brikkerne til regning & matematik areal og rumfang basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang G ISBN: 978-87-92488-17-6 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk Denne bog er beskyttet af lov om ophavsret. Kopiering til andet end personlig brug må kun ske efter aftale med forlaget. Læs mere på: www.bernitt-matematik.dk
Forord Hæftet er et af ti, der er udarbejdet til undervisning på VUC på niveauerne basis+g og dette hæfte indeholder kernestoffet om areal og rumfang. Dette er en beta-udgave, der er udarbejdet med baggrund i den vejledning om undervisning på VUC, der udkom i 2009. bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar for eventuelle følger af at anvende hæftet. I forhold til de krav til det faglige indhold, den enkelte kursist eller hold stiller, kan der være indhold, der springes over og der kan være indhold fra hæftet areal og rumfang F+E+D, der inddrages. Arbejde med hæftet på tablets, smart-phones og andre touch-screens: Du får den fulde glæde af hæftet, hvis du anvender Adobe PDF Reader til Windows eller ezpdf Reader til Androi. Til Appel OS kan du bruge ibooks eller Good Reader. På siderne er der links til facit på opgaverne, oversigt over regler og formler m.v., som er aktive, hvis du anvender ovennævnte. Links vises med denne skrifttype: Link Siderne er opdelt således, at først forklares og vises med eksempler og derefter er der opgaver du kan løse. Hvis du kan se, at du uden vanskelighed kan løse opgaverne, kan du springe dem over. Efter opgaverne er et link til bagerst i hæftet, hvor reglerne du har arbejdet med er samlet. Når du har løst opgaverne er det en god idé, at læse dette, så du er sikker på, at du har lært regne-reglerne. Fra side 26 er facit til opgaverne. Du kan komme til facit på din opgave, ved at trykke på opgave-teksten. Du kommer tilbage til opgaven ved at trykke på facit. På side 33 er en formelsamling om areal og rumfang. Skriv til: mail@bernitt-matematik.dk, hvis du har spørgsmål, forslag eller kommentarer.
Kvadratmeter Eksempel 1: Du har en græsplæne der skal have gødning. På pakken med gødning står at du skal bruge 1 kg gødning pr. 20 m 2. Din græsplæne har den facon som tegningen herunder viser. Du vil regne dens areal ud og tegner den på ternet papir sådan at hver tern svarer til 1 m på hver led. 1m m 2 1m Din græsplænes areal: 14 A 8 = 96 m 2 Gødning: 96 : 20 = ca. 5 kg Forklaring: 1 m 2 er målet for arealet af et område, der har en sidelængde på 1 m. Da græsplænen er 12 m på den ene led og 8 m på den anden kan man finde arealet ved at gange de to tal med hinanden. 1 Du har en væg, der skal males. Væggen er 6 m lang og 2,85 m høj. Ž Hvor mange m 2 skal males? 2 Du har et fortov der er 35 m langt og 80 cm bredt. Du skal rydde sne på fortovet. Ž Hvor mange m 2 skal du rydde? 4
Eksempel 2: Du har en græsplæne og indtegner den på ternet papir, hvor hver tern svarer til 1 m 2. Areal (optælling): = ca. 55 m 2. Forklaring: Metoden med at gange længde med bredde kan kun bruges når arealet er formet som en firkant hvor firkantens sider følger ternerne på et stykke ternet papir. Har arealet en uregelmæssig facon kan man oftest kun finde et cirka-tal for dets størrelse ved at tælle antallet af terner. 1 Du har et bed, der er formet som en cirkel med et tværmål på 6 m. Ž Tegn en tegning af dit bed på ternet papir sådan at hver tern svarer til 1 m 2. Ž Hvor mange m 2 vil du regne med at dit bed er? 2 Gavlen på dit hus er formet som en firkant, der er 8 m gange 4 m med en trekant ovenpå, der er yderligere 3 m høj. Ž Lav en tegning af din gavl på ternet papir og find ud af hvor mange m 2 du vil regne med den er. Om arealmål på side 28 5
