Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen"

Transkript

1 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på at illustrere nogle centrale principper og idéer til hvordan man løser opgaver ved at se på vinkler, areal, ensvinklede trekanter og retvinklede trekanter med fokus på. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Opgaverne kræver ikke trigonometri. For at blive god til. runde er det allervigtigste at løse mange opgaver, og derfor er der også en masse opgaver hvor mange har været stillet som opgaver til. runde. Til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen er de første ti opgaver multiple choice-opgaver med fem svarmuligheder, mens de sidste ti opgaver skal besvares med et positivt helt tal. erfor er opgaverne her en blanding af multiple choice-opgaver og opgaver hvor facit er et positivt helt tal. er er løsningsskitser til alle opgaver bagerst. Vinkler Når man skal bestemme en vinkel i en geometrisk figur, skal man først danne sig et overblik over hvad man ved om vinklerne i figuren. Husk at vinkelsummen i en trekant er 80, vinkelsummen i en firkant er 60, og at femkanter, sekskanter, osv. kan inddeles i trekanter for at bestemme deres vinkelsum. esuden er det en god idé at se efter ligebenede trekanter og udnytte at vinklerne ved grundlinjen er ens. ksempel å figuren er tegnet en regulær femkant, dvs. en femkant hvor alle sider er lige lange, og alle vinkler er lige store. Vi ønsker at bestemme den markerede vinkel v. a en femkant kan inddeles i tre trekanter, er vinkelsummen i en femkant 80 = 540. erfor er hver af vinklerne = 08. I den markerede trekant hvor vinklen v indgår, er den store vinkel derfor 08, mens de to små vinkler er lige store da trekanten er ligebenet. ltså er v = = 6. Opgave. Hvor mange grader er vinkel v og vinkel w tilsammen? v 48 v w (Georg Mohr 07, opgave ) Opgave. å figuren ses en sekskant hvor alle vinkler er lige store. n linje skærer en af siderne i en vinkel på 0 som vist. Hvor mange grader er vinklen markeret med v? v Sekskant inddelt i fire trekanter Ligebenet trekant med to ens vinkler 0 (Georg Mohr 05, opgave 5) Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

2 Opgave. å figuren er der en regulær sekskant. Hvor mange grader er den markerede vinkel v? v real I opgaver med areal skal man have styr på formlen for arealet af en trekant, formlen for arealet af et rektangel og formlen for arealet af en cirkel. esuden er det vigtigt at huske at to trekanter med samme grundlinje og samme højde har samme areal. Opgave 4. unkterne,,, og ligger med samme indbyrdes afstand på en halvcirkel som vist. Hvor stor er vinkel i femkanten? ksempel n stor cirkel har radius 5 og en lille cirkel med radius r har samme centrum. Vi ved at arealet mellem de to cirkler (markeret med gråt på figuren) er 6π, og vi skal bestemme r. ) 60 ) 45 ) 5 ) 7 ) 67,5 (Georg Mohr 00, opgave 5) Opgave 5. n plan figur bestående af linjestykker,, og, hvor og krydser hinanden, kaldes en sløjfe. Hvad kan man sige om vinkelsummen i en sløjfe? en er: realet mellem de to cirkler er arealet af den store cirkel minus arealet af den lille cirkel, dvs. 6π = 5 π r π r = 5 6 = 9 r =. Opgave 6. t kvadrat hvori diagonalen er 4, er indskrevet i en cirkel som vist. Hvad er arealet af det grå område? ) over 90 ) 80 ) under 60 ) 60 ) (Georg Mohr 008, opgave 0) ) π ) π ) π 8 ) π + ) 4π (Georg Mohr 04, opgave ) Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

