Projekter i Hvad er matematik? C - opdelt efter kapitler.

Projekter i Hvad er matematik? C - opdelt efter kapitler. Kapitel 0. Hvad er matematik? Projekt 0.1 Flatland. Kan du forestille dig det? Bogen Flatland udkom i 1884, og er en samfundssatire over forholdene under Victoriatiden, specielt kvindesynet og klasseopdelingen. Men kritisk samfundsdebat var ikke velset dengang, så Abbott valgte at formulere sin kritik i en meget speciel form, nemlig som en undersøgelse af dimensionsbegrebet. Det sker i en beskrivelse af, hvor svært det for fladlændere i en flad verden at forestille sig en større (tredimensionel) verden. Projekt 0.2 Eulers polyedersætning. Kan du bevise det? Eulers polyedersætning er en meget mærkelig formel, som fortæller at (næsten) uanset hvordan man laver et polyeder, så vil alle opfylde samme formel, der binder antallet af hjørner, kanter og flader sammen i ét tal. Projekt 0.3 Hanoi-tårnet. Kan du regne den ud? Tårnet i Hanoi består af 64 runde skiver, den ene lidt mindre end den anden, som stablet op på en pind ligner en kegle. Ved siden af er der to tomme pinde. De 64 skiver skal flyttes over på en af de andre pinde, en af gangen, således at der aldrig ligger en større skive ovenpå en mindre. Ifølge en gammel Indisk legende, har Brahminske præster i generationer afløst hinanden i templet i Benares, hvor de har flyttet på det hellige Brahmatårn med 64 etager af guld besat med diamanter. Når flytningen er fuldbragt, vil såvel tårnet som de Brahminske præster forsvinde, og verden vil gå under. Projekt 0.4 Fødselsdagsparadokset. Skal vi tro på det? De fleste har en klar fornemmelse for, hvad sandsynligheden for at slå en sekser er. Måske også, hvad sandsynligheden for at få to seksere, når vi kaster to terninger. Hvis det koster en krone at deltage, og gevinsten er en tier, vil du så deltage? Vil du, hvis gevinsten er 50 kr.? Men hvad med følgende: Du vælger en tilfældig 1.g klasse og vil undersøge om der findes to elever, der har fødselsdag samme dag. Hvad er mon sandsynligheden for det? Din lærer tilbyder et væddemål: Det koster dig 10 kr. at få udleveret en klasseliste og undersøge det. Hvis du finder et sådant par, får du 30 kr. ellers har du tabt. Vil du spille? Det får du svaret på her. Kapitel 1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner Projekt 1.1 Densitet (NV, fysik og kemi) Densiteten af en ukendt væske fastlægges ved at måle sammenhørende værdier af rumfang og masse. 1

Projekt 1.2 Det er nerver alt sammen (NV, biologi) Hastigheden for et nervesignal fastlægges ved at sende et signal gennem en kæde af elever, der klemmer hinanden i hænderne eller på hinandens skuldre. Projekt 1.3 Dig og din puls (NV, biologi og idræt) Konditallet fastlægges ved at måle sammenhørende værdier af effekt og puls hos en elev, der cykler på en kondicykel. Projekt 1.4 På jagt efter lineære sammenhænge (samfundsfag) Dette er et projekt om alskens sammenhænge og lineære regressioner. Klassen kan evt. opdeles i grupper, der arbejder med forskellige sammenhænge. Projekt 1.5 Hunden og haren En gammel middelalderopgave handler om en hund, der jager en hare. Hunden løber hurtigere og fanger derfor haren. Men hvor mange spring skal den bruge? Projekt 1.6 Lær dit værktøj at kende undersøg rektanglers variable Et rektangel kan beskrives ved forskellige variable, fx længde, bredde, omkreds og areal. Hvilke sammenhænge er der mellem disse variable? Projektet tager også sigte på at vi lærer værktøjsprogrammet at kende. Projekt 1.7 Spaghettimatematik (især til B og A) Brækker man et stykke spaghetti i tre stykker, kan de tre stykker måske samles til en trekant knækker man en hel pakke, vil kun en brøkdel af de brækkede stykker kunne samles til en trekant - men hvilken brøkdel? Kapitel 2. Beskrivende statistik Projekt 2.1. Spillerbudgetter i superligaen Et lille projekt med en statistisk undersøgelse af spillerbudget i sæsonen 2009-10 for de 12 superligaklubber Projekt 1.2. Løbetider ved Copenhagen Marathon 2009 I bogens tekst undersøgte vi mændenes løbetider. Vi undersøger nu hele materialet nærmere med udgangspunkt i kvindernes løbetider. 2

