteringsgevinsten, poolfaktoren og restløbetiden som tre variable, der indgår i konverteringsfunktionen og derfor kan give et skøn på konverteringsraten. Konverteringsgevinsten og restløbetiden er beregnet som vist i afsnit og 8.2.3, mens poolfaktoren er hentet fra Danske Analytics. Konverteringsraten skal opfattes som den andel af de tilbageværende låntagere som førtidsindfrier sit lån til kurs 100. Konverteringsraten beregnes på følgende måde: 16 CPR er den engelske forkortelse for conditional prepayment rate. 45

51 8.3 Datagrundlaget 8 KONVERTERINGSMODELLEN Figur 9: Konverteringsraten (CPR) som funktion af terminerne for de 10 udvalgte obligationer. UDT = EXT + ORD (8.16) Ligning 8.16 viser den grundlæggende sammenhæng, hvor det samlede udtræk, UDT, består af summen af det ekstraordinære udtræk, EXT, og det ordinære udtræk, ORD. UDT = 100 CPR + ORD (1 CPR) (8.17) Det samlede udtræk kan også beregnes, såfremt man kender konverteringsraten, CPR, og det ordinære udtræk. Det første led i ligning 8.17 er konverteringsraten, mens det andet led beskriver det ordinære udtræk som andelen af afdrag på restgælden eksklusiv konverteringer. Dvs. at det ordinære udtræk beregnes på den del af restgælden, som ikke konverterer. EXT + ORD = 100 CPR + ORD (1 CPR) CPR = EXT 100 ORD (8.18) 46

52 8.3 Datagrundlaget 8 KONVERTERINGSMODELLEN Sættes ligning 8.16 og 8.17 sammen fås konverteringsraten isoleret som andelen af ekstraordinære udtrækninger relativt til restgælden fratrukket andelen af ordinære udtræk. "#$"%$!""!&'%( "&)!" #*&*+( "#$"*$!"" &'( "&%+*% "&'!%*!"&)!( I "#$#"$!""&!"( #)% "&'#*! #&%"( tabel 3 ses et eksempel på bevægelserne i konverteringsgevinsten, poolfaktoren og "#$"#$!""+%&#( "#$"%$!""+ &#"( "&!# "&!!) "&'") "&'"#) #)&'"( )&*"( konverteringsraten "#$"*$!""+$#&"#( "#$#"$!""+$"&) "#$"#$!""*"&'( "#$"%$!""*$#&%( "#$"*$!""*$!& "&!#%* "&!") "&#)* "&*)%* "&*'*" "&**)%!&+%( &!'( &"*( termin for termin "&#'* "&**#) &#'( for 5 Unikredit "&#**# A 32. "#$#"$!""*$%&!!( "#$"#$!""'$ "#$"%$!""'$#&) &!(( "&#+)* "&#+!" "&#+# "&*+% "&**" "&*%)% "&*%#'!&#(! "#$"*$!""'$ "#$#"$!""'$&")( "#$"#$!"")$!&%"( "#$"%$!"")!&+"(&%( "&#%)+ "&#%% *%# "&*!+' "&*#)! "&*##' %% "&")( "&#( "&""(! "#$"*$!"") &"( "&#!)" "&*"% "& %( Tabel 3: De tre forklarende variable, konverteringsgevinsten, poolfaktoren og restløbetiden som indgår i konverteringsfunktionen, der skal estimere et skøn på konverteringsraten (CPR). Yderst til højre på tabel 3 ses konverteringsraten for serien, som den er opgivet af Unikredit i perioden 1. april 2005 til 1. juli I de første fire terminer forekommer der kraftig konverteringsaktivitet, hvor oktober-terminen er helt oppe på 31,40%. Det skal bemærkes, at hver konvertering er baseret på den tilbageværende restgæld i serien. Det er også på disse fire terminer at konverteringsgevinsten er højest med en gevinst på over 3%. Fra april 2006 er gevinsten aftagende og endda negativ for en del terminer, hvilket afspejles i konverteringsraten. Der er med andre ord en tydelig sammenhæng mellem gevinsten, der opfylder mange låntageres gevinstkrav, og andelen af konverteringer. 47

53 8.3 Datagrundlaget 8 KONVERTERINGSMODELLEN Poolfaktoren bliver reduceret fra 0,5937 til 0,1290 over hele den betragtede periode, hvilket indikerer, at der på den sidste termin kun er 12,90% af restgælden tilbage i serien i forhold til den maksimale restgæld uden konverteringer. I gevinstkravsmodellen tolkes dette som, at de tilbageværende låntagere endnu ikke har fået opfyldt deres gevinstkrav. Man kan derfor ikke forvente store konverteringer længere i denne serie, da låntagerne med høj konverteringstilbøjelighed allerede har konverteret. I takt med at restløbetiden bliver mindre, reduceres de potentielle konverteringsgevinster. Sammenlignes terminen oktober 2005 og januar 2006 er gevinsten højest ved den første termin. De låntagere som ventede med at konvertere til januar 2006 burde allerede have deres gevinstkrav opfyldt ved den forrige termin, eftersom den var højere. Årsagen til at de ikke konverterede kan skyldes sandsynligheden for en potentielt større gevinst ved at vente. I mod låntagernes forventning faldt gevinsten samtidig med at restløbetiden er blevet en termin kortere. Låntagerne vælger derfor at konvertere til januar 2006, da de ikke anser det for sandsynligt, at gevinsten bliver større i kombination med at kortere lån konverterer ved en lavere gevinst end lange lån. Hvad man ikke kan se udfra konverteringsraten for serien, er konverteringsraten på debitorniveau. For at være i stand til at kunne give et bedre skøn på konverteringsraten beregnes denne for begge debitorgrupper - privat og erhverv. Konverteringsraterne beregnes på baggrund af restgælden på debitorniveau. Det ordinære udtræk på serieniveau, ORD, kan beregnes udfra ligning 8.16, hvor UDT og EXT er oplyst af realkreditinstitutterne. Det samlede udtræk i procent pr. termin for henholdsvis privat og erhverv beregnes udfra følgende ligning 17 : UDT t j = RG j t 1 RG t j RG j t 1 (8.19), hvor RG er restgælden, t er tiden (terminen) og j er den pågældende debitorgruppe. Den ekstraordinære udtrækning på debitorniveau kan herefter findes som: 17 Notationen er inspireret af [sp08]. 48

54 8.4 Konverteringsmodel med debitorer 8 KONVERTERINGSMODELLEN EXT t j = UDT t j ORD t (8.20), hvor den ordinære udtrækning er på serieniveau (ligning 8.16). Dette skyldes, at det ordinære udtræk er relativt til restgælden. Endelig kan konverteringsraten på debitorniveau findes som: CPR t j = EXT t j 100 ORD t (8.21) I tabel 4 er restgælden og konverteringsraten for 5 Unikredit A 32 opgjort på debitorniveau. Det ses, hvordan at erhverv er hurtigere til at konvertere ud af serien, idet konverteringsraterne er større for de tidlige terminer. Dette kan hænge sammen med, at erhverv typisk optager større lån end private, hvilket reducerer de relative omkostninger. Havde gevinsten været opgjort på debitorniveau, ville det være muligt at se, om der her er en sammenhæng. Derudover har erhvervslåntagerne formentligt mere fokus på omkostninger, hvilket tilsammen bidrager til de højere konverteringsrater. 8.4 Konverteringsmodel med debitorer I afsnit 8.2 blev det beskrevet, at gevinstkravet antages at være normalfordelt. Konverteringsmodellen bygger oven på denne antagelse med middelværdien g mt og standardafvigelsen σ mt, hvor den individuelle låntagers gevinstkrav er g mti, hvor m er den pågældende obligation, t er terminen og i er den individuelle låntager. Den gevinst låntager kan opnå hver termin er givet ved g mt. Der introduceres en beslutningsvariabel, y mti, som kan antage værdien 1, hvis den individuelle låntager konvertere eller 0 hvis låntager ikke konverterer. Sandsynligheden for at den individuelle låntager konverterer er derfor givet ved 18 : ( gmt g ) mt Prob[y mti = 1] = Prob[g mti < g mt ] = φ σ mt (8.22) 18 Notationen er inspireret af [Jak91]. 49

55 %&$'($!()))(&) )*!(("! *%*' "%"&'!!%&'!!%!'"("*($*)(+&+ (!"*(&"(!& **+(("%$+' +"($ (""&$%$+' $$%""'!' 8.4!!*$%"'"("!!*%"!')$"(!!*#"%!"'&(*)($& +"(+ $($) (*(++ &(!"(+"%)$' "(+*"(+!&"!%+)' "*%"&'!%"' )%"' $%"' Konverteringsmodel!!*#!%)'+&($+()!!!+!%&'+$*(*&)($!!+#"%$'+"&("*$(* "$("$"() "!())(*!!& %+&' ' "%!"' %)*' med debitorer 8 KONVERTERINGSMODELLEN!!+#$%!!&#% %!'*+*(+&"(" '*$(+(" '*"$(*)"(++ $ "))( ")"(&+$(" "&*()($+& "++(!&(&!! )(&"* %' $%+' %))' %!&'!!&#"%)')$())(+!* "*&(+(&& %+*' %"&'!"#!+#!"#"!#!"#!"#!"#!$#!!&#%$'*($+*(!!"!!&#%!)'$"($&"(&*!!!)# %$!'"(" %*!'!("*+( &(!! " "*+(*$)(+* "*$(" "+(!* "(*"()*) (""* () $%**' %$' $%!' "%)' #!%!' $%*$' $%$!' "%$' %+' "%*!' %!'!"#!+#!!)%!'$&"(!**(") ""(& ($"! %*"'!%+' Tabel 4: Restgælden opdelt på debitorniveau til brug for beregning af konverteringsraterne for de to debitorgrupper., hvor φ( ) er standard normalfordelingsfunktionen. Ifølge [Jak92] passer såkaldte probit-modeller på gevinstkravsmodellen. Ligning 8.22 beskriver en specialisering af probit-modellen, mens et mere generelt tilfælde antager, at beslutningsvariablen, y mti, afhænger af et array af forklarende variable, x mt = {x mtk },k = 1,...,K samt et array af ukendte parametre, β = {β k },k = 1,...,K, som skal estimeres. Prob[y mti = 1] = φ ( K k=1β k x mtk ) (8.23), hvor de forklarende variable, x mt, afhænger af den pågældende obligation og termin, mens β er konstant. For at opnå et godt estimat for en konverteringsfunktion er det derfor afgørende at finde de forklarende variable, som beskriver konverteringsraten som funktion af gevinstkravet bedst muligt. I opgaven indgår konverteringsgevinsten, poolfaktoren og restløbetiden i konverteringsfunktionen som forklarende variable. Endvidere benyttes en konstant til at fange niveauet for middelværdien af gevinstkravet, som antager følgende form: 50

56 8.4 Konverteringsmodel med debitorer 8 KONVERTERINGSMODELLEN g mt = a 1 T ID mt + a 2 KONSTANT (8.24) Med udgangspunkt i ligning 8.23 kommer konverteringsfunktionen derfor til at antage følgende form: ( GEV INSTmt g ) mt Prob[y mti = 1] = φ σ ( 1 = φ σ GEV INST mt POOL mt a 1 σ T ID mt a ) 2 σ KONSTANT = φ(β 1 GEV INST mt POOL mt + β 2 T ID mt + β 3 KONSTANT ) (8.25) Ved at indsætte de forklarende variable i ligning 8.23 fås konverteringsfunktionen som ses i ligning Konverteringsfunktionen indeholder tre konstanter, β 1,β 2 og β 3, som skal estimeres således, at summen af de tre led fitter konverteringsraten så præcist som muligt. Konverteringsadfærden skal derfor opfanges af konverteringsfunktionen, som modelleres ud fra gevinsten, poolfaktoren og restløbetiden for den pågældende konverterbare obligation. Konverteringsmodellen kan opdeles på grupper, hvor hver grupper har sin egen konverteringsfunktion. Formålet er at opdele låntagerne i grupper efter adfærd med hver sin konverteringsfunktion. Således kan man opnå et mere retvisende estimat for konverteringsraten for den pågældende debitorgruppe. De enkelte gruppers konverteringsfunktion vægtes ud fra andelen af restgæld således, at den vægtede sum svarer til seriens totale konverteringsrate. Følgende ligning viser denne vægtning: λ mt = n w mt j λ mt j (8.26) j=0, hvor λ mt j er konverteringsraten på debitorniveau fra 8.25, λ mt er konverteringsraten på serieniveau og w mti er vægten for den pågældende debitorgruppe. 51

57 8.4 Konverteringsmodel med debitorer 8 KONVERTERINGSMODELLEN En konverteringsfunktion kan også bestå af andre forklarende variable, end der her er valgt i denne opgave. For eksempel kan refinansieringsspreadet inkluderes, idet låntagers incitamentet til at konvertere er afhængig af størrelsen på spreadet [Sve99]. Derudover kan restgælden opdeles yderligere på grupper. Fra realkreditinstitutternes side opgøres restgælden på intervaller, således at man kan adskille størrelsen fra hinanden. Eftersom der er en større konverteringsgevinst at hente på store lån end små lån, vil store lån typisk have en højere konverteringsrate. Endvidere kan forskellen mellem lang og kort rente give et incitament til at konvertere. Under den aktuelle finanskrise er de korte renter blevet historisk lave, og spreadet til de lange renter er stort. 9 ud af 10 låntagere udnytter denne store forskel og vælger rentetilpasningslån [Rea09b]. I opgaveforløbet har der ikke været tid til at afprøve effekten af andre forklarende variable, end der indgår i konverteringsfunktionen. I gevinstkravsmodellen er konverteringsgevinsten den primære årsag til konvertering. Dog giver en konverteringsgevinst ikke samme konverteringsrate ved en lav poolfaktor som ved en høj poolfaktor. Gevinstens betydning for konverteringen er faldende, i takt med at poolfaktoren er aftagende. Med andre ord vil en given gevinst, når poolfaktoren er høj resultere i større konverteringer, end når poolfaktoren er lav. For at beskrive denne adfærd multipliceres poolfaktoren med gevinsten i konverteringsfunktionen som det fremgår af Dvs. at desto højere poolfaktor, desto større er den værdi som multipliceres med gevinsten. På den måde tillægges gevinsten mindre og mindre betydning for konverteringsraten jo mindre poolfaktoren bliver. I takt med at en obligation nærmer sig udløb, bliver restgælden mindre, hvilket betyder, at konverteringsomkostningerne vil udgøre en større andel af restgælden. Dette forhold har en afdæmpende virkning på konverteringsraten. Derfor skal bidraget fra restløbetiden i konverteringsfunktionen også være aftagende med løbetiden. Låntagernes gevinstkrav antages normalfordelt og sandsynligheden for given konverteringsrate kan derfor findes udfra fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen, φ, som ses i ligning φ returnerer sandsynligheden (konverteringsraten) givet en fraktil, som bliver beregnet på baggrund af de tre forklarende vari- 52

58 8.4 Konverteringsmodel med debitorer 8 KONVERTERINGSMODELLEN able med β-værdier. I standardnormalfordelingen er middelværdien 0 og standard afvigelsen 1, hvorfor det er tilstrækkeligt at angive en fraktil. Figur 10: Fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen, som angiver sandsynligheden svarende til en fraktil. På figur 10 ses fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen. Fordelingen angiver sandsynlighed svarende til en given fraktil. En ulempe ved denne fordeling er, at den altid returnerer en positiv sandsynlighed uanset fraktilen. Med andre ord vil negative konverteringsgevinster give en positiv konverteringsrate. Dette skyldes, at fordelingen tager et tal mellem og + og returnerer et tal mellem 0 og 1. Eksempelvis vil en konverteringsgevinst på -2% derfor give en positiv konverteringsrate. En måde at komme ud over dette problem på er, at benytte lognormalfordelingen som ikke har denne egenskab. En anden ulempe ved standardnormalfordelingen er, at standardafvigelsen på gevinstkravet er konstant, idet standardafvigelsen i standardnormalfordelingen er 1. Den faktiske konverteringsrate pr. debitorgruppe beregnes udfra ligningerne i afsnit 8.3.1, mens den estimerede konverteringsrate fås udfra konverteringsfunktionen i Hvor høj korrelationen mellem den faktiske og den estimerede konverteringsrate er, udtrykkes med forklaringsgraden, r 2. Forklaringsgraden udtrykker i hvor høj grad den faktiske konverteringsrate kan forudsiges ud fra den estimerede konverteringsrate. 53