3 Opgave 7. å figuren ses to cirkler med radius henholdsvis og. realet af hvert af de tre grå områder er a. realet af den hvide midtercirkel er b. Hvad er a b? Opgave 0. e områder har alle samme areal. en mellemste cirkel har radius. Hvad er radius af den yderste cirkel? a a b a ) 4 ) ) 8 ) 4 ) (Georg Mohr 07, opgave ) ) ) ) π ) ) (Georg Mohr 007, opgave 0) Opgave 8. n cirkel med radius r har samme areal som en kvartcirkel med radius. Hvad er r? ) ) ) π ) π ) 4 (Georg Mohr 0, opgave 6) ksempel a formlen for arealet af en trekant er højde gange grundlinje divideret med, har trekanter med samme grundlinje og samme højde også samme areal. G Opgave 9. Figuren er dannet af fire halvcirkler med radius 5. Hvad er arealet af figuren? F ) 5 π ) 5 π + 5 ) 00 ) π ) 50 π å figuren er indtegnet to parallelle linjer. e to trekanter og har samme areal da de har samme gundlinje og samme højde, nemlig afstanden mellem de parallelle linjer. å figuren er linjestykket F halvt så stort som linjestykket. erfor er arealet af trekant F G halvt så stort som arealet af trekant da grundlinjen er halvt så stor, mens højden er den samme. (Georg Mohr 08, opgave ) Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

4 Opgave. Hvilket logo har det største areal? kloen kammen lynet smilet ) kloen ) kammen ) lynet ) smilet ) de har alle samme areal (Georg Mohr 008, opgave 7) Opgave. t rektangel er inddelt i to dele som vist på figuren. realet af den hvide del er fem gange så stor som arealet af den grå del. estem brøken a b, hvor a og b er længderne angivet på figuren. ) 5 ) 4 ) ) 5 ) a b (Georg Mohr 04, opgave 4) Opgave. å den ene af to parallelle linjer ligger punkterne, og, og på den anden ligger punkterne, og. er trækkes forbindelseslinjer mellem dem som vist på figuren. Hvad gælder der om arealerne, og? Opgave 4. n kvadratisk chokoladelagkage med målene 5 cm 5 cm udskæres i syv pæne stykker som vist. er er 5 cm mellem hver af de viste markeringer. Hvilken type stykke er mindst? ) type ) type ) type ) type ) alle har samme størrelse (Georg Mohr 0, opgave 7) Opgave 5. t kæmpestort abstrakt vægmaleri er malet på et rektangulært lærred der er 4 meter højt og 8 meter bredt. å lærredet er malet nogle linjer som vist på figuren, og desuden er tre af de felter der fremkommer, malet grå. Hvad er det samlede areal af de tre grå områder (angivet i m )? meter meter 8 meter 6 meter meter meter meter (Georg Mohr 05, opgave 6) Opgave 6. I trekant er midtpunktet af, midtpunktet af og F midtpunktet af. Hvis arealet af trekant er 0, hvad er så arealet af trekant F? F ) + = ) + < ) + = ) + = ) ingen af delene (Georg Mohr 007, opgave ) (Georg Mohr 00, opgave ) 4 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

5 nsvinklede trekanter Hvis to trekanter har de samme vinkler, kaldes de ensvinklede, og forholdet mellem ensliggende sider er det samme. I geometri er det altid vigtigt at lægge mærke til om der er ensvinklede trekanter da man ved at se på forhold mellem sider kan bestemme længder på figuren. ksempel å figuren er der en retvinklet trekant hvor vinkel er ret, = 5 og = 0. Vi ønsker at bestemme længden. Opgave 7. n pæl på meter kaster skygge i lyset fra en kraftig lygte på toppen af en 0 meter høj mast, der står meter fra pælen. Hvor lang er skyggen? lygte 0 m m m? ),4 m ),5 m ) m ) 4,8 m ) 5 m (Georg Mohr 0, opgave ) 5 0 Opgave 8. Trekanterne og er kongruente (dvs. ensvinklede og lige store), og der gælder = 5 og = 4. Hvad er længden af liniestykket F? I en retvinklet trekant er summen af de to spidse vinkler 90, og det betyder at der er en masse ens vinkler som vi markerer på figuren. 5 y 0 y Nu kan vi se at trekanterne, og er ensvinklede. I trekant er forholdet mellem de to kateter. ette må derfor også gælde for trekant og trekant. Hvis vi sætter = y, er = 0 y. ermed er = y og = 0 y. Ved at løse de to ligninger med to ubekendte fås = 4. F ) 4 5 ) 4 ) 4 5 ) 4 4 ) (Georg Mohr 00, opgave ) Opgave 9. I rektanglet er = 0 og = 40. Linjestykkerne og F står vinkelret på diagonalen. Hvor langt er stykket F? 0 40 F (Georg Mohr 0, opgave 7) 5 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