Firkanter og trekanter Eksempel 1: Du har fire firkanter du vil beregne arealet på og tegner dem på ternet papir, hvor ternerne svarer til 1 m. Kvadratets areal: 4A 4 = 16 m 2 Rektanglets areal: 4A 7 = 28 m 2 Parallelogrammets areal:4a 5 = 20 m 2 Trapezets areal: (3 + 6) A 4 : 2 = 18 m 2 Forklaring: På side 33 står en liste over formler, der blandt andet kan bruges til at finde areal for de fire typer af firkanter: Kvadrat: Siderne er lige lange og kan følge stregerne på ternet papir. Areal: Gang sidelængden med sig selv. Rektangel: Areal: Siderne overfor hinanden er lige lange og kan følge stregerne på ternet papir. Gang længde med bredde. Parallelogram: Sider overfor hinanden er lige lange og de følger ikke stregerne på ternet papir. Areal: Gang længden af en side med afstanden til den modsatte side. Trapez: Areal: To af siderne, der ligger overfor hinanden kan følge stregerne på ternet papir. Læg de to sider sammen, gang med afstanden mellem dem og del med 2. 6
1 Se tegningerne herunder. Ž Hvilke typer af firkanter er det? Ž Mål de nødvendige længder og beregn firkanternes areal. 2 Din grund har form som et rektangel med længden 30 m og bredden 20 m. Ž Tegn en tegning af grunden hvor 1 cm svarer til 1 m. Ž Hvor stort et areal har din grund? 3 Den øverste del af gavlen på dit hus har form som et trapez, hvor de parallelle sider er 8 m og 5 m og afstanden mellem dem 3 m. Ž Tegn en tegning af gavlen, hvor 1 cm svarer til 1 m. Ž Hvor stort er gavlens areal? 4 Dit soveværelse er kvadratisk med en sidelængde på 5 m. Ž Tegn dit soveværelses grundplan sådan at 1 cm svarer til 1 m. Ž Hvor stort et areal har dit soveværelse? 5 Din grund er formet som et parallelogram. De parallelle sider er 30 m og 35 m og afstanden mellem de to længste sider er 25 m. Ž Tegn din grund sådan at ½ cm svarer til 1 m. Ž Hvor stort et areal har din grund? 7
6 Tegningen herunder viser grundplanen i et vinkelhus. Ž Find husets grundareal. 7 Tegningen viser din indkørsel, hvor du vil lave en ny belægning med småsten. Du skal derfor kende arealet. Ž Hvor mange m 2 er din indkørsel? 8 Din køkkenhave har den facon, du ser herunder. Du skal gøde haven og ikke havegangen. 8 Ž Hvor mange m 2 skal du gøde?
Eksempel 3: Gavlen på din carport er formet som en trekant. Du skal male den og vil derfor finde arealet. På tegningen herunder går der to terner på 1 m. Areal: 3 A 1,5 : 2 = 2,25 m 2 Forklaring: På side 33 står en formel for hvordan man finder arealet af en trekant: Gang trekantens grundlinie med højden og del med 2. 1 Trekanterne herunder er tegnet så 1 cm svarer til 1 m. Ž Mål de nødvendige længder og beregn deres areal. 2 Tegningen her viser sejlet til en sejljolle. Ž Hvor stort er sejlets areal? Om areal af firkanter og trekanter på side 29 9
Cirkler Eksempel: Du vil lave et cirkelformet bed, der skal være 6 m tværs over og skal bruge arealet til at beregne mængden af gødning og kalk, der skal tilsættes. På tegningen svarer 1 cm til 1 m. Radius: 6 : 2 = 3 m Areal: 3 A3 A 3,14 = ca. 28 m 2 Forklaring: På side 33 står en formel til beregning af en cirkels areal. I formlen indgår tal for to ting: Radius: Det halve af cirklens tværmål. Pi: B Er et tal, der skal bruges til alle cirkler. Tallet kan ikke skrives præcist men er ca. 3,14. Mange lommeregnere har en tast med B. Man finder en cirkels areal ved at gange radius med sig selv og til sidst gange med B. 1 Torvet i byen er en cirkel med et tværmål på 150 m. Man regner med, at der til byfester kan stå én person pr. m 2. Ž Hvor mange personer kan stå på torvet? 2 En lille sø har en form som en cirkel med et tværmål på 20 m. Erfaringen siger, at hvis der skal kunne leve krebs i søen skal den minimum have et overflade-areal på 500 m 2. 10 Ž Kan der leve krebs i søen?