59 8.5 Implementering og resultater 8 KONVERTERINGSMODELLEN 8.5 Implementering og resultater I dette afsnit beskrives, hvordan jeg er kommet frem til konverteringsfunktionen, som indeholder konverteringsgevinsten, poolfaktoren og restløbetiden, hvor konverteringsgevinsten er den største udfordring at beregne af disse tre. Overordnet set beregnes alle tre forklarende variable for hver af de 10 udvalgt obligationer for hver termin i den periode hvor der haves et datagrundlag for. Beregninger og resultater kan findes på den vedlagte CD-ROM i Excel-arket CPR.xls på fanebladet Gevinst, CPR Serie og CPR Debitor. Fanebladet Gevinst viser, hvordan konverteringsgevinsten er beregnet, mens fanebladet CPR Serie og CPR Debitor viser, hvordan konverteringsfunktionen er fundet. I de situationer hvor det har været mere hensigtsmæssigt at foretage beregningerne ved hjælp af et programmeringssprog end at udføre dem i Excel, er dette gjort i Microsoft Visual Basic for Applications (VBA) 19, som er integreret med Excel Konverteringsgevinst Det overordnede koncept, når konverteringsgevinsten skal beregnes er, at sammenligne restgælden med nutidsværdien af ydelser for det eksisterende (gamle) lån ved at tilbagediskontere dem med den for tidspunktet gældende rentestruktur. Det antages, at restgælden kan konverteres til et kontantlån til kurs 100. Dvs. at konverteringen sker uden kurstab. Låntager vælger det alternativ, som udgør den mindste værdi. Udfordringen er, at hverken ydelserne eller diskonteringsrenten før og efter skat er ens når nutidsværdien for det eksisterende lån skal beregnes. Da konverteringsgevinsten beregnes efter skat, skal efter skat ydelserne diskonteres med efter skat renten. For at beregne konverteringsgevinsten er det nødvendigt at kende restgælden. For at lette beregningsarbejdet er det i opgaven antaget, at alle låntagere har oprettet deres lån 30 år før obligationen udløber. Dette betyder at amortiseringen for annuiteten kan beregnes ved hjælp af ligningerne i afsnit 3.1, og restgælden kendes derfor til alle terminer. 19 VBA-koden kan ses ved at åbne Excel-arket og trykke ALT-F11. 54

60 8.5 Implementering og resultater 8 KONVERTERINGSMODELLEN Som nævnt er motivationen for at konvertere, at låntager kan nedbringe sin ydelse og dermed nutidsværdien af sit lån. Derfor findes kontantlånsrenten efter skat, som er den diskonteringsrente, der skal benyttes til at finde nutidsværdien efter skat af det gamle lån. Som udgangspunkt kendes denne diskonteringsrente ikke. Til gengæld kan kontantlånsrenten før skat beregnes ved først at finde ydelsen og dernæst kontantlånsrenten. Ydelsen findes udfra restgælden og nulkuponrenterne som vist i ligning 8.6. Kontantlånsrenten før skat findes som den rente, der resulterer i at nutidsværdien af samtlige ydelser svarer til restgælden, se ligning 8.7. I ligning 8.6 benyttes diskonteringsrenterne svarende til nulkuponrenterne. I opgaven benyttes swaprenterne plus et refinansieringsspread som denne diskonteringsrente. I opgaven antages, at beslutningen om konvertering sker på opsigelsesdatoen for lånet, som er den sidste hverdag to måneder før terminen. Derfor er swaprenterne hentet fra Danske Analytics for hver opsigelsesdato. Da låntagerne ikke kan finansiere sig til swaprenterne skal swaprenterne tillægges et spread. Udfordringen er derfor at finde det spread, som skal lægges til swaprenterne for at få den refinansieringsrente som låntagerne refinansierer til. Det har derimod ikke været muligt at finde dette spread, hvorfor der er benyttet en konstant. Når både ydelsen og kontantlånsrenten før skat er fundet, beregnes kontantlånsydelsen efter skat ved hjælp af ligning 8.8 til Skattefradraget er vægtet udfra restgælden for private og erhverv, hvor renterne er sat til 33% for private og 50% for erhverv. Kontantlånsrenten efter skat findes som den rente, der resulterer i at nutidsværdien af samtlige ydelser efter skat svarer til restgælden, se ligning Nutidsværdien af det gamle lån findes nu ved at tilbagediskontere samtlige ydelser efter skat med den fundne kontantlånsrente. Hvis renterne er lave, vil nutidsværdien af det gamle lån efter skat være højere end restgælden, hvilket betyder at der er en potentiel konverteringsgevinst. Dog skal konverteringsomkostningerne først inkluderes i beregningen af konverteringsgevinsten. Omkostningerne er sat til 1% af restgælden. Ved hjælp af ligning 8.5 kan konverteringsgevinsten nu beregnes. Eftersom at konverteringsgevinsten er den primære årsag til konvertering, vil det være interessant at se konverteringsraten som funktion af konverteringsgevinsten, 55

61 8.5 Implementering og resultater 8 KONVERTERINGSMODELLEN Figur 11: Konverteringsraten som funktion af konverteringsgevinsten. før konverteringsraten estimeres. På figur 11 ses denne sammenhæng, hvoraf det fremgår, at konverteringsraten næsten er nul ved negative gevinster bortset fra nogle enkelte observationer. Så snart konverteringsraten er over nul ses en stigende tendens til at konverteringsraten også stiger. Til gengæld er der ikke nogen klar sammenhæng, idet den samme konverteringsgevinst resulterer i flere forskellige konverteringsrater og omvendt. Dette danner grundlag for, at der er behov for en konverteringsmodel, som kan give en mere entydig sammenhæng mellem konverteringsraten og konverteringsgevinsten Konverteringsfunktion Formålet med konverteringsfunktionen er, at opnå et mere nøjagtigt estimat for konverteringsraten, end konverteringsgevinsten kan give i sig selv. Årsagen er, som tidligere beskrevet, at forskellige forhold har indflydelse på låntagers konverteringsbeslutning. I denne opgave estimeres to konverteringsfunktioner, hvor den ene betragter obligationsserien som en gruppe, mens den anden er opdelt på debitorgrupperne, privat og erhverv, efter andelen af restgæld i serien. 56

62 8.5 Implementering og resultater 8 KONVERTERINGSMODELLEN Den fundne konverteringsfunktionen i 8.25 benyttes til at estimere konverteringsraten, men først skal de tre konstanter, β 1,β 2 og β 3, bestemmes. Dette gøres ved hjælp af mindste kvadraters metode, hvor Solveren sættes til at gætte på alle β- værdierne indtil den mindste forskel mellem den faktiske og den estimerede konverteringsrate er fundet. β-værdierne er den vægt som de enkelte led i konverteringsfunktionen tillægges, hvor værdien 1 svarer til neutral. Er β over 1 tillægges den forklarende variabel mere vægt og er β under 1 tillægges den forklarende variabel mindre vægt. Desto større en positiv værdi et led har, desto større en konverteringsrate bidrager det til. Omvendt gælder, desto større en negativ værdi et led har, desto nærmere kommer konverteringsraten 0. På figur 10 ses denne sammenhæng, idet konverteringsraten bliver større, desto større en værdi fraktilen har. De tre β-værdier knytter sig til hver sin forklarende variabel. Det er derfor væsentligt, at se isoleret på β-værdiernes betydning for konverteringsraten som funktion af den forklarende variabel. Det skal afgøres, om den pågældende β-værdi skal være positiv eller negativ. Summen af de tre led i konverteringsfunktionen er en fraktil i den kumulerede standardnormalfordeling, som resulterer i en konverteringsrate. Det er derfor afgørende for konverteringsraten, og dermed prisen på obligationen, at summen af de tre led giver en så korrekt fraktil som mulig. Der gælder at, desto større en fraktil desto større en konverteringsrate og omvendt. Betydningen af β 1 for konverteringsraten: β 1 er den vægt som tillægges produktet af konverteringsgevinsten og poolfaktoren. Der er en klar sammenhæng mellem konverteringsraten og konverteringsgevinsten. Som tidligere beskrevet justerer poolfaktoren effekten af en given konverteringsgevinst, men der gælder stadig den sammenhæng, at konverteringsraten stiger med konverteringsgevinsten, hvis man fastholder poolfaktoren. Intuitivt set skal β 1 derfor være positiv, da konverteringsraten skal stige med konverteringsgevinsten. Betydningen af β 2 for konverteringsraten: β 2 er den vægt som tillægges restløbetiden. Restløbetiden har mindre betydning for konverteringsraten i begyndelsen af lånets løbetid, da låntagers potentielle gevinst ved at vente er 57

63 8.5 Implementering og resultater 8 KONVERTERINGSMODELLEN stor. I takt med at lånet nærmer sig udløb, reduceres den potentielle gevinst, og låntager vil være mere villig til at konvertere. Derfor konverterer korte lån ved en mindre gevinst end lange lån. Intuitivt set skal β 2 derfor være negativ, idet β 2 vil bidrage til en stigende konverteringsgevinst i takt med at restløbetiden går fra 1 til 0. Dvs., at værdien af dette led vil blive større med tiden, hvilket bidrager til en større konverteringsrate. Betydningen af β 3!!"! (konstant-leddet) for konverteringsraten: Konstanten, β 3, benyttes til at fange det gennemsnitlige niveau for konverteringsraten. Startgættet til Solveren er følgende: β 1 = 1, β 2 = 1 og β 3 = 1. Det har ikke forbedret resultatet at benytte tilfældige tal som startgæt. Tabel 5: Beta-værdierne for konverteringsfunktionen uden opdeling på debitorgrupper. På tabel 5 ses de estimerede β-værdier for konverteringsfunktionen uden opdeling på debitorgrupper. Tabellen er opdelt i resultatet af to estimationer, hvor nummer 1 er uden begrænsninger (constraints) på Solveren, mens nummer 2 er begrænset med hensyn til at β 1 0,001 og β 2 0,001 for at overholde de regler, som blev omtalt ovenfor. Det er tilsyneladende ikke muligt at lægge begrænsningen β 1 > 0 og β 2 < 0 ind i Solveren. I estimation 1 ses, at β 2 giver en positiv værdi på 1,4897, hvilket er i uoverensstemmelse med, at β 2 skal være negativ. En positiv værdi ville medføre, at restløbetiden ville have størst betydning i begyndelsen af lånets løbetid og derefter aftagende. Da denne værdi skal være negativ lægges ovenstående begrænsninger ind i Solveren. Solveren konvergerer nu til begrænsningen på β 2 (β 2 = 0,001). Derudover falder forklaringsgraden, R 2, en smule fra 0,6466 til 0,6354. Dette tolkes som at Solveren ikke kan finde en konverteringsfunktion som fitter de faktiske konverteringsrater bedre. Derudover er forklaringsgraden heller ikke særlig 58

64 !"#$!"#%%% & ' (' ) *(+' *,(( $$# # #%$ 8.5 Implementering og resultater 8 KONVERTERINGSMODELLEN høj. I forventning om at opnå bedre resultater splittes konverteringsfunktionen op på debitorgrupper. Tabel 6: Beta-værdierne for konverteringsfunktionen med opdeling på debitorgrupper. På tabel 6 ses de estimerede beta-værdier for konverteringsfunktionen med opdeling på debitorgrupperne, privat og erhverv. Hensigten med at opdele konverteringsfunktionen på mere homogene debitorgrupper er at forbedre estimatet på konverteringsraten. Ligning 8.26 benyttes til at vægte de to grupper i konverteringsfunktionen. Resultatet af estimation 1 i tabel 6 er uden begrænsninger på Solveren, mens estimation 2 har begrænsningerne β 1 0,001 og β 2 0,001. I estimation 1 ses, at β 2 for erhverv er positiv. I estimation 2 overholder beta-værdierne begrænsningerne, men til gengæld falder forklaringsgraden fra 0,6771 til 0,6389. Det lykkedes derfor kun at forbedre forklaringsgraden marginalt ved at opdele konverteringsfunktionen på debitorgrupper. Til gengæld konvergerer β-værdierne ikke længere. Det ses, at β 1 -værdierne er meget store, og tillægger dermed meget vægt til produktet af gevinsten og poolfaktoren. Alternativt kan den estimerede konverteringsrate også vurderes ved at plotte den mod den faktiske konverteringsrate, som vist på Figur 12. ideelt set skal observationerne ligge på en ret linie med en hældning på 45, svarende til at den faktiskeog den estimerede konverteringsrate er lige store. På figuren ses, at der er en tendens til en hældning på omkring 45, men spredningen på observationerne er stor. Derudover skønner den estimerede konverteringsrate for højt, idet der er observationer, hvor den faktiske konverteringsrate er 0% mens den estimerede konverteringsrate ligger fra ca. 1%-9%. Derudover er der mange forskellige faktiske konverteringsrater for den samme estimerede konverteringsrate og omvendt. Endvi- 59

65 8.5 Implementering og resultater 8 KONVERTERINGSMODELLEN dere vokser spredningen på estimatet med den faktiske konverteringsrate, hvilket giver en meget stor usikkerhed på hvilken estimeret konverteringsrate, som er den rigtige i forhold til en given faktisk konverteringsrate. Dette er med til at påvise, hvorfor forklaringsgraden ikke er højere end den er. Figur 12: Den faktiske konverteringsrate som funktion af den estimerede konverteringsrate. På figur 13 ses den faktiske- og den estimerede konverteringsrate for 5 Unikredit A 32 som funktion af tiden. 5 Unikredit A 32 er den konverterbare obligation med låntagere fordelt på privat og erhverv, som har haft den største konverteringsrate i den betragtede periode på hele 31,40% i oktober 2005, men også konverteringsrater på 0%. Denne variation gør det interessant at se, hvor godt konverteringsfunktionen rammer den faktiske konverteringsrate. På figuren ses, at der er en tendens til, at de to grafer følges ad. Dog opfanger den estimerede konverteringsrate ikke de store ændringer i konverteringsraten i form af knæk på kurven. Endvidere skønner den også for højt i slutningen af perioden, hvor den faktiske konverteringsrate er 0%. Stigningen i den estimerede konverteringsrate til sidst i perioden kan skyldes, at de positiv konverteringsgevinster får tildelt for meget vægt, hvilket passer med at β 1 -værdierne er meget store. 60

66 8.5 Implementering og resultater 8 KONVERTERINGSMODELLEN! " # # Figur 13: Den faktiske- og den estimerede konverteringsrate som funktion af tiden. 61

67 9 PRISFASTSÆTTELSEN 9 Prisfastsættelsen 9.1 De forklarende variable Det er tidligere nævnt under afsnit 8.2, at formålet med konverteringsmodellen er at opstille en model som kan give et estimat på størrelsen af de fremtidige ekstraordinære udtrækninger. I afsnit 8.4 blev følgende konverteringsmodel opstillet: Prob[i = 1] = φ(β 1 GEV INST mt POOL mt + β 2 T ID mt + β 3 KONSTANT ) (9.1) I konverteringsmodellen i 9.1 ses de tre forklarende variable - gevinst, restløbetid og poolfaktor - som sammen med de tre parametre, β 1, β 2 og β 3, skal forklare konverteringsraten. Parametrene blev estimeret og fastlagt under konverteringsmodellen, og er derfor konstanter. Derimod skal variablerne beregnes frem i tid i binomialgitteret, hvor prisen på obligationen skal findes i hvert eneste knudepunkt for at kunne bestemme prisen til tid 0. I de følgende afsnit beskrives hvorledes denne beregning er foretaget Restløbetiden Restløbetiden beregnes som vist i afsnit ved at beregne tiden til udløb relativt til den totale løbetid for obligationen. Denne beregning vil altid give et resultat mellem 0 og 1. Er der eksempelvis 100 terminer til udløb for en obligation med 120 terminer vil restløbetiden være 100/120 = 0, 83. Restløbetiden ændrer sig derfor kun ved en ændring i tiden, t, og ikke ved en ændring i tilstanden, s Poolfaktoren Beregning af poolfaktoren er ikke nær så lige til. Årsagen er, at poolfaktoren er stiafhængig, hvilket vil sige, at værdien af poolfaktoren i et knudepunkt i binomialmodellen afhænger af den historiske udviklingen i de korte renter og dermed 62