6 Opgave 0. å figuren ses firkant hvor flere mål er angivet. Hvad er længden af linjestykket?? (Georg Mohr 08, opgave 7) Trekanter med vinklerne I en retvinklet trekant hvor de spidse vinkler er 0 og 60, er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste katete, og den længste katete er gange længden af den korteste katete, og dermed hypotenusen. gange længden af et kan man indse ved at spejle trekanten i den længste katete så man får en trekant hvor alle vinkler er 60, dvs. en ligesidet trekant. Find den retvinklede trekant I mange geometriopgaver er der retvinklede trekanter hvor man kender to af siderne, og dermed kan finde den tredje ved ythagoras sætning. e retvinklede trekanter er ikke altid synlige på figuren, man skal selv opdage dem! Når man leder efter retvinklede trekanter, er det vigtigt at huske at hvis en linje tangerer en cirkel, så står linjen fra centrum til røringspunktet vinkelret på tangenten. Husk desuden at hvis to cirkler tangerer hinanden, da går linjen gennem de to centre også gennem cirklernes røringspunkt a den nye trekant er ligesidet, ses det umiddelbart at den korte katete er halvt så lang som hypotenusen. en længste katete kan findes ved ythagoras sætning. Vi kalder længden af den korteste katete for og længden af den længste katete for y. a er 60 0 y = ( ) = =. et er ofte meget anvendeligt at kende disse forhold da der er mange trekanter i geometri. y 6 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

7 ksempel I en ligesidet trekant har den indskrevne cirkel radius. Vi ønsker at bestemme trekantens højde. Opgave. en viste kasse har længden 6, og endefladen er kvadratisk med sidelængde. n snor skal føres rundt om kassen fra til via forsiden, låget, bagsiden og bunden. Når vi indtegner højden, opstår der en trekant. en øverste vinkel på 60 deles nemlig i to lige store vinkler da trekanten er ligesidet. Hvis vi yderligere indtegner en linje fra centrum til røringspunktet for en af siderne, opstår der en lille trekant, da denne linje står vinkelret på siden. I denne trekant har den korte katete længde da den svarer til radius i cirklen. erfor er længden af hypotenusen, og hele højden er derfor + =. 6 Hvad er den mindste længde en sådan snor kan have? (Georg Mohr 05, opgave 8) Opgave 4. en lille cirkel har centrum og radius, og den store cirkel har centrum og radius. Linjerne l og m går gennem og tangerer den store cirkel i punkterne og. Hvad er arealet af firkant? l Opgave. I en ligesidet trekant er indtegnet tre cirkler med radius som tangerer hinanden og trekantens sider som vist på figuren. m (Georg Mohr 007, opgave 7) Opgave 5. Fire cirkler med radius tangerer hinanden og siderne i et kvadrat som vist. Hvad er sidelængden i kvadratet? Hvor stor er trekantens sidelængde? ) + ) + ) + ) 5 ) +. Opgave. n ligebenet trekant har areal 60, og højden på grundlinjen er 5. Hvad er trekantens omkreds? ) ) 4 ) + ) 4 + ) 5 (Georg Mohr 00, opgave 0) 7 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

