Prisfastsættelse af danske konverterbare realkreditobligationer

Transkript

1 HA-Almen 6. semester Institut for Økonomi Den 1. maj 2013 Forfattere: Michael Meldgaard Andersen (413121) Nicolaj Teilmann Toustrup (301393) Vejleder: Thomas Kokholm Bachelorafhandling Prisfastsættelse af danske konverterbare realkreditobligationer Business and Social Sciences, Aarhus Universitet Foråret 2013 Antal anslag:

2 Abstract The main purpose of the present thesis is to produce a model, which determines the price of Danish callable mortgage backed bonds. Callable bonds are one of the most complex products within the Danish mortgage credit market. Callable bonds are characterized by the fact that the borrower is able to prepay the value of the remaining debt at market price or par value, which makes the cash flow to the investors uncertain, and therefore the determination of the price important. Hence, the investors are exposed to prepayments and the reinvestment risk. In order to determine the price of callable bonds, the future term structure of the interest rates should be determined. The binomial model is used to create the short-term interest rate structure using the current zero-coupon yield curve and volatility, which creates an arbitrage-free yield curve. In order to estimate the zero-coupon yield curve and volatility, data for swap rates is retrieved from the market. Interest-rate sensitive securities can be priced by the use of this calculated binomial tree. The price of the callable bond can be described as the price of the non-callable bond deducted with the value of the borrowers prepayment option. The actual prepayment behavior of the borrowers is used in the determination of the price. The present paper is inspired by Svend Jakobsen s required gain model to calculate this. This model describes the prepayment behavior of the borrower, by a standard normal distribution with a mean required gain and a standard deviation. In order to estimate the mean required gain, 12 callable bonds were randomly chosen from the Danish stock exchange with coupon rates of 4% and 5%. The standard deviation was calculated as the standard deviation of the extraordinary prepayments from the 12 bonds. The mean required gain was estimated by minimizing the sum of squared errors between the estimated prices and the current prices. The required gain and the standard deviation is calculated as 20,79% and 6,39% respectively. The price of the callable bonds with a coupon rate of 4% and 5% were estimated to be 105,681 and 102,033 respectively. The model is assumed to estimate a higher price on the 4% bonds and a lower price on the 5% bonds. The model is restricted due to the fact that the estimated prices only depend on maturity and coupon rate. Consequently, an equal price on all bonds with 4% and 5% occur in the model. The model weakly explains the borrowers current conversion behavior. By implementing other explanatory variables, which can estimate the behavior of the borrowers more correctly, the model will become more realistic. Side i

3 Indhold 1 Indledning Problemformulering Afgrænsning Metode Afhandlingens struktur Realkreditmarkedet Det danske realkreditsystem Lånetyper Konverterbare obligationer Op- og nedkonvertering Nulkuponrente Nulkuponobligation Rentekurve Kuponbærende obligationer Renteswap Estimering af nulkuponrentekurven Delkonklusion Rentestrukturmodel Binomialtræ modellen Volatilitet Implicit volatilitet Historisk volatilitet Estimering af rentestrukturen Delkonklusion Konverteringsadfærd Optimal konverteringsadfærd Gevinstkravmodellen Gevinstkrav Delkonklusion Side ii

4 6 Prisfastsættelse Prisfastsættelse optimal konvertering Prisfastsættelse gevinstkrav Estimering af pris Betydning af løbetiden Delkonklusion Følsomhedsanalyse Volatilitet Kuponrente på inkonverterbar obligation Gevinstkrav Gevinstkravets spredning Konverteringsomkostninger Delkonklusion Evaluering af modellen Konklusion Litteraturliste Bilag Side iii

5 Figuroversigt FIGUR 1.1 OPGAVENS STRUKTUR... 3 FIGUR 2.1 SYSTEMET I DET DANSKE REALKREDITMARKED... 5 FIGUR 2.2 UDVIKLINGEN I REALKREDITLÅN FORDELT PÅ TYPER... 7 FIGUR 2.3 SAMMENHÆNG MELLEM INKONVERTERBAR OG KONVERTERBAR OBLIGATIONSKURS... 9 FIGUR 3.1 ILLUSTRATION AF PLAIN VANILLA PAYER RENTESWAP FIGUR 3.2 ESTIMERET NULKUPONRENTEKURVE FIGUR 4.1 REKOMBINERET BINOMIALTRÆ FIGUR 5.1 KONVERTERINGSRATEN VED OPTIMAL KONVERTERING OG GEVINSTKRAV FIGUR 6.1 AKTUEL GEVINST FIGUR 7.1 SAMMENHÆNG MELLEM KUPONRENTE OG OBLIGATIONSKURSEN FIGUR 7.2 SAMMENHÆNG MELLEM GEVINSTKRAVET OG OBLIGATIONSKURSEN FIGUR 7.3 SAMMENHÆNG MELLEM GEVINSTKRAVETS SPREDNING OG OBLIGATIONSKURSEN FIGUR 7.4 SAMMENHÆNG MELLEM KONVERTERINGSOMKOSTNINGER OG OBLIGATIONSKURSEN Tabeloversigt TABEL 2.1 AMORTISERING AF LÅN... 8 TABEL 3.1 DATA FOR RENTESWAPS TABEL 3.2 ESTIMEREDE BETAPARAMETRE TABEL 4.1 RESULTATER FOR DISKONTERINGSFAKTOREN, SPOT RENTEN OG 0-PRISEN FOR DE FØRSTE FIRE ÅR TABEL 4.2 INPUT TIL UDREGNING AF VOLATILITETEN TABEL 4.3 EN-PERIODE RENTESTRUKTUR FOR DE FØRSTE FIRE ÅR TABEL 6.1 DATA FOR DE TOLV UDVALGTE REALKREDITOBLIGATIONER TABEL 6.2 AMORTISERINGSPLAN TABEL 6.3 PRISEN FOR DEN INKONVERTERBARE OBLIGATION FOR DE FØRSTE FIRE ÅR TABEL 6.4 KONVERTERINGSRATE FOR DE FØRSTE FIRE ÅR TABEL 6.5 PRISEN FOR DEN KONVERTERBARE OBLIGATION FOR DE FØRSTE FIRE ÅR TABEL 6.6 RESULTAT VED ÆNDRING AF LØBETIDEN TABEL 7.1 GRUNDVÆRDIER DER ANVENDES TABEL 7.2 SAMMENHÆNG MELLEM VOLATILITET OG OBLIGATIONSKURSEN TABEL 7.3 RESULTATER NÅR GEVINSTKRAVET ESTIMERES ISOLERET FOR EN KUPONRENTE PÅ 4% OG 5% TABEL 8.1 ESTIMERET KURS FOR DE TOLV UDVALGTE REALKREDITOBLIGATIONER Side iv

6 1 Indledning Det danske realkreditmarked er et af de største og mest likvide i verden 1. Da finanskrisen indtraf i starten af 2008 blev verdens realkreditmarkeder sat på hård prøve. Det danske realkreditmarked har dog ikke oplevet ligeså meget turbulens som andre markeder. Blandt investorer og rating bureauer anses danske realkreditobligationer som en sikker investering, hvilket har resulteret i høj rating(realkredit Danmark, 2008). I andre lande har recessionen betydet sammenbrud i de finansielle systemer, og statsgarantier har været nødvendige for at muliggøre udstedelser af realkreditobligationer(realkreditrådet, 2012). Et realkreditlån gives med sikkerhed i fast ejendom, og finansieres ved udstedelse af obligationer. Det danske realkreditsystem blev oprettet tilbage i 1795, hvor der efter en stor brand i København blev behov for at låne penge til boligbyggeri. Siden da har markedet udviklet sig til et af de mest veludviklede realkreditmarkeder, som er kendetegnet ved høj gennemsigtighed og bredt produktudvalg. Obligationerne handles på Københavns Fondsbørs, og priserne fastsættes af markedet. På det danske realkreditmarked er der match mellem låntagernes realkreditlån og de udstedte obligationer, hvilket mindsker risikoen for realkreditinstitutterne. Hver obligationsserie består af mange lån, hvilket sikrer en høj likviditet(realkredit Danmark, 2008). Konverterbare realkreditobligationer er et populært produkt hos investor og låntager. De konverterbare realkreditobligationer er karakteriseret ved, at låntager har mulighed for at indfri sit lån før tid til markedskurs eller kurs pari. På grund af konverteringsretten følger kursen på den konverterbare obligation ikke den almindelige kurs-rente sammenhæng som observeres ved inkonverterbare obligationer. Konverteringsretten gør det fremtidige cash flow til investor usikkert. Det rentefølsomme cash flow gør prisfastsættelsen kompliceret. Hvis låntager vælger at indfri sit lån til kurs pari, vil det mindske investors cash flow. Indfrielserne før tid sker typisk til lavere kuponrente, så låntager opnår en lavere ydelse på sit lån(tuckman, 2012). For at foretage en prisfastsættelse af en konverterbar realkreditobligation skal den fremtidige rentestruktur fastlægges, og en model for låntagers konverteringsadfærd skal opstilles. Ved at kombi- 1 I 2012 var størrelsen på udestående danske realkreditobligationer over 2500 milliarder kr., hvilket gør det danske realkreditmarkedet til det andet største i verden, kun overgået af Tyskland(Nationalbankens Statistikdatabase). Side 1

7 nere rentestrukturen med konverteringsadfærden er det muligt, at fastlægge det cash flow investor modtager frem til obligationens udløb, og derved kan prisen bestemmes. 1.1 Problemformulering På baggrund af indledningen opstilles en model til prisfastsættelse af danske konverterbare realkreditobligationer. Modellen skal tage højde for rentestrukturen og konverteringsadfærden hos låntagerne. Der vil derudover blive undersøgt og analyseret, hvad ændringer af væsentlige input vil betyde for prisen af obligationerne. 1.2 Afgrænsning Nærværende opgave vil se bort fra låntagers opsigelsesfrist 2. Modellen vil tage udgangspunkt i, at der kun er en terminsdag per år for at reducere omfanget af beregninger. Endvidere er betragtningen af skat udeladt af modellen ligeledes for at forenkle beregningerne. Disse afgrænsninger er alle foretaget på baggrund af begrænset tid og opgavens kompleksitet. Forenklingerne vil have indflydelse på modellens endelige resultater, men det vurderes dog, at modellen stadig er pålidelig, og er i stand til at kunne skabe valide resultater og solide konklusioner. Udeladelsen af disse parametre vil dog blive diskuteret nærmere når den endelige model evalueres. Modellen vil udelukkende omfatte fastforrentede konverterbare realkreditobligationer. 1.3 Metode Afhandlingen er teoretisk og kvantitativ. For at skabe en model til prisfastsættelse af konverterbare realkreditobligationer har det været en nødvendighed at indhente data for swaprenter samt udvalgte obligationer. Dette data, anvendt til estimering af modellen, er indhentet fra offentlige tilgængelige hjemmesider, som anses for troværdige. Al benyttet litteratur i afhandlingen er sekundær i form af publikationer, artikler, bøger samt empirisk data. I afhandlingen er der i prisfastsættelsen af konverterbare obligationer taget udgangspunkt i Svend Jakobsens Ph.d. afhandling. Han udviklede gevinstkravsmodellen, som er en af de mere realistiske modeller til at analysere konverteringsadfærd. Alle teorier præsenteret igennem afhand- 2 Denne gør det muligt for låntager at udnytte sin konverteringsoption helt frem til termin Side 2

8 lingen har basis i bøger og artikler. Kritikken af disse teorier vil blive kommenteret løbende gennem opgaven. 1.4 Afhandlingens struktur Baseret på problemformulering og afgrænsning vil denne afhandling opstille en model for prisfastsættelse af konverterbare realkreditobligationer, og analysere effekten af ændringer i diverse input. De følgende afsnit vil indeholde gennemgang af teori samt implementering af den anvendte teori og analyse af resultaterne. Slutteligt vil afhandlingen evaluere den opstillede model. Figur 1.1 Opgavens struktur Nulkuponrentestruktur Volatilitet Rentestruktur Konverteringsadfærd Prisfastsættelsesmodel Evaluering af modellen På den vedlagte CD vil alle beregninger, som er fremlagt gennem opgaven, være præsenteret 3. 3 I bilag 1 er vist en indholdsoversigt for Excel-filen Side 3

9 2 Realkreditmarkedet Det danske realkreditmarkedet er kendetegnet ved at være et af de største realkreditmarkeder i Europa såvel som i resten af verdenen. Dette er anerkendt af både forskere og rating bureauer rundt om i verden, Moody s udtaler Operating within an extremely strong legal framework All are very cost efficient Solid asset quality ( ) no bankruptcy or liquidation either at the series level or at the mortgage credit institution level has ever taken place (Moodys, 2002: side 3 og 7). Det danske realkreditmarkeds karakteristika er, at det for investorerne er et stabilt og likvidt marked. I de følgende afsnit vil der blive redegjort for, hvordan det danske realkreditsystem fungerer, herunder principperne som gør det danske realkreditmarked stabilt og likvidt. 2.1 Det danske realkreditsystem Det danske realkreditsystem er opbygget sådan, at en låntager optager et lån gennem et realkreditinstitut, som så udsteder obligationer på Københavns fondsbørs. Investorer opkøber herefter obligationerne med henblik på at få ydelser til gengæld. Låntager er anonym for investorerne, og er desuden ikke tilknyttet en bestemt investor. I 2011 udgjorde realkreditobligationer 78,3% af den cirkulerende mængde obligationer, hvilket svarer til 2,501 mia. kr.(finanstilsynet, 2011). De store markedsaktører er Realkredit Danmark (som har en markedsandel på 29%), Nykredit Realkredit (hvis markedsandel er på 24,2%), Totalkredit (med en markedsandel på 19,2%), og Nordea Kredit (som sidder på 13,6% af markedet). Det danske realkreditmarked er karakteriseret ved, at der er høj konkurrence blandt udbyderne. I figur 2.1 nedenfor er den basale opbygning af det danske realkreditmarked illustreret. Realkreditinstituttet udsteder obligationer på låntagers vegne, som investorer køber med henblik på at få et afkast i form af ydelser. Efter låntager har modtaget sit lån, skal der ved hver forfaldsdag betales en fast ydelse samt nogle bidragsomkostninger. De faste ydelser tilfalder investorerne, mens bidragsomkostninger tilfalder realkreditinstituttet. Institutternes indtægt er kun bidragsomkostninger, samt omkostninger låntager har i forbindelse med eksempelvis omlægning af lån(realkreditrådet, 2012). Side 4