68 9.1 De forklarende variable 9 PRISFASTSÆTTELSEN konverteringsrater. Derfor er det ikke muligt at beregne poolfaktoren startende fra udløb til den nuværende termin, da poolfaktoren er afhængig af de historiske konverteringsrater. Ser man eksempelvis på figur 4, vil poolfaktoren i knudepunkt (t 2,s 1 ) afhænge af udviklingen i renten fra knudepunkt (t 0,s 0 ). Der er to scenarier: For at komme til (t 2,s 1 ) vil renten enten udvikle sig til knudepunkt (t 1,s 1 ) eller til knudepunkt (t 1,s 0 ). Forskellen er, at renten i (t 1,s 1 ) er højest, hvilket betyder, at der potentielt vil være flere låntagere som konverterer end i (t 1,s 0 ). I knudepunkt (t 2,s 2 ) vil der derfor være færre som vælger at konvertere, da de mest konverteringsivrige allerede har konverteret. Da det ikke er muligt at fastlægge de fremtidige poolfaktorer i gitteret eksakt, vælges derfor en tilnærmelse. Det risikoneutrale sandsynlighedsmål benyttes til at beregne denne tilnærmelse. Stien til knudepunkt (t, s) må enten føre gennem knudepunkt (t 1,s) eller (t 1,s 1). På den øvre rand gælder, at stien til (t,s) må have gået gennem (t 1,s 1), og på den nedre rand må stien have gået gennem (t 1, s). Beregningen af poolfaktoren fremgår af følgende formel [sp08]: θ i (t,s) = θ i (t 1,s) (1 λ i (t 1,s)) for s = 0 (1 q)θ i (t 1,s) (1 λ i (t 1,s)) +q θ i (t 1,s 1) (1 λ i (t 1,s 1)) for s < 0 < t θ i (t 1,s 1) (1 λ i (t 1,s 1)) for s = t (9.2) Intuitionen bag formlen i 9.2 er, at både poolfaktoren og konverteringsraten i forrige periode er kendte. Er konverteringsraten over 0 har en andel af låntagerne valgt at konvertere, og poolfaktoren bliver derfor reduceret. Formlen i 9.2 kan benyttes til at beregne poolfaktoren for alle de debitorgrupper, der måtte indgå i konverteringsmodellen. På tidspunkt 0 er poolfaktoren kun kendt på serieniveau, hvorfor der tages udgangspunkt i denne værdi for begge debitorgrupper, dvs. θ(0,0) = θ i (0,0), hvor i er debitorgruppen. Poolfaktoren er lige til at beregne for de to tilstande på tids- 63

69 9.1 De forklarende variable 9 PRISFASTSÆTTELSEN punkt 1 ved at indsætte i formlen, da poolfaktoren og konverteringsraten som sagt er kendte på tidspunkt 0. For at beregne poolfaktoren i de tre tilstande på tidspunkt 2 kræves poolfaktoren og konverteringsraten på tidspunkt 1. Poolfaktoren blev beregnet i forrige iteration, hvilket efterlader konverteringsraten som den eneste ubekendte. Udover poolfaktoren skal restløbetiden og konverteringsgevinsten findes for at beregne konverteringsraten. Restløbetiden beregnes udfra ligning Tilbage er beregningen af konverteringsgevinsten, som bliver beskrevet i afsnit Konverteringsgevinsten Obligationen kan betragtes som en inkonverterbar ydelsesrække, der er kendt siden lånet blev oprettet. Dvs. at man til enhver tid kender de fremtidige ydelser helt til udløb. Hver ydelse består som bekendt af rente og afdrag, hvor afdraget hver termin nedbringer restgælden. Restgælden er derfor kendt på samtlige terminer. Den inkonverterbare ydelsesrække tilbagediskonteres med de korte renter, som blev fastlagt ved hjælp af BDT-modellen, se afsnit 6.1. B(t,s) = F(t) + 1 p(t,s){b(t + 1,s + 1) + B(t + 1,s)} (9.3) 2 Ligning 9.3 angiver værdien af den inkonverterbare obligation, B, i knudepunktet (t, s) i binomialgitteret. Værdien findes som den ydelse, der forfalder på tidspunkt t samt den tilbagediskonterede værdi af værdien i henholdsvis op- og nedtilstanden, B(t + 1,s + 1) og B(t + 1,s). Diskonteringsfaktoren, p(t,s), beregnes udfra den korte rente, r(t,s): p(t,s) = (1 + (r(t,s)) (t 1,t) (9.4) Beregningen af ligning 9.3 gentages fra udløb til tidspunkt t, hvor konverteringsraten (CPR) skal beregnes for at kunne bestemme poolfaktoren til tidspunkt t

70 9.2 Beregning af prisen 9 PRISFASTSÆTTELSEN Konverteringsgevinsten beregnes som den procentvise forskel mellem den tilbagediskonterede værdi af obligationen, B(t, s), fundet ved hjælp af ligning 9.3 og restgælden til tid t. Følgende ligning bestemmer konverteringsgevinsten, g(t,s): g(t,s) = B(t,s) RG(t) B(t, s) (9.5), hvor RG(t) er den kendte restgæld til tid t. Samtlige tre forklarende variable er nu kendte i knudepunkt (t, s) således at konverteringsraten kan bestemmes i knudepunkt (t,s). Proceduren gentages indtil samtlige poolfaktorer i binomialgitteret er bestemt. 9.2 Beregning af prisen Dette afsnit beskriver, hvorledes prisen på en konverterbar obligation findes. Som tidligere nævnt er betalingsrækken ikke kendt på grund af konverteringsoptionen. I modsætning til prisen på en inkonverterbar obligation afhænger prisen på en konverterbar obligation af konverteringsraten, som estimeres af konverteringsfunktionen (se afsnit 8). Konverteringsraten angiver den andel af de resterende låntagere som vælger at konvertere. Prisen på en konverterbar obligation er derfor sammensat af værdien af de inkonverterbare betalinger, og værdien af dem som konverterer, som det fremgår af følgende formel for prisen på en konverterbar obligation 20 : V i (t,s) = λ i (t,s) W i (t,s) + (1 λ i (t,s)) V + i (t, s) (9.6) λ i (t,s) er konverteringsfunktionen som angiver konverteringsraten i knudepunkt (t,s), hvor værdien af obligationen er W i (t,s). (1 λ i (t,s)) angiver den resterende andel som ikke konverterer i knudepunkt (t, s), hvor værdien af obligationen, V + (t,s), angiver nutidsværdien af den inkonverterbare betalingsrække og er givet 20 Notationen er inspireret af [Jak91]. 65

71 9.2 Beregning af prisen 9 PRISFASTSÆTTELSEN ved formlen: V + i (t,s) = Y (t) p(t,s){v i(t + 1,s + 1) +V i (t + 1,s)} (9.7), hvor Y (t) er den kvartalsvise ydelse, der skal betales på tidspunkt t. Diskonteringsfaktoren, p(t, s), tilbagediskonterer værdien af den inkonverterbare obligation i henholdsvis op- og nedtilstanden, V i (t + 1,s + 1) og V i (t + 1,s), til knudepunkt (t,s). Ved udløb er V i + (T,s) = Y (t) i alle tilstande, da der ikke er nogle fremtidige betalinger. Værdien af V i + (T 1,s) på den næstsidste termin svarer derfor til den tilbagediskonterede værdi af den ydelse, som forfalder på udløbstidspunktet. Værdien i tilfælde af konvertering, W i (t,s), er givet ved formlen: W i (t,s) = RG(t) + Z(t) + R(t) (9.8), hvor RG(t) er restgælden efter afdrag. Vælger låntager at konvertere forfalder hele restgælden, RG(t) + Z(t), samt den rente, R(t), som er tilskrevet siden sidste termin. Prisen på den konverterbare obligation bliver derfor den vægtede sum af prisen for debitorgrupperne: V (0,0) = k i=1 W i V i (0,0) (9.9), hvor vægten, W i, er andelen af restgæld i serien for den pågældende debitorgruppe på tidspunkt 0. 66

72 9.3 Implementering og resultater 9 PRISFASTSÆTTELSEN 9.3 Implementering og resultater I dette afsnit beskrives, hvorledes den teoretiske pris er beregnet, og hvilke resultater jeg er kommet frem til på baggrund af den beskrevne model i opgaven. De beregnede priser kan findes på den vedlagte CD-ROM i Excel-arket CPR.xls på fanebladet Pris. Prisfastsættelsen er baseret på et rentegitter og en konverteringsmodel. De korte én periode renter i rentegitteret blev fundet ved hjælp af BDT-modellen (afsnit 6.1). Dernæst er der opstillet en konverteringsmodel (afsnit 8) på baggrund af historiske data fra de 10 udvalgte konverterbare obligationer i perioden 1. april 2005 til 1. juli 2009, som bliver benyttet i konverteringsmodellen. Resultatet af konverteringsmodellen er konverteringsfunktionen i 8.25, hvor β-værdierne findes i tabel 6. Da det er konverteringsfunktionen, som adskiller prisfastsættelsen af en konverterbar obligation fra prisfastsættelsen af en inkonverterbar obligation, er denne funktion afgørende for prisen. Den 28. juli 2009 er valgt som handelsdato, hvilket betyder, at obligationerne prisfastsættes udfra rente- og volatilitetskurven på denne dato. Den valgte rentekurve er swaprenterne, hvilke ikke direkte kan benyttes til at prisfastsætte en konverterbar obligation, da låntager ikke kan finansiere til denne rente. Derfor har jeg tillagt et fast spread på 80 basis punkter til swaprenterne. De længste af de 10 obligationer løber ud til d. 1. oktober 2032, hvilket betyder, at rente- og volatilitetskurven også skal løbe ud til denne dato. Den overordnede måde at beregne prisen på en obligation er følgende: 1. Først beregnes amortiseringen af lånet med en hovedstol på 100, således at restgæld, afdrag og rente før og efter skat kendes på alle terminer. Lånets totale løbetid svarer til 120 terminer for et 30 årigt lån. I opgaven antages, at alle lån er optaget, når serien lukker for udstedelser, således at restgælden på alle terminer er kendt. I opgaven fokuseres udelukkende på 5% obligationer, hvorfor renten før skat beregnes som 5% af den på tidspunkt t tilbageværende restgælden. For at beregne efter skat ydelsen benyttes et rentefradrag på 33% for privat og 50% for erhverv. Amortiseringen foretages uafhængig 67

73 9.3 Implementering og resultater 9 PRISFASTSÆTTELSEN af rentekurver og volatilitet. 2. Dernæst beregnes konverteringsgevinsten i samtlige knudepunkter i rentegitteret. For at beregne konverteringsgevinsten skal både nutidsværdien og restgælden være kendt. Nutidsværdien i hvert knudepunkt findes ved at tilbagediskontere efter skat ydelserne fra udløb med de korte én periode renter, som er renten gældende fra et knudepunkt og en termin frem. Restgælden kendes fra beregningen af amortiseringen. Konverteringsgevinsten findes som den procentuelle forskel mellem restgælden til tidspunkt t og nutidsværdien af efter skat ydelserne i det pågældende knudepunkt (t, s) plus konverteringsomkostninger (se ligning 8.5). 3. Næste skridt er at beregne poolfaktoren fra tidspunkt 0 og frem til udløb. Da poolfaktoren ikke er kendt i de fremtidige knudepunkter, benyttes tilnærmelsen i Endelig er værdierne for alle tre forklarende variable fastlagt i alle knudepunkter, hvorefter ydelserne før skat tilbagediskonteres begyndende fra udløb til tidspunkt 0. Til diskonteringen benyttes de korte én periode renter. 5. Nutidsværdien af obligationen i et knudepunkt findes ved hjælp af ligning 9.6. I hvert knudepunkt angiver konverteringsfunktionen konverteringsraten, som er den andel af låntagerne som konverterer. Det første led i 9.6 beskriver den andel af låntagerne som konverterer. Når en låntager konverterer, er værdien af lånet den tilbageværende restgæld plus den ydelse som forfalder på den termin, hvor der konverteres. Det andet led er produktet af nutidsværdien af de fremtidige betalinger, og den andel som ikke konverterer. Værdien af obligationen beregnes på denne måde i samtlige knudepunkter og tilbagediskonteres termin for termin til tidspunkt Prisen på obligationen findes som forholdet mellem restgælden og nutidsværdien på tidspunkt 0, hvorefter der multipliceres med Prisen beregnes uden vedhængende rente (clean price). Derfor fratrækkes renten fra den forrige termin til valørdatoen, som for obligationer ligger 68

74 %&' )*! 9.3,-&$.! Implementering og resultater 9 PRISFASTSÆTTELSEN &,,!!!!!+$ + "!"!"! $""#!!$!"#"!"(!"#! # # #!$!!!!(!!!"!$ : )*434.4 " #!$ $# # tre bankdage efter handelsdatoen. Den vedhængende rente er beregnet på %&' &,,!.! 3.4!!!!!$+!!$!!!#!#!$$+$ # baggrund af restgælden!!!! $# på +! den forrige termin. / !!!! $!# $#!$ + # Tabel 7: Teoretiske priser og markedspriser på de 10 udvalgte konverterbare obligationer, hvor afvigelsen angiver forskellen mellem markedsprisen og den pågældende teoretiske pris. Resultatet af prisfastsættelsen af de 10 udvalgte fastforrentede konverterbare obligationer ses i tabel 7. Den første kolonne viser navnet på obligationen. Den næste kolonne viser den officielle markedspris d. 28. juli Priserne i kolonnen med overskriften estimation 1 er beregnet på baggrund af konverteringsfunktionen i estimation 1 i tabel 6. Priserne i kolonnen med overskriften estimation 2 er beregnet på baggrund af konverteringsfunktionen i estimation 2 i tabel 6. Forskellen på de to estimationer er, hvorvidt der er lagt begrænsninger ind i Solveren på β- værdierne eller ej. På tabellen ses, at de teoretiske priser, ikke overraskende, er meget afhængige af β-værdierne i konverteringsfunktionen. I estimation 1 afviger de teoretiske priser fra markedspriserne fra 0,10% til 23,63%. 5 Total 111CS.32 afviger kun fra markedsprisen med 0,10%, mens 5 DLR 43SA 2032 afviger med hele 23,62%. Da den anden Total Kredit obligation, 5 Total 111CS.29, også ligger relativt tæt på markedsprisen kunne det tyde på, at estimation 1 er bedst til at prisfastsætte de obligationer, som kun har private låntagere. Begrænsningerne på β-værdierne i estimation 2 giver et markant bedre resultat, hvor afvigelserne ligger fra -0,27% til 4,95%. Generelt ligger de teoretiske priser 69

75 9.3 Implementering og resultater 9 PRISFASTSÆTTELSEN dog et stykke fra markedspriserne, mens nogle få ligger indenfor en halv procent. Derudover er de teoretiske priser overvejende højere end markedspriserne, mens kun nogle få ligger under markedspriserne. Generelt gælder, at prisen på to realkreditobligationer med samme kupon og løbetid fra to forskellige realkreditinstitutter skal ligge tæt på hinanden. Denne sammenhæng ses også udfra markedspriserne. Samme tendens ses på de teoretiske priser, dog ikke helt så tydeligt. Der er en tendens til, at de teoretiske priser på obligationerne med samme løbetid ligger tættest på hinanden obligationerne ligger omkring 100 på nær Unikredit og DLR, mens 2029 obligationerne ligger et stykke over med en pris omkring 105. De teoretiske priser på 2032 obligationerne har den mindste afvigelse til markedspriserne. Der er derfor ingen tendens til at obligationer fra et bestemt realkreditinstitut afviger fra priserne på obligationerne fra de øvrige realkreditinstitutter. 70

