Fourier rækker og Fourier integraler

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Fourier rækker og Fourier integraler"

Silje Marcussen
6 år siden
Visninger:

1 Fourr rækkr o Fourr rlr Ol W-Hs Kø Gysu 8

2 Idhold. lølr.... Rækkr. Sur l.... Udl rækkr.... Forl or su drsrækk.... Forl or su kvorækk...4. Fourrrækkr...6. Fourrrækks kocr Fourrrlr...5

3 Udl rækkr. lølr E løl r udl øl l, hvor dskllr ldd ko..,,,..,.. For ku opskrv ldd løl, skl hv udryk or d l. M ku.ks. skrv. = llr b llr c D ørs ld d ølr blvr: :, 4, 8,. b:,, 64,,... c :, 9, E løl ss kovrr, vær kovr, hv ræsværd, hvs d ld ærr s l bs l. For d rækkr ovor, r d r dlysd, d ørs kk hr o ræsværd, d d ld år od udl. D d øl hr drod ræsværd, hvlk l k ss vd oskrv: b. D ærr s l, hr ræsværd år år od udl, ss, øl hr ræsværd. A d sds øl hr ræsværd, r drod kk hl rvl, k udlds, dr or d url lor l hr drlkvo or =. V r dror l d øl c. l l l l l l' or dvs or Dr ældr jo, l, så år l hr ræsværd or åd od udl, hr sørrls slv ræsværd, o drd or D sk do på øl hr ræsværd r øld:. For hvr posv vlkårl lll l ε, ds dr l, sålds < ε V Idørr u d o sk losk oprorr:

4 Udl rækkr : kld Alkvor o læss: For hvr..ældr llr For ll..ældr : Kld kssskvor o læss: Dr kssrr.sålds llr Dr ds ds.sålds Vd bru kvorr, k do ræsværd skrvs r kopk.. :. Rækkr. Sur l E rækk r su l. Rækkr skrvs ld vd hjælp d såkld suos, so r sor ræsk S: Byd suos llusrrs bds vd pr kspl: k k k I ksplr ovor klds o k or dks. Su udrs d ørs kspl vd ørs sæ = kld dr ræs o udr d so sår or sr udr suos, sæ plus o sæ = dl = 5 so klds øvr ræs. I d d kspl hr v rs dks d k, prcpp r hl d s. I Mkk hr rdo or b hl l d bosvr:, j k l, så d r rl dss bosvr, so vds so dks.. Udl rækkr E udl rækk r lrækk, hvor d øvr ræs suo r udl. På orhåd r d do l r dlysd o k llæ udl rækk yd bs su. A d ksk r læld, vss d ol ksplr d øld. E udl rækk skrvs:. k k... V br d S su d ørs ld rækk: S k k Hvs løl S, S, S,..., S,. hr ræsværd or ss rækk vær kovr d su, dr r l d ræsværd. Hvs løl kk hr ræsværd, ss rækk vær dvr....

5 Udl rækkr. Forl or su drsrækk E drsrækk r rækk, hvor drs ll hvr ld o d oråd r kos. Eksplr på drsrækkr r: drs =... drc = ½ Opv r bs orl l udr su drsrækk. Hl rl k drsrækk d -ld o drs d skrvs: S = = + +d+ +d+ +-d Skrvs ldd d ovd rækkøl år : S = + d + -d + + -d Hvs lær d o udryk or S s dr sålds: S = + + d + + d d S = + d + - d d S = Il -ld, so øl ovsåd r l d hd. Hr ølr : S = +, llr so pljr skrv orl or drsrækk:. S r d ørs ld rækk, o d sds. All ld r l d. Forl k.ks. vds l br su ll r l S 55 Udl drsrækkr d drs orskll r r ld dvr. Dr ds kdo o d sor kr J. F. Guss, r hs skold, d h vr 9 år l. I r hvd lærr l sll d opv udr su ll r l ud jl, o d k klss d s skol l. M r dr d 5 ur, hvd lll Guss d korrk rsul. Lærr vr rsd. Hvd! Du kd svr!. Du å hv syd! M d h k d l Guss plds, o kd på d ppr, so lå or h, bld h orlhd. På Guss ppr sod dr l blo lr: Så su r ½ = 55

6 Udl rækkr 4. Forl or su kvorækk E kvorækk r rækk, hvor kvo orhold ll hvr ld o d oråd r kos. V opskrvr u kvorækk, hvor d ørs ld klds o kvo klds or k. Su d ørs ld bs s.. S = + k + k + k k - + k - For udld su-orl, ulplcrr v rækk d k, o subrhrr S r ks. ks = k + k + k k - + k S = + k + k + k k - + k ks - S = k + k + k k - + k - + k + k + k k - + k - Vd subrko vl ll ldd k, k k...k - ud od hd, o v dr: ks - S = k S k- = k - orl or S blvr sålds:. k S llr k S k k Bærk, br ll ld rækk. Udrykk ældr or k. For k =, r S = urlvs E udl kvorækk r kovr or k< o llrs dvr. D ølr, k or, år k< d or år Avds d på ovsåd, dr orl or udl kvorækk. k l k l S l k k k Su-orl or udl kvorækk, hvor ørs ld r o kvo -< k <.. S k

7 Udl rækkr 5.4 Eksplr: Succssv hlvrr lsykk d læd. Læd vl vær: 4 Udl dclbrøkr: , =... k k D udrsrs, d sk or or ddo udl l r uldsæd sr odslssr o lvrr uldsæd løs på såkld prdoksr, so r rko sær d kk Grækld.