10 Figur 2.1 Systemet i det danske realkreditmarked Lån Investering Låntager Realkreditinstitut Investor Ydelser Som tidligere nævnt er det danske realkreditmarked et af verdenens mest likvide. Internationale rating bureauer rater det danske realkreditmarked højt. Den begrænsede risiko, som er forbundet med danske realkreditobligationer, skyldes en række principper som realkreditmarkedet skal følge(realkreditrådet, 2013): Obligationer, Ydelser Sikkerhed for realkreditlån Realkreditinstitutterne benytter sig af balanceprincippet Realkreditinstitutterne benytter sig af den maksimale lånegrænse ud fra ejendomsværdien Realkreditinstitutterne skal overholde regler omkring kapitaldækning Investorerne har konkursprivilegium, hvis et institut går konkurs Finanstilsynet kan kræve restriktioner mod realkreditinstitutter, der ikke overholder reglerne Ved udstedelse af obligationer, får realkreditinstitutter pant i låntagerens faste ejendom, dvs. hvis låntager ikke opfylder låneforpligtelserne, kan realkreditinstitutterne sælge boligen på tvangsauktion. Ved at panten tinglyses, sikrer man sig imod dobbeltbelåning. Balanceprincippet medfører, at der er en én-til-én sammenhæng mellem de udstedte lån og solgte obligationer. Balanceprincippet sikrer, at de renter og afdrag som låntagerne betaler, stemmer overens med de renter og afdrag, som investorerne modtager. Endvidere sikrer dette princip, at realkreditinstitutterne udelukkende påtager sig kreditrisiko. Balanceprincippet muliggør, at låntager kan indfri lånet før tid ved at tilbagekøbe de udstedte obligationer til enten kurs pari eller markedskursen, hvilket vil blive beskrevet senere. Realkreditinstitutter skal overholde de lovbestemte grænser om maksimal belåning af en bolig. Denne grænse varierer for forskellige ejendomstyper. Hovedregelen for en privat bolig er, at man Side 5

11 kan belåne 80% af boligens værdi. Dette betyder, at det resterende beløb eksempelvis skal finansieres igennem et banklån. Realkreditinstitutter skal, af sikkerhedsmæssige årsager, som minimum have en solvensgrad på 8%. Institutterne skal have en basiskapital på 8% af deres risikovægtede aktiver. De risikovægtede aktiver dækker blandt andet over de udlån institutterne har. I 2011 var realkreditinstitutternes solvensgrad tilsammen på 18,87%(Finanstilsynet, 2011) Lånetyper Der findes mange forskellige produkter indenfor realkredit. Nedenfor illustrerer figur 2.2 udviklingen af de fire lånetyper, som dominerer realkreditmarkedet. Det fremgår af figur 2.2, at de traditionelle fastforrentede obligationslån, også kaldet konverterbare obligationer, er blevet mindre og mindre eftertragtede fra 2007 og frem, hvilket er illustreret ved en klar faldende tendens. I 1996 blev rentetilpasningslånet, hvor de mest populære lån er F1-lån, indført. Disse lån er karakteriseret ved, at et 30-årige lån refinansieres ved udstedelse af 1-årige obligationer hvert år. Figuren nedenfor indikerer, at denne lånetype er blevet mere og mere populær, hvilket fremgår af en stigende tendens. En forklaring på udviklingen i konverterbare obligationer og rentetilpasningslån skyldes rentens udvikling. Udviklingen i spændet mellem den korte og den lange rente, er blevet større, og derved er rentetilpasningslånet blevet mere attraktivt(forelæsningsnoter, 2012). Derudover er der to andre lånetyper, nemlig det variabelt forrentede lån uden og med renteloft. Det variable lån uden renteloft er karakteriseret ved 30-års løbetid med en variabel rente. I 2006 kom de variabelt forrentede lån med renteloft, også kendt som rentegaranti obligationslån, disse er karakteriseret, at der aftales et maksimum for renten. Det variabelt forrentede lån uden og med renteloft udgør dog en mindre del af realkreditmarkedet, men har begge relative stabile kurver jf. figur 2.2. Side 6

12 Figur 2.2 Udviklingen i realkreditlån fordelt på typer Mia. kr År Rentetilpasningslån Variabelt forrentet obligationslån uden loft Variabelt forrentet obligationslån med loft Fast forrentet obligationslån Kilde: Nationalbanken.dk 2.2 Konverterbare obligationer Konverterbare lån er et fastforrentede lån, hvor ydelsen i hver periode er fastsat. Rente- og afdragsandelen af ydelsen er henholdsvis aftagende og stigende med løbetiden. Fastforrentede lån kan beskrives som et annuitetslån, hvor kuponrenten er fastsat ved obligationens udstedelse. Et annuitetslån kan forklares ud fra følgende ligninger(jensen, 2009): Y = RG! R R!! Ligning 2.1 RG! = RG!!! Y Ligning 2.2 R! = RG!!! R Ligning 2.3 Side 7

13 Z! = Y R! Ligning 2.4 Hvor Y er den konstante ydelse, RG t er restgælden i periode t, R er kuponrenten på lånet, R t er rentebetalingerne i periode t og Z t er afdragene i periode t. Summen af afdragene tilbagediskonteret med kuponrenten er den nominelle hovedstol. Et simpelt eksempel er illustreret nedenfor. Låntager ønsker at optage et realkreditlån på kr. med en løbetid på tre år. Obligationerne bliver udstedt til kurs 97. Den nominelle hovedstol bliver således: RG! = = Derefter kan ydelsen beregnes ud fra ligning 1.1. Y = ,05 (1 1,05!! = Renterne og afdragene i år 1 kan beregnes ud fra henholdsvis ligning 2.3 og ligning 2.4. R! = % = Z! = = Amortiseringen af lånet er vist i tabel 2.1 nedenfor. Her kan annuitetslånets karakteristika ses ved, at renternes andel er aftagende og afdragenes andel voksende. Tabel 2.1 Amortisering af lån År Restgæld Rente Afdrag Ydelse Restgæld ultimo Forskellen mellem en konverterbar- og inkonverterbar obligation er konverteringsretten. En konverterbar obligation har en tilhørende call-option(martellini et al., 2003). Forskellen er beskrevet Side 8

14 ved ligning 2.5. Da optionen ikke kan være negativ, så er den konverterbare obligation altid lig med eller mindre end den inkonverterbare obligationsværdi, som vist i ligning 2.5. P!"# = P!"#$" V!"## Ligning 2.5 Låntagere med et konverterbart lån har altid mulighed for at indfri lånet til kurs pari før tid, hvilket især har værdi for låntager ved faldende renter. Ved indfrielsen til strike prisen, som højst kan være kurs pari, er restgælden dermed også en sikker størrelse for låntager i modsætning til den inkonverterbare obligation. Konverteringsoptionen er en amerikansk option, da låntager kan indfri optionen ved hver termin. Sammenhængen mellem de to obligationer er vist i figur 2.3 nedenfor. Figur 2.3 Sammenhæng mellem inkonverterbar og konverterbar obligationskurs Kurs ,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% Effektiv rente Inkonverterbar obligation Konverterbar obligation I figur 2.3 ses den sammenhæng som er beskrevet i ligning 2.5, hvor værdien af optionen stiger, da den kommer in-the-money (ITM). Desto dybere optionen kommer ITM, des større bliver sandsynligheden for konvertering. Derfor bliver afstanden mellem den inkonverterbare obligation og konverterbare obligation større. Ved kurser under 100 er optionens værdi lille, og derfor vil værdien af den konverterbare obligation og inkonverterbare obligation være sammenfaldende. De faktorer der spiller ind på optionsværdien, er volatilitet og tid til udløb, hvis en af disse faktorer Side 9

15 bliver større stiger værdien på optionen, da det vil give større sandsynlighed for, at optionen kommer ITM(Fabozzi, 2005). En grund til at den konverterbare obligation overstiger kurs 100 er, at ikke alle låntagere agerer rationelt, og at der er omkostninger ved at omlægge lånet. Fra investors synspunkt er kendskab til konverteringsadfærd derfor vigtig, da en indfrielse før tid bevirker mindre afkast fra investeringen. Det er optimalt for låntager at tilbagekøbe obligationerne, når nutidsværdien af de månedlige ydelser overstiger nutidsværdien af det nye lån(tuckman, 2012). For eksempel, en konverterbar obligation, der har kurs 105, vælger låntager at indfri, ved at tilbagekøbe obligationerne til kurs 100. Låntager opnår en kursgevinst på 5 kr. per obligation, hvoraf en del af gevinsten, 1 kr. per obligation, går til realkreditinstituttet i omlægningsomkostninger. Investor taber 5 kr. per obligation i forhold til markedskursen. Udover kursgevinsten får låntager en reduktion i den månedlige ydelse, som udregnes med en lavere kuponrente. Da det nye lån udstedes til under kurs 100, vil restgælden stige, under forudsætning af lånet optages til en lavere rente. I eksemplet er den asymmetriske afregning en fordel for investor, da låntager skal have dækket omlægningsomkostningerne, førend en konvertering er profitabel. Det mindsker sandsynligheden for konvertering, samt giver investor den højere ydelse i perioden indtil konvertering. Investor er eksponeret over for to risici i forbindelse med konvertering nemlig kursrisiko og den efterfølgende geninvesteringsrisiko. Kursrisiko indebærer, at investor er udsat for at kursen falder grundet rentefald, og låntager konverterer til kurs pari. Geninvesteringsrisiko betyder, at investor skal geninvestere beløbet fra de tilbagekøbte obligationer til en lavere rente(christensen, 2009). 2.3 Op- og nedkonvertering Den mest populære konvertering er i store træk beskrevet i afsnit 2.2, hvor låntager konverterer med formålet om geninvestering i obligationer med lavere kuponrenter. Sandsynligheden for tilbagekøb af obligationer er størst, når nutidsværdien af de fremtidige ydelser er større end det udestående beløb, der skal tilbagebetales. Der skal være en gevinst ved at konvertere til en lavere rente. Side 10

16 Den anden tilgang til konvertering kaldes opkonvertering, som kom til debat efter det lave renteniveau i 2005(Jakobsen & Hansen, 2006). En opkonvertering er lidt mere kompleks og spekulativ, da det er en flertrins aktion. Først skal renten stige, så låntager med et fastforrentet lån kan indfri lånet til markedskursen og få en kursgevinst, som kommer af udstedelseskursen fratrukket markedskursen. De nye obligationer er dermed udstedt til en højere rente, hvor restgælden er mindre, men ydelsen er blevet højere på grund af renten. Derefter skal låntager håbe på, at der kommer et fald i renten til niveauet før opkonverteringen eller lavere, for at det er profitabelt(jakobsen & Hansen, 2006). Dette er selvfølgelig meget spekulativt; for hvor meget skal renten stige og derefter falde for, at det er profitabelt? Forskellen fra nedkonvertering er, at man ved opkonvertering benytter muligheden for at score en større kursgevinst. Dette skulle i sidste ende give en lavere restgæld og lavere rente end før konverteringen. Side 11

17 3 Nulkuponrente Til prisfastsættelse af konverterbare obligationer er rentekurven et essentiel input, da denne benyttes til at tilbagediskontere obligationens cash flow. Rentekurven estimeres ud fra den nuværende nulkuponrentekurve kombineret med et estimat af volatiliteten i renten, hermed skabes forskellige forløb for den fremtidige korte rente. Til prisfastsættelsen af konverterbare obligationer kræves nulkuponobligationer og den tilhørende nulkuponrente gældende fra tid 0 til tid t. I de følgende afsnit vil nulkuponrentekurven estimeres på baggrund af observerede swaprenter ved brug af Nelson Siegel metoden. 3.1 Nulkuponobligation En nulkuponobligation er et stående lån, som ikke bærer rentebetalinger. Betalingsrækken på obligationen består, udover initialbetalingen, udelukkende af en betaling på udløbstidspunktet(jensen, 2009). For en investor betyder det, at afkastet opnås igennem den kursgevinst, som opstår ved, at nulkuponobligationen udstedes til under kurs 100. I Danmark eksisterer nulkuponobligationer ikke med samme løbetid som konverterbare obligationer. I Danmark er eneste nulkuponobligation skatkammerbeviser(jensen, 2009), som sælges ved auktioner af nationalbanken. Skatkammerbeviser har en løbetid på mellem 3 og 12 måneder, og kan derfor ikke anvendes i denne opgave(børsen, 2012) Rentekurve Da udbuddet af nulkuponobligationer i Danmark er begrænset, og derfor ikke er brugbare i denne opgave, benyttes kuponbærerende obligationer i stedet til at skabe nulkuponrentekurven. Rentekurven kan findes ved hjælp af direkte eller indirekte metoder(martellini et al., 2003). Bootstrapping er en direkte metode, som fremstiller nulkuponrentekurven kunstigt ud fra eksisterende markedsdata. Metoden bygger på, at der skal bruges lige så mange obligationer som betalingstidspunkter, hvilket kræver n ligninger med n-ubekendte(martellini et al., 2003). Dette er en iterativ fremgangsmåde, hvor de beregnede spot renter bruges til at beregne næste periodes ubekendte spot rente. Derved får man en kurve, hvor punkterne for hver termin skal forbindes, hvilket muligvis skaber en ujævn kurve. Til prisfastsættelsen af en 30 årig konverterbar obligation Side 12

18 vil det derfor kræve 30 obligationer med forskellig løbetid, en for hvert år, da der anvendes en terminsdag per år. Der er udviklet mere praktiske alternativer nemlig de indirekte metoder. Disse indirekte metoder forsøger at fitte markedsdata til en rentekurve(martellini et al., 2003). Cubic spline er en indirekte metode, der tager udgangspunkt i, at rentestrukturen kan beskrives ved et polynomium. Ved denne metode inddeles rentestrukturen i forskellige intervaller afhængig af obligationens løbetid, f.eks. mindre end 4 år, 4-8 år, 8-12 år og over 12 år. Herefter kædes de enkelte intervaller sammen(anderson et al., 1996). For at sikre at samlingspunkterne mellem de forskellige rentekurver bliver kontinuerlige, er der indlagt restriktioner i de individuelle rentestrukturkurver. En opdeling i intervaller på løbetiden giver en mere nuanceret rentestruktur end den direkte metode(christensen, 2009). Et alternativ til cubic spline metoden er Nelson Siegel metoden. Denne metode forsøger at fitte rentekurven til markedsdata. Metoden er fleksibel og tager højde for pukler og S-former. Ud fra nedenstående ligning skal fire ukendte parametre bestemmes, så r(m) fitter de kuponbærende obligationers rente(nelson & Siegel, 1987). r(m) = β! + β! e!!!! + β! m τ!!! e!! Ligning 3.1 I ligning 3.1 angiver Beta 0 den lange rente, Beta 1 spredningen mellem den lange og korte rente og Beta 2 angiver krumningen på rentekurven. Da Beta 0 er konstant, vil kurven bevæge sig mod denne værdi. Leddet e (!!!! ) er designet som den komponent, der forklarer Beta 1 s betydning, som værende spredningen mellem den lange og korte rente(nelson & Siegel, 1987). Denne komponent starter ved 1, og bevæger sig mod nul, hvor det er tau s værdi, der bestemmer, hvor hurtigt faldet er. Beta 0 og Beta 1 angiver den korte rente. Tau angiver tidspunktet, hvor den estimerede rentekurve opnår den maksimale værdi(pooter, 2007). Leddet!!! e!! forklarer krumningen på den!! estimerede rentekurve. Den starter i 0, hvorefter den er stigende, når rentekurven har nået sit maksimum, vil værdien være aftagende. Side 13