8 kstra udfordringer Opgave 6. n bille skal kravle på ydersiden af den viste klods fra til. Hvor lang er den korteste rute? Opgave 8. n cirkel er indskrevet i trekant, hvor vinkel er ret. irklen rører trekantens sider i punkterne, og R. Vinkel i trekant R er 74. Hvor mange grader er vinkel? R (Georg Mohr 07, opgave 0) ) ) 5 ) ) + ) 5 (Georg Mohr 008, opgave 9) Opgave 9. t stykke karton med målene foldes langs diagonalen som vist. Opgave 7. å figuren ses tre cirkler der alle tangerer de to linjer. en midterste cirkel tangerer desuden de to andre cirkler Hvad er arealet af overlappet? (Georg Mohr 08, opgave 0) en lille cirkel har radius og den store cirkel radius 6. Hvad er radius af den midterste cirkel? ) ) ) 0 ) ) 4 (Georg Mohr 07, opgave 0) 8 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

9 Løsningsskitser Opgave Svar:. e tre markerede vinkler svarer til vinklerne i trekanten. ermed er deres sum 80, og altså v + w = =. Opgave Svar: 4. a en sekskant kan inddeles i fire trekanter, er dens vinkelsum 4 80 = 70. a vinklerne i sekskanten alle er lige store, er de 6 70 = 0. Opgave 4 Svar:. Kald halvcirklens centrum for O, og tegn forbindelseslinjer til de fem punkter som vist på figuren O v 0 e fire vinkler ved centrum er lige store da linjerstykkerne,, og alle er lige store. erfor er de hver 80 4 = 45. Trekant O er ligebenet da både O og O er radius i cirklen. ltså er = = 67,5. Opgave 5 Svar:. Vinkelsummen i de to trekanter tilsammen er 80 = 60. Vinkel v indgår dermed i en firkant hvor to vinkler er 0, mens den sidste vinkel er 80 0 = 78. ltså må v = = 4. Opgave Svar: 0. Vinkelsummen i en sekskant er 4 80 = 70 da en sekskant kan inddeles i fire trekanter. ermed er hver vinkel 70 6 = 0. w v I trekanten med vinklen w er den store vinkel derfor 0, mens de to små vinkler er lige store da trekanten er ligebenet. erfor er w = 80 0 = 0. Vinkel w + v er pga. symmetri halvdelen af den store vinkel på 0 som de er en del af. erfor er v + w = 60 og v = 60 w = 60 0 = 0. Summen af fire af de seks vinkler i trekanterne er derfor altid mindre end 60. ermed kan vi slutte ). Vi kan ikke slutte nogle af de andre udsagn da summen af de fire vinkler ændres afhængigt af summen af de to vinkler i midten. Hvis de f bliver meget store, bliver summen af de fire vinkler mindre end 90. Opgave 6 Svar:. irklens radius er, dvs. dens areal er π = 4π. Kald kvadratets sidelængde for. Ifølge ythagoras sætning er + = 4, dvs. = 8. Kvadratets areal er derfor 8. realet af de fire cirkelafsnit (hvor det ene er gråt), må derfor være 4π 8, og arealet af det grå område altså π. Opgave 7 Svar:. realet af den hvide cirkel er b = π = π. realet af det grå område er π π = π. ltså er a = π, dvs. a = π. et betyder at a b =. Opgave 8 Svar:. realet af kvartcirklen er π 4 = π 4. realet af cirklen med radius r er r π. ermed er r π = 4 π og altså r = 4 =. 9 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