Projekt 2.3. Titanics forlis (med data for nationalitet og for køn) I bogens tekst undersøgte vi sammenhængen mellem passagerernes skæbne ved forliset, og den klasse, de boede på. Men der er mange andre variable, der kan tænkes at have haft indflydelse på passagerernes skæbne. Vi dykker ned i materialet. Projekt 2.4. Menneskets proportioner Et projekt hvor eleverne gennemgår de statistiske begreber og metoder og selv opstiller spørgsmål og hypoteser ud fra en række målinger på deres egne proportioner som højde, spændvidde, navlehøjde, vægt mv. Eleverne undersøger bl.a. hypotesen: Legemshøjde er lig spændvidde. Projekt 2.5. I krig med Florence Nightingale. To understand God's thoughts we must study statistics, for these are the measure of His purpose, udtalte Florence Nightingale på et tidspunkt. I forlængelse af kapitlets indledende afsnit dykker vi ned i Florence Nightingale s statistiske materiale og hører om hendes egne overvejelser. Projektet kan laves i samarbejde med historie og engelsk. Projektet er delvist engelsksproget. Projekt 2.6. Lysets hastighed. Et projekt evt. i samarbejde med fysik, hvor man bl.a. gennemfører en statistisk undersøgelse af de originale 66 præcisionsmålinger af lysets hastighed, som Newcombe foretog i perioden juli-september 1882. Newcombe samarbejdede med Michelson, der var den første som designede sådanne forsøg. Projekt 2.7. Rayleighs data ved bestemmelsen af densiteten af kvælstof Et projekt evt. i samarbejde med kemi, hvor man arbejder med de originale data fra Rayleighs forsøg, hvor han 1890 erne bestemte densiteten af kvælstof (nitrogen). Vi dykker ned i hans egne forsøg på at tolke sine undersøgelser og hans overvejelser om en forklaring på afvigelser fra det forventede, der siden førte frem til opdagelsen af ædelgassen Argon. Kapitel 3. Geometri konstruktion og beregning Projekt 3.1. Pyramidestub og cirkelarealer (især for A-niveau) De ægyptiske matematikere kunne beregne rumfanget af en pyramidestub. Dette er et lille projekt om den ægyptiske og den moderne metode til beregning af rumfang af pyramidestub og af areal af cirkler. 3

Projekt 3.2. Tunnelen på Samos For 2500 borede indbyggerne på Samos en tunnel på godt 1 km gennem et bjerg. Dette projekt indeholder et materiale herom og lægger op en diskussion af, hvordan de kunne have løste denne enorme opgave. Projekt 3.3. Linjer og cirkler ved trekanten Et projekt i tilknytning til afsnit 3.4. Med et værktøj undersøges midtnormaler, vinkelhalveringslinjer, højder og medianer i trekanter og samt de tilhørende egenskaber. Man når frem til Eulerlinjen og nipunktscirklen. Projekt 3.4. Introduktion til geometri med TI-Nspire Et projekt i tilknytning til afsnit 3.4, der giver en indføring i værktøjet TI-Nspire, samtidig med, at emner i den klassiske geometri behandles, herunder de 5 trekantstilfælde. Projekt 3.5 Klassisk geometri med Cabri II Et projekt i tilknytning til afsnit 3.4, der giver en indføring i værktøjet Cabri 2d, samtidig med at emner i den klassiske geometri behandles, herunder de 5 trekantstilfælde. Projekt 3.6. Thales geometriske opdagelser Ifølge overleveringen var Thales den første, der gennemførte beviser. I projektet vil nogle af disse beviser blive belyst med dynamisk geometri. Projekt 3.7. Beviser for Pythagoras lær at lave animationer Projekt om bevisteknik, hvor eleverne arbejder med forskellige beviser for Pythagoras sætning, og hvor de skal fremlægge for hinanden. Projektet indeholder animationer af beviser for sætningen. Projekt 3.6. Månens bjerge Galilei havde adgang til kikkerten og så bl.a., at der var bjerge på Månen. Han var også i stand til med brug af trigonometri at beregne højden af disse. Projektet tager udgangspunkt i Galileis egne beregninger. Projekt 3.9 Pythagoræiske talsæt (især for A-niveau) Et projekt i tilknytning til afsnit 3.5 og i forlængelse af eksempel. Projektet giver en første indføring i talteori. 4