76 10 KONKLUSION 10 Konklusion Hensigten med opgaven har været at konstruere en model til at prisfastsætte fastforrentede, konverterbare realkreditobligationer. Modellen består af to dele. Den ene del er en konverteringsmodel baseret på historiske data for ti konverterbare obligationer. Resultatet af konverteringsmodellen er en konverteringsfunktion, som er opdelt på debitorgrupperne privat og erhverv. Den fundne konverteringsfunktionen har en forklaringsgrad på 0,6389, som er et udtryk for hvor tæt de estimerede konverteringsrater ligger på de faktiske konverteringsrater. Den anden del af modellen er selve prisfastsættelsen, som er baseret på en rentebinomialmodel og konverteringsmodellen. Resultatet af prisfastsættelsen afviger fra markedspriserne fra -0,27% til 4,95%, hvor en negativ afvigelse er et udtryk for, at den teoretiske pris ligger under markedsprisen og omvendt for en positiv afvigelse. Karakteristisk for de teoretiske priser er, at de er højere end markedspriserne. På trods af, at afvigelserne til markedspriserne er forskellige er der dog en tendens til, at de teoretiske priser for obligationer med samme løbetid ligger i nogenlunde samme niveau. Den nuværende model er derfor ikke tilstrækkelig anvendelig til at kunne benyttes i praksis. Der kan være mange forskellige faktorer, som hver især bidrager med en usikkerhed, som gør at de teoretiske priser og markedspriserne ikke er identiske. De usikkerhedsfaktorer der kan være tale om beskrives i det følgende: Da låntagerne ikke kan finansiere sig til swaprenterne, er der lagt et spread på 80 bp til swaprenterne. Muligvis er dette spread ikke tilstrækkelig højt, da et større spread vil øge diskonteringsrenten og dermed reducere nutidsværdien. Dog er nogle af de teoretiske priser lavere end markedspriserne, hvorfor hele forklaringen på afvigelserne formentlig ikke kun ligger i et forkert spread. En anden forklaring skal muligvis findes i konverteringsfunktionens forklaringsgrad, som udtrykker en sammenhæng mellem de estimerede og de faktiske konverteringsrater på 0,6389, hvilket ikke kan betragtes som en høj forklaringsgrad. Flere forskellige usikkerhedsfaktorer kan påvirke konverteringsfunktionen. En af årsagerne kan være, at konverteringsgevinsten er beregnet på den sidste opsigel- 71

77 10 KONKLUSION sesdato, som falder på den sidste bankdag to måneder før terminen. Dvs., at konverteringsgevinsten er baseret på rentekurven for sidste opsigelsesdato. I virkeligheden har låntagerne mulighed for at opsige deres lån mellem fem og to måneder før terminen. I så lang en periode kan rentekurven naturligvis nå at bevæge sig meget, hvilket betyder at konverteringsgevinsten selvsagt også vil ændre sig. En anden usikkerhedsfaktor, der kan påvirke konverteringsfunktionen er konverteringsomkostningerne, der er beregnet som et tilnærmet gennemsnit på 1% af restgælden. Når omkostningerne beregnes som en procentdel af restgælden er omkostningerne ved at konvertere små lån relativt de samme som omkostningerne ved at konvertere store lån. I virkeligheden er der bl.a. gebyrer, som ikke afhænger af størrelsen på lånet og derfor udgør en relativt større omkostning for små lån end for store lån. En tredje usikkerhedsfaktor kan være, at der intet kurstab er forbundet med konverteringen, da konverteringen sker til kurs 100. Dette øger konverteringsgevinsten i forhold til virkelighedens verden, hvor låntager som regel er udsat for et kurstab. Af de usikkerheder som kan relateres til BDT-modellen kan nævnes volatiliteten. BDT-modellen skal have en aftagende volatilitet, da modellen mangler ægte mean reversion. Dette betyder, at volatiliteten bliver tilpasset en aftagende eksponentialfunktion, hvilket ikke er i overensstemmelse med volatiliteten i markedet. Såfremt prisfastsættelsesmodellen skulle videreudvikles, ville det derfor være relevant at gå videre med følgende områder for at forbedre modellens evne til at prisfastsætte: Konverteringsgevinsten bliver som nævnt beregnet på den sidste opsigelsesdato. For at forbedre beregningen af konverteringsgevinsten kan den alternativt beregnes på flere forskellige tidspunkter i løbet af opsigelsesperioden, som vægtes i forhold til størrelsen af konverteringerne. I opgaven er debitorerne opdelt på grupperne privat og erhverv. Derudover kan debitorerne opdeles yderligere i intervaller afhængig af størrelsen på lånet. Realkreditinstitutterne publicerer disse oplysninger med lånestørrelse opdelt på fem 72

78 10 KONKLUSION intervaller. Denne yderligere opdeling vil kunne gøre de respektive debitorgrupper mere homogene. Dette medfører dog samtidig den udfordring, at lånene vil vandre fra et interval til det næste, i takt med at restgælden reduceres. Når restgælden i intervallerne mellem terminerne benyttes til at beregne udtrækket i den pågældende gruppe, bliver resultaterne forstyrret af de lån som vandrer mellem intervallerne. Derfor stiller denne opdeling af debitorerne store krav til kendskabet til data. Konverteringsomkostningerne blive som nævnt beregnet som 1% er restgælden. En mere differentieret opdeling af omkostningerne på lånestørrelse vil kunne bidrage til en mere nøjagtig beregning af konverteringsgevinsten. I opgaven er der udelukkende fokuseret på fastforrentede, konverterbare obligationer med en kupon på 5%. Nedkonvertering til en tilsvarende type obligation med lavere kupon har ikke været aktuelt, da renteniveauet ikke har været tilstrækkelig lavt. Da mange af låntagerne de seneste år har finansieret sig med rentetilpasningslån, kan den korte refinansieringsrente inddrages som forklarende variabel i konverteringsfunktionen. 73

79 LITTERATUR LITTERATUR Litteratur [Bec06a] Ken L. Bechmann. Obligationer og derivater. Undervisningsnoter Lektion E04, Copenhagen Business School, [Bec06b] Ken L. Bechmann. Obligationer og derivater. Undervisningsnoter Lektion F11, Copenhagen Business School, [Bec06c] Ken L. Bechmann. Obligationer og derivater. Undervisningsnoter Lektion F13, Copenhagen Business School, [Bec07] Ken L. Bechmann. Videregående obligationer og derivater. Undervisningsnoter Lektion 6, Copenhagen Business School, [Bol09] Boliga.dk. Kontantlån. aspx?id=54&cat=0, august [BT90] E. Derman Black, F. and W. Toy. A one-factor model of interest rates and its application to treasury bond options. Financial Analysts Journal, 46(1):33 39, [Chr05a] Bjarne Astrup Christensen. Rentesregning. Jurist- og Økonomforbundets Forlag, 4. edition, [Chr05b] Michael Christensen. Obligationsinvestering. Jurist- og Økonomforbundets Forlag, 6. edition, [Dah91] [Dan09] [Hul06] [Jak91] Henrik Dahl. Risikomål for konverterbare obligationer. Finans/Invest, 7, Realkredit Danmark. Rating. Investor, september John C. Hull. Options, Futures and Other Derivatives. Pearson Prentice Hall, 6. edition, Svend Jakobsen. En model til prisfastsættelse af konverterbare realkreditobligationer. Working paper, Handelshøjskolen i Århus, oktober Revideret maj

80 LITTERATUR LITTERATUR [Jak92] Svend Jakobsen. En empirisk model for konverteringsadfærd. Finans/Invest, 8, [Ras99] Svend Jakobsen; Nicki Rasmussen. Hvad praktikere bør vide om... prisfastsættelse af koverterbare obligationer. Finans/Invest, 8, [Rea09a] Realkreditankenævnet. Låneomlægning. aarsemne.asp?p=7&emne_id=5, august [Rea09b] Realkreditraadet. Boligejerne vælger massivt rentetilpasningslån. Pressemeddelelser.aspx?M=News&PID=479&NewsID=316, oktober [Rea09c] Realkreditraadet. Rentetilpasningslån er stadig et hit. Pressemeddelelser.aspx?M=News&PID=479&NewsID=339, oktober [Røg07] Mikkel Røgild. Særligt dækkede obligationer og investorerne. Finans/invest, 5, [sp08] Kenneth Østervemb Petersen. Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer. Master s thesis, CBS, november [Sve99] Svend Jakobsen; Mikkel Svendstrup. Hvad praktikere bør vide om... modeller for konverteringsadfærd. Finans/Invest, 7, [Sve02] Mikkel Svenstrup. On the suboptimality of single-factor exercise straegies for Bermudan swaptons. Article, The Aarhus School of Business. Department of Finance., November

81 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) A Programmeringskode (VBA) Samtlige beregninger til at prisfastsætte en fastforrentet, konverterbar obligation er programmeret i Visual Basic for Applications (VBA). Nedenstående funktioner bliver kaldt fra Excelarket CPR.xls. Function a m o r t i s e r i n g ( kupon As Double, u d l o e b s d a t o As Date, _ l o e b e t i d As I n t e g e r, h o v e d s t o l As Double, s k a t As Double ) A m o r t i s e r i n g s t a b e l l e n r å d e r over f ø l g e n d e fem k o l o n n e r : 1: Rente f ø r s k a t. 2: Afdrag. 3: R estgæld. 4: Rente e f t e r s k a t. 5: Y d e l s e e f t e r s k a t. 6: T e r m i n s d a t o. Dim a f v i k l i n g ( ) As Double ReDim a f v i k l i n g ( l o e b e t i d, 6) Dim d a t o As Double, y d e l s e As Double Dim t As I n t e g e r S æ t t e r r e s t g æ l d e n t i l 100 på t i d s p u n k t 0. a f v i k l i n g ( 0, 3) = h o v e d s t o l d a t o = DateAdd ( " q ", l o e b e t i d + 1, u d l o e b s d a t o ) K o n s t a n t y d e l s e f ø r s k a t f o r a n n u i t e t e n. y d e l s e = h o v e d s t o l * ( kupon / 4) / (1 (1 + ( kupon / 4) ) ^ ( l o e b e t i d ) ) For t = 1 To l o e b e t i d Beregner r e n t e f ø r s k a t. a f v i k l i n g ( t, 1) = kupon / 4 * a f v i k l i n g ( t 1, 3) Beregner a f d r a g. a f v i k l i n g ( t, 2) = y d e l s e a f v i k l i n g ( t, 1) Beregner r e s t g æ l d. a f v i k l i n g ( t, 3) = a f v i k l i n g ( t 1, 3) a f v i k l i n g ( t, 2) 76

82 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Beregner r e n t e e f t e r s k a t. a f v i k l i n g ( t, 4) = a f v i k l i n g ( t, 1) * (1 s k a t ) Beregner y d e l s e e f t e r s k a t. a f v i k l i n g ( t, 5) = a f v i k l i n g ( t, 4) + a f v i k l i n g ( t, 2) I n d s æ t t e r t e r m i n s d a t o i a f v i k l i n g s t a b e l l e n. a f v i k l i n g ( t, 6) = d a t o Next d a t o = DateAdd ( "m", 3, d a t o ) a m o r t i s e r i n g = a f v i k l i n g End Function Function f i n d R e s t g æ l d ( kupon As Double, u d l o e b s d a t o As Date, l o e b e t i d As I n t e g e r, _ h o v e d s t o l As Double, s k a t As Double, r e s t g a e l d s D a t o As Double ) Dim r e s t g æ l d, t e r m i n As Double Dim a f v i k l i n g ( ) As Double Dim t As I n t e g e r a f v i k l i n g = a m o r t i s e r i n g ( kupon, u d l o e b s d a t o, l o e b e t i d, h o v e d s t o l, s k a t ) t = 1 While a f v i k l i n g ( t, 6) <= r e s t g a e l d s D a t o r e s t g æ l d = a f v i k l i n g ( t, 3) t = t + 1 Wend f i n d R e s t g æ l d = r e s t g æ l d End Function 77

83 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Function g e t K n t Y d e l s e S p r e a d ( kupon As Double, o p s i g e l s e s d a t o As Date, t e r m i n s d a t o As Date, _ u d l o e b s d a t o As Date, l ø b e t i d As I n t e g e r, h o v e d s t o l As Double, s k a t As Double, _ r e s t g æ l d s D a t o As Date, s p r e a d As Double ) Dim r e s t g æ l d As Double, a n t a l D a g e As Double, d i s k As Double Dim d a t o R e s t g æ l d As Double, d i s k o n t e r i n g s f a k t o r As Double Dim datotermin As Date Dim i As I n t e g e r, r a e k k e As I n t e g e r Dim r e n t e r As V a r i a n t datotermin = t e r m i n s d a t o d a t o R e s t g æ l d = r e s t g æ l d s D a t o i = 0 r a e k k e = 2 I n d l æ s e r r e n t e k u r v e r f r a range i E x c e l. Set r e n t e r = Range ( " R e n t e k u r v e r " ) While r e n t e r ( raekke, 1) < t e r m i n s d a t o Wend r a e k k e = r a e k k e + 1 Summerer s a m t l i g e d i s k o n t e r i n g s f a k t o r e r. While t e r m i n s d a t o <= u d l o e b s d a t o a n t a l D a g e = D a t e D i f f ( " d ", o p s i g e l s e s d a t o, t e r m i n s d a t o, vbmonday ) d i s k = (1 + r e n t e r ( r a e k k e + i, r a e k k e ) + s p r e a d / 10000) ^ ( a n t a l D a g e / 365) d i s k o n t e r i n g s f a k t o r = d i s k o n t e r i n g s f a k t o r + d i s k t e r m i n s d a t o = DateAdd ( "m", 3, t e r m i n s d a t o ) i = i + 1 Wend F inder r e s t g æ l d e n t i l den pågældende o p s i g e l s e s d a t o i a m o r t i s a t i o n s t a b e l l e n. r e s t g æ l d = f i n d R e s t g æ l d ( kupon, u d l o e b s d a t o, l ø b e t i d, _ 78

84 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) h o v e d s t o l, s k a t, d a t o R e s t g æ l d ) g e t K n t Y d e l s e S p r e a d = r e s t g æ l d / d i s k o n t e r i n g s f a k t o r End Function Function getpvkontant ( o p s i g e l s e s d a t o As Date, t e r m i n s d a t o As Date, u d l o e b s d a t o As Date, _ y d e l s e As Double, k n t R e n t e As Double ) Dim a n t a l D a g e As Double, pv_ As Double Dim i As I n t e g e r i = 0 Summerer s a m t l i g e d i s k o n t e r i n g s f a k t o r e r. While t e r m i n s d a t o <= u d l o e b s d a t o a n t a l D a g e = D a t e D i f f ( " d ", o p s i g e l s e s d a t o, t e r m i n s d a t o, vbmonday ) pv_ = pv_ + y d e l s e * (1 + k n t R e n t e ) ^ ( a n t a l D a g e / 365) t e r m i n s d a t o = DateAdd ( "m", 3, t e r m i n s d a t o ) i = i + 1 Wend getpvkontant = pv_ End Function Function getpvkontantes ( kupon As Double, o p s i g e l s e s d a t o As Date, t e r m i n s d a t o As Date, u d l o e b s d a t o As Date, _ y d e l s e As Double, kntrentefs As Double, kntrentees As Double, s k a t As Double, l ø b e t i d As I n t e g e r, _ h o v e d s t o l As Double ) F inder PV f o r k o n t a n t l å n e t ved a t t i l b a g e d i s k o n t e r e den t i l b a g e v æ r e n d e r e s t g æ l d med k o n t a n t l å n s r e n t e n e f t e r s k a t. 79