3 En ged står tøjret på en mark. Rebet som holder geden er fæstet til en stolpe og er 15 m langt. Ž Hvor stort et areal kan geden komme til at græsse på? Ž Hvor meget større ville arealet bliver, hvis rebet blev gjort 5 m længere? 4 Tegningen viser en firkantet legeplads. På legepladsen er en gang og et cirkelformet stykke, hvor der er grus. Rundt om er der græs. Ž Hvor mange m 2 er belagt med grus? Ž Hvor mange m 2 er belagt med græs? 5 Din terrasse er lavet af terassebrædder, der skal males på oversiden hvert år. Du kan se et grundrids af den herunder. Ž Hvor stort et areal skal du købe maling til? Om cirklers areal på side 30 11
Andre arealmål Eksempel: Du skal skære en hylde ud af en marmorplade. Den skal have form som et rektangel med længden 120 cm og bredden 50 cm. På pladen står at den vejer 1,5 g for hver cm 2 den er i areal. Areal: 50 A 120 = 6.000 cm 2 Vægt: 60.000 A 1,5 = 9.000 g = 9 kg Forklaring: Når man regner areal ved hjælp af cm-mål får arealet benævnelsen cm 2. 1 cm 2 er nemlig arealet af en tern, der er 1 cm på hver led. På samme måde får man km 2 hvis man bruger km-mål, mm 2 hvis man bruger mm-mål osv. 1 Fyn har en facon der næsten er som et rektangel med en bredde på 50 km og en længde på 80 km. Ž Hvor mange km 2 er Fyn? Ž Lav også km-målene om til m og regn ud hvor mange m 2 Fyn er. Ž Hvor mange m 2 går der på en km 2? 2 Når man er under vand er man udsat for et tryk fra vandet, der er over én. Tryk kan angives som kg pr. cm 2. Fx er trykket 20 m nede 3 kg pr. cm 2. En kasse, der er formet som en terning har seks sider, der måler 1 m gange 1 m sænkes ned i 20 meters dybde. Ž Hvor mange cm 2 er en af kassens sider? Ž Hvor stort et tryk skal en side kunne modstå? 12
3 Hvor meget elektrisk strøm, der kan strømme igennem en ledning afhænger blandt andet af ledningens tværsnits-areal. Ž Hvor stort et tværsnits-areal har en ledning, der har en tykkelse på 2 mm? Ž Hvor stort ville tværsnits-arealet blive, hvis man gjorde ledningen dobbelt så tyk? 4 Tegningen herunder er en skitse af omridset af en mark. Ž Hvor mange m 2 er marken? Ž Et areal på 10.000 m 2 er det samme som 1 hektar. Hvor mange hektar er marken? 5 En brændeovn skal stå i et hjørne og foran skal ligge en støbejerns plade, der skal se ud som på skitsen herunder. Med den tykkelse pladen skal have vejer den 3,5 g for hver cm 2 dens overflade er. Ž Hvor mange cm 2 er pladens overflade? Ž Hvad kommer pladen til at veje? Om arealmål på side 28 13
Rumfang Eksempel 1: Du vil grave en lille dam, der har form som den kasse du ser herunder. Du vil regne ud, hvad det vil koste at fylde dammen med vand. Vandværket oplyser at prisen er 25 kr pr. m 3 1,5 m 4,0 m 1,0 m Rumindhold: 4,0 A 1,0 A 1,5 = 6,0 m 3 Pris: 6,0 A 25 = 150 kr. Forklaring: En kasse, hvor bunden er et kvadrat med grundfladen 1 m 2 og som er 1 m høj siger man kan rumme 1 m 3 eller at den fylder 1 m 3. Når man skal finde rumfanget af en kasse ganger man først bundens længde med dens bredde for at finde bundens areal og derefter ganger man med kassens højde. 1 I et rum, hvor der arbejdes skal luften udskiftes. Rummet måler 12 m i længde, 8 m i bredden og der er 3,5 m til loftet. Luften skal skiftes én gang i timen. Ž Hvor meget luft er der i rummet? Ž Hvor meget luft skal der skiftes i minuttet? 2 En lastbil, der bruges til at transportere korn har et kasseformet lad, der målte 20 m i længden, 5 m i bredden og 2 m i højden. Ž Hvor mange m 3 korn kan ladet rumme? 14