19 Efterfølgende er modellen blevet udvidet af Svensson (1994). Den udvidede Nelson Siegel metode giver mere fleksibilitet til den korte rente først i forløbet. I denne model tilføjes en ekstra Beta og Tau parameter, som giver fleksibiliteten(martellini et al., 2003). Ifølge Svensson (1994) giver den oprindelige Nelson Siegel metode i de fleste tilfælde et tilfredsstillende fit. I denne afhandling vil Nelson Siegel metoden anvendes. Der er klare fordele ved modellen. For det første estimerer Nelson Siegel metoden en rentekurve ved at benytte få parametre sammenlignet med cubic spline metoden. Derudover skal der ikke antages antal delsegmenter og deres størrelse. En anden begrundelse er, at det ud fra de estimerede værdier er muligt at observere relationen og sammenhængen mellem de forklarende variabler Kuponbærende obligationer Til at skabe nulkuponrentekurven kan, som nævnt tidligere, kuponbærende obligationer benyttes. De kuponbærerende obligationer som benyttes, skal indeholde samme kredit- og likviditetsrisiko som realkreditobligationer. Kreditrisiko dækker over den præmie, investor kræver for at påtage sig risikoen for at miste dele eller hele sin investering. En likvid obligationsserie sikrer investors mulighed for at kunne frasælge sine obligationer hurtigt til en fair pris(christensen, 2009). I en likvid obligationsserie kræver en investor derfor ikke en særlig høj likviditetspræmie. Både renteswaps og statsobligationer kan benyttes som kuponbærende obligationer. Der eksisterer både et likvidt marked for renteswaps og statsobligationer. Kreditrisikoen i statsobligationer er meget lille, derfor er det nødvendigt at tillægge et spread, hvis de benyttes til prisfastsættelsen. Dette kreditrisiko tillæg er vanskelig at estimere(christensen, 2009). Renteswaps indeholder imidlertid kreditrisiko, da der er en risiko for, at låntager ikke kan tilbagebetale sit lån. Denne afhandling vil derfor benytte renteswaps til at estimere nulkuponrente kurven Renteswap En swap kontrakt er en aftale om at bytte cash flow. Der findes forskellige former af swaps. Et standard renteswap kaldes et plain vanilla renteswap, og er en aftale om at bytte rentebetalinger. Et plain vanilla payer renteswap er en aftale om at betale fast og modtage variabel rente en illustration heraf er vist i figur 3.1. Ved indgåelse af et plain vanilla payer renteswap aftales en fiktiv Side 14

20 hovedstol som rentebetalingerne udregnes af. Udveksling heraf sker imidlertid ikke, da det blot ville være at bytte ens beløb(jensen, 2009). Figur 3.1 Illustration af plain vanilla payer renteswap Fast rente Variabel rente Part A Variabel rente Part B Kilde: Inspiration fra Hull, 2012 Swappet består af to ben; et fast ben hvor rentebetalingerne er afhængig af en fast rente, samt et variabelt ben der er afhængig af en variabel rente. Betalingen af hvert ben sker på fastsatte dage. Den variable rente følger typisk IBOR renterne, f.eks. Copenhagen Interbank Offered Rate (CIBOR) eller London Interbank Offered Rate (LIBOR)(Jensen, 2009). Det variable bens betaling er for hver periode fastsat i begyndelsen, hvilket vil sige, at den første rentebetaling af swappet er kendt i forvejen af begge parter. På trods af begge parter betaler og modtager betalinger er det kun differencen mellem det faste og variable ben, der udveksles. For at swap kontrakten er fair for begge parter har begge ben ved indgåelsen af swappet den samme værdi, hvilket betyder at swap kontrakten har en værdi af nul. Værdien af swappet er efterfølgende afhængig af udviklingen i renten. Ligning 3.2 viser, med årlige betalinger, at værdien af et payer renteswap kan opfattes som en lang position i en variabel forrentet obligation samt en kort position i en fastforrentet obligation(jensen, 2009). V!"#$ = S!"# S!"#$ Ligning 3.2 Betalingen af det variable ben afhænger af markedsrenten. Nutidsværdien af det variable ben er rentebetalingerne, som er bestemt af markedsrenten, diskonteret med markedsrenten derfor vil prisen på det variable ben på hver fastsættelses dag være lig kurs pari(jensen, 2009). Da den faste rente er kendt ved aftalens indgåelse, kan rentekurven beregnes sådan, at den fastforrentede obligation prisfastsættes til kurs pari. Side 15

21 3.2 Estimering af nulkuponrentekurven Renteswapkurven estimeres ved Nelson Siegel metoden. Denne swapkurve omregnes til nulkuponrentekurven, som senere anvendes til at skabe rentestrukturen. Beregningerne foretaget kan findes i Excel-arket NS Swaprente. Data til estimering er plain vanilla renteswaps, hentet fra Nordea Analytics. Der er indhentet data den 25/ for 15 plain vanilla renteswap med løbetid fra 1-30 år. Det antages, at der er en årlig betalingsdag på det faste og variable ben. Tabel 3.1 Data for renteswaps Swap Fast Swap-rente DKK Swap 1Y 0,49% DKK Swap 2Y 0,83% DKK Swap 3Y 0,97% DKK Swap 4Y 1,13% DKK Swap 5Y 1,29% DKK Swap 6Y 1,47% DKK Swap 7Y 1,63% DKK Swap 8Y 1,78% DKK Swap 9Y 1,91% DKK Swap 10Y 2,02% DKK Swap 12Y 2,20% DKK Swap 15Y 2,38% DKK Swap 20Y 2,48% DKK Swap 25Y 2,50% DKK Swap 30Y 2,49% Kilde: Nordea Analytics For at estimere swapkurven er problemløser funktionen i Excel benyttet. De fire Nelson Siegel parametre bestemmes ud fra ovenstående data ved hjælp af mindste kvadraters metode. Dette mindsker forskellen mellem de observerede swaprenter og renterne regnet via Nelson Siegel formlen. De fire Nelson Siegel parametre som bedst fitter de 15 observerede swaprenter er illustreret i tabel 3.2. Side 16

22 Tabel 3.2 Estimerede betaparametre β0 β1 β2 τ NS Parametre 0, , , , Som tidligere nævnt er Beta 0 et estimat af den lange rente. Estimeringen af Beta 0 er ikke god, da den lange rente ifølge estimatet blot vil blive 0,008%. Havde der været behov for at estimere den lange rente længere end 30 år, ville denne være gående mod 0,008%. Da Beta 2 indikerer spændet mellem den korte og lange rente, bliver den korte rente jf. beta estimaterne, 0,267%. Rentekurven når sit maksimum efter 24 år, hvilket Tau forklarer. De fire estimerede Nelson Siegel parametre benyttes derefter til at udregne renten for 30 perioder. Ved at benytte diskonteringsfaktoren kan Nelson Siegel renten omregnes til en nulkuponrente. Diskonteringsfaktoren findes ved hjælp af følgende ligning(tuckman, 2012): Hovedstol Hovedstol + NS rente! = DF! Ligning 3.3 NS rente! DF! + Hovedstol Hovedstol + NS rente! = DF! Ligning 3.4 Hvor NS renten er den udregnede Nelson Siegel rente. Udregningen er en iterativ proces, som udregnes for alle obligationer med udløb fra år Når diskonteringsfaktoren er kendt, er det muligt at udregne spot renten for hver enkel nulkuponobligation(tuckman, 2012). Spot rate! = 1 DF!!!ø!"#$% 1 Ligning 3.5 Hvor spot renten i periode i udregnes ud fra diskonteringsfaktoren i periode i og løbetiden. Ved at kende spot renten kan værdien for en obligation findes i tidspunkt 0, ved at sætte prisen ved udløb lig 100, og tilbagediskontere prisen i hver knude. Resultatet af beregningerne for nulkuponrentestrukturen er vist i figur 3.2 Side 17

23 Figur 3.2 Estimeret nulkuponrentekurve 3,0% Nulkuponrente 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% Løbetid Fra figur 3.2 ses det, at renten stiger indtil omkring 22 års løbetid, hvorefter renten er faldende. 3.3 Delkonklusion I dette afsnit er nulkuponrentekurven estimeret. Da der i Danmark ikke er nulkuponobligationer med samme løbetid som konverterbare obligationer, er swaprenter benyttet. Swaprenterne er observeret i markedet, hvorefter Nelson Siegel metoden er blevet benyttet for at skabe en renteswapkurve. Derefter er Nelson Siegel renterne omregnet til en nulkuponrentekurve, som kan benyttes til at skabe rentestrukturen. Side 18

24 4 Rentestrukturmodel Til prisfastsættelsen af konverterbare obligationer skal cash flowet fra disse tilbagediskonteres med en passende rente. For at finde denne renteudvikling over tid bruges en rentestrukturmodel. Der er udviklet forskellige modeller til estimeringen af rentestrukturen. Merton s (1973) model og Vasicek s (1977) model er nogle af de første forsøg på at skabe en model til estimering af rentestrukturen. Begge er en-faktor modeller, der betragter rentestrukturen som en funktion af en variabel(martellini et al., 2003). Denne ene variabel er den korte rente. Forskellen mellem de to modeller er den korte rentestrukturs dynamik. En af manglerne ved disse en-faktor modeller er, at de ikke giver fleksibilitet til at fange forskellige variationer af rentekurvens form. Endvidere giver Merton s (1973) og Vasicek s (1977) modeller sandsynlighed for en negativ rente. For at kompensere for disse mangler er multifaktor modeller udviklet. I multifaktor modeller specificeres dynamikker for flere rente variabler, for eksempel den korte rentestruktur, volatiliteten og et gennemsnit for den korte rente. Dette gøres blandt andet i Fong og Vasicek s (1991) model(martellini et al., 2003). En populær model til estimering af rentestrukturen er binomialtræ modellen. I denne model kan renten i hver periode med en bestemt sandsynlighed, enten bevæge sig op eller ned med en bestemt faktor. Dermed skabes et rentegitter. I det følgende afsnit vil denne model blive forklaret. 4.1 Binomialtræ modellen Til at fastlægge rentestrukturen benyttes binomialtræ modellen ofte. I binomialtræ modellen implementeret af Black, Derman og Toy (1990), BDT-modellen, antages den korte rente at være lognormal fordelte. Ideen bag binomialtræ modellen er at hvis den nuværende korte rente kendes, kan den korte rente for næste periode beregnes ud fra ideen, at der i hver periode er to mulige udfald (r 1,1 og r 1,0 ) med hver sin sandsynlighed (p og (1-p)). Den efterfølgende periode følger samme princip, hvilket vil give 4 mulige udfald af den korte rente i periode 2. Generelt kan den korte rente tage 2 i værdier i periode i. Dette betegnes som det ikke-rekombinerede rentetræ. At prisfastsætte en 30 årig konverterbar obligation i et ikke-rekombineret rentetræ vil være meget krævende, da renten i år 30, Side 19

25 under antagelsen om årlige betalinger, kan tage over en milliard værdier, ved halvårlige eller kvartalvise betalinger vil tallet være endnu større(martellini et al., 2003). I det rekombinerede rentetræ fører en op-ned bevægelse til samme rente som en ned-op bevægelse, hvilket vil reducere antallet af udfald markant. I periode 2 vil den korte rente i dette træ føre til 3 udfald mod 4 i de ikke-rekombinerede rentetræ. Generelt kan den korte rente i det rekombinerede træ tage i+1 værdier i periode i, hvilket mindsker antallet af udfald der skal estimeres til prisfastsættelse af en 30 årig obligation markant. Figur 4.1 illustrerer et rekombineret rentetræ. Figur 4.1 Rekombineret binomialtræ Kilde: Inspireret af Martellini et al I rentegitteret noteres hvert punkt med (i,j), hvor i angiver hvilken periode man befinder sig i, og j angiver hvilken tilstand man er i. Ved at kalibrere rentetræet til den tidligere estimerede nulkuponrentestruktur sikres et arbitrage-fri rentetræ(martellini et al., 2003). Rentetræet bestemmes ud fra nulkuponobligationer. Det er en iterativ proces, hvor den korte rente for periode 1 bestemmes ud fra en 2 årig nulkuponobligation prisfastsat til kurs pari. Herefter kan den korte rente næste periode bestemmes ud fra en 3 årig nulkuponobligation og så videre. Da nulkuponobligationens pris, som nævnt, er kendt ved udløb, kan denne pris tilbagediskonteres i rentegitteret. Dette gøres ved hjælp af følgende ligning. Side 20

26 P!,! = q P!!!,!!! + 1 q P!!!,! (1 + r!,! ) Ligning 4.1 Hvor prisen på obligationen i punkt (i,j) udregnes ved at tilbagediskontere prisen for en op- og en ned bevægelse i den kommende periode med renten r i,j. I ligning 4.1 angiver (q og (1-q)) sandsynligheden for henholdsvis en op- og en ned bevægelse. Dermed kan renten i periode i udregnes ved at benytte nulkuponobligationen med udløb i år n+1. Sammenhængen mellem størrelsen på op- og ned bevægelserne i den korte rente, udregnes ud fra ligning 4.2(Martellini et al., 2003). r!,! = r!,! e!!! Ligning 4.2 Hvor op- og nedbevægelsernes størrelse bestemmes ved hjælp af volatiliteten, angivet ved σ. Denne ligning sikrer ligeledes, at der skabes et rekombineret rentetræ, altså at en op-ned bevægelse er det samme som en ned-op bevægelse. En svaghed ved binomialtræ modellen er at den ikke tager højde for at renten har tendens til at bevæge sig mod en gennemsnitlig værdi(martellini et al., 2003). I modellen er sandsynligheden for at en stigning/fald forekommer konstant, uafhængig af udviklingen i tidligere perioder. Derved opnås både ekstrem høje og lave renter, da renterne stiger/falder eksponentielt. I afhandlingen vil rentestrukturen beskrives ved hjælp af det rekombinerede binomial rentetræ. Dette gøres da modellen kombinerer den nuværende nulkuponrentestruktur og volatiliteten, og gør det derved muligt at prisfastsætte rentefølsomme værdipapirer. 4.2 Volatilitet I afsnit 4.1 blev volatiliteten præsenteret som en væsentlig faktor i ændringerne i den korte rente. Volatiliteten er et udtryk for usikkerheden omkring størrelsen af renten, og er defineret som standard afvigelsen. Der findes forskellige metoder til estimering af volatiliteten, heriblandt implicit volatilitet og historisk volatilitet. Disse vil i det følgende blive gennemgået. Side 21

27 4.2.1 Implicit volatilitet Den fremtidige rentevolatilitet bliver handlet i optionsmarkedet hver dag, hvorfor et udgangspunkt for et rentevolatilitets forecast vil være det, der kan observeres i markedet. En options pris er en funktion af volatiliteten, hvilket betyder, at hvis optionsprisen er kendt kan den implicitte volatilitet udledes(pedersen, 1996). Til at udlede volatiliteten skal en optionsprisfastsættelses model benyttes, f.eks. Black-Scholes formelen. På baggrund af de udregnede priser kan de enkelte renteoptioners implicitte volatilitet findes(pedersen, 1996). Den implicitte volatilitet af renten kan beregnes på baggrund af swaptioner Historisk volatilitet Den historiske volatilitet er lettere at beregne, da den udregnes på baggrund af observerede markedsdata. Denne metode til forecasting antager, at rentevolatiliteten er stabil over tid, hvilket gør at, det bedste bud på den fremtidige volatilitet er den historiske volatilitet(pedersen, 1996). Det er svært at bestemme en passende datamængde(hull, 2012). Generelt leder mere data til bedre estimat. På den anden side ændres standardafvigelsen over tid, og data kan blive for gammelt til at være relevant for estimeringen af fremtidens volatilitet(hull, 2012). Den historiske volatilitet kan udregnes på baggrund af swaprenter. Estimeringen af volatiliteten kan udregnes som standardafvigelsen af logaritmen til nulkuponrentens afkast. Første skridt i estimeringen er at udregne denne logaritme(hull, 2012): u! = ln S! S!!! for i = 1,2,., n Ligning 4.3 Hvor S i er swaprenten for tidspunkt i, og S i-1 er renten for det forgående tidspunkt. Dernæst skal standardafvigelsen af u i, udregnes(hull, 2012): s = 1 n 1!! u!!!! 1 n(n 1)! u!!!!! Ligning 4.4 Hvor variablen s angiver standard afvigelsen per dag. For at udregne standard afvigelsen per år ganges estimatet per dag med kvadratroden af antal handelsdage per år. Side 22