85 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Dim d a t o R e s t g æ l d As Double, a n t a l D a g e As Double Dim datotermin As Date, d a t o As Date, s i d s t e _ t e r m i n As Date Dim a n t a l T e r m i n e r As Double, pv_ As Double Dim i As I n t e g e r d a t o = t e r m i n s d a t o d a t o R e s t g æ l d = o p s i g e l s e s d a t o datotermin = t e r m i n s d a t o While d a t o <= u d l o e b s d a t o d a t o = DateAdd ( "m", 3, d a t o ) a n t a l T e r m i n e r = a n t a l T e r m i n e r + 1 Wend Dim r e n t e F S ( ) As Double ReDim r e n t e F S ( a n t a l T e r m i n e r + 1) Dim r e n t e E S ( ) As Double ReDim r e n t e E S ( a n t a l T e r m i n e r + 1) Dim a f d r a g ( ) As Double ReDim a f d r a g ( a n t a l T e r m i n e r + 1) Dim r e s t g a e l d ( ) As Double ReDim r e s t g a e l d ( a n t a l T e r m i n e r + 1) Dim ydelsees ( ) As Double ReDim ydelsees ( a n t a l T e r m i n e r + 1) Dim r e s t g æ l d As I n t e g e r F inder r e s t g æ l d e n t i l den pågældende o p s i g e l s e s d a t o i a m o r t i s a t i o n s t a b e l l e n. r e s t g a e l d ( 1 ) = f i n d R e s t g æ l d ( kupon, u d l o e b s d a t o, l ø b e t i d, h o v e d s t o l, s k a t, d a t o R e s t g æ l d ) Beregner a m o r t i s e r i n g e n f o r a t f i n d e PV e f t e r s k a t. For i = 1 To a n t a l T e r m i n e r 80

86 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) a n t a l D a g e = D a t e D i f f ( " d ", o p s i g e l s e s d a t o, t e r m i n s d a t o, vbmonday ) I f i = 1 Then Else End r e n t e F S ( i ) = kntrentefs * a n t a l D a g e / 365 * r e s t g a e l d ( i ) r e n t e F S ( i ) = kntrentefs * ( t e r m i n s d a t o I f s i d s t e _ t e r m i n ) / 365 * r e s t g a e l d ( i ) a f d r a g ( i ) = y d e l s e r e n t e F S ( i ) r e s t g a e l d ( i + 1) = r e s t g a e l d ( i ) a f d r a g ( i ) r e n t e E S ( i ) = r e n t e F S ( i ) * (1 s k a t ) ydelsees ( i ) = r e n t e E S ( i ) + a f d r a g ( i ) s i d s t e _ t e r m i n = t e r m i n s d a t o t e r m i n s d a t o = DateAdd ( "m", 3, t e r m i n s d a t o ) pv_ = pv_ + ydelsees ( i ) * (1 + kntrentees ) ^ ( a n t a l D a g e / 365) Next getpvkontantes = pv_ End Function Function getpvobl ( kupon As Double, o p s i g e l s e s d a t o As Date, t e r m i n s d a t o As Date, _ u d l o e b s d a t o As Date, s k a t As Double, k n t R e n t e As Double, l ø b e t i d As I n t e g e r, _ h o v e d s t o l As Double ) F inder PV f o r o b l i g a t i o n s l å n e t t i l b a g e d i s k o n t e r e t med k o n t a n t l å n s r e n t e n e f t e r s k a t. Dim d a t o R e s t g æ l d As Double, y d e l s e As Double, a n t a l D a g e As Double Dim pv_ As Double Dim r a e k k e As I n t e g e r, a n t a l T e r m i n e r As I n t e g e r, i As Double 81

87 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Dim d a t o As Date, f o r r i g e T e r m i n As Date Dim r e n t e r As V a r i a n t r a e k k e = 2 d a t o = t e r m i n s d a t o d a t o R e s t g æ l d = o p s i g e l s e s d a t o While d a t o <= u d l o e b s d a t o d a t o = DateAdd ( "m", 3, d a t o ) a n t a l T e r m i n e r = a n t a l T e r m i n e r + 1 Wend I n d l æ s e r r e n t e k u r v e r f r a range i E x c e l. Set r e n t e r = Range ( " R e n t e k u r v e r " ) While r e n t e r ( raekke, 1) < t e r m i n s d a t o Wend r a e k k e = r a e k k e + 1 Dim r e n t e F S ( ) As Double ReDim r e n t e F S ( a n t a l T e r m i n e r + 1) Dim r e n t e E S ( ) As Double ReDim r e n t e E S ( a n t a l T e r m i n e r + 1) Dim a f d r a g ( ) As Double ReDim a f d r a g ( a n t a l T e r m i n e r + 1) Dim r e s t g a e l d ( ) As Double ReDim r e s t g a e l d ( a n t a l T e r m i n e r + 1) Dim ydelsees ( ) As Double ReDim ydelsees ( a n t a l T e r m i n e r + 1) F inder r e s t g æ l d e n t i l den pågældende o p s i g e l s e s d a t o i a m o r t i s a t i o n s t a b e l l e n. r e s t g a e l d ( 1 ) = f i n d R e s t g æ l d ( kupon, u d l o e b s d a t o, l ø b e t i d, h o v e d s t o l, s k a t, d a t o R e s t g æ l d ) 82

88 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Den k v a r t a l s v i s e a n n u i t e t s y d e l s e n. y d e l s e = h o v e d s t o l * ( kupon / 4) / (1 (1 + ( kupon / 4) ) ^ ( l ø b e t i d ) ) Beregner a m o r t i s e r i n g e n f o r a t f i n d e PV e f t e r s k a t. For i = 1 To a n t a l T e r m i n e r a n t a l D a g e = D a t e D i f f ( " d ", o p s i g e l s e s d a t o, t e r m i n s d a t o, vbmonday ) r e n t e F S ( i ) = kupon / 4 * r e s t g a e l d ( i ) a f d r a g ( i ) = y d e l s e r e n t e F S ( i ) r e s t g a e l d ( i + 1) = r e s t g a e l d ( i ) a f d r a g ( i ) r e n t e E S ( i ) = r e n t e F S ( i ) * (1 s k a t ) ydelsees ( i ) = r e n t e E S ( i ) + a f d r a g ( i ) f o r r i g e T e r m i n = t e r m i n s d a t o t e r m i n s d a t o = DateAdd ( "m", 3, t e r m i n s d a t o ) pv_ = pv_ + ydelsees ( i ) * (1 + k n t R e n t e ) ^ ( a n t a l D a g e / 365) Next getpvobl = pv_ End Function Sub kntrentefs ( ) Før a f v i k l i n g a f denne sub s k a l t a r g e t c e l l e n og den c e l l e som der s k a l ændres på i n d t a s t e s i f o r l ø k k e n n e d e n f o r. Dim r e s t g a e l d As Double For i = 9 To 188 t a r g e t = " J " & i change_ = " I " & i 83

89 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) r e s t g a e l d = Range ( "G" & i ). Value S e t C e l l : t a r g e t c e l l e n MaxMinVal : Max = 1, min = 2 og v a l = 3. D i f f e r e n c e n s k a l minimeres. Derfor værdien 2. ByChange : Den c e l l e som S o l v e r e n s k a l ændre på f o r a t e s t i m e r e en l ø s n i n g. SolverOK S e t C e l l := Range ( t a r g e t ), MaxMinVal : = 3, ValueOf := r e s t g a e l d, ByChange := Range ( change_ ) S æ t t e s t i l t r u e, da S o l v e r r e s u l t a t d i a l o g box i k k e s k a l v i s e s. S o l v e r S o l v e U s e r F i n i s h := True Gemmer r e s u l t a t e t f ø r d e t s l e t t e s a f S o l v e r e n. Range ( change_ ). Value = Range ( change_ ) S o l v e r e n l u k k e s og r e s u l t a t e t s l e t t e s. S o l v e r F i n i s h KeepFinal :=1 Next End Sub Sub kntrentees ( ) Før a f v i k l i n g a f denne sub s k a l t a r g e t c e l l e n og den c e l l e som der s k a l ændres på i n d t a s t e s i f o r l ø k k e n n e d e n f o r. Dim r e s t g a e l d As Double For i = 9 To 188 t a r g e t = "M" & i change_ = "L" & i r e s t g a e l d = Range ( "G" & i ). Value S e t C e l l : t a r g e t c e l l e n MaxMinVal : Max = 1, min = 2 og v a l = 3. D i f f e r e n c e n s k a l minimeres. Derfor værdien 2. ByChange : Den c e l l e som S o l v e r e n s k a l ændre på 84

90 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) f o r a t e s t i m e r e en l ø s n i n g. SolverOK S e t C e l l := Range ( t a r g e t ), MaxMinVal : = 3, ValueOf := r e s t g a e l d, ByChange := Range ( change_ ) S æ t t e s t i l t r u e, da S o l v e r r e s u l t a t d i a l o g box i k k e s k a l v i s e s. S o l v e r S o l v e U s e r F i n i s h := True Gemmer r e s u l t a t e t f ø r d e t s l e t t e s a f S o l v e r e n. Range ( change_ ). Value = Range ( change_ ) S o l v e r e n l u k k e s og r e s u l t a t e t s l e t t e s. S o l v e r F i n i s h KeepFinal :=1 Next End Sub Function g e t N P V G i t t e r ( a f v i k l i n g ( ) As Double, l ø b e t i d As I n t e g e r, v a l ø r d a t o As Date, _ u d l ø b s d a t o As Date, r e n t e k u r v e As V a r i a n t, v o l a t i l i t e t As Range, _ t e r m i n e r As Range ) Dim a n t a l T e r m i n e r As I n t e g e r, s As I n t e g e r, t As I n t e g e r a n t a l T e r m i n e r = D a t e D i f f ( " q ", v a l ø r d a t o, u d l ø b s d a t o, vbmonday ) Dim r e n t e G i t t e r ( ) As Double Dim npv ( ) As Double ReDim npv ( a n t a l T e r m i n e r, a n t a l T e r m i n e r ) Dim c o u n t As I n t e g e r Dim ydelsees As Double, a n t a l A a r As Double Dim d a t o _ t 1 As Date, d a t o _ t As Date r e n t e G i t t e r = b d t ( r e n t e k u r v e, v o l a t i l i t e t, 0. 5, v a l ø r d a t o, t e r m i n e r ) 85

91 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) d a t o _ t 1 = u d l ø b s d a t o T e r m i n s y d e l s e n e f t e r s k a t t i l f ø j e s. For s = 0 To a n t a l T e r m i n e r npv ( s, a n t a l T e r m i n e r ) = a f v i k l i n g ( l ø b e t i d, 5) Next For t = a n t a l T e r m i n e r 1 To 0 Step 1 c o u n t = c o u n t + 1 d a t o _ t = DateAdd ( " q ", 1, d a t o _ t 1 ) a n t a l A a r = ( d a t o _ t 1 d a t o _ t ) / 365 I f t = 0 Then a n t a l A a r = ( d a t o _ t 1 v a l ø r d a t o ) / 365 End I f ydelsees = a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 5) For s = 0 To t I f t = 0 Then npv ( s, t ) = 0. 5 * (1 + r e n t e G i t t e r ( s, t ) ) ^ a n t a l A a r * ( npv ( s, t + 1) + npv ( s + 1, t + 1) ) Else npv ( s, t ) = ydelsees * (1 + r e n t e G i t t e r ( s, t ) ) ^ a n t a l A a r * ( npv ( s, t + 1) + npv ( s + 1, t + 1) ) End I f Next d a t o _ t 1 = d a t o _ t Next g e t N P V G i t t e r = npv End Function Function g e t G e v i n s t G i t t e r ( kupon As Double, l ø b e t i d As I n t e g e r, h o v e d s t o l As Double, v a l ø r d a t o As Date, _ t e r m i n s d a t o As Date, u d l ø b s d a t o As Date, r e n t e k u r v e As V a r i a n t, v o l a t i l i t e t As Range, s k a t As Double, _ t e r m i n e r As Range, a f v i k l i n g ( ) As Double ) Dim a n t a l T e r m i n e r As I n t e g e r, t As I n t e g e r, s As I n t e g e r 86

92 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) a n t a l T e r m i n e r = D a t e D i f f ( " q ", v a l ø r d a t o, u d l ø b s d a t o, vbmonday ) Dim n p v G i t t e r ( ) As Double Dim g e v i n s t e r ( ) As Double Dim pvekslån As Double, o m k o s t n i n g e r As Double, omk As Double Dim i n d e k s As I n t e g e r ReDim g e v i n s t e r ( a n t a l T e r m i n e r, a n t a l T e r m i n e r ) n p v G i t t e r = g e t N P V G i t t e r ( a f v i k l i n g, l ø b e t i d, v a l ø r d a t o, u d l ø b s d a t o, _ r e n t e k u r v e, v o l a t i l i t e t, t e r m i n e r ) i n d e k s = l ø b e t i d a n t a l T e r m i n e r For t = 0 To a n t a l T e r m i n e r 1 For s = 0 To t omk = a f v i k l i n g ( i n d e k s + t, 3) * Y d e l s e e f t e r s k a t p l u s r e s t g æ l d. pvekslån = a f v i k l i n g ( i n d e k s + t, 5) + a f v i k l i n g ( i n d e k s + t, 3) g e v i n s t e r ( s, t ) = ( n p v G i t t e r ( s, t ) ( pvekslån + omk ) ) / n p v G i t t e r ( s, t ) Next Next g e t G e v i n s t G i t t e r = g e v i n s t e r End Function Function g e t P o o l G i t t e r ( kupon As Double, l ø b e t i d As I n t e g e r, h o v e d s t o l As Double, v a l ø r d a t o As Date, _ t e r m i n s d a t o As Date, u d l ø b s d a t o As Date, r e n t e k u r v e As V a r i a n t, v o l a t i l i t e t As Range, _ s k a t As Double, p o o l f a k t o r As Double, cpr_ As Double, param As V a r i a n t, t e r m i n e r As Range, _ a f v i k l i n g ( ) As Double, g e v i n s t e r ( ) As Double ) 87

93 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Dim a n t a l T e r m i n e r As I n t e g e r, t As I n t e g e r, s As I n t e g e r a n t a l T e r m i n e r = D a t e D i f f ( " q ", v a l ø r d a t o, u d l ø b s d a t o, vbmonday ) Dim pool ( ) As Double ReDim pool ( a n t a l T e r m i n e r, a n t a l T e r m i n e r ) Dim c p r ( ) As Double ReDim c p r ( a n t a l T e r m i n e r, a n t a l T e r m i n e r ) Dim r e s t l ø b e t i d As Double, f r a k t i l As Double pool ( 0, 0) = p o o l f a k t o r c p r ( 0, 0) = cpr_ P o o l f a k t o r e n b e r e g n e s f o r h e l e g i t t e r e t f r a v e n s t r e mod h ø j r e. For t = 1 To a n t a l T e r m i n e r r e s t l ø b e t i d = D a t e D i f f ( " y ", v a l ø r d a t o, u d l ø b s d a t o, vbmonday ) / (30 * 365) For s = 0 To t Øvre rand I f s = 0 Then pool ( s, t ) = pool ( s, t 1) * (1 c p r ( s, t 1) ) Nedre rand E l s e I f s = t Then pool ( s, t ) = pool ( s 1, t 1) * (1 c p r ( s 1, t 1) ) S t i e r n e mellem øvre og nedre rand. Else pool ( s, t ) = 0. 5 * pool ( s, t 1) * (1 c p r ( s, t 1) ) * pool ( s 1, t 1) * (1 c p r ( s 1, t 1) ) End I f f r a k t i l = param ( 1 ) * g e v i n s t e r ( s, t ) * pool ( s, t ) + param ( 2 ) * r e s t l ø b e t i d + param ( 3 ) 88