Projekt 3.7 Euklids geometri (især for A-niveau) Euklids geometri fra 300 f.v.t. er det første omfattende eksempel på opbygningen af en matematisk teori fra grunden ud fra den såkaldte aksiomatisk deduktive metode. Projektet handler om de første sætninger og definitioner hos Euklid, og undervejs diskuteres om hans projekt holder. Projekt 3.11 Multiplikation ud fra et punkt Begrebet geometrisk multiplikation er uhyre nyttig i både elementær og videregående geometri. Vi indfører begrebet og ser skalering som multiplikation ud fra et punkt. Begrebet anvendes i ikke-euklidiske geometrier som vi vender tilbage til på A-niveau. Kapitel 4. Eksponentielle vækstmodeller Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Eksponentiel vækst kan karakteriseres som gangevækst, og i grundbogen har vi behandlet det som en generalisering af kapitalfremskrivning. Men det er i virkeligheden en historie, der rækker meget længere tilbage end rentesregningen. Det, vi i dag kalder eksponentiel udvikling, var dengang kendt under navnet geometriske rækker. Projekt 4.2 Kroppens forbrænding af alkohol, medicin og andre stoffer Projektet er inspireret af Sundhedsstyrelsens store rapport om rusmidler. En sammenligning af kroppens forbrænding af fx alkohol og hash, er en sammenligning af lineære og eksponentielle modeller. Projekt 4.3 Annuiteter hvordan afdrages lån? Når en familie køber et hus, eller når staten bygger en bro, finansieres det normalt ved, at man optager lån. Lån skal betales tilbage, og det foregår ofte ved, at der betales et bestemt beløb pr. måned. Men hvordan finder man ud af, hvor meget der skal betales? I projektet illustreres dette med anlægsøkonomien i storebæltsforbindelsen, hvor man var tæt på at lide rentedøden Projekt 4.4 Tunnelboringen ved Storebælt En af de store bekymringer, som entreprenørerne havde forud for boringen af tunnellen under Storebælt var, om man ville støde på mange meget store granitsten, de såkaldte vandreblokke. Nogle af disse kan veje 1000 tons. Inden boringen gik i gang havde Geoteknisk Institut forsøgt at opstille en matematisk model over, hvor mange og hvor store sten man ville møde under Storebælt. 5

Projekt 4.5 Afkøling Tak for kaffe Her kan du finde henvisning dels til et mindre projekt om afkøling, og dels til et større projekt om opvarmning af kaffe og efterfølgende afkøling. Det sidste projekt rummer en indføring i og sammenligning af lineære og eksponentielle modeller, herunder anvendelse af regression til behandling af dataværdier. Projekt 4.6 Aldersbestemmelse og Kulstof 14 I 1972 fandt to grønlandske jægere nogle yderst velbevarede grønlandske mumier i Qilakitsoq i Uummannaq-distriktet i NV-Grønland. To stendækkede grave rummede i alt seks kvinder og to børn, alle påklædte. For at fastlægge det tidspunkt hvor de blev begravede anvendte nationalmuseet kulstof 14 metoden. I projektet studerer vi denne metode og nogle af de spektakulære cases, hvor metoden har været anvendt. Projekt 4.7 Den hoppende bold Hvis en bold falder fra en vis højde mod et fast underlag, vil den hoppe op igen til en ny noget mindre højde. Formålet med dette eksperimentelle projekt er at undersøge mønstret i dette - kan vi finde en matematisk model, der beskriver den aftagende hoppehøjde? Projekt 4.8 Radioaktive kerners henfald Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet ifølge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag. I hvert nyt tidsrum er der samme sandsynlighed for et henfald. Vi kan derfor simulere radioaktive henfald ved hjælp af terningekast. Projekt 4.9 Økonomisk vækst i Kina Den økonomiske vækst er afgørende for et lands velstandsniveau idet størrelsen af BNP bestemmer, hvor meget der er at fordele til befolkningen. Et hyppigt anvendt velstandsmål er BNP/indbygger. Dette gennemsnitstal bruges bl.a. til at sammenligne velstanden mellem lande. I dette projekt gennemføres en række sammenligninger mellem udviklingen i Danmark, USA og Kina. Projektet, som anvender og sammenligner lineære og eksponentielle modeller, indgår som afsnit 4 i kapitel 14. Projekt 4.10 Minamata-katastrofen et projekt om ligevægt mellem lineær og eksponentiel vækst I begyndelsen af 50 erne blev den Japanske fiskerby Minamata ramt af en uhyggelig sygdom. Først opførte dyrene sig ejendommeligt: Katte hylede og løb sanseløse omkring, krager styrtede lodret ned fra himlen. derefter begyndte mennesker sig også at opføre sig 6