8 Fourr rækkr 6. Fourr rækkr Fourr opdd s lys prodsk ukor, hvr prodsk uko d prod π k skrvs so udl rækk hrosk ukor. Hrosk bydr, d r sus llr cosus ukor. D ksk krrr or ourrrækk or vlkårl uko kovrrr hvr puk r r koplcr, rl k s, ourrrækk or æs hvr uko d bræs vro kovrrr. Bræs vro bydr orskll ll ukosværdr r bræs l. D r ls, roducr ourrrækkr or ukor, dr r prodsk d prod π, so d r læld d cosus o sus. Hr dlrd uko d prod, så k udvkl d på ukor: cos o s,, so ss vær cos- o sukor d prod. Ud vdls koplks l, skrvs ourrrækk or uko ldlhd:. cos b s cos b s cos b s... Ellr opskrv d suos. cos b s Id v r, såd ourrrækk kssrr, sllr v os d opv bs kocr o b. For ør d, skl dlrd kd ol oroolsblsr, år v rrr produkr cos d s ovr prod rvl på π.. s o cos r prodsk d prod π.. cos o s, r prodsk d prod π/ = π.. cos o s, r prodsk d prod π/, o såd rdls. 4. cos o s, r prodsk d prod π/, hvor r hl posv l. O drd r ll ukor oså prodsk d prod π. Dr ældr:. cosd s s s.4 s d cos cos cos

9 Fourr rækkr 7 Irlr s o cos ovr prod r ll l d ul. Dræs skl v s på rlr. Bvs ølr dor cos s d or ll o, cos cosd o s s d or s d o cos d V sr ørs på d sds o rlr. D rr or s o cos r d s, blo prlllorskud ½π, å d o rlr vær s. Dr ældr dror: s d cos d cos s d d For vs rhd d ørs rlr, r d ødvd, kd d lorsk orlr or ddo o hrosk ukor. Dss orlr udlds ddosorlr:.5 Addosorlr. Addosorlr r ællsv or ol orlr l br cosu-v, su-v, cosu+v o su+v. Ld u = cos u, s u o v = cos v, s v vær o hdsvkorr, svrd l rsvklr u o v. Vkl ll d k brs so u-v, på ær or, so ldr cosus uordr o ulplu 6 r v sklrproduk d o hdsvkorr, år v øl do: u v = u v cosu-v = cosu-v = cosu-v Udrr v drod sklrproduk koordr år Hr ås d ørs ddosorlr u v = cos u cos v + s u s v.5. cosu-v = cos u cos v + s u s v Ersr v v d v dr cosu+v = cos u cos-v + s u s-v = cos u cos v - s u s v.5. cosu+v = cos u cos v - s u s v Ersr v u d 9-u, dr so vr cos9-u-v = cos9 u cos v s9 u s v

10 Fourr rækkr 8.5. su-v = s u cos v cos u s v O dl, hvs rsr v d v, år.5.4 su+v = s u cos v + cos u s v All ddosorlr k hrr skrvs cosu-v = cos u cos v + s u s v.6 cosu+v = cos u cos v - s u s v su+v = s u cos v + cos u s v su-v = s u cos v cos u s v.7 D lorsk orlr or ddo sus o cosus. Vd ddr d o ørs ddosorlr, år cosu-v + cosu+v = cos u cos v + s u s v + cos u cos v - s u s v = cos u cos v. o hrd: cos u cos v = ½ cosu-v + cosu+v Vd subrko d o s orlr år s u s v =½ cosu-v - cosu-v Vd ddo o subrko d o sds ddosorlr år lsvrd s u cos v =½ su+v + su-v cos u s v =½ su+v - su-v Idørr v u = u-v o y = u+v o løsr d hsy l u o v, år u =½ + y o v = ½ - y Idæs d ovor år d ørs d lorsk orlr. Forlr klds or lorsk ord rsr ddo d ulplko. På hl lsvrd vs, år d øvr lorsk orlr..8 y y cos cos ycos cos y y cos cos y s s y y s s y s cos y y s s y cos s

11 Fourr rækkr 9. Fourrrækks kocr V vl u vd hjælp d lorsk orlr orl bvs, d r rlr, so dholdr produk s o cos, ll vr ul. V øjs d kspl: D øvr ølr hl på s åd..9 cos s d s s d V hr hr vd d 4. d lorsk orlr ovor. Irl s o cos ovr prodrvl l d, hvor ølr rl.9 r. D k oså vss or d øvr rlr vd vdls d lorsk orlr. V vdr u lb l ourrrækk or.. For bs vl v udr rl cos b s cosd Når v dsær udrykk or ourrrækk or, o hvs v r, v k rr ldvs, oså or udl ld, så kor v l rr øld 4 ypr ld: cos cos d or. b s cos d or cos cosd cos d or cos d or o d or A d rår, k brs vd øld orl cos d cos d,,,...