28 Nærværende afhandling vil benytte den historiske volatilitet. På baggrund af den simple beregningsmetode, vil den benyttes. Det er vurderet at denne udregning vil give tilstrækkelig indsigt i volatilitetens størrelse, som kan benyttes i udarbejdelsen af rentestrukturen. 4.3 Estimering af rentestrukturen I det følgende afsnit vil estimeringen af rentestrukturen blive gennemgået. I opgaven antages en fiktiv hovedstol på 100 samt årlige betalinger. Beregningerne foretaget kan findes i Excel-arkene NS Swaprente og Rentetræ. Før estimeringen af binomialtræet kan ske, skal prisen på nulkuponobligationen bestemmes i tidspunkt 0. For at udregne 0-prisen benyttes de tidligere beregnede diskonteringsfaktorer og spot renten for nulkuponobligationerne. Ud fra diskonteringsfaktoren og spot renten, udregnes prisen på obligationen i år 0 ud fra ligning Pris = Hovedstol 1 + Spot rate!!ø!"#$% Ligning 4.5 Tabel 4.1 Resultater for diskonteringsfaktoren, spot renten og 0-prisen for de første fire år Løbetid DF Spot rente 0-Pris 1 0,9948 0,52% 99,48 2 0,9851 0,75% 98,51 3 0,9715 0,97% 97,15 4 0,9547 1,17% 95,47 Før rentegitteret kan skabes, skal volatiliteten bestemmes. Volatiliteten vil blive udregnet ud fra renten på et 2 årigt fast renteswap. Data er indhentet fra Nationalbankens statistikbank. Der er indhentet swaprenter fra 01/ til 08/ hvilket resulterer i n=1090. Tabel 4.2 Input til udregning af volatiliteten n Σ u i 2 Σ u i ,8208 0,6731 Side 23

29 s = 0, ,8208! = 0,0248 De indhentede data giver en standard afvigelse per dag på 2,48%. Med en antagelse om 252 handelsdage per år giver det en årlig standard afvigelse på 39,46%. I forhold til den videre brug af volatiliteten til bestemmelse af udviklingen i renten, er den meget høj, hvilket resulterer i knudepunkter i binomialtræet med meget høje renter ved mange opbevægelser i rentetræet. Den historiske volatilitet udregner relative ændringer i renten, da renten har været meget lav i perioden dataen er hentet, bliver små absolutte ændringer i renten til store relative ændringer. Dette bevirker, at den estimerede historiske volatilitet er meget høj. Endvidere er volatiliteten aftagende over tid, så antagelsen som den historiske volatilitet bygger på, at den er konstant over tid, er urealistisk. På baggrund heraf antages volatiliteten at være på 20%, da dette menes at være et mere realistisk estimat på en konstant volatilitet på en 30 årig tidshorisont. Når 0-prisen for alle obligationer med udløb op til år 30, og volatiliteten er bestemt, kan konstruktionen af rentetræet foretages. Som tidligere nævnt er det en iterativ proces, hvor renten bestemmes ved hjælp af Excel funktionen målsøgning, dermed sikres sammenhæng mellem rentetræet og nulkuponobligationspriserne. I opgaven anvendes samme størrelse på en op- og en nedbevægelse, q = 0,5. Renten bestemmes således, at tilbagediskonteringen af prisen ved udløb passer med den udregnede 0-pris. Den ubekendte ved udregning er renten i knudepunkt (i,0). Renten ved opbevægelser bestemmes ud fra ligning 4.2. Størrelsen af volatiliteten på 20% bestemmer størrelsen på op- og nedbevægelserne. Der vil være en konstant sammenhæng mellem renterne på tidspunkt i. Sammenhængen findes som r(i,j+1)/r(i,j)(black et al., 1990). Forholdet bliver med den fastsatte volatilitet 1,49. Resultatet for den korte rente fra tidspunkt 0 til tidspunkt 4 ses i tabel 4.3. Side 24

30 Tabel 4.3 En-periode rentestruktur for de første fire år Tid r0 0,52% r1,1 1,18% r2,2 2,01% r3,3 3,03% r4,4 4,29% r1,0 0,79% r2,1 1,35% r3,2 2,03% r4,3 2,88% r2,0 0,90% r3,1 1,36% r4,2 1,93% r3,0 0,91% r4,1 1,29% r4,0 0,87% Det bemærkes, at niveauet for renten i tidspunkt 1, både i op- og nedtilstanden, er større end renten i tidspunkt 0. Dette er en konsekvens af at renten er så lav at markedet forventer en stigning. Det samme er tilfældet i punkt (2,0) og (2,1) samt (3,0) og (3,1). Derfra og frem fører en nedbevægelse til en lavere rente. Den estimerede rentestruktur benyttes i den senere prisfastsættelse. 4.4 Delkonklusion I dette afsnit er binomialtræet konstrueret på baggrund af nulkuponrentekurven og volatiliteten. Til at konstruere binomialtræet er den historiske volatilitet brugt. På grund af det lave renteniveau bliver den relative ændring i renten stor, derved bliver den beregnede volatilitet meget stor. Volatiliteten antages derfor at være 20%, som benyttes til udregningerne. Renterne, som er vist i tabel 4.3 vil benyttes i den senere prisfastsættelse af de konverterbare obligationer. Side 25

31 5 Konverteringsadfærd Til at prisfastsætte en konverterbar obligation kræves viden om låntagers konverteringsadfærd. Konverteringsretten på en realkreditobligation er en reel mulighed for låntager og en reel trussel for investor. I takt med renten falder, stiger sandsynligheden for at låntager udnytter sin konverteringsmulighed. Hvis det ikke var muligt at konvertere, ville prisfastsættelsen være let at analysere. Antallet af konverteringer har betydning for det cash flow, som investor modtager. Ved konvertering refinansierer låntager sit lån. Et afgørende motiv ved konvertering er at reducere omkostninger forbundet med lånet. Besparelsen opstår ved, at renten ved optagelse af et nyt lån falder tilstrækkeligt i forhold til det eksisterende låns rente, dermed opnås en lavere nutidsværdi af lånet. I det følgende vil konverteringsraten som angiver andelen af de tilbageværende låntagere, som på en given termin vælger at indfri deres lån til kurs pari, forklares ud fra rationel eller optimal konverteringsadfærd og gevinstkrav modellen. Medmindre andet er angivet, vil afsnit 5.1 og 5.2 som udgangspunkt tage afsæt i Svend Jakobsen 1992b. 5.1 Optimal konverteringsadfærd Som tidligere nævnt kan låntager, med et konverterbart lån, betragtes som indehaver af en inkonverterbar obligation plus en amerikansk call option, som giver retten til at tilbagekøbe hele lånet til kurs pari. For at simplificere beregningerne i opgaven, kan denne option kun udnyttes lige inden terminsdagen. Optimal konverteringsadfærd kan betragtes som standard options teori, hvor låntager følger en værdi-minimerende strategi. Her udnytter låntager tilbagekøbsretten, når værdien af den inkonverterbare obligation minus værdien af call optionen er større end exerciseprisen, vist ved ligning 5.1. P!"# V!"## > omk Ligning 5.1 Side 26

32 Ved optimal konverteringsadfærd forudsættes at alle låntagerne agerer rationelt, og løbende sammenligner nuværende og fremtidig gevinst ved konvertering. Antagelsen om rationelle låntagere gør, at konverteringsraten springer fra 0% til 100%. For at bestemme den optimale konverteringsadfærd skal låntager i hver periode beslutte mellem at fortsætte eller tilbagebetale lånet. Hvis det er optimalt for låntager at konvertere, skal hele restgælden betales. Værdien hvis der konverteres er udtrykt ved K!,!. Udover betalingen af restgælden skal låntager betale konverteringsomkostninger, disse omkostninger antages at være en fast procentdel γ af K!,!. De totale omkostninger ved tilbagekøb af lånet bliver derfor K!,! = (1+ γ)* K!,!. Ved optimal konverteringsadfærd konverterer låntager, når nutidsværiden af restgælden ved konvertering er mindre end nutidsværdien ved at fortsætte lånet. Låntager skal i knudepunkt (i,j) finde den laveste værdi af lånet ved: V! i, j = min K!,!, K!,! Ligning 5.2 Hvor værdien af lånet er den mindste værdi af lånet, hvis det tilbagekøbes K!,! og hvis det fortsættes K!,!. Der hvor optionsværdien er størst, er restgælden derfor mindst. Det niveau for renten hvor K!,! = K!,!, kaldes den kritiske rente, r*. Når K!,! < K!,! er den optimale strategi at indfri lånet til kurs pari. Den kritiske rente er afhængig af konverteringsomkostningerne. Høje konverteringsomkostninger gør, at exercise prisen stiger, og den kritiske rente falder. Værdien af lånet, hvis der ikke konverteres og værdien ved konvertering, findes henholdsvis ved ligning 5.3 og 5.4. K!,! = q P!"#!!!,!!! + q P!"#!!!,! + PMT!!! (1 + r!,! ) Ligning 5.3 Ved udregning af værdien hvis der ikke konverteres, benyttes prisen på den konverterbare obligation for perioderne (i+1,j+1) og (i+1,j). For at skabe et efter-kupon-træ tillægges ydelsen til investor i perioden (i+1). Disse tilbagediskonteres med den korte rente i knudepunktet (i,j). Side 27

33 !!!! K!,! = 1 s c! + a! 1 + r!,! +!!! g! 1 + r!,!!!! Ligning 5.4 Hvor s er skattesatsen, c er rentebetalingen og a er afdraget. Svend Jakobsen benytter i ligning 5.4 renten efter skat r s, og udregner samtidig betalinger som indtræffer i opsigelsesperioden frem til næstkommende termin, defineret T*. I denne opgave ses der imidlertid bort fra skat, og det antages at låntager opsiger sit lån lige inden terminens udløb. Derfor kan værdien ved konvertering i denne opgave beregnes ud fra ligning 5.5. K!,! = RG!,! (1 + γ) Ligning 5.5 Værdien ved konvertering bliver således restgælden, inklusiv konverteringsomkostningerne, som tidligere nævnt antages at være en fast procentdel. For at kunne sammenligne værdien ved konvertering og værdien ved at fortsætte lånet, skal begge værdier være efter kuponbetaling. Ved beregning af restgælden skal man være opmærksom på dette. Forsimplingen af ligning 5.4 kan have betydning for den senere prisfastsættelse. Betydningen vil blive belyst i den senere evaluering af den opstillede model. Ved antagelsen om rationelle låntagere og minimering af lånets nutidsværdi, kan konverteringsraten λ udtrykkes ved: λ!,! = 1 hvis K!,! < K!,! 0 ellers Ligning 5.6 Hvor λ angiver andelen af låntagerene som konverterer i knudepunkt (i,j). Da alle låntagere agerer rationelt, kan konverteringsraten betragtes som en binær variabel. Låntagerne vil konvertere deres lån på samme tidspunkt, det gør, at konverteringsraten springer fra 0% til 100%, når der konverteres. Denne simple betragtning af konverteringsraten, gør at prisfastsættelsen af den konverterbare obligation kan udtrykkes ved: Side 28

34 P!,! = λ!,! K!,! + 1 λ!,! K!,! Ligning 5.7 Kursen for den konverterbare obligation findes ved at tilbagediskontere værdien ved udløb. Værdien for K!,! og K!,! udregnes for hvert knudepunkt (i,j) for at kunne vurdere konverterings funktionen. Derefter er det muligt at udregne prisen for den konverterbare obligation ved ligning 5.7 i hvert knudepunkt, indtil kursen i punkt (0,0) er kendt. Uden konverteringsomkostninger vil kursen på den konverterbare obligation aldrig overstige kurs 100, førend låntager konverterer sit lån. Da der er konverteringsomkostninger, vil kursen overstige 100 før det kan betale sig at konvertere. I det punkt, hvor det er optimalt at indfri lånet, vil alle låntagere konvertere på samme tidspunkt, hvormed kursen straks falder tilbage til 100, hvilket vil skabe et kurshop. I praksis sker denne konvertering ikke samtidigt. At konverteringsraten kan betragtes som en binær variabel, er teoretisk set fornuftigt, men i praksis er det en urealistisk antagelse, da alle låntagere ikke agerer rationelt. Grunden til dette kan være, at det er tidskrævende, kompliceret og besværligt i hver periode, at vurdere om det er optimalt at konvertere. I realiteten har alle låntagere heller ikke fuld information. Der er blevet udviklet modeller, der er bedre til at fange irrationel adfærd hos låntagere. Svend Jakobsen udviklede i 1991gevinstkravmodellen, hvor konverteringen hos låntager ikke blot afhænger af renteniveauet, men hvor der også betragtes andre forklarende variabler til estimering af konverteringsadfærden. 5.2 Gevinstkravmodellen I den optimale konverteringsmodel er forudsætningen at låntagerne er homogene, og at der enten sker fuld eller ingen konvertering. Dette er i praksis ikke realistisk, da låntagerne har forskellige forudsætninger. Derfor blev gevinstkravmodellen udviklet, da denne tager højde for at låntagerne er heterogene. Modellen benytter variabler, som bedre forklarer låntagers beslutning om førtidsindfrielse. I stedet for diskontinuerlig tilbagekøb af obligationer, får gevinstkravmodellen en kontinuerlig tilbagekøbsfunktion. Svend Jakobsen introducerede gevinstkravmodellen, som bygger på forudsætningen om, at hver låntager har et gevinstkrav, som skal tilfredsstilles før der konverteres. Antagelsen om forskellige Side 29

35 gevinstkrav blandt låntagerne bevirker, at modellen inddrager, at alle låntagere ikke handler rationelt. Modellen forsøger at estimere den faktiske konverteringsadfærd i stedet for den optimale og rationelle. Til at modellere konverteringsadfærden anvendes konverteringsraten. Konverteringsraten angiver den andel af de tilbageværende låntagere, som på en given termin vælger at indfri deres lån til kurs 100. Disse indfrielser før tid betegnes også som ekstraordinære udtrækninger. I gevinstkravmodellen er den primære faktor ved bestemmelsen af konverteringsraten gevinsten ved konvertering. Hver individuel låntager har et gevinstkrav g im, dette gevinstkrav sammenlignes med den aktuelle gevinst g m. Hvis g!" > g!, vil den enkelte låntager indfri sit lån, ellers venter låntager på yderligere rentefald. Det gennemsnitlige gevinstkrav i låntager puljen g * antages at følge en standardnormalfordeling med standardafvigelsen σ. λ g! = Φ g!, g, σ Ligning 5.8 I hvert knudepunkt (i,j) beregner låntager gevinsten ved at tilbagebetale restgælden. Den andel af låntagere der i knudepunkt (i,j) har fået opfyldt sit gevinstkrav, og dermed vælger at tilbagebetale deres nuværende lån defineres som λ g!, og udregnes ved ligning 5.9. λ g! = Φ g! g σ Ligning 5.9 Hvor konverteringsraten er en standardnormalfordeling med standard afvigelsen σ og et gennemsnitlig gevinstkrav g. Da der er usikkerhed omkring fremtidens volatilitet og rentestruktur inkorporeres σ, for at modellen tager højde for dette. Der kan benyttes forskellige fordelinger af konverteringsraten. Standardnormalfordeling og spredningen bevirker, at overgangen fra 0% til 100% sker flydende. I forhold til konverteringsraten ved optimal konverteringsadfærd, forventes funktionen i gevinstkravmodellen, at være monotont stigende(jakobsen, 1992c). Dette ses ved, at funktionen er begyndende ved 0 for lave værdier af g m, og ved høje værdier af g m konvergerer funktionen mod 1. Konverteringsraten ved optimal konvertering og gevinstkrav modellen er vist Side 30