underligt: de fik synsforstyrrelser, blev svimle og mistede til sidst forstanden. De var ramt af kviksølvforgiftning. Den matematiske modellering handler om ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald. Kapitel 5. Potensmodeller Projekt 5.1 Penduler I øvelse 5.9 præsenterede vi kort Foucaults pendul, med hvilket man påviser, at Jorden drejer om sin akse. Ud fra videooptagelser og ud fra kendskab til sammenhængen mellem svingningstid og pendullængde beregnede vi hvor højt oppe pendulet var ophængt. I dette projekt undersøger vi eksperimentelt i samarbejde med fysik denne sammenhæng. Projekt 5.2. Vindenergi (Der henvises til B-bogens kapitel 4.1) Projekt 5.3. Skalering i biologi (Under udarbejdelse) Projektet er i to dele, dels en række konkrete biologiske modelleringsopgaver, og dels en engelsksproget tekst om skalering i biolog, tilknyttet en række arbejdsspørgsmål. Teksten kan læses sammen med fag som engelsk, biologi og idræt. Projekt 5.4 Priselasticitet Sammenhæng mellem pris og efterspørgsel udtrykker økonomer i begrebet priselasticitet, og det kan gives et præcis matematisk udtryk. Sammenhængen er naturligvis forskellig, afhængig af hvilken vare det er. I dette projekt dykker vi ned i den matematiske modellering, hvor det viser sig, at potensfunktioner er et godt redskab til at forenkle modellerne. Teorien illustreres med en række eksempler. Projektet kan med fordel gennemføres i samarbejde med samfundsfag. Projektet kan omfatte hele eller dele af kapitel 14, afsnit 5.1-5.4. Projekt 5.5 Forebyggelseskommissionen Rapporten fra den såkaldte forebyggelseskommission, der udkom i 2009, foreslog en række indgreb, der alle tog sigte på at give danskerne en gennemsnitlig levetid, der var 3 år længere end i dag. Indgrebene var på områder, hvor adfærden anses for at være sundhedsskadelig. I dette projekt, der med fordel kan gennemføres i samarbejde med samfundsfag, ser vi nærmere på de foreslåede afgiftsændringer på tobak, alkohol, slik, sodavand og fedtholdige varer. 7