10 Opgave 9 Svar: 00. å figuren er indtegnet et kvadrat med sidelængde 5 = 0. Opgave Svar:. Tegn en vandret streg der danner et rektangel øverst i rektangel så den grå trekant netop er halvdelen af dette øvre rektangel. realet af resten af figuren svarer nu til fire gange arealet af det grå område. et inddeles nu i to lige store rektangler som igen inddeles i to lige store trekanter som vist. a b et grå område har samme areal som kvadratet da der er to grå halvcirkler med radius 5 uden for kvadratet, og der er to hvide halvcirkler med radius 5 inden for kvadratet. ltså er arealet af det grå område 0 = 00. Opgave 0 Svar:. realet af den midterste cirkel med radius er π = π. Hver trekant må have samme areal som den grå trekant, da vi inddelte det nederste rektangel i fire lige store trekanter. lle trekanterne er retvinklede, og de har alle en katete der svarer til bredden af rektanglet. erfor må de være identiske. et betyder at b = a, og altså a b =. Opgave Svar:. å figuren er arealet inddelt i to dele. a arealet af hver af de områder er det samme, må arealet af den store cirkel være så stor som arealet af den midterste cirkel. Kald radius i den store cirkel for r. a er r π = π og altså r =. Opgave Svar:. Figurerne kloen, kammen og lynet har alle areal da de udgør halvdelen af hver af de markerede rektangler på figuren. kloen kammen lynet smilet O O Trekant og trekant har samme areal da de har samme grundlinje og samme højde. erfor har trekant O og trekant O også samme arealet. å samme måde ses at arealet af trekant O og arealet af trekant O er det samme. erfor er + =. Opgave 4 Svar:. Trekanterne af type, og har alle samme grundlinje og samme højde, og deres areal er derfor det samme. Figuren smilet har derimod et areal der er lidt større end, da smilet udgør halvdelen af de to yderste grå rektangler, mens den udgør lidt mere end halvdelen af det midterste grå rektangel. 0 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

11 Firkanten type inddeles i to lige store dele ved at indtegne diagonalen i kvadratet. Hver af de to trekanter der opstår, er halvt så store som trekanterne af type, og da deres grundlinje er halvt så stor, mens de har samme højde. erfor har stykket af type samme areal som de andre. lle stykkerne er derfor lige store. Opgave 5 Svar: 4. Trekanten der bryder farverne, har grundlinje 6 og højde 4, dvs. den har areal 6 4 =. en hvide del af denne trekant er ensvinklet med hele trekant, men halvt så lille da dens højde er. erfor er dens grundlinje 6 =, og dermed dens areal =. realet af den grå del af den omtalte trekant er altså = realet af de grå områder er derfor = 4. Opgave 6 Svar: 0. a er midtpunktet af er afstanden fra til linjen halvt så stor som afstanden fra til linjen. Trekant er derfor halvt så stor som trekant da de har samme grundlinje. erfor er arealet af trekant lig med 0 = 60. F Trekant F er halvt så stor som trekant da grundlinjen F i trekant F er halvt så stor som grundlinjen i trekant, mens højden er den samme. ltså er arealet af trekant F lig med 60 = 0. Opgave 7 Svar:. å figuren tegnes en vandret linje i meters højde så der dannes en trekant med grundlinje og højde 8. Kald desuden skyggens længde for. lygte 8 Nu har vi to ensvinklede retvinklede trekanter, og de må have samme forhold mellem de to kateter. erfor er 8 =, dvs. =. ælen kaster altså en skygge på meter. Opgave 8 Svar:. a trekant og er kongruente, er vinkel i trekant ret, = 5 og = 4. et betyder at =. F Trekant F og trekant er ensvinklede da de deler vinkel og begge har en ret vinkel. erfor er forholdet mellem kateterne i de to trekanter det samme, dvs. F = 4 5. ltså er F = 4 5 og F = F = 4 5. Opgave 9 Svar: 4. Trekant er en retvinklet trekant, og vi kan derfor benytte ythagoras sætning til at bestemme hypotenusen. = = 500 = F Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

