Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 005I, Økonometri Vurderingsgrundlaget er selve opgavebesvarelsen og bilaget, inklusive det afleverede SAS program. Materialet på diskette/cd bedømmes som sådan ikke, men er anvendt fx til at opklare eventuelle følgefejl og lignende i besvarelsen og til at checke at opgaven er besvaret individuelt. Ved bedømmelsen bliver der taget udgangspunkt i den anførte vægtning af opgaverne. Der indgår en vurdering af, om besvarelsen samlet set er konsistent og formår at belyse den overordnede problemstilling indenfor de angivne rammer. Besvarelsen må højest fylde 6 sider (inkl. forsiden) og derudover 5 sider bilag. Overskridelser skal vægtes negativt i den samlede bedømmelse. Hvor der udføres hypotesetest forventes der redegjort for de opstillede hypoteser, hvilken teststatistik der anvendes og dens fordeling samt signifikansniveauet for testet (i rettevejledningen benyttes 5% signifikansniveau hvis ikke andet er nævnt). Opgaven er besvaret ud fra individualiserede datasæt. I vejledningen er angivet konkrete numeriske resultater og konklusioner på grundlag af eksamensnummer. Resultater for andre eksamensnumre kan fås ved at køre det vedlagte SAS program VEJL005I.sas med de makro- og datafiler, der blev udleveret sammen med opgaven. Det kan lede til andre konklusioner på visse test, som så vil være korrekt svar for det pågældende eksamensnummer. Opgave a. i) Der skal redegøres for, at parametrene indgår i model (.) som er en lineær (i parametrene) regressionsmodel og at de kan fortolkes som en partiel alt-andet-lige effekt på den forventede værdi af vækstraten ved én enheds ændring i en forklarende variabel. Det skal gøres explicit i forhold til de enheder, som variablerne er målt i. For δ skal det også bemærkes at effekten må ses i forhold til referencekategorien for dummyen. β 0 og β må fortolkes under ét idet β er koefficient til interaktionseffekten. ii) β 4 er koefficienten til interaktionsleddet mellem ethnf og assassin. Fortegnet skal begrundes, fx således: Både etnisk fraktionalisering og attentater påvirker den økonomiske vækst negativt på grund af potentielt mere social uro og øget risiko for at udbyttet af investeringer tilfalder andre; der er ikke i materialet nogen konkrete pejlemærker for interaktionseffekten, altså om effekten af en given ændring i attentatniveauet må forventes at blive forstærket, hvis der er høj grad af etnisk fraktionalisering, men det virker plausibelt at antage β 4 < 0. β er den helt centrale interaktionseffekt mellem politik og bistand og der bør refereres til Burnside og Dollars hypotese, at jo højere policy score, jo mere effektiv er u-landsbistanden, altså at β > 0. b. i) En tabel med udvalgte karakteristika, fx gennemsnit, varians (eller standardafvigelse), evt. min og max af vigtige variable. Udvalget af variabler bør begrundes. En kort diskussion af data, fx bemærkes meget stor variation i vækstraterne, en negativ observation af u-landsbistand, og negative værdier af policyvariablen.