Eksempel 2: Du vil lave en blomsterkasse med trekantet bund. Den skal fyldes med spagnum. Den skal være 1 m høj og bunden skal se sådan ud: Bundens areal: 1,0 A 0,8 : 2 = 0,4 m 2 Kassens rumindhold: 0,4A 1,0 = 0,4 m 3 Forklaring: Også selvom kassen ikke har en firkantet bund kan man regne dens rumindhold ud ved at gange bundens areal med kassens højde. Kasser som denne kaldes for prismer og bunden kaldes grundfladen. 1 Der skal laves en trekantet betonsøjle. Du ser et tværsnit af den herunder. Søjlen skal være 2,85 m høj Ž Hvor mange m 3 beton skal der bruges? 2 En 200 m lang jordvold er lavet langs en motorvej. Den har et tværsnit som vist herunder. Ž Hvor mange m 3 jord består volden af? Om rumfangsmål på side 28. Om prismer på side 30. 15
Andre rumfangsmål Eksempel 1: Du har en firkantet jernstang der er 2 cm tyk, 2 cm høj og 1 m lang. Du har fået oplyst at 1 cm 3 jern vejer 7,2 g. Du vil finde stangens rumfang for derefter at finde hvad den vejer. Stangens længde i cm: 1,20 A 100 = 120 cm Stangens rumfang: 120 A 2 A 2 = 480 cm 3 Stangens vægt: 480 A 7,2 = 3.456 g Forklaring: Hvis man bruger længdemål i cm eller mm bliver rumfanget i cm 3 eller mm 3. 1 En firkantet betonbjælke har en endeflade, der måler 30 cm gange 10 cm. Bjælken skal være 2 m lang. Beton vejer 4,5 g pr. cm 3. Ž Find bjælkens rumfang i cm 3. Ž Hvad vejer bjælken? 2 Forestil dig en terning, der er 1 m på hver led. Ž Find terningens rumfang i m 3. Ž Find også terningens rumfang i cm 3. Ž Hvor mange cm 3 går der på 1 m 3. 3 Du skal lave en lille terning af bly. D skal smelte blyet og hælde det i en form. Formen til terningen måler 5 mm på hver led. Du ved at bly vejer 12 g pr. cm 3 og skal veje den mængde af, der skal bruges. Ž Hvor stort et rumfang har terningen? Ž Hvor meget bly skal du bruge? 16
Eksempel 2: Du har en plastic-beholder, der er formet som en lille kasse med længden 15 cm, bredden 10 cm og højden 12 cm. Du vil finde ud af om der er plads til to liter væske i beholderen. Længde i dm: 15 : 10 = 1,5 dm Bredde i dm: 10 : 10 = 1,0 dm Højde i dm: 12 : 10 = 1,2 dm Rumfang: 1,5 A 1,0 A 1,2 = 1,8 dm 3 I 1,8 dm 3 er der kun plads til 1,8 liter. Forklaring: 1 liter er det samme som 1 dm 3. Vil man derfor finde rumindhold i liter skal man have målene i dm. Når man har fundet rumindholdet i liter kan man derefter omsætte det til deciliter, cenciliter og milliliter. 1 Du har en varmtvandsbeholder til dit brusebad. Beholderen er formet som en kasse, der er 50 cm bred 50 cm høj og 40 cm dyb. Ž Hvor mange liter vand rummer beholderen? 2 Omsæt følgende til deciliter, cenciliter og milliliter. Ž 1,5 liter 0,8 liter 10 liter 3 Omsæt til liter. Ž 3 dl 4 cl 100 ml 4 Du har et badekar, der har en form som en kasse med målene 2 m, 80 cm og 40 cm. Ž Hvor mange liter vand kan der være i badekarret? Om rumfangsmål på side 28 17
Cylinder og kugle Eksempel: Du vil beregne materiale-forbruget til de to jernkomponenter herunder. Cylinderens radius: 3 : 2 = 1,5 cm Rumfang: 1,5 A 1,5 A 3,14 A 4,0 = 28,3 cm 3 Kuglens radius: 3 : 2 = 1,5 cm Rumfang: 1,5 A 1,5 A 1,5 A 3,14 A 4 : 3 = 14,1 cm 3 Forklaring: I formellisten på side 33 kan man se, hvordan man beregner rumfang for cylindere og kugler. Cylinder: Rumfang: Kugle: Rumfang: Har en cirkelformet grundflade og lodrette sider. Gang radius med sig selv og med B og gang med højden. Er overalt cirkelfomet. Gang radius med sig selv tre gange, gang med B og med 4 og del med 3. 1 Du har en spand, der er formet som en cylinder. Du måler at spanden er 30 cm høj og at den måler 25 cm på tværs. Ž Hvor mange liter vand kan spanden rumme? 2 En tryktank til opbevaring af flydende amoniak har form som en kugle. Kuglens højde skønner du til at være 10 meter. Ž Hvor mange m 3 kan den rumme? 18