12 Trekanterne og er ensvinklede da de deler vinkel, og begge har en ret vinkel. ermed er forholdet mellem ensliggende sider ens, dvs. forholdet mellem den mindste katete og hypotenusen er 0 50 = 5. ltså er = 5 = 5 0 = 8. å tilsvarende vis ses at F = 8. ermed er F = F = 50 8 = 4. Opgave 0 Kald midtpunktet af for M. Trekant M er ligebenet dvs. vinklerne ved og M er ens. Kald disse vinkler for v. Trekant M er identisk med trekant M, dvs. vinklerne ved M og er også v.? M 8 et betyder at vinklen ved M i trekant M er 80 v. a trekant M er ligebenet, er vinklerne ved og lige store, og da vinkelsummen i trekanten er 80, må de hver være v. ermed er trekant M ensvinklet med trekant M, dvs. at M = M og altså M = = 6 8 = 6. Opgave Svar:. å figuren indtegnes linjen mellem de to nederste linjers centre. Linjen gennem centrene på to cirkler som tangerer hinanden, går altid gennem deres røringspunkt, dvs. denne linje har længde da cirklerne har radius. esuden tegnes en linje fra hvert af de to centre vinkelret ned på trekantens side, og linjer fra centrene til trekantens vinkelspidser som vist på figuren, så der opstår to små kongruente retvinklede trekanter. Vinklerne i den store trekant er 60, og når vi danner de små trekanter halverer vi disse vinkler. erfor er de små trekanter trekanter. ltså er forholdet mellem den store katete og den lille katete, og sidelængden i trekanten er ++ = +. Opgave Svar: 50. Formlen for arealet af en trekant er = h g, hvor g er gundlinjen, og h er højden. a trekanten har højde h = 5 og areal = 60, er grundlinjen g = h = 60 5 = 4. Højden deler trekanten i to retvinklede trekanter, og da trekanten er ligebenet, deler højden grundlinjen på midten. Vi får derved to kongruente retvinklede trekanter, hvor de to kateter har længde 5 og 4 =. Vha. ythagoras kan vi nu bestemme længden af de sidste to lige lange sider i trekanten: = 5 + =. Trekantens omkreds er derfor 4 + = 50. Opgave Svar: 0. Figuren viser kassen foldet ud. 5 a snoren skal fra til langs kassen, må den korteste vej være den lige linje fra til når kassen er foldet ud. Ifølge ythagoras sætnings skal snoren derfor have en længde på mindst = 0. Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

13 Opgave 4 Svar: 08. Linjen står vinkelret på tangenten l. Når vi tegner en linje mellem de to centre, opstår der derfor en retvinklet trekant. l Opgave 6 Svar:. ette er ikke en fyldestgørende løsning, men en skitse til hvordan man bestemmer den korteste rute. For at finde den korteste rute skal man gennemgå de forskellige muligheder for at bevæge sig hen over klodsen. m I denne trekant kender vi to af sidelængderne da vi kender cirklernes radier: = + = 5 og =. Ifølge ythagoras sætning er = 5 = 9. Firkant består derfor af to kongruente retvinklede trekanter med kateterne 9 og. ltså er firkantens areal 9 = 08. Opgave 5 Svar:. Ved at tegne linjer som vist på figuren, gennem cirklernes centre opstår der en retvinklet trekant. Først ser vi på tilfældet hvor billen fra kravler hen over den lodrette flade, derefter op på den vandrette flade, op på den lodrette flade, og til slut hen over den vandrette flade til. For at finde den korteste rute i dette tilfælde folder vi figuren ud"så fladerne ligger i samme plan (se figur ). en korteste vej mellem to punkter i en plan er en ret linje, dvs. i dette tilfælde er den korteste rute + 4 = 0 = 5. 4 figur figur Trekanten er pga. symmetri ligebenet. Kald længden af kateten for. a hypotenusen har længde + =, kan beregnes ved ythagoras sætning: + =, og altså =. Kvadratets sidelængde er altså (+ ) = +. Hvis vi i stedet betragter tilfældet hvor billen kravler hen over den lodrette flade, derefter op på den vandrette flade, evt. op på den lodrette flade og til slut over på den lodrette flade til, så bliver den udfoldede figur som vist på figur. I dette tilfælde er den korteste rute en ret linje fra til, og den har længde + = 8 =. f de to ruter vi her har set på, er den sidste den korteste, da 8 < 0. Ved at gå de andre muligheder igennem ses at dette er den korteste. Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