Opgave ii) Dummyvariablerne easia og ssa giver opdelingen på grupper. Beregnede gennemsnit skal opstilles i en tabel. Forskelle mellem landegrupperne og udviklingen over tid og eventuelle sammenhænge bør nævnes. Evt. angives også antallet af lande i de enkelte kategorier/perioder (antallet varierer over tid). a. i) Parameterestimater skal angives. Det er OK at kommentere fortegn med fornødne forbehold, men der bør ikke kommenteres på signifikans af estimaterne så længe gyldigheden af estimatet af OLS variansen ikke er checket. ii) Givet MLR. MLR.4 er OLS middelret og konsistent. Egenskaberne sikrer at OLS giver et godt estimat i den forstand, at man i gennemsnit vil ramme den sande værdi af parametrene, men siger ikke noget om, hvorvidt spredningen omkring den sande værdi er stor eller lille (MLR.-5 ville have givet os egenskaben bedst blandt lineære middelrette estimatorer). b. i) Grafisk analyse: Som minimum forventes et kommenteret plot af residualerne mod den predikterede vækstrate. En fuldstændig besvarelse bør også udvælge og begrunde plot imod centrale forklarende variabler. ii) Breusch-Pagan test for heteroskedasticitet: Ud over de generelle krav vedrørende rapportering af hypotesetest skal en fuldstændig besvarelse beskrive hjælperegressionen, der ligger til grund for testet (enten LM eller F-test) og redegøre konkret for, at nulhypotesen om homoskedasticitet ikke kan afvises hverken af LM- eller F-testet. c. Man skal i ord klart formulere konklusioner på baggrund af testene. Der bør gøres rede for, at man kan benytte OLS estimaterne og deres almindelige standardfejl da MLR.-5 er opfyldt. Der gælder de generelle krav vedrørende rapportering af hypotesetest. i) Der er konvergens når β < 0 hvorfor der vælges et enkeltsidet alternativ til nulhypotesen. Dette skal fremgå eksplicit. Der bør anvendes et t-test og t-størrelsen aflæses af regressionsoutput. Nulhypotesen kan ikke afvises, altså ingen konvergens. ii) Testet foretages som et F- test af restriktionerne under ét, altså β = β3 = β4 = β6 = 0 overfor at mindst én er forskellig fra nul. Hypotesen kan ikke afvises og kontrolvariablerne yder således ikke noget signifikant bidrag. iii) Testet formuleres som eksklusionsrestriktion på td og td3, δ = δ3 = 0, idet 90-3 er referencekategori. Udføres som et F- test af restriktionerne under ét. Hypotesen kan afvises, der er altså alt andet lige forskelligt niveau for vækstraten i mindst en af de to perioder i forhold til 90-3. Her kan trækkes en linie til de forskelle over tid, som blev konstateret i Opgave.b og som altså ikke alene forklares af udviklingen i de forklarende variabler. Restriktionen under c.ii) pålægges i resten af opgave.
d. i) Bistand indgår direkte og gennem interaktionsleddet med politikvariablen. For at teste om u-landsbistand har effekt overhovedet skal begge led restrikteres til nul, β0 = β = 0. Testes overfor at en af koefficienterne er forskellige fra nul med et F-test. Nulhypotesen kan ikke afvises. Det kan bemærkes at aid variablen i sig selv er meget lidt signifikant ud fra et t-test. ii) Spørgsmålet kan fortolkes ud fra diskussionen under Opgave.a, som leder til forventningen at β > 0, derfor relevant at teste overfor et enkeltsidet alternativ. Koefficienten til interaktionsleddet er signifikant positiv. God politik svarer til en højere score, men det bør bemærkes, at policy variablen også antager negative værdier. Modellen tillader altså tilfælde, hvor politikken er så dårlig at en positiv ændring af u-landsbistanden virker dæmpende på væksten. e. Her skal testes for, om interaktionsleddet mellem aid og policy har forskellig effekt før og efter 98. Der skal konstrueres et nyt interaktionsled fx for anden halvdel af perioden: aidpol893 = ( td4 + td5 + td6)* a _ policy. Nulhypotesen er ingen forskel mellem første og andel delperiode svarende til at aidpol 893 ikke er signifikant, hvilket ikke kan afvises. f. i) Formålet med de robuste standardfejl og hovedtræk i beregningen bør forklares i ord. En fuldstændig besvarelse indeholder også en kommenteret formel for beregningen. Den gennemgående antagelse i Opgave.c-g. er at der er homoskedasticitet og dermed ikke behov for at anvende robuste standardfejl. Antagelsen kan vurderes ud fra spørgsmål c. ii) De robuste standardfejl skal beregnes og rapporteres i en tabel og sammenlignes med de almindelige OLS standardfejl. iii) Spørgsmålet vedrører begge hypoteser fra Opgave.d. Det fælles test for eksklusion af de to aid relaterede variabler er signifikant på grundlag af den robuste kovariansmatrice. Interaktionseffekten bliver isoleret set også mere signifikant. Det skal konkluderes, at resultaterne giver mere støtte til Burnside-Dollar hypotesen. g. i) Der skal foretages en konkret beregning på grundlag af de estimerede værdier af β 0 og β, hvor growth = ˆ β ˆ 0.00 0.90.5.5 0.6 0 aid + β policy aid = + = som er udtrykt i procent. Niveaueffekten kan evt. ignoreres. ii) Beregnede gennemsnit opstilles i en tabel. Væksteffekten ved gennemsnittet for hver gruppe/periode beregnes ud fra den tilsvarende formel som under i). iii) Besvarelsen bør diskutere forskelle mellem landegrupper og udviklingen over tid i relation til den tabel, der blev opstillet i Opgave.b. Bistanden bliver over tid i højere og højere grad blevet givet til lande (Afrika syd for Sahara), hvor den beregnede effekt er lille på grund af dårlig politik. Fordelingen er i den forstand blevet mindre efficient. Et muligt forbehold overfor analysen er, at der ikke indgår de samme lande i hver periode. Udviklingen kunne således blandt andet tilskrives, at de lande der kommer ind eller forsvinder ud afviger systematisk fra resten uden at der sker nogen reel ændring for de enkelte lande. Besvarelsen bør i det mindste diskutere, om der er forbehold.
Opgave 3 a. Besvarelse af dette spørgsmål forudsætter, at man konstruerer variablerne aid og laid. i) Bistandseffekten er kvadratisk: α6aid + α aid. Hvis det antages at α 6 > 0 og α < 0 er * α6 det en konkav funktion med maksimum i aid =, hvor det samlede bidrag af α bistanden til vækstraten er størst. Bidraget fra bistandsleddene er nul for aid = 0 og for α6 aid =, hvilket betyder at bistand ud over sidstnævnte niveau principielt vil stille landet α ringere end uden bistand. Antagelserne om de sande værdier af α6 og α skal fremgå. ii) Opgaveteksten påpeger en udeladt variabel forklaring som kilde til korrelation mellem fejlleddet i modellen og omfanget af u-landsbistanden, som optræder på højresiden i form af aid variablerne. Hvis der er korrelation vil OLS ikke give konsistente (eller middelrette) estimater. iii) Det skal forklares at de foreslåede instrumenter () ikke må være korrelerede med fejlleddet i modellen (dvs. givet de forklarende variabler i (.) må de ikke være korrelerede med vækstraten) og () skal være korrelerede med de endogene forklarende variabler, givet de exogene forklarende variabler i (.). Desuden må instrumenterne ikke være perfekt korrelerede indbyrdes eller i forhold til de exogene forklarende variabler i (.). Betingelse () kan testes og bliver det i det følgende spørgsmål. En diskussion af betingelse () kræver et bud på, hvad der er årsag til korrelation mellem fejlleddet og aid variablerne. Den fuldstændige besvarelse bør derfor indeholde et bud (fx gamle kolonimagters forkærlighed for gamle kolonier kombineret med institutionelle forhold fra kolonitiden, hvis effekt på vækstraten kun delvist opfanges af icrge). iv) Der skal estimeres reducerede forms ligninger med OLS både for aid og aid. Det skal klart formuleres, om den nødvendige korrelation er til stede i forhold til betingelse (). v) Der skal udføres en OLS regression hvor (.) udvides med residualerne fra de reducerede former estimeret under iv). Hjælperegressionen skal beskrives og signifikansen af de tilføjede residualer skal testes. Aid variablerne kan afvises at være exogene og det er nødvendigt at bruge IV estimation for at få konsistente parameterskøn. vi) Resultaterne af IV estimationen skal rapporteres i en tabel med korrekte standardfejl. vii) Gyldigheden af to overidenticerende restriktioner skal testes med en hjælperegression af IV-residualet på samtlige exogene variabler. Teststørrelsen er nr fra hjælperegressionen, som skal beskrives. Testet kan ikke afvise gyldigheden af de overidenticerende restriktioner. viii) Der skal foretages et samlet test af signifikansen af aid og aid ud fra IV-resultaterne. Der skal konkluderes at effekterne samlet set er meget signifikante og at u-landsbistanden dermed har en effekt på vækstraten. Den marginale effekt er negativ når bistanden når ud over aid*, hvilket beregnet ud fra IV estimaterne bliver ca. 9,5 procent af BNP. Maksimum
for aid ligger lige akkurat under dette niveau (jf fx tabellen i Opgave.b.i). Der er altså ingen lande eller perioder i data, hvor den marginale bistandskrone decideret har medvirket til at reducere vækstraten. Det bør dog bemærkes, at estimatet for aid* bygger på et upræcist estimat af α. b. Teoriopgave: i) Within estimatoren for model (.3) er baseret på regressionsligningen: gi ( gi gi ) g g = δ ( d d) + β ( aid aid ) + u u (*) it i t it i it i hvor = + og tilsvarende for de øvrige variabler. Det er tilstrækkeligt at konstatere at Within estimatoren er OLS estimatoren for denne ligning. ii) Within estimatoren er konsistent under betingelserne FE.-4 i Wooldridge. Der bør være mere end en generel henvisning, idet opgaven kræver en diskussion af betingelserne. En fuldstændig besvarelse kræver at betingelserne gøres konkrete i forhold til modellen (.3). Det kan bemærkes at stærk exogenitetsbetingelsen FE.3 kan løsnes til et krav om at uit, t =,, er ukorrelerede med aidi og aidi, givet den individuelle effekt, a i. iii) Førstedifferens (FD) estimatoren er OLS estimatoren baseret på ligningen: g g = δ + β ( aid aid ) + u u (**) i i i i i i hvilket udnytter at d = 0 og d = for alle i. At vise at Within og FD er identiske for T= svarer til at vise at ligninger (*) og (**) er ækvivalente. Først ser vi på between ligningen for de individuelle gennemsnit som fremkommer ved at addere (.3) i de to perioder og dividere med to: gi + gi = β0 + δ( d+ d ) + β( aidi + aidi) + ai + ( ui + ui) Denne ligning trækkes fra (.3) for at få Within ligningen jf. (*), fx i periode : gi gi gi = β0 β0 + δd δ( d+ d ) + βaidi β( aidi+ aidi) + ai ai + ui ( ui + ui) gi gi = δ( d d ) + β( aidi aidi) + ( ui ui) ( id aid ) + u u gi gi = δ+ β a i i i i Som netop er FD ligningen (**). Sidste trin ganger igennem med -/ og udnytter at d = 0 og d = for alle i. Tager man udgangspunkt i Within ligningen for periode får man præcist samme udtryk. For T= er de to estimatorer OLS på identiske ligninger og derfor ækvivalente.
Opgave 4 iv) Sammenlignet med de modeller, der lå til grund for de empiriske analyser i Opgave og 3.a har (.3) her udeladt forklarende variabler, som viste sig at være signifikante. Det skal bemærkes at dette potentielt er kilde til inkonsistens fordi aid givetvis vil være korreleret med disse variabler. Det bør også diskuteres, at Within estimation baseret på (.3) vil være immun overfor udeladte variabler som ikke varierer over tid, men at mange af de nævnte udeladte variabler er tidsvarierende, så det afhjælper generelt ikke konsistensproblemet. a. Citatet er fra en artikel af Carl-Johan Dalgaard, Henrik Hansen og Finn Tarp i Economic Journal i 004, som blandt andet diskuterer anvendelsen af variablen andelen af landet der ligger i den tropiske zone (tropicar) og dens interaktion med aid variablen. Citatet tager udgangspunkt i, at tropicar har en direkte effekt ( direct bearing ) på vækstraten. I forhold til modellerne (.) og (.) betyder det, at der meget vel kan være udeladt variabel bias i disse regressioner. Konkret vil OLS estimatoren baseret på (.) være inkonsistent, hvis en eller flere af de forklarende variabler er korrelerede med tropicar (hvilket er sandsynligt og kan efterprøves). IV estimatoren baseret på (.) vil være konsistent, hvis det kun er de endogene forklarende variabler aid og aid der er korrelerede med tropicar. Hvis de exogene forklarende variabler og/eller instrumenterne fra Opgave 3.a er korrelerede med tropicar (hvilket igen er sandsynligt og kan efterprøves), vil resultatet igen være inkonsistens fordi tropicar indgår som en del af fejlleddet u i (.). Citatet nævner en alternativ forklaring, at effekten af tropicar alene går via institutionelle forhold, som i modellerne. og. er repræsenteret af variablen icrge. I så fald vil icrge fange effekten af tropicar som således ikke optræder som en del af fejlleddet u i (.) eller (.) og derfor ikke giver anledning til problemer. Der skal konkret tages stilling til at den bedste anvendelse af tropicar er som en forklarende variabel direkte i ligningen for at sikre konsistens blandt andet af estimatet af effektiviteten af u-landsbistanden. Citatet fastholder at variablen kan betragtes som exogen. Den bør ikke i sig selv give anledning til endogenitetsproblemer, men i det omfang at aid betragtes som endogen regressor i regressionsmodellen må dette også gælde for interaktionsleddet mellem aid og tropicar. b. Der skal tages konkret udgangspunkt i de modeller og datasæt, der blev analyseret i Opgave.d. og 3.a. Derfra er opgaven relativt åbent formuleret, men svaret skal være relateret til diskussionen i Opgave 4.a. og konkret afspejle, at tropicar og dens interaktion med aid variablen er potentielt udeladte variabler. Der skal laves to separate analyser under i) og ii), som belyser hhv. signifikans af politikafhængighed og eksistensen af en kvadratisk effekt i u-landsbistandens effektitivitet. Det vejledende SAS-program implementerer følgende forslag: i) En simpel udvidelse af (.) i restrikteret version men fortsat baseret på de antagelser, der blev gjort i Opgave. Giver som resultat, at a_policy nu ikke længere er signifikant. Det er tilgæld interaktionen a_tropicar. Med robuste standardfejl er effekten af a_policy dog tæt på at være signifikant på et 5 pct. signifikansniveau.
Opgave 5 ii) Analysen i Opgave 3.a. kan udvides med de to variabler i ligningen, hvor a_tropicar så må instrumenteres. Det virker naturligt at definere et yderligere instrument i form af variablen fra den foregående period, la_tropicar. Aid er nu mere signifikant ligesom a_tropicar bliver det mens der ikke er megen evidens for nogen kvadratisk effekt. a. Denne del af opgaven bør fremstå som en samlet og overskuelig konklusion på hele opgaven. I besvarelsen skal der demonstreres overblik over de forskellige modeller for vækstraten og evne til at lave overskuelige tabeller, som udvælger og sammenholder de vigtigste analyser fra Opgave, 3 og 4. Kommentaren skal være fokuseret på de centrale variabler i analysen (u-landsbistanden, politikafhængighed, marginale effekt af bistanden). Der skal være en klart formuleret konklusion for, hvad der er det (eller de) foretrukne estimat(er) og om der er en signifikant effekt af u-landsbistand på vækstraten. b. I analysen skal implikationerne diskuteres både ud fra de empiriske analyser og det udleverede bilagsmateriale. I forhold til fordelingen af u-landsbistanden over lande bør det indgå i diskussionen, hvad der er virkningen af at gøre u-landsbistanden afhængig af den førte politik, hvis den sande effekt ikke er politikafhængig, men afhænger af naturgivne forhold som fx landets geografiske placering.