Projekt 5.6 Kemisk reaktionshastighed I en kemisk proces vil reaktionshastigheden afhænge af reaktanternes koncentrationer. I kemi modelleres denne sammenhæng som en potensfunktion, men der kan være flere variable i spil, hvorfor variabelkontrol er afgørende. I dette projekt gennemføres et bestemt kemisk eksperiment og datamaterialet modelleres for at undersøge hvilken type af potenssammenhæng der er tale om. Projekt 5.7 Biologisk biodiversitet Biodiversitet drejer sig om antallet af arter i et bestemt område. Alt andet lige vokser antallet af arter med arealet, men hvordan? Antallet vokser ikke lige så hurtigt som arealet. Vi forsøger at beskrive biodiversiteten med en potensmodel, men der er tale om en statistisk model med en betydelig usikkerhed indbygget. Projekt 5.8 Planettemperaturer Hvis man skal lede efter liv på en planen uden om en stjerne er det i første omgang rimeligt at indskrænke sig til planeter hvor middeltemperaturen ligger over vands frysepunkt og under vands kogepunkt (da vand formodes at være en afgørende bestanddel af organisk liv). I projektet undersøger vi om hvorledes der kan konstrueres en særligt simpel model for sammenhængen mellem afstanden til solen / stjernen og den forventede planettemperatur. Projekt 5.9 Fraktaler (Under udarbejdelse) Projekt 5.10 Samspil mellem potens og eksponentiel vækst Hvad sker der når man kobler to eksponentielle vækstmodeller? Dette undersøges både eksperimentelt og teoretisk. Hvad sker der når man kobler to potensmodeller? Der lægges op at elveren efter samme opskrift selv undersøger det. Projekt 5.11 - zipfs lov (under udarbejdelse) Kapitel 6. Logaritmer Projekt 6.1. Tabelfabrikken Projektet sætter fokus på, hvordan tabellerne i praksis blev udarbejdet. 8

Projekt 6.2 Napiers stave Napiers stave var snedige regnetekniske hjælpemidler, der blev anvendt i en længere periode efter at logaritmerne var opfundet. Ved hjælp af stavene kunne man gange store tal sammen, og de var således en forløber for regnestokken, omtalt i kapitlet. I et lille projekt gennemgå vi ideen i disse hjælpemidler. * Projekt 6.3 Stjerners størrelsesklasser (under udarbejdelse) Enhver kan se, at stjerner har forskellig lysstyrke. Indtil for få hundrede år siden var det den almindelige opfattelse, at alle stjerner befinder sig i samme afstand fra os her på Jorden. Hvis afstanden er den samme, er det en nærliggende tanke, at en stjernes lysstyrke er et mål for dens størrelse. Den skala, der blev anvendt, og som vi her undersøger, blev i praksis en logaritmisk skala. Projekt 6.4 En eksperimentel og teoretisk undersøgelse af ph-skalaen I kemi optræder 10-tals logaritmen log i flere sammenhæng. I dette projekt undersøges phskalaen, der benytter inden for syre-basekemien. Projekt 6.5 Titreringskurver eksperimentelt og teoretisk Syre-basetitrering benyttes til at bestemme koncentrationen af en syre (eller en base) i en opløsning. I dette projekt anvendes to forskellige metoder og der frembringes titreringskurver som undersøges både eksperimentelt og teoretisk. Projekt 6.6 Jordskælvet i Lissabon (under udarbejdelse) Et projekt om de energi der udløses ved jordskælv og specielt om tsunamier der ofte er resultatet af undersøiske skælv. Projektet lægger op til et samarbejde med andre fag idet fokus er jordskælvet der ødelagde Lissabon, og som fik afgørende indflydelse på oplysningsfilosofiens opgør med de gamle religiøse forklaringer på naturkatastrofer. Projekt 6.7 Decibel (under udarbejdelse) Over hele verden bruger myndighederne decibel-skalaen til lydmålinger. db-skalaen er en logaritmisk skala, der er indrettet således, at når man fordobler lydtrykket øges db tallet med ca. 3. Hvorfor er skalaen indrettet således? Hvad er sammenhængen mellem energien i lyden og den måde vi oplever den på? Projektet vil undersøge dette eksperimentelt og teoretisk. 9