3 En betonsøjle skal have form som en cylinder. Søjlen skal være 40 cm tyk og 3 m høj. Ž Hvor mange m 3 beton skal der bruges? 4 Du har en gammel kugleformet olietank gravet ned i din have. Tanken er 1,5 m i tværsnit. Du skal fylde den med sand. Ž Hvor meget sand skal du bruge? 5 Du har vandhaner i dit køkken og i dit badeværelse. I alt regner du med at der ligger 25 m vandrør i dit hus. Et vandrør har en indre diameter på 2 cm. Ž Hvor mange liter vand ligger der i dine rør? 6 Du har en gryde hvis indre har form som en halv kugle. Gryden måler 40 cm tværs over. Ž Hvor mange liter rummer gryden? 7 Din varmvandsbeholder har form som en cylinder. Udvendigt målt har den en længde på 1,5 m og et tværsnit på 80 cm. Du regner med at isoleringen fylder 5 cm. Ž Hvad er de indre mål? Ž Hvor mange liter vand kan beholderen rumme? 8 Til en fest i idrætsforeningen vil du bruge en gennemskåret fodbold til at have velkomstdrik i. Fodbolden har et tværsnit på 25 cm. Ž Hvor mange liter kan der være i en halv fodbold? Om cylinder og kugle på side 31 19
Pyramide og kegle Eksempel: Du vil beregne materialeforbruget til de to jernkomponenter herunder. Pyramiden: Du har målt grundfladen til at være 2 cm gange 2 cm og højden til at være 3 cm. Grundfladeareal: 2 A 2 = 4 cm 2 Rumfang: 4 A 3 : 3 = 4 cm 3 Keglen: Du har målt radius i grundfladen til at være 2 cm og højden til at være 3 cm. Rumfang: 2 A 2 A 3,14 A 3 : 3 = 12,56 cm 3 Forklaring: I formellisten på side 33 kan man se, hvordan man beregner rumfang for pyramider og kegler. Pyramide: Har en kantet grundflade og sider, der spidser til over grundfladen. Rumfang: Find grundfladens areal, gang med højden og del med 3. Kegle: Har en cirkel som grundflade og er formet som et kræmmerhus. Rumfang: Gang radius med sig selv, gang med B og med højden og del med 3. 1 En grusbunke har form som en kegle. Grundfladens tværsnit er 1,5 m og den er 1 m høj. Ž Hvor meget grus er der i bunken? 20
2 Keops pyramiden i Ægypten har en kvadratisk grundflade, hvor sidelængden er 233 meter. Pyramidens højde var oprindelig 146 m. Den blev bygget af blokke af sandsten, der vejede 4 ton pr. m 3. I alt blev der brugt 2 millioner blokke. Ž Hvor mange m 3 sten blev anvendt? Ž Hvad vejede hele pyramiden? Ž Hvad vejede en sandstensblok? 3 Man kan lave et kræmmerhus med form som en kegle ved at bukke et stykke papir. Bagere bruger sådan et kræmmerhus til at fordele flødeskum på kager. Et almindeligt A4-papir kan give et kræmmerhus der måler 10 cm i bunden og som er 19 cm højt. Ž Hvor mange deciliter flødeskum kan det rumme? 4 En del af samerne i det nordlige Norge og Sverige bor stadig i deres traditionelle telte om sommeren. Teltene har form som en pyramide med kvadratisk grundflade. Siderne er 4 meter bredde og teltet er 6 m højt. Teltet opvarmes med et bål i midten. Ž Hvor mange m 3 luft skal bålet opvarme? 5 På en gård har man et transportbånd, der bruges til at lægge husdyrgødning fra stalden ud på en gødningsplads. Transportbåndet lader gødningen falde ned i en bunke, der får form som en kegle. Gødningspladsen har et tværmål på 15 m og transportbåndet er hævet 3 meter over jorden. Ž Hvor mange m 3 gødning kan der ligge på pladsen? Ž Hvor meget kunne der ligge, hvis pladsen var dobbelt så stor og transportbåndet dobbelt så højt oppe? Om pyramide og kegle på side 30 og 31 21