14 Opgave 7 Svar:. Løsning : Kald radius af den mellemste cirkel for r. Hvis vi forstørrer figuren med en faktor k med udgangspunkt i sådan at den lille cirkel centrum afbildes i den mellemste cirkels centrum, da må den lille cirkel afbildes i den mellemste cirkel da de begge tangerer de to linjer som afbildes i sig selv. Tilsvarende vil den mellemste cirkel afbildes i den store cirkel ved denne forstørrelse. et betyder at k = r og k = 6 r. ermed er og altså r = = 4 =. r = 6 r r = 6 = Løsning : Kald radius af den mellemste cirkel for r. Indtegn linjer fra de tre centre vinkelret på den nederste linje, og indtegn derefter retvinklede trekanter som vist på figuren: Opgave 8 Svar: 58. emærk først at R = da R og er tangentpunkterne. erfor er trekant R ligebenet og retvinklet, dvs. de to spidse vinkler er e tre vinkler ved har sum 80, så derfor er R = = 6. Trekant er ligebenet da og er tangentpunkter. erfor er vinklerne ved og ens, dvs. = 6. Nu kender vi to vinkler i trekant, og kan derfor også finde den sidste: = = 58. Opgave 9 Svar: 000. emærk at der er symmetri gennem linjen, og at vi derfor kan inddele den grå trekant i to identiske retvinklede trekanter som vist på figuren. Vinkel i trekant fremkommer ved at papiret foldes, dvs. den svarer til vinklen ved i trekant. e retvinklede trekanter og er derfor ensvinklede, dvs. forholdet mellem kateterne i trekant må være det samme som i trekant, dvs.. Hypotenusen i den lille grå trekant har længde +r, mens hypotenusen i den store grå trekant har længde r + 6. en lille katete i den lille grå trekant har længde r, og den lille katete i den store grå trekant har længde 6 r. esuden er de to grå trekanter ensvinklede. ltså må r r = 6 r r r + 6r r = r + 6r r r =. ermed er r = = Kald længden af hypotesen i rektanglet for 4. a er =, og dermed må = da forholdet mellem kateterne i trekant er. realet af den grå trekant er derfor =. Vi kan udregne vha. ythagoras sætning: (4 ) = = og altså = (0 + 0 ) = Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Mattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer

Mattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer Mattip om Geometri former og figurer Du skal lære: At finde og tegne former og figurer Kan ikke Kan næsten Kan At beregne omkreds og areal af figurer Om forskellige typer trekanter At finde højde og grundlinje

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Geometri - Teori og opgaveløsning

Geometri - Teori og opgaveløsning Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Trigonometri - Facitliste

Trigonometri - Facitliste Trigonometri - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler Tegning Arbejds og isometrisk Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektiv Kassens højde Bundens bredde dybde Hullets diameter Afstand mellem hul og bund Højde over jorden Musvit 30 10

Læs mere

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER

Læs mere

Elevark Niveau 2 - Side 1

Elevark Niveau 2 - Side 1 Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I

OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I PLNGEOMETRI OM KPITLET I dette kapitel om plangeometri skal eleverne arbejde med trekanter og deres egenskaber. Eleverne skal kunne anvende deres viden om trekanter til at beregne afstande, som de ikke

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

Den pythagoræiske læresætning

Den pythagoræiske læresætning Den pythagoræiske læresætning 1. Udfyld skemaet herunder dvs. find den manglende hypotenuse ved a 2 + b 2 = c 2 : 1 20 21 2 12 35 3 28 45 4 56 33 5 119 120 6 168 95 7 52 165 8 207 224 9 315 572 10 627

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

På opdagelse i GeoGebra

På opdagelse i GeoGebra På opdagelse i GeoGebra Trekanter: 1. Start med at åbne programmet på din computer. Du skal sørge for at gitteret i koordinatsystem er sat til. Dette gør vi ved at trykke på Vis oppe i venstre hjørne og