94 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Next Next c p r ( s, t ) = A p p l i c a t i o n. NormSDist ( param ( 1 ) * g e v i n s t e r ( s, t ) * pool ( s, t ) + param ( 2 ) * r e s t l ø b e t i d + param ( 3 ) ) t e r m i n s d a t o = DateAdd ( " q ", 1, t e r m i n s d a t o ) g e t P o o l G i t t e r End Function = pool Function g e t K o n v e r t e r b a r P r i s ( kupon As Double, v a l ø r d a t o As Date, t e r m i n s d a t o As Date, u d l ø b s d a t o As Date, _ l ø b e t i d As I n t e g e r, h o v e d s t o l As Double, r e n t e k u r v e As V a r i a n t, v o l a t i l i t e t As Range, _ a n d e l P r i v a t As Double, c p r P r i v a t As Double, c p r E r h v e r v As Double, _ p o o l f a k t o r As Double, t e r m i n e r As Range ) Dim a n t a l T e r m i n e r As I n t e g e r a n t a l T e r m i n e r = D a t e D i f f ( " q ", v a l ø r d a t o, u d l ø b s d a t o, vbmonday ) Dim p r i s P r i v a t ( ) As Double ReDim p r i s P r i v a t ( a n t a l T e r m i n e r, a n t a l T e r m i n e r ) Dim p r i s E r h v e r v ( ) As Double ReDim p r i s E r h v e r v ( a n t a l T e r m i n e r, a n t a l T e r m i n e r ) Dim p r i s ( ) As Double ReDim p r i s ( a n t a l T e r m i n e r, a n t a l T e r m i n e r ) Dim param ( ) ReDim param ( 3 ) As Double Dim a f v i k l i n g ( ) As Double Dim r e n t e G i t t e r ( ) As Double Dim g e v i n s t e r ( ) As Double Dim pool ( ) As Double 89

95 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Dim ydelsefs As Double, hold_on As Double, i n d f r i As Double, p r i s S a m l e t As Double Dim vedhængenderente As Double, c l e a n P r i c e As Double, a n t a l A a r As Double Dim r e s t l ø b e t i d As Double, c p r As Double, pvekslån As Double Dim c o u n t As I n t e g e r Dim datotermin As Date, f o r r i g e T e r m i n As Date, d a t o _ t 1 As Date, d a t o _ t As Date Dim r e n t e d a g e As I n t e g e r, s As I n t e g e r, t As I n t e g e r a f v i k l i n g = a m o r t i s e r i n g ( kupon, u d l ø b s d a t o, l ø b e t i d, h o v e d s t o l, ) g e v i n s t e r = g e t G e v i n s t G i t t e r ( kupon, l ø b e t i d, h o v e d s t o l, v a l ø r d a t o, t e r m i n s d a t o, _ u d l ø b s d a t o, r e n t e k u r v e, v o l a t i l i t e t, , t e r m i n e r, a f v i k l i n g ) Beta v æ r d i e r f o r p r i v a t k o n v e r t e r i n g s f u n k t i o n. E s t i m a t i o n 1. param ( 1 ) = param ( 2 ) = param ( 3 ) = Beta v æ r d i e r f o r p r i v a t k o n v e r t e r i n g s f u n k t i o n. E s t i m a t i o n 2. param ( 1 ) = param ( 2 ) = param ( 3 ) = datotermin = t e r m i n s d a t o pool = g e t P o o l G i t t e r ( kupon, l ø b e t i d, h o v e d s t o l, v a l ø r d a t o, datotermin, _ u d l ø b s d a t o, r e n t e k u r v e, v o l a t i l i t e t, , p o o l f a k t o r, c p r P r i v a t, _ param, t e r m i n e r, a f v i k l i n g, g e v i n s t e r ) 90

96 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Kalder bdt f u n k t i o n e n f o r a t f å s a m t l i g e k o r t e r e n t e r i b i n o m i a l g i t t e r e t. r e n t e G i t t e r = b d t ( r e n t e k u r v e, v o l a t i l i t e t, 0. 5, v a l ø r d a t o, t e r m i n e r ) d a t o _ t 1 = u d l ø b s d a t o Y d e l s e f ø r s k a t t i l den pågældende t e r m i n. y d e lsefs = a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 1) + a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 2) For s = 0 To a n t a l T e r m i n e r p r i s P r i v a t ( s, a n t a l T e r m i n e r ) = y d e l s e F S p r i s E r h v e r v ( s, a n t a l T e r m i n e r ) = y d e l s e F S Next For t = a n t a l T e r m i n e r 1 To 0 Step 1 c o u n t = c o u n t + 1 d a t o _ t = DateAdd ( " q ", 1, d a t o _ t 1 ) a n t a l A a r = ( d a t o _ t 1 d a t o _ t ) / 365 r e s t l ø b e t i d = ( u d l ø b s d a t o d a t o _ t ) / (30 * 365) For s = 0 To t Next I f t = 0 Then Else End hold_on = 0. 5 * (1 + r e n t e G i t t e r ( s, t ) ) ^ a n t a l A a r * ( p r i s P r i v a t ( s, t + 1) + p r i s P r i v a t ( s + 1, t + 1) ) hold_on = y d e l s e FS * (1 + r e n t e G i t t e r ( s, t I f ) ) ^ a n t a l A a r * ( p r i s P r i v a t ( s, t + 1) + p r i s P r i v a t ( s + 1, t + 1) ) i n d f r i = a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 1) + a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 2) + a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 3) c p r = A p p l i c a t i o n. NormSDist ( param ( 1 ) * g e v i n s t e r ( s, t ) * pool ( s, t ) + param ( 2 ) * r e s t l ø b e t i d + param ( 3 ) ) p r i s P r i v a t ( s, t ) = c p r * i n d f r i + (1 c p r ) * hold_on 91

97 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Next d a t o _ t 1 = d a t o _ t Beta v æ r d i e r f o r e r h v e r v k o n v e r t e r i n g s f u n k t i o n. E s t i m a t i o n 1. param ( 1 ) = param ( 2 ) = param ( 3 ) = Beta v æ r d i e r f o r e r h v e r v k o n v e r t e r i n g s f u n k t i o n. E s t i m a t i o n 2. param ( 1 ) = param ( 2 ) = param ( 3 ) = datotermin = t e r m i n s d a t o a f v i k l i n g = a m o r t i s e r i n g ( kupon, u d l ø b s d a t o, l ø b e t i d, h o v e d s t o l, ) g e v i n s t e r = g e t G e v i n s t G i t t e r ( kupon, l ø b e t i d, h o v e d s t o l, v a l ø r d a t o, t e r m i n s d a t o, _ u d l ø b s d a t o, r e n t e k u r v e, v o l a t i l i t e t, 0. 5, t e r m i n e r, a f v i k l i n g ) pool = g e t P o o l G i t t e r ( kupon, l ø b e t i d, h o v e d s t o l, v a l ø r d a t o, datotermin, _ u d l ø b s d a t o, r e n t e k u r v e, v o l a t i l i t e t, 0. 5, p o o l f a k t o r, cprerhverv, _ param, t e r m i n e r, a f v i k l i n g, g e v i n s t e r ) d a t o _ t 1 = u d l ø b s d a t o c o u n t = 0 For t = a n t a l T e r m i n e r 1 To 0 Step 1 c o u n t = c o u n t + 1 d a t o _ t = DateAdd ( " q ", 1, d a t o _ t 1 ) a n t a l A a r = ( d a t o _ t 1 d a t o _ t ) / 365 r e s t l ø b e t i d = ( u d l ø b s d a t o d a t o _ t ) / (30 * 365) For s = 0 To t 92

98 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Next Next I f t = 0 Then Else End hold_on = 0. 5 * (1 + r e n t e G i t t e r ( s, t ) ) ^ a n t a l A a r * ( p r i s E r h v e r v ( s, t + 1) + p r i s E r h v e r v ( s + 1, t + 1) ) hold_on = y d e l s e FS * (1 + r e n t e G i t t e r ( s, t I f ) ) ^ a n t a l A a r * ( p r i s E r h v e r v ( s, t + 1) + p r i s E r h v e r v ( s + 1, t + 1) ) i n d f r i = a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 1) + a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 2) + a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 3) c p r = A p p l i c a t i o n. NormSDist ( param ( 1 ) * g e v i n s t e r ( s, t ) * pool ( s, t ) + param ( 2 ) * r e s t l ø b e t i d + param ( 3 ) ) p r i s E r h v e r v ( s, t ) = c p r * i n d f r i + (1 c p r ) * hold_on d a t o _ t 1 = d a t o _ t c o u n t = 0 For t = a n t a l T e r m i n e r To 0 Step 1 For s = 0 To t p r i s S a m l e t = a n d e l P r i v a t * p r i s P r i v a t ( s, t ) + (1 a n d e l P r i v a t ) * p r i s E r h v e r v ( s, t ) pvekslån = a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 1) + a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 2) + a f v i k l i n g ( l ø b e t i d count, 3) S æ t t e r n u t i d v æ r d i e n i f t. r e s t g æ l d e n og ganger med 100 f o r a t f å p r i s e n. p r i s ( s, t ) = p r i s S a m l e t / pvekslån * 100 Next c o u n t = c o u n t + 1 Next Beregner den væhængende r e n t e f r a s i d s t e t e r m i n t i l v a l ø r d a t o e n, som 93

99 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) s k a l t r æ k k e s f r a p r i s e n ( d i r t y p r i c e ) f o r a t f å c l e a n p r i c e. f o r r i g e T e r m i n = DateAdd ( " q ", 1, t e r m i n s d a t o ) r e n t e d a g e = DateDiff ( " d ", f o r r i g e T e r m i n, v a l ø r d a t o, vbmonday ) vedhængenderente = h o v e d s t o l * kupon * r e n t e d a g e / 365 c l e a n P r i c e = p r i s ( 0, 0) vedhængenderente g e t K o n v e r t e r b a r P r i s = c l e a n P r i c e End Function Function b d t ( n u l r e n t e As V a r i a n t, v o l a t i l i t e t As Range, q As Double, v a l ø r d a t o As Date, t e r m i n e r As Range ) # Const DEBUG_ = F a l s e Dim z As I n t e g e r z = 0 Dim i As I n t e g e r Dim t As I n t e g e r Dim s As I n t e g e r Dim t i d As I n t e g e r Dim fx As V a r i a n t Dim fxm As V a r i a n t Dim p r e c i s i o n As Double Dim j a c o b i a n ( ) As V a r i a n t Dim j a c o b i a n I n v e r s ( ) As V a r i a n t Dim j a c o ( ) As V a r i a n t F inder længden a f den p e r i o d e der s k a l b e r e g n e s en r e n t e s t r u k t u r f o r. t i d = A p p l i c a t i o n. W o r k s h e e t F u n c t i o n. c o u n t ( n u l r e n t e ) Array e t v o l i n d e h o l d e r v o l a t i l i t e t e n. Array e t n u l r e n t e r i n d e h o l d e r n u l k u p o n r e n t e r n e. Dim v o l ( ) As V a r i a n t Dim n u l r e n t e r ( ) As V a r i a n t 94

100 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) ReDim v o l ( t i d ), n u l r e n t e r ( t i d ) R e n t e r n e gældende f r a hhv. 1,0 og 1,1 t i l t i d T. F. e k s. i n d e h o l d e r r e n t e T 1 0 ( 1 ) r e n t e n t i l t i d 1 t i l s t a n d 0 og én p e r i o d e frem t i l t i d 2, s v a r e n d e t i l Y ( 2 ; 1, 0 ). r e n t e T 1 1 ( 3 ) i n d e h o l d e r r e n t e n t i l t i d 1 t i l s t a n d 1 og t r e p e r i o d e r frem t i l t i d 4, s v a r e n d e t i l Y ( 4 ; 1, 1 ). Dim r e n t e T 1 0 ( ) As V a r i a n t Dim r e n t e T 1 1 ( ) As V a r i a n t ReDim r e n t e T 1 0 ( t i d ), r e n t e T 1 1 ( t i d ) Arrow Debreu p r i s e r n e f o r t i d 0 og frem t i l hhv. t i d 1,0 og 1, 1. Dim AD100 As V a r i a n t Dim AD110 As V a r i a n t Array e t d isfak i n d e h o l d e r d i s k o n t e r i n g s f a k t o r e r n e s v a r e n d e t i l n u l k u o n r e n t e r n e. Dim d i s F a k ( ) As V a r i a n t ReDim d i s F a k ( t i d ) Array e t k o r t e R e n t e r i n d e h o l d e r s a m t l i g e k o r t e én p e r i o d e r e n t e r i BDT g i t t e r e t. Dim k o r t e R e n t e r ( ) As Double ReDim k o r t e R e n t e r ( t i d, t i d ) Array e t g a e t i n d e h o l d e r g æ t t e t på den k o r t e r e n t e og den t i l h ø r e n d e v o l a t i l i t e t f o r de r e s p e k t i v e t i d s p u n k t e r. Dim g a e t ( ) As V a r i a n t ReDim g a e t ( 2 ) De t o d i m e n s i o n e l l e a r r a y s ADPriser10 og ADPriser11 i n d e h o l d e r s a m t l i g e Arrow Debreu p r i s e r i g i t t e r e t f o r hhv. t i d 1,0 og 1,1 og frem t i l d e t pågældende t i d s p u n k t. E k s e m p e l v i s i n d e h o l d e r 95

101 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) ADPriser10 ( 1, 3 ) p r i s e n s v a r e n d e t i l AD( 3, 1 ; 1, 0 ), dvs. p r i s e n i t i d 1 t i l s t a n d 0 f o r d e t Arrow Debreu a k t i v som k o s t e r 1 i t i d 3 t i l s t a n d 1. T i l s v a r e n d e i n d e h o l d e r ADPriser11 ( 2, 3 ) p r i s e n s v a r e n d e t i l AD( 3, 2 ; 1, 1 ). Dim ADPriser10 ( ) As V a r i a n t Dim ADPriser11 ( ) As V a r i a n t ReDim ADPriser10 ( t i d, t i d ), ADPriser11 ( t i d, t i d ) De t o f u n k t i o n e r, hver i n d e h o l d e n d e den k o r t e én p e r i o d e r e n t e og v o l a t i l i t e t som u b e k e n d t e. D i s s e t o i k k e l i n e æ r e l i g n i n g e r med t o u b e k e n d t e s k a l l ø s e s f o r a t f å den k o r t e én p e r i o d e r e n t e og den t i l h ø r e n d e v o l a t i l i t e t. f er den v e k t o r som i n d g å r i Newtons metode t i l a t l ø s e i k k e l i n e æ r e l i g n i n g s s y s t e m e r. Dim f ( ) As V a r i a n t ReDim f ( 1, 0) Dim enperiodeadop ( ) As V a r i a n t Dim enperiodeadned ( ) As V a r i a n t ReDim enperiodeadop ( t i d ), enperiodeadned ( t i d ) ReDim j a c o b i a n ( 1, 1), j a c o b i a n I n v e r s ( 2, 2), j a c o ( 2 ) Dim mult ReDim mult ( 2, 1) Dim r e s As V a r i a n t Dim c o u n t As I n t e g e r Dim c ( ) ReDim c ( t i d ) As Double I n i t i a l i s e r i n g a f range med n u l k u p o n r e n t e r og v o l a t i l i t e t t i l d a t a t y p e n v a r i a n t / d e c i m a l. For t = 1 To t i d c ( t ) = CDec ( Exp (2 * v o l a t i l i t e t ( t ) * Sqr ( ) ) ) n u l r e n t e r ( t ) = CDec ( n u l r e n t e ( t ) ) + 80 /