Materiale-forbrug Eksempel: Du vil tappesere en væg og male et loft. Væggen måler 6 m gange 2,75 m og tapettet sælges i ruller, der er 55 cm i bredden og 10 m lange. Loftet måler 6 m gange 4 m og loftmalingen rækker 5 m 2 pr. liter. Tapet-forbrug: Antal banebredder: 600 : 55 = 11 Baner pr. rulle: 10 : 2,75 = 3 Antal ruller: 11 : 3 = 4 Malings-forbrug: Loftets areal: 6 A 4 = 24 m 2 Maling: 24 : 5 = 5 liter Forklaring: Når man skal gøre sit materialeforbrug op er det ikke altid fornuftigt at gøre det ud fra beregning af areal og rumfang. Det afhænger af materialets natur. Fx er det ikke fornuftigt når man skal tappesere fordi man ikke bare kan tage en lille stump, der er til rest et sted og starte med et andet sted. 1 Du skal lægge fliser på din terrasse. Fliserne er kvadratiske og måler 60 cm. Terrassen måler 5 m 4 m. Ž Vil det være fornuftigt at regne arealer ud for at finde hvor mange fliser du skal bruge? Ž Hvor mange fliser vil du købe? 2 Der skal være grus på terrassen, som fliserne lægges i. Gruslaget skal være 10 cm tykt og terrassen målte 5 m 4 m. Ž Hvordan vil du finde ud af hvor meget grus skal du bruge? 22
3 Du vil have et væg-til-væg tæppe i din stue. Stuen måler 6 m gange 4 m. Tæppet fås i bredden 235 cm. Tæppeforhandleren reklamerer med at tæppet koster 120 kr. pr. m 3. Ž Kan du bruge m 2 -prisen til at finde prisen for dit tæppe? Ž Hvad kommer dit tæppe til at koste? 4 Du har en indkørsel, der skal belægges med brosten. Indkørslen er 8 meter lang og 4 meter bred. Forhandleren af brosten oplyser at der går 32 store brosten pr. m 2. Ž Kan du bruge oplysningen til at finde hvor mange sten du skal bruge? 5 Du lejer en lille lastbil med lukket kasse som du skal bruge til at køre flyttekasser. Flyttekasserne måler 75 cm 35 cm 40 cm. Biludlejeren oplyser at lastbilens kasse kan rumme 16 m 3. Ž Kan du regne ud hvor mange kasser du kan køre af gangen? 6 Du skal lave en kasse uden låg af spånplade. Bunden skal være 40 cm 60 cm og siderne skal være 40 cm høje. Spånplade kan købes i to størrelser: 120 cm 60 cm og 240 cm 60 cm Ž Hvordan vil du finde ud af hvad du skal købe? 7 En plads der måler 12 m 8 m skal belægges med små fliser. Fliserne måler 15 cm 10 cm. Ž Hvordan vil du finde det antal fliser, der skal bruges? Om materiale-forbrug på side 31 23
Massefylde En genstands masse (vægt) afhænger af dets rumfang og de materialer består af eller som fyldes i den, fordi materialer har forskellig vægt pr. rumfangs-enhed. Et materiales masse pr. rumfangs-enhed kaldes for materialets massefylde. F. eks har jern massefylden 7,6 og det betyder at: 1 cm 3 vejer 7,9 g 1 ml vejer 7,9 g 1 liter vejer 7,9 kg 1 m 3 vejer 7,9 ton. Herunder er vist nogle udvalgte materialers massefylde. Tabellen bruges i eksemplet og i opgaverne på de følgende sider. Materiale Massefylde Materiale Massefylde Aluminium 2,6 Jern 7,6 Benzin 0,7 Jord ca. 1,7 Beton 2,3 Kobber 8,8 Bly 11,3 Kork 0,25 Granit 2,7 Vand 1,0 Guld 19,3 Tin 7,2 Eksempel En anhænger til en bil fyldes med jord. Anhængerens rum-indhold er 400 liter. Hvad vejer jorden Jorden vejer: 400 @ 1,7 kg = 680 kg Forklaring: Massen findes ved at gange rumfang med massefylde. Husk at: g passer med cm 3 ml, kg med liter og ton med m 3 24
Brug oplysningerne fra forrige side til at løse følgende opgaver 1 Et badekar er angivet til at rumme 300 liter vand. Badekaret vejer i sig selv 65 kg. Ž Hvor meget vejer badekaret, når det er fyldt med vand? 2 Formel 1 racerbil havde tidligere en benzin-tank, der kan rumme 80 liter benzin. Det blev i 2010 sat op til 250 liter. Ž Hvor meget kommer de nye biler til at veje mere end før når tanken er fuld.? 3 Man kan undersøge, hvad et masivt smykke er lavet af på følgende måde: Find smykkets rumfang, ved at lægge det i et måleglas med vand. Stigningen i vandstanden er da lig med smykkets rumfang. Et smykke fylder 25 ml og vejer 287 g. Ž Hvilke af metallerne i skemaet kan smykket ikke være lavet af? 4 En køkkenbordplade skal måle 2 m gange 80 cm og være 3 cm tyk. Bordpladen kan fås i beton og i granit. Ž Find forskellen i vægt på de to plader. 5 Et cykelstel, der er fremstillet i jern vejer 18 kg. Det samme cykelstel kan også købes i aluminium. Ž Hvor meget sparer man i vægt ved at bruge aluminium? Om massefylde på side 32 25