36 nedenfor i figur 5.1. Den viste konverteringsrate ved gevinstkrav, er med et gevinstkrav på 10% og med en standardafvigelse på 6%. Figur 5.1 Konverteringsraten ved optimal konvertering og gevinstkrav 100% Andelen der konverterer, λ 80% 60% 40% 20% 0% - 30% - 20% - 10% 0% 10% 20% 30% Aktuel gevinst, g_m Optimal konvertering Gevinstkrav For at kunne udregne den aktuelle gevinst, skal prisen på den inkonverterbare obligation kendes. Den inkonverterbare obligations pris udregnes ved at tilbagediskontere den årlige ydelse i periode (i+1) med renten fra binomial træet. Dette gøres ved hjælp af ligning P!"#!,! = q P!"#!!!,!!! + q P!"#!!!,! + PMT!!! Ligning r!,! Den aktuelle gevinst kan derefter udregnes i hvert knudepunkt (i,j) ud fra ligning g!(!,!) = P!,!!"# K!,! Ligning 5.11!"# P!,! Når den aktuelle gevinst, konverteringsraten og låntagers gennemsnitlige gevinstkrav er fundet, kan værdien for den konverterbare obligation i knudepunkt (i,j) udtrykkes ved følgende ligning: Side 31

37 P!,! = λ g! K!,! + 1 λ g! K!,! Ligning 5.12 Hvor, K!,! i punkt (0,0) findes. og K!,! er forklaret ved henholdsvis ligning 5.3 og 5.5. Ved baglæns induktion kan prisen Gevinstkrav Gevinstkravmodellen forudsætter, at hver låntager har et gevinstkrav, som skal opfyldes før den enkelte låntager konverterer. Som tidligere nævnt antages gevinstkravet at følge en standardnormalfordeling på tværs af låntagerne med et gennemsnitligt gevinstkrav på g * og med en standardafvigelse på σ. Dette gevinstkrav er en central faktor i beregningen af konverteringsraten. For at modellen bedre kan estimere låntagers gennemsnitlige gevinstkrav, og dermed den faktiske adfærd, kan de ekstraordinære udtrækninger fra en obligationsserie forklares ud fra en række variabler. Disse variable kan estimeres ud fra historiske data. I det følgende vil de mest væsentlige variabler blive forklaret. Burnout forklarer det fænomen, hvor konverteringsraten hos låntager er relativ lav for serier, hvor konverteringsraten tidligere har været meget høj(jakobsen & Svenstrup, 1999). En forklaring på denne sammenhæng er, at alle låntagere ikke er lige hurtige. Derved vil de aktive låntagere konvertere hurtigt og de resterende vil gennemsnitlig blive langsommere. I en serie som er udbrændt har der tidligere været høj konverteringsrate. Dermed antages det, at de resterende låntagere kræver en højere gevinst før de konverterer deres lån. En høj konverteringsaktivitet bevirker en lav burnout værdi. Der forventes derfor et stigende gevinstkrav i takt med burnout værdien falder. Burnout udregnes som størrelsen af den tilbageværende restgæld i forhold til den maksimale restgæld. Burnout = Tilbageværende restgæld Maksimal restgæld Ligning 5.13 Løbetid har en indflydelse på hvornår låntager konverterer. Ved kortere løbetid vil låntager indfri ved lavere gevinstniveau end ved længere løbetid. Dette skyldes, at låntagere med kortere løbetid Side 32

38 ikke har samme tidshorisont til at opnå en potentiel gevinst. Låntagere med længere løbetid kan derfor afvente større konverteringsgevinst(jakobsen & Svenstrup, 1999). Løbetid udregnes som den resterende tid til udløb i forhold til obligationens totale løbetid, som vist i ligning Løbetid = Resterende løbetid Løbetid Ligning 5.14 Forskellige grupper af låntagere kan inddrages for at skabe mere homogene grupper blandt låntagerne. Opdeling af grupper kan gøres ud fra privat og erhverv eller lånets størrelse. Det formodes, at erhvervslån er mere aktive og har et lavere gevinstkrav(jakobsen & Svenstrup, 1999). Ved opdeling på lånets størrelse formodes der at være større konverteringsaktivitet blandt de største realkreditlån relativt til de mindre lån. Opdelingen kan også være nyttig i forbindelse med en korrekt fastsættelse af konverteringsomkostningerne, da de typisk vil være lavere for erhvervslån i forhold til private lån. Andre forklarende variable: Konverteringsgevinst Renten Konverteringsomkostninger Refinansieringsspread Forventninger til fremtidige renter Udover de ovenfor listede variabler er der også andre faktorer, som påvirker konverteringsadfærden. Herunder kan spekulation, aktivgældspleje, informationsniveau samt vidensniveau have indflydelse på den enkelte låntagers konverteringsadfærd. 5.3 Delkonklusion I dette afsnit er to modeller for låntagernes konverteringsadfærd beskrevet, optimal konverteringsadfærd samt gevinstkravsmodel. Begge modeller har sine fordele og ulemper. Optimal konverteringsadfærd bygger på forudsætningen om, at låntager træffer rationelle og velinformerede beslutninger. Det betyder, at låntager konverterer så snart gevinsten ved Side 33

39 konvertering er positiv. Denne forudsætningen er teoretisk optimal, men i praksis handler alle låntagere ikke 100% rationelt. Antagelsen om rationelle låntagere bevirker, at konverteringsraten kan betragtes som en binær variabel, hvor alle låntagere konverterer, så snart gevinsten er positiv. Svend Jakobsen udviklede i 1991 gevinstkravmodellen, som tager hensyn til adfærdsforskelle hos låntagerne. Modellen inddrager, at hver enkel låntager har et gevinstkrav, som antages at være standardnormalfordelt på tværs af låntagerpuljen. Dette gevinstkrav kan estimeres ud fra en række forklarende variabler, som beskriver låntageres konverteringsadfærd. Gevinstkravmodellen indfanger bedre den faktiske konverteringsadfærd hos låntagerne - overgangen fra 0% til 100% sker flydende. Modellen kan forekomme omfattende og detaljeret, konverteringsraten kan overspecificeres, og det kan være problematisk at observere nogle af dataene i markedet. Modellen for optimal konverteringsadfærd har i praksis mangler. Opgaven vil derfor benytte gevinstkravmodellen i den senere prisfastsættelse. Side 34

40 6 Prisfastsættelse Efter at have opstillet rentestrukturen i afsnit 4, samt modeller for konverteringsadfærd i afsnit 5, kan prisfastsættelsen af den konverterbare obligation udføres. 6.1 Prisfastsættelse optimal konvertering Ved optimal konverteringsadfærd sker konvertering så snart gevinsten ved at konvertere, er større end 0. Det gør prisfastsættelsen meget simpel. De følgende trin skal udføres for at finde prisen: Amortisering af lånet Udregning af værdi ved konvertering og ved at fortsætte lånet Prisfastsættelse af den konverterbare obligation Amortiseringsplanen skal fastlægges på baggrund af en fastforrentet realkreditobligation, som har samme løbetid som obligationen prisen skal bestemmes på. Ydelsen på lånet beregnes ved ligning 2.1. I amortiseringsplanen beregnes rentebetalinger ud fra ligning 2.3, hvorefter afdragene kan regnes via ligning 2.4 for hver termin. Derved opnås den fulde amortiseringsplan. Værdien ved at fortsætte lånet afhænger både af tidspunktet i og tilstanden j, og skal derfor udregnes for hvert knudepunkt (i,j). Værdien findes ved at regne tilbage i gitteret fra år 30 ved hjælp af ligning 5.3, til værdien i tidspunkt 0 er kendt. Værdien ved konvertering afhænger i denne opgave kun af restgælden, som er kendt ved hver termin jf. amortiseringsplanen. Restgælden tillægges konverteringsomkostninger for at finde værdien ved konvertering. Denne værdi er kun afhængig af tidspunktet i, ikke af tilstanden j. Dermed kan værdien udregnes for tidspunkt i ud fra ligning 5.5. Prisfastsættelsen kan, som tidligere nævnt, ses som et minimeringsproblem hvor låntager i hvert knudepunkt (i,j) finder værdien af den konverterbare obligation. Ud fra ligning 5.2 findes minimummet af konverteringsværdien og værdien ved at fortsætte lånet, som er udregnet tidligere. Den mindste af de to værdier skal tilbagediskonteres med renten fra det estimerede rentetræ, indtil prisen på den konverterbare obligation er kendt i tidspunkt 0. Side 35

41 6.2 Prisfastsættelse gevinstkrav Udregningen af prisen i gevinstkravmodellen er mere kompleks og kræver flere trin. Amortiseringen af lånet samt udregning af værdi ved konvertering og ved at fortsætte lånet findes på samme måde som beskrevet i afsnit 6.1, og vil derfor ikke blive gennemgået igen. De følgende trin skal undersøges og analyseres for at finde prisen i gevinstkravmodellen: Amortisering af lånet Prisfastsættelse af inkonverterbar obligation Aktuel gevinst Estimering af gevinstkrav Konverteringsraten Udregning af værdi ved konvertering og ved at fortsætte lånet Prisfastsættelse af den konverterbare obligation Først skal prisen på den inkonverterbare obligation findes ved at tilbagediskontere ydelserne med de estimerede renter i binomialtræet. Prisen findes ved hjælp af ligning Den aktuelle gevinst skal derefter udregnes. Den er sti-afhængig, og er betinget af den tidligere udregnede værdi af den inkonverterbare obligation samt værdien ved konvertering. Gevinsten beregnes ud fra ligning 5.11, og angiver den procentvise gevinst, låntager kan opnå ved konvertering i knudepunkt (i,j). Det gennemsnitlige gevinstkrav kan findes på flere måder. Det kan enten estimeres ud fra historiske data om udtrækninger, eller blot antages. Ved estimering kan det gennemsnitlige gevinstkrav findes ved at beregne en række betaværdier ud fra forskellige forklarende variabler. I denne opgave vil gevinstkravet estimeres ved at benytte en markedstilgang, hvor modelpriser tilpasses til markedspriser. Her skal de ukendte parametre, det gennemsnitlige gevinstkrav og standardafvigelsen, estimeres. Derved opnås de parametre, som bedst fitter modelpriserne til markedspriserne. Dernæst beregnes konverteringsraten, som angiver den andel af de resterende låntagere der konverterer, ved hjælp af ligning 5.9 i hvert knudepunkt (i,j). Til at udregne konverteringsraten benyttes det gennemsnitlige gevinstkrav samt standardafvigelsen. Side 36

42 Når ovenstående trin er overstået kan prisfastsættelsen foretages. Betalingsrækken på en konverterbar obligation er ikke kendt på forhånd, hvorfor konverteringsraten benyttes. Ud fra ligning 5.12 kan prisfastsættelsen af den konverterbare obligation i gevinstkravmodellen opdeles i to, prisfastsættelsen af andelen der konverterer, samt værdien af andelen af låntagere der vælger ikke at konvertere. Den første del udregnes ved ligning 5.5, mens anden del er en tilbagediskontering af prisen for tidspunkt i+1,j+1 og i+1,j plus den årlige ydelse for i+1 beskrevet ved ligning 5.3. Prisen udregnes ved baglæns induktion til den er kendt i punkt (0,0). 6.3 Estimering af pris I det følgende afsnit vil fastsættelsen af prisen for en 5% konverterbar obligation blive gennemgået. Beregninger kan findes på vedlagte CD i arkene Pris in5, AG5, Gevinstkrav samt Pris5. Der vil kun fokuseres på prisfastsættelsen ved brug af gevinstkravmodellen. Det er vurderet at modellen for optimal konverteringsadfærd er for simpel til at opfange låntagers faktiske adfærd, hvilket vil resultere i en lav pris som ikke vil afspejle virkeligheden. Til prisfastsættelsen, og den senere estimering af gevinstkravet, er tolv konverterbare realkreditobligationer udvalgt fra fire forskellige realkreditinstitutter. De er alle udstedt mellem år 2007 og 2010 og med udløb i Obligationerne er tilfældig udvalgt dog med krav om at serierne skal være lukkede og med udløb i Priserne for obligationerne er lukkekursen den 25/ Data for de tolv obligationer kan ses nedenfor i tabel 6.1. Tabel 6.1 Data for de tolv udvalgte realkreditobligationer Faktisk ISIN Udbyder Kupon Åbnings Luknings Udtræk dato dato kurs DK BRFKredit A/S 5% 21/12/07 01/10/41 15,37% 106,100 DK Nordea Kredit Realkreditaktieselskab 4% 23/08/10 01/10/41 2,32% 103,325 DK Nordea Kredit Realkreditaktieselskab 5% 06/12/07 01/10/41 20,27% 105,700 DK Nordea Kredit Realkreditaktieselskab 5% 30/01/08 01/10/41 9,44% 106,700 DK Nykredit Realkredit A/S 4% 28/08/09 01/10/41 4,27% 103,644 DK Nykredit Realkredit A/S 4% 05/03/10 01/10/41 3,84% 103,445 DK Nykredit Realkredit A/S 5% 30/11/07 01/10/41 11,57% 106,568 DK Nykredit Realkredit A/S 5% 30/11/07 01/10/41 10,99% 106,451 DK Realkredit Danmark A/S 4% 10/11/09 01/10/41 9,11% 103,660 DK Realkredit Danmark A/S 4% 18/05/10 01/10/41 17,03% 103,131 DK Realkredit Danmark A/S 5% 14/12/07 01/10/41 20,26% 106,321 DK Realkredit Danmark A/S 5% 14/12/07 01/10/41 18,32% 105,980 Kilde: Nasdaq OMX Side 37

43 At obligationerne alle har udløb den 1/ betyder, at de har omkring 28,5 års løbetid tilbage. De tolv realkreditobligationer vil blive prisfastsat ud fra 30 års løbetid, da det vurderes, at dette ikke vil have stor betydning for den endelige prisfastsættelse af obligationerne. Dette gør det ligeledes muligt, at kunne drage sammenligninger i den senere følsomhedsanalyse af 30 årige realkreditobligationer. For at kontrollere at løbetiden ikke påvirker den endelige prisfastsættelse, vil der senere blive foretaget en sammenligning af betydningen af løbetiden Jf. afsnit 6.2 skal amortiseringsplanen for en 30 årig realkreditobligation udarbejdes som det første, denne er illustreret i tabel 6.2. Tabel 6.2 Amortiseringsplan Hovedstol 100 Løbetid 30 Rente 5,00% Ydelse 6,505 Tidspunkt Restgæld ,49 96,91 95,26 93,51 91,68 89,76 87,75 85,63 83,40 81,07 78,62 76,04 73,34 70, ,52 64,39 61,11 57,66 54,03 50,23 46,24 42,04 37,64 33,02 28,16 23,07 17,72 12,10 6,20 0 Dernæst skal prisen på den inkonverterbare obligation bestemmes ved at tilbagediskontere den årlige ydelse. Med en kuponrente på 5% bliver prisen på obligationen 138,4, som vist i tabel 6.3. Tabel 6.3 Prisen for den inkonverterbare obligation for de første fire år Tid P0,0 138,4 P1,1 124,8 P2,2 111,5 P3,3 98,62 P4,4 86,37 P1,0 140,4 P2,1 128 P3,2 115,8 P4,3 103,8 P2,0 142 P3,1 130,7 P4,2 119,5 P3,0 142,9 P4,1 132,5 P4,0 142,8 Den aktuelle gevinst skal derefter fastlægges. Den aktuelle gevinst er vist i figur 6.1. Den høje pris på den inkonverterbare obligation gør den aktuelle gevinst i starten af perioden høj. Det bemærkes endvidere at de meget høje renter, som forekommer i binomialtræet, giver meget høje negative gevinster. Side 38