Projekt 6.8 Linearisering af data fra radioaktivt henfald Med en Geiger-Müller tæller måles β-henfaldet af et radioaktivt stof. I projektet diskuteres hvordan man håndterer data, der er indsamlet eksperimentelt og som indeholder en vis måleusikkerhed, og hvordan man ved hjælp af en logaritmisk transformation af data kan linearisere materialet og derved bedre kan nå frem til at opstille en matematisk model. Projekt 6.9 Weber-Fechners lov (under udarbejdelse) Når vore sanser påvirkes, er vores oplevelse af størrelsen eller graden af den påvirkning, vi udsættes for, ikke identisk med den faktiske påvirkning, men er logaritmisk. Dette er indholdet i en biofysisk lov, der kaldes Weber-Fechners lov, opkaldt efter de to der formulerede den. Denne teori er siden udbygget med at også vores talsans skulle være logaritmisk. I projektet læses originale artikler hvor loven diskuteres, og der lægges op til forsøg. Kapitel 7. Det matematiske sprog - Tal og ligninger Projekt 7.1. Skrivernes rolle, ægyptisk matematik og regning med stambrøker (under udarbejdelse) Skriverne var betydningsfulde embedsmænd med ansvar for faraonernes forrådskamre, for skatteinddrivning, for organisering af de enorme bygningsprojekter mv. Matematikken blev udviklet for at støtte dette, bl.a. for at sikre retfærdig honorering afarbejderne. Undervejs gennemføres en moderne diskussion af brøkregningens metoder via et arbejde med stambrøker. Projektet kan laves i et samarbejde med historie om opbygningen af det ægyptiske samfund. Projekt 7.2. Babyloniernes matematik Det babylonske 60-talssystem har sat sig markante spor. Tallet 60 er et fantastisk godt valg som grundtal: Når så mange tal går op i 60 bliver det lettere at regne. Vi giver i projektet eksempler på talsystemets opbygning og på den geometri og den aritmetik de beherskede.i Projekt 7.3. Talsystemer med andre baser end tallet 10 (under udarbejdelse) Det titalssystem vi anvender stammer givetvis fra det faktum, at vi har 10 fingre. Computere anvender grundlæggende to-talsystemet, fordi en elektrisk strøm enten kan være afbrudt eller tilsluttet dvs der er to grundlæggende muligheder, der så kan repræsentere 0 og 1. Hvordan regner man i andre talsystemer? Kan man løse problemer hurtigere og smartere, ved at gå over i et andet talsystem? Det giver vi eksempler på i projektet. 10

Projekt 7.4. Rationale tal: Brøker og periodiske decimaltal Et lille projekt om hvad rationale tal er. Projekt 7.5. irrationale tal inkommensurable størrelser Ifølge overleveringen opdagede pythagoræerne, at der var en fejl i gudernes konstruktion af verden. Der fandtes linjestykker, der ikke havde et fælles mål, dvs. linjestykker, hvor der findes ikke en mindste enhed, som man kan bruge til at måle længden af begge stykker med. Det svarer til den moderne opdagelse af, at der findes irrationale tal. Det måtte være en fejlkonstruktion, fordi sådanne inkommensurable størrelser leder os ud i uendelige processer. Vi vil se på forskellige sider af opdagelsen og diskutere irrationale tal. Projekt 7.6. Uendelighed Zenons paradokser og Hilberts hotel Et projekt om matematikeres, filosoffers og andres forsøg på at begribe, hvad uendelighed er fra de græske tænkere over Galilei og frem til moderne begreber om mange niveauer for uendelighed. Der læses autentiske tekster og gøres udstrakt brug af værktøjer. Projektet er blevet delt op i to, henholdsvis projekt 10.5 i C-bogen (Zenons paradokser) og den indledende fortælling til kapitel 1 i A-bogen (Hilberts hotel) Projekt 7.7. Sandregneren Hvor stort er verdensrummet og hvordan anskueliggør man uoverskueligt store tal. Det spørgsmål behandlede oldtidens største matematiker Archimedes i et lille skrift han kaldte sandregneren. Man læser skriftet i uddrag og diskuterer bl.a. det verdensbillede, der her demonstreres. Skriftet ligger sammen med projektet i afsnittet om kildelæsning i kapitel 10. Projekt 7.8 Stevins opgør med romertal og brøkregning (under udarbejdelse) I bogens tekst er omtalt Simon Stevin fra Nederlandene, der i en lille bog, han kaldte for Tierne, præsenterede Europas befolkning for decimaltallene, med henblik på at lære almindelige mennesker at regne. Indtil da var regningsarterne gange og division universitetspensum. Projektet kan laves sammen med historie. Projekt 7.9. Primtal (under udarbejdelse) Går vi ud talaksen, møder vi færre og færre primtal, men de udtømmes aldrig. Det vidste allerede Euklid 300 fvt. Men er der et system i den måde primtallene kommer på? Det er svært at få øje på, men vi vil se på, om der er nogle mønstre. Projektet beskæftiger sig med nogle indledende undersøgelser, der peger frem mod metoderne i moderne kryptologi. 11