Facit Herunder er der forslag til løsninger til opgaverne. Man skal være opmærksom på at der altid vil være en vis usikkerhed når man beregner arealer ud fra måling på en tegning. Derfor kan du godt få lidt anderledes resultater uden at de dermed er forkerte. Ved afrunding af tallene skal man lave et skøn over hvor nøjagtigt man tror på de tal man har brugt og hvor nøjagtigt man har brug for at facit er. Side 4 1. 17,1 m2 2. 28 m2 Side 5 1. Ca. 30 m2. 2. Ca. 45 m2. Side 7 1. A: Paralellogram 3 m B: Trapez 1,875 m2 C: Rektangel 1,5 m2 D: Trapez 2,25 m2 E: Kvadrat 2,25 m F: Paralellogram 1 m2 2. 600 m2 3. 19,5 m2 4. 25 m2 5. 875 m2 Side 8 6. 144 m2 7. 38 m2 8. 32,8 m2 Side 9 1. A: 2,63 m2 B: 1,5 m2 C: 1,28 m2 D: 0,81 m2 2. 12 m2 Side 10 1. Ca. 18.000 2. Nej, søen er kun lidt over 300 m2. Side 11 3. Ca. 700 m2 Ca. 550 m2 mere. 4. Ca. 56 m2 med grus. Ca. 124 m2 med græs. 5. 6,3 m2. Side 12 1. 4.000 km2 4.000.000.000 m2 1.000.000 m2 = 1 km2 2. 30.000 kg = 30 ton. Side 13 3. 3,1 mm2 12,6 mm2 4. 18.300 m2 1,83 hektar 5. 7.8504 cm2 27.500 g = 27,5 kg Side 14 1. 336 m3 5,6 m3 2. 200 m3
Side 15 1. 0,36 m3 2. 3.000 m3 Side 16 1. 60.000 cm3 270.000 g = 270 kg 2. 1 m3 1.000.000 cm3 1 million. 3. 0,125 cm3 1,5 g Side 17 1. 100 liter 2. 1,5 l = 15 dl = 150 cl = 1.500 ml 0,8 l = 8 dl = 80 cl = 800 ml 10 l = 100 dl = 1.000 cl = 10.000 ml 3. 3 dl = 0,3 l 4 cl = 0,04 l 100 ml = 0,1 l 4. 640 liter Side 18 1. 14,7 liter. 2. ca. 520 m3 Side 19 3. 0,38 m3 4. 1,8 m3 5. Ca. 8 liter. 6. Ca. 16,8 liter 7. 1,4 m og 70 cm Ca. 540 liter 8. Ca. 8 liter. Side 20 1. 0,6 m3 Side 21 2. 2.600.000 m3 10.600.000 ton 5 ton. 3. 5 dl 4. 32 m3 5. Ca. 180 m3 Ca. 1.410 m3 Side 22 1. Nej, man skal tælle op for at være sikker på at det passer. 56 fliser 2. Regn rumfanget ud. Side 23 3. Nej, der vil jo være spild. 282 kr. pr. løbende meter og du skal bruge i alt 12 meter. Det vil koste 3.384 kr. 4. Ja og det bliver 1.024 sten. 5. Nej, man skal kende kassens længde, bredde og højdemål. 6. Lav en tegning af en plade og indtegn bund og sider. 7. Da det er små fliser og en stor plads kan man godt bruge arealet. Ca. 6.400 sten. Side 23 1. 365 kg 2. 119 kg. 3. Guld 4. 19,2 kg 5. 6 kg
Regler Arealmål Det grundlæggende mål for et areals størrelse er en tern (kvadrat), der er 1 m på hver led. Den dækker et areal på 1 kvadratmeter (1 m 2 ). Andre arealmål: 1 km 2 = 1.000.000 m 2 1 hektar = 10.000 m 2 1 dm 2 100 dm 2 på 1 m 2 1 cm 2 10.000 cm 2 på 1 m 2 1 mm 2 1.000.000 mm 2 på 1 m 2 Man kan med tilnærmelse finde et areal ved at inddele det i kvadrater og tælle hvor mange der er. Læs mere på side 4-5 og side 13. Rumfangsmål Det grundlæggende mål for en genstands rumfang er en terning, der er 1 m på hver led. Den har et rumfang på 1 kubikmeter (1 m 3 ). Andre rumfangsmål: 1 dm 3 1.000 dm 3 på 1 m 3. 1 cm 3 1.000.000 cm 3 (1 mio. cm 3 ) på 1 m 3. 1 mm 3 1.000.000.000 mm 3 (1 mia. mm 3 ) på 1 m 3. 1 dm3 rummer 1 liter 1 liter = 10 deciliter (10 dl) 1 liter = 100 cenciliter ( 100 cl) 1 liter = 1.000 milliliter (1.000 ml) Læs mere på side 14 og 16-17. 28