102 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Next p r e c i s i o n = ***************** S t a r t s t e p ( 0 ) i n i t i a l i s e r i n g ****************** Dim a n t a l A a r _ 0 As Double, a n a t l A a r _ 1 As Double Dim d i s k o n t 1 As Double, d i s k o n t 2 As Double Dim y i e l d ( ) As Double ReDim y i e l d ( t i d ) a n t a l A a r _ 0 = ( t e r m i n e r ( 1 ) v a l ø r d a t o ) / 365 k o r t e R e n t e r ( 0, 0) = CDec ( n u l r e n t e r ( 1 ) ) y i e l d ( 1 ) = (1 + n u l r e n t e r ( 1 ) ) ^ a n t a l A a r _ 0 1 k o r t e R e n t e r ( 0, 0) = y i e l d ( 1 ) d i s F a k ( 1 ) = CDec ( ( 1 + y i e l d ( 1 ) ) ^ 1) Dim a n t a l T e r m i n e r As Double, d i s k T e s t As Double D i s k o n t e r i n g s f a k t o r e r n e ( n u l k u p o n p r i s e r n e ) f i n d e s u d f r a s w a p r e n t e r n e. For t = 2 To t i d a n t a l A a r _ 0 = ( t e r m i n e r ( t ) v a l ø r d a t o ) / 365 a n t a l T e r m i n e r = ( t e r m i n e r ( t ) t e r m i n e r ( t 1) ) / 365 y i e l d ( t ) = (1 + n u l r e n t e r ( t ) ) ^ a n t a l T e r m i n e r 1 d i s F a k ( t ) = CDec ( ( 1 + y i e l d ( t ) ) ^ ( a n t a l A a r _ 0 / a n t a l T e r m i n e r ) ) Next Arrow Debreu p r i s e r n e AD( 1, 1 ; 0 ) og AD( 1, 0 ; 0 ) f i n d e s ved a t gange D( 1 ; 0 ) med 0, 5. AD100 = CDec ( ( 1 q ) * d i s F a k ( 1 ) ) AD110 = CDec ( q * d i s F a k ( 1 ) ) F inder r e n t e r n e Y ( 2 ; 1, 0 ), Y ( 3 ; 1, 0 )... Y ( T ; 1, 0 ) og Y ( 2 ; 1, 1 ), Y ( 3 ; 1, 1 )... Y ( T ; 1, 1 ). V o l a t i l i t e t s s t r u k t u r e n l i n k e r Y ( T ; 1, 0 ) og Y ( T ; 1, 1 ) sammen. Da v o l a t i l i t e t e n er 97

103 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) g i v e t kan r e n t e n f i n d e s som én i k k e l i n e æ r e l i g n i n g med én ubekendt, v. h. a. Newtons n u m e r i s k e metode. For t = 2 To t i d r e n t e T 1 0 ( t 1) = CDec ( y i e l d ( t ) ) Do fx = CDec ( d i s F a k ( 1 ) * q * ( ( 1 + c ( t ) * r e n t e T 1 0 ( t 1) ) ^ ( t 1) + (1 + r e n t e T 1 0 ( t 1) ) ^ ( t 1) ) d i s F a k ( t ) ) fxm = CDec ( d i s F a k ( 1 ) * ( t + 1) * ( q * c ( t ) * (1 + c ( t ) * r e n t e T 1 0 ( t 1) ) ^ t + (1 q ) * (1 + r e n t e T 1 0 ( t 1) ) ^ t ) ) r e n t e T 1 0 ( t 1) = CDec ( r e n t e T 1 0 ( t 1) ( fx / fxm ) ) Loop While Abs ( fx ) > p r e c i s i o n r e n t e T 1 1 ( t 1) = CDec ( c ( t ) * r e n t e T 1 0 ( t 1) ) Next Y ( 2 ; 1, 0 ) k o r t e R e n t e r ( 0, 1) = r e n t e T 1 0 ( 1 ) Y ( 2 ; 1, 1 ) k o r t e R e n t e r ( 1, 1) = r e n t e T 1 1 ( 1 ) Arrow Debreu p r i s e r n e AD( 2, 0 ; 1, 0 ), AD( 2, 1 ; 1, 0 ), AD( 2, 1 ; 1, 1 ) og AD( 2, 2 ; 1, 1 ) f i n d e s ved a t gange hhv. D( 2 ; 1, 0 ) og D( 2 ; 1, 1 ) med 0, 5. AD( 2, 0 ; 1, 0 ) ADPriser10 ( 0, 2) = CDec ( q * (1 + r e n t e T 1 0 ( 1 ) ) ^ 1) AD( 2, 1 ; 1, 0 ) ADPriser10 ( 1, 2) = CDec ( q * (1 + r e n t e T 1 0 ( 1 ) ) ^ 1) AD( 2, 1 ; 1, 1 ) ADPriser11 ( 1, 2) = CDec ( q * (1 + r e n t e T 1 1 ( 1 ) ) ^ 1) AD( 2, 2 ; 1, 1 ) ADPriser11 ( 2, 2) = CDec ( q * (1 + r e n t e T 1 1 ( 1 ) ) ^ 1) ***************** S l u t s t e p ( 0 ) i n i t i a l i s e r i n g ****************** ***************** S t a r t s t e p 1 ********************************* S t a r t g æ t på k o r t r e n t e. 98

104 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) g a e t ( 1 ) = y i e l d ( 3 ) S t a r t g æ t på v o l a t i l i t e t. g a e t ( 2 ) = 1. 4 I s t e p 1 f i n d e s de k o r t e r e n t e r og den t i l h ø r e n d e v o l a t i l i t e t ved a t l ø s e t o i k k e l i n e æ r e l i g n i n g e r med t o u b e k e n d t e v. h. a. Newtons n u m e r i s k e metode. c o u n t = 1 For t = 3 To t i d Do f ( 0, 0) = 0 f ( 1, 0) = 0 j a c o b i a n ( 0, 0) = 0 j a c o b i a n ( 0, 1) = 0 j a c o b i a n ( 1, 0) = 0 j a c o b i a n ( 1, 1) = 0 For s = 0 To t 2 c o u n t = c o u n t + 1 F u n k t i o n e n med gæt på k o r t r e n t e ( g a e t ( 1 ) ) og v o l a t i l i t e t ( g a e t ( 2 ) ) som u b e k e n d t e. f ( 0, 0) = CDec ( f ( 0, 0) + ADPriser10 ( s, t 1) * (1 + ( g a e t ( 2 ) ^ s ) * g a e t ( 1 ) ) ^ 1) Funktionen, f1, d i f f e r e n t i e r e t mht. r e n t e n og i n d s a t i J a c o b i a n m a t r i c e n. j a c o b i a n ( 0, 0) = CDec ( j a c o b i a n ( 0, 0) + ADPriser10 ( s, t 1) * ( 1 * g a e t ( 2 ) ^ s / (1 + g a e t ( 2 ) ^ s * g a e t ( 1 ) ) ^ 2) ) Funktionen, f1, d i f f e r e n t i e r e t mht. v o l a t i l i t e t e n og i n d s a t i J a c o b i a n m a t r i c e n. j a c o b i a n ( 0, 1) = CDec ( j a c o b i a n ( 0, 1) + ADPriser10 ( s, t 1) * ( 1 * s * g a e t ( 2 ) ^ ( s 1) * g a e t ( 1 ) / (1 + g a e t ( 2 ) ^ s * g a e t ( 1 ) ) ^ 2) ) Next 99

105 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) D i s k o n t e r i n g s f a k t o r e r e n t r æ k k e s f r a. d i s k o n t 1 = (1 + r e n t e T 1 0 ( t 1) ) ^ ( t 1) f ( 0, 0) = CDec ( f ( 0, 0) d i s k o n t 1 ) For s = 1 To t 1 F u n k t i o n e n med k o r t r e n t e ( g a e t ( 1 ) ) og v o l a t i l i t e t ( g a e t ( 2 ) ) som u b e k e n d t e. f ( 1, 0) = CDec ( f ( 1, 0) + ADPriser11 ( s, t 1) * (1 + g a e t ( 2 ) ^ s * g a e t ( 1 ) ) ^ 1) Funktionen, f2, d i f f e r e n t i e r e t mht. r e n t e n og i n d s a t i J a c o b i a n m a t r i c e n. j a c o b i a n ( 1, 0) = CDec ( j a c o b i a n ( 1, 0) + ADPriser11 ( s, t 1) * ( 1 * g a e t ( 2 ) ^ s / (1 + g a e t ( 2 ) ^ s * g a e t ( 1 ) ) ^ 2) ) Funktionen, f2, d i f f e r e n t i e r e t mht. v o l a t i l i t e t e n og i n d s a t i J a c o b i a n m a t r i c e n. j a c o b i a n ( 1, 1) = CDec ( j a c o b i a n ( 1, 1) + ADPriser11 ( s, t 1) * ( 1 * s * g a e t ( 2 ) ^ ( s 1) * g a e t ( 1 ) / (1 + g a e t ( 2 ) ^ s * g a e t ( 1 ) ) ^ 2) ) Next d i s k o n t 2 = (1 + r e n t e T 1 1 ( t 1) ) ^ ( t 1) f ( 1, 0) = CDec ( f ( 1, 0) d i s k o n t 2 ) J a c o b i a n m a t r i c e n i n v e r t e r e s og m u l t i p l i c e r e s med f u n k t i o n e n ( v e k t o r e n ). mult = A p p l i c a t i o n. MMult ( A p p l i c a t i o n. MInverse ( j a c o b i a n ), f ) g a e t ( 1 ) = CDec ( g a e t ( 1 ) mult ( 1, 1) ) g a e t ( 2 ) = CDec ( g a e t ( 2 ) mult ( 2, 1) ) r e s = CDec ( mult ( 1, 1) * mult ( 2, 1) ) Loop While Abs ( r e s ) > p r e c i s i o n 100

106 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) De k o r t e r e n t e r b e r e g n e s f o r s a m t l i g e t i l s t a n d e, s, t i l t i d e n t, ved a t gange den beregnede k o r t e r e n t e i t i l s t a n d 0 med den beregnede v o l a t i l i t e t o p l ø f t e t i t i l s t a n d s. For s = 0 To t 1 k o r t e R e n t e r ( s, t 1) = CDec ( g a e t ( 1 ) * g a e t ( 2 ) ^ s ) Next ***************** S l u t s t e p 1 ********************************** ***************** S t a r t s t e p 2 ********************************* En p e r i o d e Arrow Debreu p r i s e r n e f i n d e s f o r op t i l s t a n d e n. Formel : AD( t, s ; t 1,s 1) = qd( t ; t 1,s 1) f o r 1 <= s <= t. For s = 1 To t enperiodeadop ( s ) = CDec ( q * (1 + k o r t e R e n t e r ( s 1, t 1) ) ^ 1) Next En p e r i o d e Arrow Debreu p r i s e r n e f i n d e s f o r ned t i l s t a n d e n. Formel : AD( t, s ; t 1, s ) = (1 q )D( t ; t 1, s ) f o r 0 <= s <= t 1. For s = 0 To t 1 enperiodeadned ( s ) = CDec ( ( 1 q ) * (1 + k o r t e R e n t e r ( s, t 1) ) ^ 1) Next Arrow Debreu p r i s e r n e f o r AD( t, s ; 1, 0 ) f i n d e s. For s = 0 To t 1 Nedre rand. I f s = 0 Then ADPriser10 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadned ( s ) * ADPriser10 ( s, t 1) ) Øvre rand. 101

107 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Next E l s e I f s = t 1 Then ADPriser10 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadop ( s ) * ADPriser10 ( s 1, t 1) ) S t i e r n e mellem øvre og nedre rand. Else End ADPriser10 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadop ( s ) * ADPriser10 ( s 1, t 1) + enperiodeadned ( s ) I f * ADPriser10 ( s, t 1) ) Next Arrow Debreu p r i s e r n e f o r AD( t, s ; 1, 1 ) f i n d e s. For s = 1 To t Next Nedre rand. I f s = 1 Then ADPriser11 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadned ( s ) * ADPriser11 ( s, t 1) ) Øvre rand. E l s e I f s = t Then ADPriser11 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadop ( s ) * ADPriser11 ( s 1, t 1) ) S t i e r n e mellem øvre og nedre rand. Else End ADPriser11 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadop ( s ) * ADPriser11 ( s 1, t 1) + enperiodeadned ( s ) I f * ADPriser11 ( s, t 1) ) ***************** S l u t s t e p 2 ********************************* b d t = k o r t e R e n t e r ( ) End Function Function b d t _ s w a p t i o n ( n u l r e n t e As V a r i a n t, v o l a t i l i t e t As Range, q As Double, v a l ø r d a t o As Date, t e r m i n e r As Range ) # Const DEBUG_ = F a l s e 102

108 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Dim z As I n t e g e r z = 0 Dim i As I n t e g e r Dim t As I n t e g e r Dim s As I n t e g e r Dim t i d As I n t e g e r Dim fx As V a r i a n t Dim fxm As V a r i a n t Dim p r e c i s i o n As Double, d i s k o n t 1 As Double, d i s k o n t 2 As Double Dim j a c o b i a n ( ) As V a r i a n t Dim j a c o b i a n I n v e r s ( ) As V a r i a n t Dim j a c o ( ) As V a r i a n t F inder længden a f den p e r i o d e der s k a l b e r e g n e s en r e n t e s t r u k t u r f o r. t i d = A p p l i c a t i o n. W o r k s h e e t F u n c t i o n. c o u n t ( n u l r e n t e ) Array e t v o l i n d e h o l d e r v o l a t i l i t e t e n. Array e t n u l r e n t e r i n d e h o l d e r n u l k u p o n r e n t e r n e. Dim v o l ( ) As V a r i a n t Dim n u l r e n t e r ( ) As V a r i a n t ReDim v o l ( t i d ), n u l r e n t e r ( t i d ) R e n t e r n e gældende f r a hhv. 1,0 og 1,1 t i l t i d T. F. e k s. i n d e h o l d e r r e n t e T 1 0 ( 1 ) r e n t e n t i l t i d 1 t i l s t a n d 0 og én p e r i o d e frem t i l t i d 2, s v a r e n d e t i l Y ( 2 ; 1, 0 ). r e n t e T 1 1 ( 3 ) i n d e h o l d e r r e n t e n t i l t i d 1 t i l s t a n d 1 og t r e p e r i o d e r frem t i l t i d 4, s v a r e n d e t i l Y ( 4 ; 1, 1 ). Dim r e n t e T 1 0 ( ) As V a r i a n t Dim r e n t e T 1 1 ( ) As V a r i a n t ReDim r e n t e T 1 0 ( t i d ), r e n t e T 1 1 ( t i d ) Arrow Debreu p r i s e r n e f o r t i d 0 og frem t i l hhv. t i d 1,0 og 1,

109 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Dim AD100 As Dim AD110 As V a r i a n t V a r i a n t Array e t d isfak i n d e h o l d e r d i s k o n t e r i n g s f a k t o r e r n e s v a r e n d e t i l n u l k u o n r e n t e r n e. Dim d i s F a k ( ) As V a r i a n t ReDim d i s F a k ( t i d ) Array e t k o r t e R e n t e r i n d e h o l d e r s a m t l i g e k o r t e én p e r i o d e r e n t e r i BDT g i t t e r e t. Dim k o r t e R e n t e r ( ) As Double ReDim k o r t e R e n t e r ( t i d, t i d ) Array e t g a e t i n d e h o l d e r g æ t t e t på den k o r t e r e n t e og den t i l h ø r e n d e v o l a t i l i t e t f o r de r e s p e k t i v e t i d s p u n k t e r. Dim g a e t ( ) As V a r i a n t ReDim g a e t ( 2 ) De t o d i m e n s i o n e l l e a r r a y s ADPriser10 og ADPriser11 i n d e h o l d e r s a m t l i g e Arrow Debreu p r i s e r i g i t t e r e t f o r hhv. t i d 1,0 og 1,1 og frem t i l d e t pågældende t i d s p u n k t. E k s e m p e l v i s i n d e h o l d e r ADPriser10 ( 1, 3 ) p r i s e n s v a r e n d e t i l AD( 3, 1 ; 1, 0 ), dvs. p r i s e n i t i d 1 t i l s t a n d 0 f o r d e t Arrow Debreu a k t i v som k o s t e r 1 i t i d 3 t i l s t a n d 1. T i l s v a r e n d e i n d e h o l d e r ADPriser11 ( 2, 3 ) p r i s e n s v a r e n d e t i l AD( 3, 2 ; 1, 1 ). Dim ADPriser10 ( ) As V a r i a n t Dim ADPriser11 ( ) As V a r i a n t ReDim ADPriser10 ( t i d, t i d ), ADPriser11 ( t i d, t i d ) De t o f u n k t i o n e r, hver i n d e h o l d e n d e den k o r t e én p e r i o d e r e n t e og v o l a t i l i t e t som u b e k e n d t e. D i s s e t o i k k e l i n e æ r e l i g n i n g e r med t o u b e k e n d t e s k a l l ø s e s f o r a t f å den k o r t e én p e r i o d e r e n t e og den t i l h ø r e n d e v o l a t i l i t e t. f er den 104