Projekt 7.10. Pascals trekant (under udarbejdelse) Blaise Pascal(1623-1662) regnes for grundlæggeren af sandsynlighedsregningen. I arbejdet dette emne opdagede han det, vi i dag kalder Pascals trekant. Projektet er en lille rejse ind i Pascals trekant, der kan bidrage til at løse mange opgaver, hvor man skal afgøre på hvor mange måder, man kan udvælge og gøre bestemte ting. Projekt 7.11 ligninger før symbolernes tid Projektet indeholder en række eksempler på ligninger og problemløsning i forskellige kulturer, før man indførte symboler. Projektet er bygget op, så der kan klippes passende stykker ud. Kapitel 8. Sider og vinkler i vilkårlige trekanter. Projekt 8.1 Ptolemaios kordetabeller Ptolemaios var oldtidens mest betydningsfulde astronom. Han har sammen med Aristoteles lagt navn til oldtidens verdensbillede med Jorden i centrum, men til forskel fra filosoffen Aristoteles, der levede i Athen i 300-tallet fvt. så foretog Ptolemaios, der havde sit virke i Alexandria omkring 150 evt., en lang række beregninger bl.a. af planetbanerne. Som værktøj her til skabte han de første trigonometriske tabeller. Projektet handler om, hvordan han gjorde dette. Projekt 8.2. Om Caspar Wessel og hans metode Projektet drejer sig om at læse en tekst med matematisk indhold, at uddrage det væsentlige heri, og at præsentere dette mundtligt. Teksten er Jørgen Eberts kronik om Caspar Wessel. Der stilles en række spørgsmål til kronikken. Spørgsmål og svar skal danne grundlag for udarbejdelse af et manuskript til en skærmoptagelsessekvens, hvor spørgsmål og svar præsenteres mundtligt samtidigt med, at der vises relevant billedmateriale. Projekt 8.3. Om Caspar Wessel og de komplekse tal Læsning og bearbejdning af Caspar Wessels egen beskrivelse af de komplekse tal i et uddrag fra Om Directionens analytiske Betegning, et Forøg, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Opløsning fra 1799. Projekt 8.4 Da sinus kommer til Europa Indiske matematikere videreudviklede den græske trigonometri, og oversatte værker til sanskrit. Fra Indien blev både de græske de indiske værker oversat til arabisk, og endelig i 1100-tallet oversættes nogle af de gamle værker tilbage til latin! Denne lange proces ender 12

på grund af en række oversættelsesfejl med at betegnelsen sinus slår rødder i matematikken. Projekt 8.5 Landmåling opmåling af skolegården Opmåling af et afgrænset område på eller i nærheden af skolen ved triangulering, hvor eleverne selv er på feltarbejde og opmåler basislinje og vinkler. Feltarbejdets opmålinger bearbejdes og det hele samles i en rapport. Der kan anvendes materialer fra geomat. Projekt 8.6 Opdagelsesrejser og Navigation Præsentation af to projekter, som er udarbejdet geomat. Det ene projekt drejer sig om Columbus rejse til den nye verden, som siden kom til at hedde Amerika. Det andet om den danske opdagelsesrejsende Carsten Niebuhr, der i 1700-tallet af den danske konge blev sendt afsted for at udforske de arabiske lande. Projekterne indeholder kildelæsning. Man ledes gennem projekterne af en række arbejdsspørgsmål. Projekt 8.7 Opmåling af verden (under udarbejdelse) Projekt 8.8 Seismiske undersøgelser med sinus på arbejde Når man skal undersøge sammensætningen af jordlagene under vores fødder vil man typisk sætte en stribe geofoner op langs en ret linje i det øverste jordlag. De skal opfange lydsignalerne fra en eksplosion eller anden støjkilde - i dette tilfælde slag med en hammer på en stålstang. En geofon er en mikrofon, der opfanger lydsignaler fra jorden. Tilsvarende kan man bruge hydrofoner til at opfange lydsignaler under vand. De opfangede signaler kan skrives ud som et seismogram. Projekt 8.9 Afstande i verdensrummet Kan man beregne hvor stor Jorden er, så kan man også ved hjælp af sol- og måneformørkelser og med brug af trigonometri beregne astronomiske størrelser og afstande i verdensrummet. Projekt 8.10. Gitterformlen og Thomas Young Lysets natur var længe omdiskuteret: Kunne det bedst forstås som partikler eller som bølger? I første omgang sejrede partikelmodellen, men situationen ændrede sig med et slag i 1803, da Thomas Young den 24. november 1803 ved en epokegørende forelæsning i the Royal Society i London udfordrede partikelmodellen og ikke mindst de forsamlede fysikere i Newtons egen højborg. 13