Firkanter Typer af firkanter: Kvadrat: Siderne er lige lange og kan følge stregerne på ternet papir. Rektangel: Paralellogram: Trapetz: Siderne overfor hinanden er lige lange og kan følge stregerne på ternet papir. Sider overfor hinanden er lige lange og alle siderne følger ikke stregerne på ternet papir. To af siderne, der ligger overfor hinanden kan følge stregerne på ternet papir. Firkanters areal kan beregnes ved enten at: - bruge formlerne om kvadrat, rektangel, paralellogram eller trapetz på side 33. eller at: - opdele firkanten i to trekanter og bruge formlen om trekanter på hver af dem (Se også om trekanter nedenfor). Læs mere på side 6 og 8. Trekanter Når man skal finde arealet af en trekant gør man sådan: Udpeg en af trekantens sider som grundlinie. Trekantens højde er den lige afstand fra spidsen overfor ned til grundlinien. Brug dernæst formlen på side 33. Læs mere på side 9. 29
Cirkler Når man skal finde en cirkels areal skal man kende dens radius. Radius finder man ved at dele det cirklen måler tværs over med 2. Brug dernæst formlen på side 33. I formlen indgår tallet B (udtales: pi). B er et decimaltal med uendeligt mange decimaler. Skrevet med 8 decimaler er det 3,1415927. Man vælger at tage det antal decimaler med som svarer til den nøjagtighed man har behov for. Læs mere på side 10. Kasser, prismer og pyramider Kasser: har sider, bund og låg, der er rektangler. Når man skal finde en kasses rumfang skal man kende dens længde, bredde (dybde) og højde. Brug dernæst formlen på side 33. Prismer: har vandret bund og låg og lodrette sider. Når man skal finde et prismes rumfang finder man arealet af den flade der kan være grundfladen (bunden). Højden er så afstanden til den modsatte flade. Brug dernæst formlen på side 33. Pyramider: har en vandret bund og trekantede sider, der mødes i en spids midt over bunden. Når man skal finde en pyramides rumfang skal man finde arealet af grundfladen (bunden). Højden er den lodrette afstand til spidsen. Brug dernæst formlen på side 33. Læs mere på side 14, 15 og 20. 30
Cylinder, kugle og kegle Cylinder: har bund og låg der har form som cirkler og lodrette sider. Læs eventuelt om cirkler på forrige side. Når man skal finde en cylinders rumfang skal man kende bundens radius og cylinderes højde. Brug dernæst formlen på side 33. Kugle: er overalt cirkelformet. Læs eventuelt om cirkler på forrige side. Når man skal finde en kugles rumfang skal man kende kuglens radius. Brug dernæst formlen på side 33. Kegle: har en cirkelformet bund og er formet som et kræmmerhus med en spids, der ligger midt over bunden. Når man skal finde en kegles rumfang skal man kende radius i bunden (grundfladen). Højden er den lodrette afstand op til spidsen. Brug dernæst formlen på side 33. Læs mere på side 18 og 20. Materiale-forbrug Man kan bruge areal- og rumfang som udgangspunkt til at beregne materiale-forbrug, hvis materialet frit kan deles. Det kan fx flydende materialer og materialer, der består af små korn. Man kan ikke bruge areal og rumfangsberegninger, hvis materialet ikke kan deles frit. Det gælder fx. fliser, træplader, tæpper m.v. Læs mere på side 22. 31
Massefylde Ved et stofs massefylde forstås, hvor meget stoffet vejer pr. rumfangsenhed. Massefylden angives ofte som et tal uden benævnelse, men benævnelsen er da enten: g pr. cm 3 g pr. ml kg pr. liter ton pr. m 3 Læs mere på side 24 32
Formler Areal Rektangel Kvadrat Paralellogram Længde: l Bredde: b Sidelængde: s Grundlinie: g Højde: h Areal = l A b Areal = s A s Areal = g A h Trekant Trapetz Cirkel Grundlinie: g Højde: h De paralelle sider: a og b Højde: h Radius: r Areal = g A h : 2 Areal = (a + b) A h : 2 Areal = r A r A B Rumfang Kasse Prisme Pyramide Længde: l Bredde: b Højde: h Grundfladens areal: A Højde: h Grundfladens areal: A Højde: h Rumfang= l A b A h Rumfang = A A h Rumfang = A A h : 3 Cylinder Kegle Kugle Grundfladens radius: r Højde: h Grundfladens radius: r Højde: h Radius: r Rumfang = r A r A B A h Rumfang = r A r A B A h : 3 Rumfang = r A r A r A B A 4 : 3 Formler 33
ISBN 978-87-92488-17-6