110 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) v e k t o r som i n d g å r i Newtons metode t i l a t l ø s e i k k e l i n e æ r e l i g n i n g s s y s t e m e r. Dim f ( ) As V a r i a n t ReDim f ( 1, 0) Dim enperiodeadop ( ) As V a r i a n t Dim enperiodeadned ( ) As V a r i a n t ReDim enperiodeadop ( t i d ), enperiodeadned ( t i d ) ReDim j a c o b i a n ( 1, 1), j a c o b i a n I n v e r s ( 2, 2), j a c o ( 2 ) Dim mult ReDim mult ( 2, 1) Dim r e s As V a r i a n t Dim c ( ) ReDim c ( t i d ) As Double I n i t i a l i s e r i n g a f range med n u l k u p o n r e n t e r og v o l a t i l i t e t t i l d a t a t y p e n v a r i a n t / d e c i m a l. For t = 1 To t i d c ( t ) = CDec ( Exp (2 * v o l a t i l i t e t ( t ) * Sqr ( 1 ) ) ) n u l r e n t e r ( t ) = CDec ( n u l r e n t e ( t ) ) Next p r e c i s i o n = ***************** S t a r t s t e p ( 0 ) i n i t i a l i s e r i n g ****************** Dim a n t a l A a r _ 0 As Double, a n a t l A a r _ 1 As Double k o r t e R e n t e r ( 0, 0) = n u l r e n t e r ( 1 ) d i s F a k ( 1 ) = CDec ( ( 1 + n u l r e n t e r ( 1 ) ) ^ 1) Dim a n t a l T e r m i n e r As Double, d i s k T e s t As Double D i s k o n t e r i n g s f a k t o r e r n e ( n u l k u p o n p r i s e r n e ) f i n d e s u d f r a s w a p r e n t e r n e. For t = 2 To t i d 105

111 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Next d i s F a k ( t ) = CDec ( ( 1 + n u l r e n t e r ( t ) ) ^ t ) Arrow Debreu p r i s e r n e AD( 1, 1 ; 0 ) og AD( 1, 0 ; 0 ) f i n d e s ved a t gange D( 1 ; 0 ) med 0, 5. AD100 = CDec ( ( 1 q ) * d i s F a k ( 1 ) ) AD110 = CDec ( q * d i s F a k ( 1 ) ) F inder r e n t e r n e Y ( 2 ; 1, 0 ), Y ( 3 ; 1, 0 )... Y ( T ; 1, 0 ) og Y ( 2 ; 1, 1 ), Y ( 3 ; 1, 1 )... Y ( T ; 1, 1 ). V o l a t i l i t e t s s t r u k t u r e n l i n k e r Y ( T ; 1, 0 ) og Y ( T ; 1, 1 ) sammen. Da v o l a t i l i t e t e n er g i v e t kan r e n t e n f i n d e s som én i k k e l i n e æ r e l i g n i n g med én ubekendt, v. h. a. Newtons n u m e r i s k e metode. For t = 2 To t i d r e n t e T 1 0 ( t 1) = CDec ( n u l r e n t e r ( t ) ) Do fx = CDec ( d i s F a k ( 1 ) * q * ( ( 1 + c ( t ) * r e n t e T 1 0 ( t 1) ) ^ ( t 1) + (1 + r e n t e T 1 0 ( t 1) ) ^ ( t 1) ) d i s F a k ( t ) ) fxm = CDec ( d i s F a k ( 1 ) * ( t + 1) * ( q * c ( t ) * (1 + c ( t ) * r e n t e T 1 0 ( t 1) ) ^ t + (1 q ) * (1 + r e n t e T 1 0 ( t 1) ) ^ t ) ) r e n t e T 1 0 ( t 1) = CDec ( r e n t e T 1 0 ( t 1) ( fx / fxm ) ) Loop While Abs ( fx ) > p r e c i s i o n r e n t e T 1 1 ( t 1) = CDec ( c ( t ) * r e n t e T 1 0 ( t 1) ) Next Y ( 2 ; 1, 0 ) k o r t e R e n t e r ( 0, 1) = r e n t e T 1 0 ( 1 ) Y ( 2 ; 1, 1 ) k o r t e R e n t e r ( 1, 1) = r e n t e T 1 1 ( 1 ) Arrow Debreu p r i s e r n e AD( 2, 0 ; 1, 0 ), AD( 2, 1 ; 1, 0 ), AD( 2, 1 ; 1, 1 ) og AD( 2, 2 ; 1, 1 ) f i n d e s ved a t gange hhv. D( 2 ; 1, 0 ) og D( 2 ; 1, 1 ) med 0, 5. AD( 2, 0 ; 1, 0 ) ADPriser10 ( 0, 2) = CDec ( q * (1 + r e n t e T 1 0 ( 1 ) ) ^ 1) 106

112 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) AD( 2, 1 ; 1, 0 ) ADPriser10 ( 1, 2) = CDec ( q * (1 + r e n t e T 1 0 ( 1 ) ) ^ 1) AD( 2, 1 ; 1, 1 ) ADPriser11 ( 1, 2) = CDec ( q * (1 + r e n t e T 1 1 ( 1 ) ) ^ 1) AD( 2, 2 ; 1, 1 ) ADPriser11 ( 2, 2) = CDec ( q * (1 + r e n t e T 1 1 ( 1 ) ) ^ 1) ***************** S l u t s t e p ( 0 ) i n i t i a l i s e r i n g ****************** ***************** S t a r t s t e p 1 ********************************* S t a r t g æ t på k o r t r e n t e. g a e t ( 1 ) = n u l r e n t e r ( 3 ) S t a r t g æ t på v o l a t i l i t e t. g a e t ( 2 ) = 1. 4 I s t e p 1 f i n d e s de k o r t e r e n t e r og den t i l h ø r e n d e v o l a t i l i t e t ved a t l ø s e t o i k k e l i n e æ r e l i g n i n g e r med t o u b e k e n d t e v. h. a. Newtons n u m e r i s k e metode. Dim c o u n t As I n t e g e r c o u n t = 1 For t = 3 To t i d Do f ( 0, 0) = 0 f ( 1, 0) = 0 j a c o b i a n ( 0, 0) = 0 j a c o b i a n ( 0, 1) = 0 j a c o b i a n ( 1, 0) = 0 j a c o b i a n ( 1, 1) = 0 For s = 0 To t 2 c o u n t = c o u n t + 1 F u n k t i o n e n med gæt på k o r t r e n t e ( g a e t ( 1 ) ) og v o l a t i l i t e t ( g a e t ( 2 ) ) som u b e k e n d t e. f ( 0, 0) = CDec ( f ( 0, 0) + ADPriser10 ( s, t 1) * (1 + ( g a e t ( 2 ) ^ s ) * g a e t ( 1 ) ) ^ 1) 107

113 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Funktionen, f1, d i f f e r e n t i e r e t mht. r e n t e n og i n d s a t i J a c o b i a n m a t r i c e n. j a c o b i a n ( 0, 0) = CDec ( j a c o b i a n ( 0, 0) + ADPriser10 ( s, t 1) * ( 1 * g a e t ( 2 ) ^ s / (1 + g a e t ( 2 ) ^ s * g a e t ( 1 ) ) ^ 2) ) Funktionen, f1, d i f f e r e n t i e r e t mht. v o l a t i l i t e t e n og i n d s a t i J a c o b i a n m a t r i c e n. j a c o b i a n ( 0, 1) = CDec ( j a c o b i a n ( 0, 1) + ADPriser10 ( s, t 1) * ( 1 * s * g a e t ( 2 ) ^ ( s 1) * g a e t ( 1 ) / (1 + g a e t ( 2 ) ^ s * g a e t ( 1 ) ) ^ 2) ) Next D i s k o n t e r i n g s f a k t o r e r e n t r æ k k e s f r a. d i s k o n t 1 = (1 + r e n t e T 1 0 ( t 1) ) ^ ( t 1) f ( 0, 0) = CDec ( f ( 0, 0) d i s k o n t 1 ) For s = 1 To t 1 F u n k t i o n e n med k o r t r e n t e ( g a e t ( 1 ) ) og v o l a t i l i t e t ( g a e t ( 2 ) ) som u b e k e n d t e. f ( 1, 0) = CDec ( f ( 1, 0) + ADPriser11 ( s, t 1) * (1 + g a e t ( 2 ) ^ s * g a e t ( 1 ) ) ^ 1) Funktionen, f2, d i f f e r e n t i e r e t mht. r e n t e n og i n d s a t i J a c o b i a n m a t r i c e n. j a c o b i a n ( 1, 0) = CDec ( j a c o b i a n ( 1, 0) + ADPriser11 ( s, t 1) * ( 1 * g a e t ( 2 ) ^ s / (1 + g a e t ( 2 ) ^ s * g a e t ( 1 ) ) ^ 2) ) Funktionen, f2, d i f f e r e n t i e r e t mht. v o l a t i l i t e t e n og i n d s a t i J a c o b i a n m a t r i c e n. j a c o b i a n ( 1, 1) = CDec ( j a c o b i a n ( 1, 1) + ADPriser11 ( s, t 1) * ( 1 * s * g a e t ( 2 ) ^ ( s 1) * g a e t ( 1 ) / (1 + g a e t ( 2 ) ^ s * g a e t ( 1 ) ) ^ 2) ) Next d i s k o n t 2 = (1 + r e n t e T 1 1 ( t 1) ) ^ ( t 1) f ( 1, 0) = CDec ( f ( 1, 0) d i s k o n t 2 ) 108

114 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) J a c o b i a n m a t r i c e n i n v e r t e r e s og m u l t i p l i c e r e s med f u n k t i o n e n ( v e k t o r e n ). mult = A p p l i c a t i o n. MMult ( A p p l i c a t i o n. MInverse ( j a c o b i a n ), f ) g a e t ( 1 ) = CDec ( g a e t ( 1 ) mult ( 1, 1) ) g a e t ( 2 ) = CDec ( g a e t ( 2 ) mult ( 2, 1) ) r e s = CDec ( mult ( 1, 1) * mult ( 2, 1) ) Loop While Abs ( r e s ) > p r e c i s i o n De k o r t e r e n t e r b e r e g n e s f o r s a m t l i g e t i l s t a n d e, s, t i l t i d e n t, ved a t gange den beregnede k o r t e r e n t e i t i l s t a n d 0 med den beregnede v o l a t i l i t e t o p l ø f t e t i t i l s t a n d s. For s = 0 To t 1 k o r t e R e n t e r ( s, t 1) = CDec ( g a e t ( 1 ) * g a e t ( 2 ) ^ s ) Next ***************** S l u t s t e p 1 ********************************** ***************** S t a r t s t e p 2 ********************************* En p e r i o d e Arrow Debreu p r i s e r n e f i n d e s f o r op t i l s t a n d e n. Formel : AD( t, s ; t 1,s 1) = qd( t ; t 1,s 1) f o r 1 <= s <= t. For s = 1 To t enperiodeadop ( s ) = CDec ( q * (1 + k o r t e R e n t e r ( s 1, t 1) ) ^ 1) Next En p e r i o d e Arrow Debreu p r i s e r n e f i n d e s f o r ned t i l s t a n d e n. Formel : AD( t, s ; t 1, s ) = (1 q )D( t ; t 1, s ) f o r 0 <= s <= t

115 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) For s = 0 To t 1 enperiodeadned ( s ) = CDec ( ( 1 q ) * (1 + k o r t e R e n t e r ( s, t 1) ) ^ 1) Next Arrow Debreu p r i s e r n e f o r AD( t, s ; 1, 0 ) f i n d e s. For s = 0 To t 1 Next Nedre rand. I f s = 0 Then ADPriser10 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadned ( s ) * ADPriser10 ( s, t 1) ) Øvre rand. E l s e I f s = t 1 Then ADPriser10 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadop ( s ) * ADPriser10 ( s 1, t 1) ) S t i e r n e mellem øvre og nedre rand. Else End ADPriser10 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadop ( s ) * ADPriser10 ( s 1, t 1) + enperiodeadned ( s ) I f * ADPriser10 ( s, t 1) ) Arrow Debreu p r i s e r n e f o r AD( t, s ; 1, 1 ) f i n d e s. For s = 1 To t Nedre rand. I f s = 1 Then ADPriser11 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadned ( s ) * ADPriser11 ( s, t 1) ) Øvre rand. E l s e I f s = t Then ADPriser11 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadop ( s ) * ADPriser11 ( s 1, t 1) ) S t i e r n e mellem øvre og nedre rand. Else End ADPriser11 ( s, t ) = CDec ( enperiodeadop ( s ) * ADPriser11 ( s 1, t 1) + enperiodeadned ( s ) I f * ADPriser11 ( s, t 1) ) 110

116 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) Next ***************** S l u t s t e p 2 ********************************* Next b d t _ s w a p t i o n = k o r t e R e n t e r ( ) End Function Function s w a p t i o n p r i s ( swaplength As I n t e g e r, s w a p r e n t e As Double, swaptionexp As I n t e g e r, r e n t e G i t t e r As V a r i a n t ) Dim swap ( ) As Double Dim s w a p t i o n ( ) As Double Dim s As I n t e g e r, t As I n t e g e r, swapmat As I n t e g e r c o u n t = c o u n t + 1 Debug. P r i n t c o u n t Swappen l ø b e r ud x a n t a l år e f t e r s w a p t i o n e n u d l ø b e r. Det a r r a y som i n d e h o l d e r s w a p b e t a l i n g e r n e har d e r f o r en længde s v a r e n d e t i l s w a p t i o n e n s l ø b e t i d p l u s swappens l ø b e t i d. swapmat = swaplength + swaptionexp ReDim swap ( swapmat, swapmat ) ReDim s w a p t i o n ( swaptionexp, swaptionexp ) B e t a l i n g ( h o v e d s t o l og r e n t e ) ved udløb a f den f a s t f o r r e n t e d e k u p o n o b l i g a t i o n. For s = 0 To swapmat swap ( s, swapmat ) = 100 * (1 + s w a p r e n t e ) Next F inder v æ r d i e r n e a f o b l i g a t i o n e n i s a m t l i g e t i l s t a n d e f r a udløb a f swappen t i l udløb a f s w a p t i o n e n. For t = swapmat 1 To swaptionexp Step 1 I f t > swaptionexp Then For s = 0 To t swap ( s, t ) = 0. 5 * ( swap ( s, t + 1) + swap ( s + 1, t + 1) ) / (1 + r e n t e G i t t e r ( s + 1, t + 1) ) + 111

117 A PROGRAMMERINGSKODE (VBA) 100 * s w a p r e n t e Next E l s e I f t = swaptionexp Then For s = 0 To t swap ( s, t ) = 0. 5 * ( swap ( s, t + 1) + swap ( s + 1, t + 1) ) / (1 + r e n t e G i t t e r ( s + 1, t + 1) ) Next End I f Next F inder s w a p t i o n e n s værdi i a l l e t i l s t a n d e ved udløb. For s = 0 To swaptionexp s w a p t i o n ( s, swaptionexp ) = Excel. W o r k s h e e t F u n c t i o n. Max (100 swap ( s, swaptionexp ), 0) Next T i l b a g e d i s k o n t e r e r s w a p t i o n e n s værdi f r a udløb i s a m t l i g e t i l s t a n d e. For t = swaptionexp 1 To 0 Step 1 For s = 0 To t s w a p t i o n ( s, t ) = 0. 5 * ( s w a p t i o n ( s, t + 1) + s w a p t i o n ( s + 1, t + 1) ) / (1 + r e n t e G i t t e r ( s + 1, t + 1) ) Next Next s w a p t i o n p r i s End Function = s w a p t i o n 112