44 Figur 6.1 Aktuel gevinst 0% - 200% - 400% %Gevinst - 600% - 800% % % % Termin Til beregning af det gennemsnitlige gevinstkrav er modelpriserne for hver af de tolv obligationer estimeret. Ved antagelse om en konverteringsadfærd der følger en standardnormalfordeling, ud fra ligning 5.8, er det gennemsnitlige gevinstkrav samt standardafvigelsen ukendte parametre, som skal estimeres i Excel. Estimeringen sker ved at minimere det kvadrerede fejlled mellem den faktiske kurs for de udvalgte obligationer og de estimerede kurser. Problemløser funktionen i Excel benyttes til denne estimeringen. Excel er imidlertid ikke i stand til at estimere begge parametre samtidig, hvilket skyldes at parametrene substituerer hinanden 4. For at problemløseren er i stand til estimeringen, benyttes et startgæt på 12% og 6% for henholdsvis gevinstkravet og standardafvigelsen. Det ses, at uden brug af restriktioner i problemløseren, bliver værdierne for gevinstkravet og standardafvigelsen for store, gevinstkravet bliver over 66 milliarder procent, og standardafvigelsen endnu større. Derfor indsættes restriktioner, således gevinstkravet og spredningen skal være mindre end eller lig 50% samt større end eller lig nul, begge begrænsninger anses for rimelige. Det resulterer i en spredning på den maksimale grænse og et gevinstkrav på 29,87%. Det er derfor ikke muligt at udlede værdien af de to parametre samtidig fra realkreditobligationspriser. 4 Se bilag 2 for resultater ved estimering Side 39

45 Det er derfor nødvendigt at holde en af parametrene konstant for at undgå denne substitutionseffekt. Det er derfor valgt at holde standardafvigelsen konstant og estimere det gennemsnitlige gevinstkrav. Som estimat på standardafvigelsen anvendes standardafvigelsen af udtrækningsprocenterne for de udvalgte realkreditobligationer. Udtrækningsprocenterne er en indikation på andelen af låntagernes gevinstkrav, som er opfyldt. Standardafvigelsen bliver derfor 6,39%. Minimeringen af det kvadrerede fejlled, hvor det gennemsnitlige gevinstkrav er den eneste ubekendte variable, kan løses i Excel. Det gennemsnitlige gevinstkrav bliver 20,79%. Dette vil sammen med standardafvigelsen på 6,39% blive benyttet gennem den resterende opgave. Derefter skal konverteringsraten i hvert knudepunkt udregnes ud fra ligning 5.9. For eksempel vil 54,92% af låntagerne udnytte deres konverteringsret ved en aktuel gevinst på 20%. I tabel 6.4 er konverteringsraten vist for de første fire år. Som tidligere nævnt er den aktuelle gevinst i starten høj, hvilket medfører en høj konverteringsaktivitet i modellen. Det bemærkes, at obligationen allerede i tidspunkt 0 er konverteringsmoden, og mange låntagere vil derfor konvertere. Tabel 6.4 Konverteringsrate for de første fire år Tid λ0,0 0,84 λ1,1 0,47 λ2,3 0,09 λ3,3 0,00 λ4,4 0,00 λ1,0 0,90 λ2,1 0,67 λ3,2 0,27 λ4,3 0,03 λ2,0 0,95 λ3,1 0,81 λ4,2 0,51 λ3,0 0,97 λ4,1 0,89 λ4,0 0,98 I tabel 6.1 er udtrækningsprocenterne angivet. De annoncerede udtrækningsprocenter for næstkommende termin, for obligationerne med 5% i kuponrente, er i gennemsnit 15,17%. Holdes denne udtrækningsprocent op mod den modellens beregnede på 84%, er der markant færre låntagere der har opfyldt deres gevinstkrav i virkeligheden. Dette tyder på, at modellen ikke fanger låntagers faktiske adfærd. Med konverteringsraten fastlagt kan prisfastsættelsen foretages. Værdien ved konvertering og ved at fortsætte lånet bestemmes i hver punkt, og sammen med konverteringsraten kan prisen Side 40

46 udregnes. Prisforløbet for de første fire år for en 5% konverterbar realkreditobligation er vist i tabel 6.5. Tabel 6.5 Prisen for den konverterbare obligation for de første fire år Tid P0,0 102,03 P1,1 102,68 P2,2 100,76 P3,3 93,583 P4,4 84,043 P1,0 99,967 P2,1 99,734 P3,2 99,546 P4,3 95,777 P2,0 98,121 P3,1 97,122 P4,2 96,901 P3,0 96,337 P4,1 94,896 P4,0 94,528 Prisen på den konverterbare obligation bliver således 102,033. Værdien på konverteringsretten bliver 36,367 jf. ligning 2.5. Den høje værdi af konverteringsretten er et resultat af det lave renteniveau, som giver låntagerne mulighed for at opnå en hurtig gevinst med en kuponrente på 5%. Obligationerne med 4% i kuponrente prisfastsættes til 105,682, og sammenlignet med prisen på den inkonverterbare obligation på 123,033, har konverteringsretten en værdi på 17, Betydning af løbetiden Betydningen ved at se bort fra den faktiske restløbetid på obligationerne vil blive diskuteret i dette afsnit. Ved at ændre løbetiden i modellen til 28 år, og tilpasse restgælden til at begynde efter to års afdrag 5, beregnes prisen for obligationerne med 28 års restløbetid i stedet for 30 år. Resultaterne for 4% og 5% obligationerne er illustreret i tabel 6.6. Tabel 6.6 Resultat ved ændring af løbetiden Løbetid Pris 4% Pris 5% Gevinstkrav 28 år 107, ,728 25,68% 30 år 105, ,033 20,79% 5 Med antagelse om der ikke har været nogle ekstraordinære udtræk Side 41

47 Ved at løbetiden ændres til 28 år mindskes det fremtidige cash flow i form af ydelsesbetalinger, hvilket gør at prisen på den inkonverterbare obligation bliver mindre 6. En mindre pris på den inkonverterbare obligation gør den aktuelle gevinst mindre. Det ses i tabel 6.6, at det estimerede gevinstkrav ved 28 års restløbetid bliver 25,68%, hvilket er højere end det tidligere estimerede for 30 års løbetid. Det højere gevinstkrav kombineret med en mindre aktuel gevinst bevirker en mindre konverteringsaktivitet blandt låntagerne. Dermed bliver prisen på obligationerne en smule højere. Hvis gevinstkravet ikke estimeres igen, vil prisen, med betragtningen om 28 års restløbetid, på de konverterbare obligationer ændres og blive lavere end de tidligere beregnede priser. Dette vil imidlertid gøre, at modelpriserne er langt fra de faktiske obligationspriser. Til gengæld foranlediger gevinstkravet på 20,79% til færre konverteringer på grund af den lavere aktuelle gevinst, dog er konverteringsraten stadig langt fra de annoncerede udtrækningsprocenter. Det vurderes, at effekten af at ændre restløbetiden til 30 år ikke har markant indvirkning på den endelige pris. 6.4 Delkonklusion Prisen er i dette afsnit fastsat for obligationer med en kuponrente på 4% og 5% og med 30 års løbetid. Prisfastsættelsen er foretaget med baggrund i den tidligere estimerede rentestruktur og ved brug af gevinstkravmodellen. Til at estimere låntagernes gennemsnitlige gevinstkrav og standardafvigelsen, er tolv realkreditobligationer udvalgt. Ved at mindske den kvadrerede forskel mellem de faktiske og modellens priser på realkreditobligationerne, bliver det gennemsnitlige gevinstkrav og standardafvigelse, som bedst fitter priserne fundet. Det er ikke muligt at estimere begge parametre samtidig, da de lider af substituerende effekt. Ved at holde standardafvigelsen konstant bliver gevinstkravet og standardafvigelsen estimeret til henholdsvis 20,79% og 6,39%. Der observeres stor gevinst ved konvertering allerede i tidspunkt 0 for realkreditobligationerne og en stor konverteringsaktivitet hos låntagerne. Med det estimerede gevinstkrav, standardafvigelse og en løbetid på 30 år bliver prisen på konverterbare realkreditobligationer med 4% og 5% i kuponrente henholdsvis 105,682 og 102, Se bilag 3 for eksempler på udregninger Side 42

48 7 Følsomhedsanalyse Ud fra den endelige model opstillet i afsnit 6 vil der i dette afsnit blive udført en følsomhedsanalyse og diskussion af de væsentligste parametre benyttet i prisfastsættelsen af den konverterbare obligation. Da der er usikkerhed omkring størrelsen for nogle af de anvendte parametre, er det nødvendigt at analysere effekten af de pågældende parametre ved at ændre parameterens værdi. I følsomhedsanalysen ændres værdien af et parameter, mens de resterende parametre holdes konstante. Effekten ved at ændre volatiliteten, kuponrenten på den inkonverterbare obligation, gevinstkravet, gevinstkravets spredning samt konverteringsomkostningerne vil blive undersøgt i dette afsnit. Følgende værdier vil som udgangspunkt anvendes i analysen: Tabel 7.1 Grundværdier der anvendes Rentevolatilitet Løbetid Gevinstkrav Spredning Konverteringsomk 20% 30 år 20,79% 6,39% 1% 7.1 Volatilitet I afsnit 2 blev sammenhængen mellem den inkonverterbare og konverterbare obligation beskrevet via ligning 2.5, hvor forskellen i prisen beskrives som værdien af låntagers konverteringsoption. Denne optionsværdi er afhængig af flere faktorer blandt andet renten og volatiliteten. Dette afsnit vil undersøge effekten af volatiliteten. Usikkerheden omkring den fremtidige volatilitet har indvirkning på rentestrukturen og derfor prisen på den konverterbare obligation. I almindelig optionsteori vil stigende volatilitet forøge værdien af konverteringsoptionen, og derved mindske prisen på den konverterbare obligation og omvendt ved faldende volatilitet(jakobsen, 1992a). Det skyldes, at sandsynligheden for at konverteringsoptionen kommer ITM, er større ved en høj volatilitet, og derved er sandsynligheden større for, at låntager vælger at indfri sit lån. Der blev i afsnit 4.3 argumenteret for at anvende en volatilitet på 20%. For at belyse volatilitetens effekt på den konverterbare obligation vil et niveau for volatiliteten på 10%, 15%, 20% og 25% analyseres. Da der i afhandlingen er valgt at benytte en konstant volatilitet over tid, vurderes de Side 43

49 fire niveauer i tabel 7.2 nærliggende at undersøge. Da den anvendte volatilitet i opgaven vurderes til at være høj, er der i det følgende mest fokus på værdier lavere end denne. Ved hvert niveau for volatiliteten skal rentestrukturen tilpasses til nulkuponobligationspriserne igen. Derved fremkommer en ny rentestruktur, og nye kurser for de konverterbare obligationer kan beregnes som tidligere. Tabel 7.2 Sammenhæng mellem volatilitet og obligationskursen Volatiliet 10% 15% 20% 25% Pris 4% konverterbar 108, , , ,680 Pris 5% konverterbar 102, , , ,976 Pris 4% inkonverterbar 123,033 Pris 5% inkonverterbar 138,400 Tabel 7.2 viser prisen for en 4% og 5% konverterbar obligation ved de valgte volatilitetsniveauer. Den inkonverterbare obligation påvirkes ikke af volatiliteten. Når rentevolatiliteten ændres, vil den beregnede rentestruktur tilpasse sig den nye volatilitet, og den inkonverterbare obligations pris forblive uændret. Det observeres, at de to konverterbare realkreditobligationskurser følger udviklingen beskrevet i starten af afsnittet, altså at lavere volatilitet øger kursen på obligationen. Dette er en naturlig konsekvens af en uændret inkonverterbar obligationsværdi og en optionsværdi, der svinger med volatiliteten. Den minimale effekt på den konverterbare obligation med kuponrenten på 5% skyldes den lave rentestruktur, som er benyttet i opgaven, hvor låntagernes gevinstkrav hurtigt vil blive opfyldt, og obligationen derfor er konverteringstruet. Den største effekt for volatiliteten kan observeres ved den konverterbare obligation med en kuponrente på 4%, hvor værdien af konverteringsoptionen falder markant ved lavere volatilitet. Det skyldes, at sandsynligheden for at låntagernes gevinstkrav bliver opfyldt formindskes. Dette kan observeres i kursen for de to konverterbare obligationer i tabel 7.2. Det kan dermed udledes, at volatilitet har en effekt på konverteringsoptionen, hvilket ses på at optionsværdien stiger i takt med volatiliteten. Side 44

50 Det kan diskuteres hvad der er en passende størrelse for volatiliteten. Ved at betragte det kvadrerede fejlled, er en volatilitet på 25% det mest passende. Det giver et fejlled på 137, hvilket er en smule mindre end ved den anvendte volatilitet på 20%, som gav et fejlled på 151. Dermed vil den højere volatilitet på 25% give et lidt bedre fit i forhold til de observerede markedspriser. I forhold til den aktuelle gevinst, vil det ved en lavere volatilitet give færre ekstreme negative gevinster 7. Dog giver det ikke markant ændring på konverteringsraten, som stadig er høj i begyndelsen. 7.2 Kuponrente på inkonverterbar obligation Den inkonverterbare obligations kuponrente har effekt på prisfastsættelsen af den konverterbare obligation. For at analysere påvirkningen af ændringer i kuponrenten på den inkonverterbare obligation, observeres ændringerne i prisen for den konverterbare obligation. Kuponrenternes størrelse afspejles i værdien på konverteringsretten. I figur 7.1 er sammenhængen mellem kursen og kuponrenter præsenteret. Figur 7.1 Sammenhæng mellem kuponrente og obligationskursen Kurs ,0% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% Kuponrente Inkonverterbar obligation Konverterbar obligation I figuren er kursudviklingen for den konverterbare, og inkonverterbare obligation vist ved forskellige kuponrenter. Det ses, at der er sammenfald mellem prisen på de to obligationer ved lave renter. Det skyldes, at der ved den estimerede rentestruktur vil være lille konverterings- 7 Se bilag 4 for aktuel gevinst ved 10% i volatilitet Side 45