Læs mere

Georg Mohr i Grundskolen ved Terese Nielsen og Signe Ammitzbøll, Science Talenter

Georg Mohr i Grundskolen ved Terese Nielsen og Signe Ammitzbøll, Science Talenter Georg Mohr i Grundskolen ved Terese Nielsen og Signe Ammitzbøll, Science Talenter *Det nationale naturfagscenter Georg Mohr Konkurrencen Årlig matematikkonkurrence med 2 runder. 15.000-20.000 deltagere

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Trekanthøjder Figurer

Trekanthøjder Figurer Trekanthøjder D E N C B F G T I H L N S J M F K ST O T I U Q R V SK X Y 97887204290_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd 24 24 /0/2 :46 M Trekanthøjder D B L F E H C G I J I L K M O R S N Y Q G Y E T U 97887204290_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger

Læs mere

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Geometri Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Om ensvinklede og ligedannede trekanter

Om ensvinklede og ligedannede trekanter Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Lær at bygge en tipi-hule af lægter og genbrugstræ

Lær at bygge en tipi-hule af lægter og genbrugstræ Lær at bygge en tipi-hule af lægter og genbrugstræ 1 Kom godt i gang! Det er en god ide at have praktisk tøj på, når man arbejder i håndværksfagene. Brug arbejdshandsker, lange bukser, lukkede sko, malertøj

Læs mere

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene. Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Tegning. Arbejds- og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn arbejdstegninger

Tegning. Arbejds- og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn arbejdstegninger Tegning Arbejds- og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning Målestoksforhold bruges når man skal vise noget større eller mindre end det er i virkeligheden.

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, basis+g ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst? Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale

Læs mere

Plangeometri FORHÅNDSVIDEN. I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan.

Plangeometri FORHÅNDSVIDEN. I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan. Plangeometri I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan. I den første del af kapitlet skal du arbejde med trekanter, hvor du skal

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri G ISBN: 978-87-92488-15 2 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Linjer. Figurer. Format 4. Nr. 14. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 17

Linjer. Figurer. Format 4. Nr. 14. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 17 Linjer Nr. 14 a a Forlæng linjerne med lineal. Mål afstanden mellem de linjer, der sandsynligvis er parallelle. Farv linjer med samme farve, hvis de er parallelle. Find parallelle linjer i tegningerne,

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

september 2012 Arbejde / Aktivitet: Differentiering/ Variationer: Supplerende akt.: Afslutning:

september 2012 Arbejde / Aktivitet: Differentiering/ Variationer: Supplerende akt.: Afslutning: G-2.57; Byg ens figurer. Faglige mål: Lektionsmål: Arbejdsform: Materialer: Ord, udtryk og symboler: Figurkendskab. Beliggenhed. At SPØRGE og SVARE i, med, om matematik. At omgås SPROG og REDSKABER i matematik.

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

RIKKE SARON PEDERSEN MICHAEL POULSEN MICHAEL WAHL ANDERSEN PETER WENG FACITLISTE TIL TRÆNINGSHÆFTE 5

RIKKE SARON PEDERSEN MICHAEL POULSEN MICHAEL WAHL ANDERSEN PETER WENG FACITLISTE TIL TRÆNINGSHÆFTE 5 RIKKE SARON PEDERSEN MICHAEL POULSEN MICHAEL WAHL ANDERSEN PETER WENG 5 FACITLISTE TIL TRÆNINGSHÆFTE 5 Kontext 5, Facitliste til træningshæfte Samhørende titler: KonteXt 5 Kernebog KonteXt 5 Kopimappe

Læs mere

ELEVFORUDSÆTNINGER OM KAPITLET PLANGEOMETRI

ELEVFORUDSÆTNINGER OM KAPITLET PLANGEOMETRI OM KAPITLET I dette kapitel om plangeometri arbejder eleverne med forskellige egenskaber ved plane figurer. I den første del af kapitlet arbejder eleverne med at finde areal af rektangler, parallelogrammer,

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere