Økonometri 1. FunktioneI form i den lineære regressionsmodel 19. oktober Dagens program

Transkript

1 Dagens program Økonometri 1 FunktioneI form i den lineære regressionsmodel 19. oktober 004 Mere om funktionel form (kap 6.) Log transformation Kvadratisk form Interaktionseffekter Goodness of fit (kap. 6.3) Prediktioner (kap 6.4) Kvalitative variable (kap 7.1) regressionsmodel 1 regressionsmodel Funktionel form Funktionel form: Log-transformation MLR forudsætter, at modellen er lineær i parametrene. Men ikke i variablerne. Funktionel form: Fortolkningsmæssige konsekvenser! Tre vigtige tilfælde: Log-transformation Kvadratiske led Interaktionsled Brugen af log-transformation: Absolutte ændringer i logtransformeret variabel svarer til relative ændringer i den originale variabel. Økonomisk teori ofte udtrykt i afkast-størrelser (% pr. år): BNP vækstrate: Relativ tilvækst i realt BNP fluktuerer nogenlunde konstant omkring et niveau på ca. % pr. år over længere perioder: Tidsrækkemodeller Egenkapitalforrentning ( return on equity, Ex..3,.6,.8): Store virksomheder har (gennemgående) store overskud (målt i kr.), små virksomheder har (gennemgående) små overskud. Mere relevant: Overskud i forhold til størrelsen af den indskudte kapital, en relativ størrelse. Variansen på en størrelse kan afhænge af niveauet: Relativ varians er mere stabil (RoE ex). regressionsmodel 3 regressionsmodel 4 1

2 Funktionel form: Log-transformation (fortsat) Funktionel form: Kvadratiske led Model Afhængig Forklarende Hældning x citet y/ y Elasti- y/ x variabel variabel x Lineær Log-lin Lin-log Log-lineær y Log(y) y Log(y) x x Log(x) Log(x) $ 1 $ 1 y $ 1 /x $ 1 y/x $ 1 x/y $ 1 x $ 1 /y $ 1 Aftagende eller stigende marginaludbytte/-effekt: Fx kvadratisk Engelkurve: Andelen til mad aftagende, men flader ud. y = β + β x + β x + u i 0 1 1i 1i i Multipel regressionsmodel: Men alt andet lige betragtning med omtanke. y ( ˆ β1x1 + ˆ βx1 ) = ˆ β1 + ˆ βx1 x1 x1 Effekt af ændring af afhænger af udgangsværdien af x 1 Evalueres ved relevant værdi, fx. Extrapolation! x 1 x 1 regressionsmodel 5 regressionsmodel 6 Funktionel form: Interaktionsled Goodness-of-fit Marginal effekt af at ændre værdien af en forklarende variabel, x, afhænger af værdien af fx x : Fx kan 1 afkastet af erfaring variere med uddannelse: yi = β0 + β1x1 i + βxi + β3x1 ixi + ui Igen: Multipel regressionsmodel: Men alt andet lige betragtning med omtanke. y ( ˆ β + β + β 1x ˆ 1 x ˆ 3x1x) = ˆ β + ˆ β3x1 x x Evalueringspunktet vælges med omhu. R er et mål for modellens forklaringsgrad. Øges når der tilføjes variabler til modellen (med mindre de er perfekt kollineære med eksisterende regressorer). Uegnet til modelvalg. Høj R er ikke nødvendig for en brugbar model. Korrigeret R, betegnet R, straffer for at selvom større modeller tilpasser data bedre, sker dette ved hjælp af flere forklarende variabler. SSR /( n k 1) R = 1 SST /( n 1) Tæller og nævner korrigeres for frihedsgrader >< R regressionsmodel 7 regressionsmodel 8

3 Goodness-of-fit (fortsat) Goodness-of-fit (fortsat) Hvis en variabel tilføjes til modellen vil R øges hvis og kun hvis variablen har en t-værdi, der (numerisk) overstiger 1. Svarer til at lave et to-sidet signifikanstest med et signifikansniveau over 30 %! R bruges i nogle tilfælde til at sammenligne ikkenestede modeller, hvor den ene model er ikke et specialtilfælde af den anden. Men begrænsninger: Samme venstre-side variabel (samme funktionel form). Hvor mange variabler skal med i modellen? Overvej hvilke variabler der fortolkningsmæssigt giver mening. Ofte flere praktiske mål for samme teoretiske størrelse: Problematisk at inkludere flere mål og så lave alt-andet-lige betragtning. Høj korrelation mellem forklarende variabler giver multikollinearitetsproblem: Svært at skelne effekterne af de enkelte variabler fra hinanden. Har man mulighed for at tilføje variabler, der er ukorrelerede med de allerede inkluderede, vil det entydigt nedbringe residualvariansen og give mere præcise estimater. regressionsmodel 9 regressionsmodel 10 Prediktioner (forudsigelser) Prediktioner (forudsigelser) Punktprediktion fra MLR: Tilpassede værdi: y ˆ = ˆ β0 + ˆ β1x1 + ˆ βx ˆ β x k k MLR.3: For givne værdier af x1, x,..., xk et estimat af: Ey ( x) = ˆ β 0 + ˆ β 1x1 + ˆ β x ˆ β kxk ŷ er en estimator af den sande (men ukendte) middelværdi. For givne værdier af x har 1, x,..., xk prediktionen en standardfejl, der er afledt af standardfejlene på OLS estimaterne ˆ β0, ˆ β ˆ 1,..., βk. Udregning af standardfejl på prediktionen: Metoden beskrevet i Wooldrigde (side 03) Vha. covariansmatricen (prediktionen er en lineære kombination af parametreestimaterne Kan vises at standardfejlen på prediktionen er mindst når x1, x,..., xk sættes lig deres gennemsnit. regressionsmodel 11 regressionsmodel 1 3

4 Prediktioner (forudsigelser) (fortsat) Prediktioner (forudsigelser) (fortsat) Ofte af interesse at konstruere et konfidensinterval ŷ for en tænkt enhed (husholdning, virksomhed, ) med nogle givne karakteristika: x1, x,..., xk 0 Må også tage højde for variansen af fejlleddet, u Prediktionsfejlen er: eˆ 0 = y yˆ0 = β0 + β1x1 + βx β ˆ kxk + u y0 ˆ ˆ 0 ˆ 0 0 = ( β0 β0) + ( β1 β1) x ( βk βk) xk + u 0 OLS er middelret og Eu ( X ) = 0så Ee ( ˆ0 X ) = 0 0 Prediktionsfejlsvariansen: u ukorreleret med ŷ0 så variansen splitter op i to komponenter: Var( eˆ ) = Var( yˆ ) + Var( u ) = Var( yˆ ) + σ Vil ofte være domineret af σ leddet (især for store n) Prediktion af afledte variabler: Fx Y når vi modellerer y=log(y). Husk at generelt Ef (( y)) fey ( ( )) med mindre f( ) er lineær. For log-transformation: yˆ = exp( ˆ σ / )exp(log y ) regressionsmodel 13 regressionsmodel 14 Kvalitative variabler som forklarende variabler i en lineær regressionsmodel Wooldridge afsnit Kvalitative variabler generelt Dummy variable for kvalitative variable med to kategorier Dummy variable for kvalitative variable med flere end to kategorier Interaktionsled med dummy variable Kvalitative variabler Indtil nu har vi (hovedsagligt) set på kvantitative variabler (løn, priser, forbrug, indkomst).. Men hvad med kvalitative variabler? Kvalitative variabler: Diskrete variabler Eksempler: Køn Kommune Sektor Arbejdstid (ikke arbejde, halvtid, fuld tid) Helbred (dårligt, middel, godt) regressionsmodel 15 regressionsmodel 16 4

5 Kvalitative variabler Kvalitative variabler med to kategorier I nogle tilfælde kan udfaldene af den kvalitative variabel rangordnes. Variablen kaldes så for ordinal Eksempler: arbejdstid og helbred For kvalitative variabler med to kategorier laves ofte en dummy variabel Dummy variabler Diskret variabel Antager kun værdien 0 og 1. Normalt antages værdien 1, når egenskaben er tilstede, f.eks. kvinde=1 når person er kvinde ellers 0 Dummy variable benyttes meget i regressionsmodeller Kategorien hvor Dummy = 0 kaldes reference-kategorien Dummy variable kaldes også for indikator variable og binære variable regressionsmodel 17 regressionsmodel 18 Kvalitative variable med to kategorier Kvalitative variabler med to kategorier Dummy variable kan inkluderes i den multiple regressionsmodel som alm. forklarende variable Eks: lønrelationen log timeloni = β0 + β1uddi + βerfaringi + β3kvindei + εi hvor kvinde er en dummy variabel Lønforskellen mellem mænd og kvinder (med samme uddannelse og erfaring) og når antagelse MLR. 3 er opfyldt E(log( timelon ) udd, erfaring, kvinde = 1) E(log( timelon ) udd, erfaring, kvinde = 0) = β i i 3 Fortolkning af parameteren til dummy variablen: Parameteren til dummy variablen måler forskellen mellem de to kategorier Inkludering af en dummy variabel kan grafisk fortolkes som et skift i konstantleddet..men afkast af de øvrige forklarende variabler er de sammen for de to grupper Hvis den afh. var. er lineær -> parameteren fortolkes som en absolut forskel mellem to kategorier (når man kontrollerer for øvrige forklarende variable) Hvis den afh. var. i log -> parameteren fortolkes som en ca. procentuel forskel mellem to kategorier (når man kontrollerer for øvrige forklarende variable) Vil man have den eksakte procentuelle forskel skal følgende formel anvendes 100*[exp( β ) 1] regressionsmodel 19 regressionsmodel 0 5

6 Kvalitative variabler med to kategorier Evaluering af programmer Valg af referencegruppe: Hvad hvis vi i stedet havde inkluderet en dummy for mand? Man kan blot omparametrisere så får man den samme model (Husk mandi + kvindei = 1 ) Begge variable kan ikke inkluderes (hvis der også er et konstantled i modellen) -> Perfekt multikollinaritet Et meget vigtigt eksempel på dummy variabler er program evaluation Eks: Effekten af jobtræningskurser Simpelt tilfælde: to grupper Treatment (forsøgs-) gruppen: dem som deltager i programmet control (kontrol) gruppen: dem som ikke deltager Parameteren til dummy variablen for treatment gruppen måler effekten af at have deltaget Det er dog meget tit at denne variabel er endogen (pga. den måde økonomiske data fremkommer) regressionsmodel 1 regressionsmodel Næste gang: Husk næste forelæsning er TORSDAG d 1/10 kl i Ho10 Mere om kvalitative variable (kap 7) Husk eksamenstilmelding regressionsmodel 3 6