51 aktivitet blandt låntagerne, da den lavere kuponrente reducerer den aktuelle gevinst. I takt med kuponrenten bliver højere, vil der være større tendens til konvertering ved den konverterbare obligation, da den aktuelle gevinst stiger, og flere låntagere dermed vil få deres gevinstkrav opfyldt. Den høje konverteringsrate får prisen på den konverterbare obligation til at bevæge sig mod kurs 100 plus konverteringsomkostninger, som beskrevet ved ligning 5.5. Det gennemsnitlige gevinstkrav blev i opgaven beregnet til 20,79%, derfor vil låntagernes gennemsnitlige gevinstkrav hurtigere blive opfyldt ved højere kuponrenter. Dette afspejles i figuren, hvor kurven er nedadgående ved en kuponrente på 3,5%. 7.3 Gevinstkrav Låntagernes gennemsnitlige gevinstkrav er tidligere estimeret, og er sammen med standardafvigelsen baggrund for beregningen af konverteringsraten. Jo lavere gevinstkrav, des hurtigere vil låntagerne indfri deres lån og derved mindske ydelsesbetalingerne til investor og obligationens pris. I figur 7.2 nedenfor ses kursforløbet for en konverterbar realkreditobligation med en kuponrente på 4% og 5%. Figur 7.2 Sammenhæng mellem gevinstkravet og obligationskursen Kurs % 10% 14% 18% 22% 26% 30% 34% 38% Gevinstkrav Pris 4% Pris 5% I figur 7.2 kan det observeres, at prisen for de to konverterbare obligationer næsten er sammenfaldende ved et gevinstkrav på 6%. Det lave gevinstkrav gør, at samtlige låntagere vælger at benytte konverteringsretten ved 5% obligationen, og næsten alle ved 4% obligationen og prisen Side 46

52 vil derved være lig prisen ved optimal konverteringsadfærd ved dette niveau. Det ses, at 5% obligationen ligger omkring kurs 100 plus konverteringsomkostninger indtil et gevinstkrav på 18%. Det skyldes, den høje pris på den inkonverterbare obligation som foranlediger en høj aktuel gevinst, gevinstkravet skal derved være højt for, at låntager ikke vil konvertere deres lån. Det bemærkes, at prisen for obligationen med en kuponrente på 4% stiger ved lavere gevinstkrav end 5% obligationen. Endvidere oplever 5% obligationen en kraftig stigning fra et gevinstkrav på 26% og større, da der her opleves et stort fald i konverteringsaktiviteten. Prisen for obligationerne vil, i takt med at gevinstkravet stiger, gå mod prisen for den underliggende inkonverterbare obligation. Med den beregnede rentestruktur vil det dog kræve et urealistisk højt gevinstkrav før prisen er ens på den konverterbare og inkonverterbare obligation. Ved et gevinstkrav på 38% vil prisen for 4% konverterbare obligation være meget tæt på prisen på den inkonverterbare obligations kurs. Når gevinstkravet estimeres isoleret for obligationerne med 4% og 5% i kuponrente, bliver resultatet et lavere gevinstkrav for 4% obligationerne og et højere for 5% obligationerne, som vist i tabel 7.3. I begge tilfælde bliver den gennemsnitlige afvigelse for den kuponrente der estimeres for naturligt 0%. Det lavere gevinstkrav, der kræves ved 4% obligationerne er et udtryk for at låntagerne i serierne i gennemsnit, kræver lavere gevinst før de konverterer deres lån. Konverteringsaktiviteten i modellen vil i begge tilfælde stadig være stor. Tabel 7.3 Resultater når gevinstkravet estimeres isoleret for en kuponrente på 4% og 5% 4% 5% Gevinstkrav 17,32% 27,06% Pris 4 103, ,499 Pris 5 101, ,265 Gns afv 4 0% 8,76% Gns afv 5-4,63% 0% Analysen af gevinstkravet har vist at ændringer heri giver store udsving i prisen på realkreditobligationerne, og derved er bestemmelsen heraf et væsentlig input. Som tidligere nævnt er der mange forskellige faktorer, som har indvirkning på det gennemsnitlige gevinstkrav, og derved er det svært at fastsætte et konstant niveau, som afspejler den faktiske adfærd hos Side 47

53 låntagerne. Opgaven anvendte et gevinstkrav på 20,79%, estimeret ud fra markedspriser på realkreditobligationer, og det vurderes derfor at være et fornuftigt estimat. 7.4 Gevinstkravets spredning I gevinstkravsmodellen bliver det antaget, at det gennemsnitlige gevinstkrav er standardnormalfordelt med en middelværdi og en standardafvigelse. Det gør det muligt, at beregne andelen af låntagerne der vælger at konvertere. Derfor har spredningen på låntagernes gevinstkrav en effekt på prisen af de konverterbare obligationer. Spredningen i gevinstkravet har samme effekt som volatiliteten. Teoretisk vil en højere spredning få tilbagekøbsretten til at stige i værdi(jakobsen, 1992a). I figur 7.3 er sammenhængen mellem spredningen og den konverterbare obligation med 4% og 5% i kuponrente vist. Figur 7.3 Sammenhæng mellem gevinstkravets spredning og obligationskursen Kurs % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Gevinstkravets spredning Pris 4% Pris 5% I figur 7.3 ses, det at den konverterbare obligation med en kuponrente på 4%, modsat obligationen med 5% i kuponrente, følger det beskrevne forløb. Ved en spredning på 1% oplever 4% obligationen ingen konverteringer, da den aktuelle gevinst ikke stemmer overens med den krævede gevinst. Prisen for obligationen falder herefter i takt med at spredningen stiger. Det atypiske forløb som obligationen med 5% i kuponrente følger, hvor kursen stiger ved højere spredning, kan forklares ved den høje aktuelle gevinst. Da der hurtigt opstår en høj aktuel gevinst, Side 48

54 vil alle låntagere have deres gevinstkrav tilfredsstillet og konvertere deres lån. Når spredningen bliver større, vil der være en andel af låntagerne, som kræver større gevinst, før de vil indfri deres lån, og kursen på den konverterbare obligation stiger. Hvis det gennemsnitlige gevinstkrav estimeres på ny, vil gevinstkravet blive mindre hos låntagerne, når spredningen bliver mindre og omvendt når spredningen bliver større. Ud fra ovenstående følsomhedsanalyse af gevinstkravets spredning, konkluderes det, at valget heraf er væsentlig for at opnå en korrekt pris. Den anvendte i opgaven, på 6,39%, er estimeret ud fra den spredning, der eksisterer på de udvalgte obligationer, og det vurderes derfor at være et realistisk estimat. 7.5 Konverteringsomkostninger Værdien af lånet ved konvertering er beskrevet i ligning 5.5, hvor omkostningerne ved konvertering påvirker værdien. Derfor vil konverteringsomkostningerne have en effekt på konverteringsaktiviteten for den konverterbare obligation. Højere konverteringsomkostninger vil få obligationskursen til at stige, da det vil mindske den aktuelle gevinst, der går derfor længere tid inden låntager har opfyldt sit gevinstkrav(jakobsen, 1992a). I figur 7.4 er konverteringsomkostningernes effekt på konverterbare obligationer med en kuponrente 4% og 5% præsenteret. Figur 7.4 Sammenhæng mellem konverteringsomkostninger og obligationskursen Kurs ,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% Effektiv rente Pris 4% Pris 5% Side 49

55 Figur 7.4 illustrerer, at når konverteringsomkostningerne stiger, stiger obligationskurserne. De to konverterbare obligationer har den samme følsomhed overfor stigninger i konverteringsomkostninger. Der kan observeres en lineær sammenhæng mellem konverteringsomkostningerne og obligationskursen. Det ses, at konverteringsomkostningerne har en effekt på hvornår låntagerne får deres gevinstkrav opfyldt, og dermed vælger at konvertere. Ved høje konverteringsomkostninger vil det tage længere tid før låntagerne får opfyldt sit gevinstkrav. Der er i den opstillede model anvendt 1% i konverteringsomkostninger. Det kan være svært at vurdere konverteringsomkostningerne samlet for låntagerpuljen, store erhvervslån kan eksempelvis forestilles at have lavere procentuelle omkostninger end små private lån. Svend Jakobsen (1992b) og Svend Jakobsen (1992c) anvender omkostninger på 2%. 7.6 Delkonklusion I følsomhedsanalysen er volatiliteten, kuponrenten på den inkonverterbare obligation, gevinstkravet, gevinstkravets spredning samt konverteringsomkostningerne undersøgt individuelt. I analysen observeres effekten af ændringer i de fem parametre for kursen på konverterbare obligationer med 4% og 5% i kuponrente. Analysen af volatiliteten viser, at værdien for den konverterbare obligation falder ved stigende volatilitet. Ændringer i volatiliteten har betydning for værdien af låntagers konverteringsret, hvis værdi bliver større i takt med, at volatiliteten stiger. Da volatilitetsændringer ikke påvirker prisen på den inkonverterbare obligation, bliver prisen på den konverterbare obligation mindre, når volatiliteten bliver større. I analysen af kuponrenten observeres det, at en stigende kuponrente får kursen på den konverterbare obligation til at falde, hvilket skyldes, at obligationerne bliver mere og mere konverteringstruede, jo højere kuponrenten bliver. Da konverteringen hos låntagerne er et vigtigt element i prisfastsættelsen af konverterbare obligationer, er der i afhandlingen medtaget to parametre til analysen af konverteringsadfærden, nemlig det gennemsnitlige gevinstkrav og spredningen. Det gennemsnitlige gevinstkrav har betydning for, hvornår låntagerne indfrier deres lån. Ved et lavt gevinstkrav vil der være en konverteringsrate på 100%, og kursen for obligationerne er kurs 100 plus konverterings- Side 50

56 omkostninger. Når det gennemsnitlige gevinstkrav stiger, ses det at kursen på obligationerne stiger. Den konverterbare obligation med 4% kuponrente stiger mere ved lavere gevinstkrav, hvilket skyldes, at det aktuelle gevinstkrav er lavere end obligationen med 5% i kuponrente. Spredningen på gevinstkravet har samme virkning som volatiliteten, nemlig at en stigning vil få værdien af konverteringsretten til at stige, hvilket observeres ved obligationen med 4% i kuponrente. Ved den konverterbare obligation med 5% i kuponrente er udviklingen anderledes, her stiger kursen med spredningen. Dette skyldes, at ved lav spredning får alle låntagere opfyldt gevinstkravet med det samme, mens ved højere spredning vil en andel af låntagerne fortsætte lånet for at afvente større gevinst. Analysen af konverteringsomkostningerne viste, at obligationskursen stiger med omkostningerne ved konvertering. Jo højere konverteringsomkostningerne er, des længere tid vil det tage før låntager får sit gevinstkrav opfyldt. Side 51

57 8 Evaluering af modellen I modellen opstillet i opgaven bliver prisen for realkreditobligationerne med 4% og 5% i kuponrente henholdsvis 105,681 og 102,033, som vist i tabel 8.1. Det ses her, at modellen nogenlunde prisfastsætter obligationerne korrekt. Modellen har tendens til at estimere 4% obligationerne for højt og 5% obligationerne for lavt. Model prisen på 4% obligationerne ligger alle indenfor 1,95% og 2,47% af den faktiske kurs. 5% obligationerne har lidt større afvigelse, her ligger alle indenfor -3,47% og -4,37% af den konkrete pris. Tabel 8.1 Estimeret kurs for de tolv udvalgte realkreditobligationer ISIN Kupon Faktisk kurs Estimeret kurs Afvigelse DK % 106, ,033-3,83% DK % 103, ,681 2,28% DK % 105, ,033-3,47% DK % 106, ,033-4,37% DK % 103, ,681 1,97% DK % 103, ,681 2,16% DK % 106, ,033-4,26% DK % 106, ,033-4,15% DK % 103, ,681 1,95% DK % 103, ,681 2,47% DK % 106, ,033-4,03% DK % 105, ,033-3,72% Den beregnede rentestruktur er meget lav. Den lave rentestruktur gør obligationer med en kuponrente på 4% og 5% konverteringsmodne tidligt, da der observeres en høj gevinst ved konvertering. For at prisen på den konverterbare obligation bliver omkring kurs 100, kræves en kuponrente på 2,5% i modellen. Dette er ikke i uoverensstemmelse med hvad der observeres i markedet. En 30 årig fastforrentet konverterbar realkreditobligation udstedt af BRFkredit med 3% i kuponrente udstedes til kurs 98,74 8. Da rentestrukturen er regnet ud fra swaprenter fundet i markedet, afspejler den lave rentestruktur blot et lavt aktuelt renteniveau. Prisen på den inkonverterbare obligation er sikker, da den udelukkende afhænger af ydelsesbetalingerne. Det lave niveau for renten har ligeledes påvirket udregningen af volatiliteten. At benytte den historiske volatilitet har vist sig at være umulig. Det er vurderet, at estimatet dårligt afspejler den 8 Kursen er opdateret den 25/ Side 52

58 fremtidige volatilitet. Både på grund af de små absolutte og store relative ændringer samt på grund af volatiliteten, som er faldende med løbetiden, er estimatet vurderet til at være for høj. Ifølge den udarbejdede følsomhedsanalyse vil en højere volatilitet gøre obligationerne mere konverteringstruede og derved reducere prisen for den konverterbare obligation. At prisen på den inkonverterbare obligation findes ved kuponrente på 4% og 5%, resulterer naturligt i høje aktuelle gevinster. Modellen viser, at konverterbare obligationer med en kuponrente på 4% og 5% allerede i tidspunkt 0 er konverteringsmodne, og faktisk oplever en aktuel gevinst på henholdsvis 17,9% og 27%. Følsomhedsanalysen viste, at ved en kuponrente på den inkonverterbare obligation på 2,5%, vil kursen blive omkring 100, hvilket resulterer i en lille aktuel gevinst og lille konverteringsaktivitet. Modellen har svært ved at fange konverteringsadfærden, da der tidligt vil opstå meget høje konverteringsrater ved estimering af det gennemsnitlige gevinstkrav ud fra markedspriser. Med et gevinstkrav på 20,79% i modellen vil 33% og 84% af låntagerne konvertere deres lån i tidspunkt 0 ved en obligation med henholdsvis 4% og 5% i kuponrente. Ifølge de annoncerede udtrækningsprocenter, som ses i tabel 6.1, vil i gennemsnit henholdsvis 7,31% og 15,17% for obligationer med 4% og 5% i kuponrente indfri deres lån ved næstkommende termin. Dette kan være en effekt af, at prisen er analyseret ved en løbetid på 30 år, hvor den faktiske løbetid er omkring 28,5 år. Der kan være en burnout effekt, hvor låntagere med et lavere gevinstkrav har udnyttet konverteringsretten, og de resterende må derfor forventes at kræve højere gevinst, som ikke fanges af modellen. I bilag 5 er tidligere udtrækningsprocenter for en 5% konverterbar obligation udstedt af Realkredit Danmark præsenteret, her kan en høj konverteringsaktivitet for de første 7 terminer observeres 9. Den gennemsnitlige udtrækningsprocent per termin er på 18,77%, og dermed kan der argumenteres for, at serien allerede er udbrændt og mange låntagere har konverteret. Det kan derfor være svært for modellen at opfange konverteringsadfærden ved udelukkende at betragte konverteringsgevinsten som forklarende variabel. Teoretisk og i praksis vil andre faktorer påvirke gevinstkravets størrelse, herunder restløbetid, burnout og gruppering af låntagere, som beskrevet tidligere. Ved at implementere disse variable vil modellen tage højde for flere faktorer, som påvirker låntagers krav til gevinsten og give forskellig gevinstkrav i hver punkt (i,j). Eksempelvis vil serier med mange erhvervslån eller store lån, som tidligere beskrevet, have et lavere 9 Som er hvert kvartal Side 53