12 Fourr rækkr På hl lsvrd åd dr : s d b b s d Hrd hr v slu vors lys ourrrækkr. Ehvr prodsk uko d bræs vro o prod π, k udvkls på rækk. Hvor cos b s. cosd o b s d,,,,... Hvs uko r prodsk d prod, llr blo uko dr på rvl, så r d so bskrv ovor l vs, k skrvs:. cos b s hvor.4 cos d o b s d,,,,... Iro ovr prodrvll [,π] k urlvs rss vlkårl prod rvl. O væls rvll [-π, π]. cos r l uko, d cos = cos, o s r ul uko, d s = - s. Irl ovr rvll [-π, π] ul uko r ødvdvs ul. D produk l o ul uko r ul uko, ølr d uddlbr, hvs r ul, så blvr ll =, o hvs r l, så blvr ll b =. So kspl, sr v på uko:,, D uko r ul, så ll r ul. 4 b d d s d cos s s

Fourr rækkr Så ourrrækk blvr 4 s s 5... s 5 Idsæs.ks. = ½π dr, d ½π =. 4... 5... 4 5 D udl rækk l br p, bs Grory s rækk. Ndor r vs ourrrsoro, svrd l, dr r l r ld.

13 Fourr rækkr Så ourrrækk blvr 4 s s 5... s 5 Idsæs.ks. = ½π dr, d ½π = D udl rækk l br p, bs Grory s rækk. Ndor r vs ourrrsoro, svrd l, dr r l r ld. Fourrlys llr hrosk lys udørs r ubsvær vd vd d koplks kspoluko dr vd:.5 cos s r d koplks hd. = -. A d do ksk r ovrssls d kspolukos ukoll do kspoluko: y y, k vss ud r ddosorlr or cosus o sus y cos s cos y s y.6 cos cos y s s y cos s y s cos y cos y s y y y Vd udld hr v vd ddosorlr, so r bskrv dlr. cos o s, k hrr udrykks vd d koplks kspoluko vd orlr:

14 Fourr rækkr.7 cos o s O hrd:.8 cos o s Idsæs dss udryk ourrrækk or dr udvkl på ukor o -. cos b s b b b M k d su, vd sur r =..9 b b Edl k dropp d sds kspoluko, o sd sur r us udl l udl, o odøb kocr l c ourrrækk or uko d prod π, o r rl d prod k hrr skrvs so:. c o c D r l vrcr oroolsblr. or d or For = : d d

15 Fourr rækkr D o orlr k ss. d hvor δ r Krockr sybol or or Hr ølr, kocr c k brs, so:. d c o hvs spcl = d c M k dr d dr produk o koplks ukor, so:. d hvor c r koplks kojurd l l c. b c b c b c c c.4 d d bs so ddlværd ovr prodrvl..5 d Idsær d koplks ourrrækkr or o b dr or d dr produk: d b d b d b d b * * På rud oroolsblsr. dr drr:

16 Fourr rækkr 4 b b d b * * * O øll: * Kvdr på ddlværd r l d su kvdrr på ourrkocr. D klds or Prsvls sæ.

17 Fourr rlr 5 4. Fourrrlr V r udspuk d koplks ourrrækk d prod. 4. hvor ourrrækk k oors l rl vd øld subsuor: d Hvor r v k skrv y o y 4. F Id orøs skrd, k suo oors l rl: y F Fd F y dy y dy 4. y y dy hvor y y d o y klds hds Fourr rsorrd. På lsvrd åd, so v vs Prsvls or, k vs, dr ældr: 4.4 d y dy Fourrrsoro vds o, år skl or hrosk lys sl. I d shæ r vrbl d, so v dror br d. Vrbl y, br d vklrkvs o skrv ω. rsorosorlr blvr hrr: 4.5 d Når lvr ourrrsoro o sl, vl d Fourrrsorrd, so r ω v rkvsr o syrk rudo o ovror. d

18 Fourr rlr Ekspl. Dæp sv. Ld os br dæp sv, v vd uko: s / Fuko r vs dor Erspkr or uko D Fourrrsorrd r: s d d V vdr : s d d d Id bdr r d øvr ræs orsvdr. Hvs k v s bor r d ørs ld su, så v år:

19 Fourr rlr 7 Så rkvs spkr hr rk op, år. S ur øvrs l højr.

Relaterede dokumenter

Fourierrækker og Fourierintegraler

Fourierrækker og Fourierintegraler Udlg rækkr Fourrrækkr og Fourrtgrlr Idhold Idhold.... lølgr.... Rækkr...3. Udlg rækkr...3. Suorl or drsrækk...3. Su-orl or kvottrækk...4 3. Fourrrækkr...6 3.3 Fourrrækks koctr...8 4. Fourrtgrlr...4 Ol