59 gevinstkrav. Implementeringen af sådanne parametre kan forventes at forbedre modellen, således at den bedre vil kunne opfange den faktiske konverteringsadfærd. Ved at inddrage andre forklarende variable vil modelprisen på de tolv obligationer være forskellige og variere med andet end kuponrenten. Opgaven har afgrænset sig fra opsigelsesperioder og skat samt antaget at der kun er årlige betalinger, disse beslutninger har haft betydning for modellens pålidelighed. Disse afgrænsninger har blandt andet forsimplet beregningen af værdien ved konvertering. Udregningen sker i opgaven ved ligning 5.5, som er en forsimpling af ligning 5.4 på grund af afgrænsningerne. Ved at se bort fra opsigelsesperioder, vil låntager have helt frem til termin til at vurdere, om en konvertering er optimal. Den længere tid giver større sandsynlighed for, at konverteringsretten har værdi, og derved en lille reduktion i værdien af den konverterbare obligation. Antagelsen om årlige terminer forøger cash flowet til investor, da låntager i virkeligheden har mulighed for at konvertere fire gange årligt. Derved betaler låntager den højere ydelse i kortere tid hvis der konverteres. Ifølge Svend Jakobsen er betydningen af skat væsentlig(jakobsen, 1992a), da låntager ved en konvertering til en lavere kuponrente vil miste en del af sit skattefradrag. Størrelsen af det mistede skattefradrag stiger i takt med skattesatsen. En undladelse af skattebetragtningen har derfor betydet lavere omkostninger ved konvertering, end en låntager faktisk oplever, og derved bliver prisen for den konverterbare obligation lavere. Det vurderes ikke, at afgrænsningen fra opsigelsesperioder samt årlige terminer har haft mærkbar konsekvens på pålideligheden af den opstillede model. Derimod har antagelsen om fraværet af skat påvirket modellen således, at den ikke repræsenterer virkeligheden for låntagerne. Modellen opstillet i opgaven er en simpel model, som er let anvendelig. Den har visse begrænsninger, herunder at den ikke medtager låntagers skattebetragtning samt forklarende variable der påvirker konverteringsadfærden. På trods af dette giver modellen et godt estimat for prisen af konverterbare realkreditobligationer. Side 54

60 9 Konklusion I denne opgave er en model til prisfastsættelse af danske konverterbare realkreditobligationer opstillet. Modellen tager højde for den nuværende rentestruktur og låntagernes konverteringsadfærd. Opgaven fokuserer på fastforrentede konverterbare realkreditobligationer, som er annuitetslån, hvor ydelsen i hver periode er kendt. Prisen af konverterbare obligationer kan betragtes som prisen på den inkonverterbare obligation fratrukket værdien af låntagers konverteringsret. Konverteringsretten er låntagers mulighed for at tilbagekøbe hele lånet til markedskursen eller kurs pari, hvilket gør investors cash flow usikkert. Prisen på den inkonverterbare obligation har en kurs-rente sammenhæng, hvor prisen stiger, i takt med renten falder. Prisen på den konverterbare obligation har ikke samme forløb på grund af konverteringsretten. Når prisen på den inkonverterbare obligation stiger, stiger værdien af konverteringsretten, og kursen på den konverterbare obligation bevæger sig mod 100. I praksis vil prisen på den konverterbare obligation overstige kurs 100 på grund af konverteringsomkostninger og irrationelle låntagere. Til prisfastsættelse af rentefølsomme værdipapirer, som konverterbare obligationer, skal det fremtidige renteforløb fastlægges. Rentestrukturen er opstillet ved hjælp af binomialmodellen, hvor den korte en-periode rente enten kan bevæge sig op eller ned i næste periode med samme sandsynlighed. Til at beregne nulkuponrentestrukturen blev data for et payer renteswap benyttet, og ved hjælp af Nelson Siegel metoden er nulkuponrentestrukturen konstrueret. Rentetræet fremstilles ved at kombinere volatiliteten og nulkuponrentestrukturen. Volatiliteten er beregnet som den historiske volatilitet på baggrund af data for et to årigt renteswap, og er beregnet til 39,46%. Da den historiske volatilitet udregnes som den relative ændring, og renten i den analyserede periode har været meget lav, er estimatet vurderet til at være for højt. Derfor er valgt at bruge en volatilitet på 20%. For at sikre et arbitragefri rentetræ tilpasses rentestrukturen til beregnede nulkuponobligationspriser. Låntagers konverteringsadfærd er en væsentlig faktor i prisfastsættelsen af konverterbare obligationer. To modeller er beskrevet; optimal konverteringsadfærd og gevinstkravmodellen. Ved optimal konverteringsadfærd antages det, at alle låntagere agerer rationelt og konverterer deres lån, så snart gevinsten ved konvertering er positiv. Dette giver en konverteringsrate, som springer fra 0% til 100%, og giver dermed et virkelighedsfjernt kurshop. Gevinstkravmodellen tager højde for Side 55

61 irrationel adfærd hos låntagerne. Hver enkel låntager har et gevinstkrav, som skal opfyldes før der konverteres. Gevinstkravet antages at være standardnormalfordelt på tværs af låntagerpuljen med et gennemsnitligt gevinstkrav og en spredning. Da gevinstkravmodellen vurderes bedre til at estimere den faktiske adfærd hos låntagerne, er denne model benyttet i prisfastsættelsen. For at prisfastsætte en konverterbar obligation skal syv punkter fastlægges. De første seks punkter er amortiseringsplan, prisfastsættelse af inkonverterbar obligation, udregning af aktuel gevinst, estimering af gevinstkravet, udregning af konverteringsraten, udregning af værdi ved konvertering samt ved at fortsætte lånet. Herefter kan prisen på den konverterbare obligation fastsættes. Opgaven estimerer det gennemsnitlige gevinstkrav ved at tilpasse modelpriser til faktiske priser på tolv tilfældig udvalgte konverterbare obligationer fundet i markedet. De ukendte variable som skal estimeres, er det gennemsnitlige gevinstkrav og spredningen. Det resulterede i et gevinstkrav på 20,79% og en spredning på 6,39%. Prisen er i opgaven udregnet for konverterbare obligationer med 4% og 5% i kuponrente, hvilket resulterede i en pris på henholdsvis 105,681 og 102,033, dermed bliver værdien af konverteringsretten 17,35 og 36,36. I følsomhedsanalysen er effekten ved at ændre en række parametre analyseret. Ændringer i volatiliteten har ingen effekt på prisen af den inkonverterbare obligation. Stigende volatilitet betyder højere værdi af konverteringsretten, og dermed lavere kurs på den konverterbare obligation. Kuponrenten på den inkonverterbare obligation har indflydelse på størrelsen af den aktuelle gevinst. En høj kuponrente bevirker høj aktuel gevinst og en høj konverteringsaktivitet, og derved en lavere kurs på den konverterbare obligation. Størrelsen af gevinstkravet har effekt på, hvornår låntager vælger at indfri sit lån, ved et lavt gevinstkrav vil kursen blive 100 plus konverteringsomkostninger. Kursen på den konverterbare obligation vil være stigende med gevinstkravet gående mod kursen for den inkonverterbare obligation. Stigninger i gevinstkravets spredning giver lavere kurser, da flere låntagere vil konvertere deres lån. Der observeres en lineær sammenhæng mellem kursen og konverteringsomkostningerne, hvor kursen stiger i takt med omkostningerne. Modellen opstillet i opgaven har svært ved at fange den faktiske konverteringsrate, som kan observeres på de tolv obligationer benyttet til estimering af gevinstkravet. Det kan være en konsekvens af, at modellen ikke tager højde for forklarende variabler, der har påvirkning på låntagers gevinstkrav, og dermed konverteringsadfærden. Implementering af variable som løbetid, burnout og gruppering af låntagerne vil have positiv påvirkning på den beregnede konverteringsrate. Det konkluderes at modellen, på trods af sine begrænsninger, giver et godt pris estimat. Side 56

62 10 Litteraturliste Anderson, N., Breedon, F., Deacon, M., Derry, A. & Murphy, G. (1996). Estimating and Interpreting the Yield Curve. New York: Wiley. Black, F., Derman, E. & Toy, W. (1990). A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options. Financial Analyst Journal, bind 46, hæfte 1, pp Børsen. (2012). Danmark låner penge til meget lav rente. Tilgået februar, 2013, fra et_lav_rente.html Christensen, M. (2009). Obligationsinvestering. København: Jurist- og Økonomiforbundets Forlag. Fabozzi, F. J. (2005). The Handbook of Fixed Income Securities. New York: McGraw-Hill. Finanstilsynet. (2011). Markedsudvikling i 2011 for realkreditinstitutter. Tilgået februar, 2013 fra Hull, J. C. (2012). Options, Futures, and Other Derivatives. Boston: Pearson. Jakobsen, S. (1992a). En model til prisfastsættelse af konverterbare realkreditobligationer. Aarhus: Institut for finansiering og kreditvæsen, Handelshøjskolen i Aarhus. Jakobsen, S. (1992b). Prepayment and the Valuation of Danish Mortagage-Backed Bonds. Aarhus: Ph.D.-Afhandling, Institut for finansiering og kreditvæsen, Handelshøjskolen i Aarhus. Jakobsen, S. (1992c). En empirisk model for konverteringsadfærd. Finans/Invest, udg. nr. 156 = 1992, nr. 8, pp Jakobsen, S. & Svenstrup, M. (1999). Hvad praktikere bør vide om Modeller for konverteringsadfærd. Finans/Invest, bind 7, pp Jakobsen, S. & Hansen, M. D. (2006). Analyse af opkonvertering. Finans/Invest, udg. nr. 261 = 2006, nr. 3, pp Side 57

63 Jakobsen, S (2012). Det danske realkreditsystem. Forelæsningsnoter. Lektion 9, Aarhus School of Business and Social Sciences, Jensen, B. A. (2009). Rentes regning. København: Jurist- og Økonomiforbundets Forlag. Martellini, L., Priaulet, P. & Priaulet, S. (2003). Fixed-Income Securities : valuation, risk management, and portfolio strategies. Chichester: Wiley. Moodys. (2002). Danish Mortagage Bonds (Realkreditobligationer): Highly secure Financial Instruments. Tilgået februar, 2013, fra rter.aspx Nationalbanken. (2013). Tilgået februar, 2013, fra - Værdipapirstatistik DNVPDKR Nelson, C. R. & Siegel A. F. (1987). Parsimonious Modeling of Yield Curves. Journal of Business, 60(4), pp Pedersen, P. R. (1996). Forecasting af rentevolatilitet (1) simple metoder. Finans/Invest, udg. nr. 183 = 1996, nr. 5, pp Pooter, M. D. (2007). Examining the Nelson-Siegel Class of Term Structure Models. Working Paper, pp Realkredit Danmark. (2008). Danish mortgage bonds. Tilgået februar, 2013, fra Realkreditrådet. (2012). Den klassiske danske realkreditmodel. Tilgået februar, 2013, fra kreditrådet_den%20klassiske%20danske%20realkreditmodel.pdf Realkreditrådet. Det danske realkreditsystem. Tilgået februar, 2013, fra Svensson, L. E. O. (1994). Estimating and interpreting forward interest rates: Sweden Working Paper No. 4871, pp Tuckman, B. & Serrat, A. (2012). Fixed Income Securities : tools for today s markets. Hoboken, N.J.: Wiley. Side 58

64 11 Bilag Bilag 1 Indhold i vedlagt Excel-fil på CD en: NS Swaprente indeholder estimering af swapkurven Rentetræ indeholder estimering af rentestrukturen Volatilitet indeholder udregning af den historiske volatilitet Pris in4 indeholder prisfastsættelse af inkonverterbar obligation med 4% i kuponrente Pris in5 indeholder prisfastsættelse af inkonverterbar obligation med 5% i kuponrente AG4 indeholder udregning af den aktuelle gevinst for 4% obligationerne AG5 indeholder udregning af den aktuelle gevinst for 5% obligationerne Gevinstkrav indeholder estimering af det gennemsnitlige gevinstkrav og spredningen Pris4 indeholder prisfastsættelse af en konverterbar obligation med 4% i kuponrente, ved gevinstkravmodellen Pris5 indeholder prisfastsættelse af en konverterbar obligation med 5% i kuponrente, ved gevinstkravmodellen Pris AO indeholder prisfastsættelse af en konverterbar obligation med 4% i kuponrente, ved optimal konverteringsadfærd Side 59

65 Bilag 2 Estimering af gevinstkrav og standardafvigelse uden restriktioner i problemløseren startgæt gevinstkrav 12% og spredning 6%: Estimering af gevinstkrav og standardafvigelse med restriktioner i problemløseren, de skal være mindre end 50% - startgæt gevinstkrav 12% og spredning 6%: Bilag 3 Nedenfor er de første fire år i udregningen af prisen på en konverterbar obligation med 5% i kuponrente ved 28 års restløbetid vist. - Prisfastsættelsen af inkonverterbar obligation: Side 60

66 Tid P0,0 132,14 P1,1 119,28 P2,2 106,71 P3,3 94,558 P4,4 82,985 P1,0 133,36 P2,1 121,67 P3,2 110,13 P4,3 98,855 P2,0 134,15 P3,1 123,48 P4,2 112,87 P3,0 134,23 P4,1 124,43 P4,0 133,46 - Udregning af aktuel gevinst: Restgæld 96,914 95,255 93,513 91,683 89,762 Tid gm0,0 25,9% gm1,1 19,3% gm2,2 11,5% gm3,3 2,1% gm4,4-9,2% gm1,0 27,9% gm2,1 22,4% gm3,2 15,9% gm4,3 8,3% gm2,0 29,6% gm3,1 25,0% gm4,2 19,7% gm3,0 31,0% gm4,1 27,1% gm4,0 32,1% - Konverteringsraten: Restgæld 96,914 95,255 93,513 91,683 89,762 Værdi konvertering 97,884 96,208 94,448 92,6 90,66 Tid λ0,0 0,52 λ1,1 0,16 λ2,3 0,01 λ3,3 0,00 λ4,4 0,00 λ1,0 0,63 λ2,1 0,30 λ3,2 0,06 λ4,3 0,00 λ2,0 0,73 λ3,1 0,46 λ4,2 0,17 λ3,0 0,80 λ4,1 0,59 λ4,0 0,84 Side 61

67 - Prisfastsættelse konverterbar obligation: Tid P0,0 102,73 P1,1 104,66 P2,2 100,93 P3,3 92,399 P4,4 82,244 P1,0 99,2 P2,1 101,15 P3,2 100,67 P4,3 95,146 P2,0 96,235 P3,1 97,225 P4,2 98,393 P3,0 93,718 P4,1 93,618 P4,0 91,438 Bilag 4 - Aktuel gevinst ved 5% i kuponrente og 10% i volatilitet 40,0% 20,0% 0,0% %Gevinst - 20,0% - 40,0% - 60,0% - 80,0% Termin Side 62

68 Bilag 5 Annoncerede udtrækningsprocenter for en 5% Realkredit Danmark konverterbar obligation. ISIN Dato Udtræk DK /04/13 20,26% DK /01/13 22,13% DK /10/12 30,08% DK /07/12 19,11% DK /04/12 29,87% DK /01/12 9,66% DK /10/11 0,24% Gennemsnitlig udtræk per termin 18,77% Kilde: Realkredit Danmark Side 63