Projekt 8.11. Brydningsloven og Descartes Brydningsloven har en lang historie bag sig: Optikken og herunder brydningen af lys spiller en rolle i astronomien de ældste kendte data for lysbrydningsforsøg stammer fra Ptolemaios. Arabiske videnskabsmænd gættede brydningsloven omkring år 1000, men deres gæt gik tabt, så vi skal frem til 1600-tallet, før der for alvor kom styr på sagerne. Kapitel 9. Bekræftende statistik Projekt 9.1 A Lady Tasting Tea I 1920 erne oplevede den engelske statistiker Ronald Fisher ved et tea-party, at en engelsk lady hævdede, hun kunne smage forskel på, om man først hældte mælk i en kop, og dernæst te, eller omvendt, først te og dernæst mælk. Han fik den ide at teste dette, og i sin efterfølgende beskrivelse af hændelsen opruller han i kort form hele grundlaget for den moderne statistik. I projektet læses den originale engelske tekst, og der udarbejdes en artikel om hovedlinjerne heri. Projekt 9.2 Challengerulykken Projektet følger op på de øvelser, der er præsenteret i den indledende historie i kapitel 9, og afrunder den bekræftende statistik med eksempler på, hvordan man i praksis kan udføre statistiske test i denne sammenhæng. Der arbejdes med det samlede datamateriale fra NASAs rumfærgemissioner. Projektet indeholder en del af det materiale Thiokols ingeniører præsenterede for NASA i dagene op til affyringen, samt præsenterede for kongressen i den efterfølgende høring. Projektet rummer store muligheder for et samarbejde med andre fag. Projekt 9.3 Obama versus McCain Projektet er en case, der rummer en opskrift på, hvordan man kunne inddrage det amerikanske præsidentvalg i en statistikundervisning. Projektet giver en kort præsentation af, hvad det vil sige at undersøge en nulhypotese eksperimentelt Projekt 9.4 Mendels arvelighedslove Mendels arvelighedslove stammer fra 1865, hvor Gregor Mendel offentliggjorde resultaterne af omhyggeligt udførte forsøg med krydsning af forskellige planter. Resultaterne kunne ikke forklares inden for de hidtidige forestillinger om, hvordan egenskaber nedarves, og de lagde grunden til den moderne arvelighedslære. I projektet arbejdes med Mendels egne tal og vi tester hans antagelser. Projektet lægger også op til et samarbejde med biologi og med dansk om udarbejdelse af et fælles skriftligt produkt, 14

Projekt 9.5 Gråzonekriminalitet I projektet arbejdes med resultaterne af en spørgeskemaundersøgelse om gråzonekriminalitet. Spørgeskemaundersøgelsen kan gennemføres af eleverne selv, på basis af de forslag til spørgsmål der ligger i projektet, eller der kan arbejdes med de data der allerede ligger i projektet. Projektet kan anvendes som et eksemplarisk introduktion til arbejdet med bekræftende statistik, og kan med fordel gennemføres i et samarbejde med samfundsfag. Projekt 9.6. Vietnamlotteriet. Under Vietnamkrigen var USA nødt til at indføre værnepligt, og indførte da et lodtrækningssystem, der blev kaldt Vietnamlotteriet: Man udtrak simpelthen fødselsdatoer. Men efter offentliggørelsen af udtrækningen kom der hurtigt protester frem om, at den havde favoriseret kandidater med en lav fødselsdato og overrepræsenteret kandidater med en høj fødselsdato. De senere præsidenter George Bush og Bill Clinton var to af dem, der trak frinummer. Vi undersøger protesterne ved at analysere det oprindelige talmateriale. Projekt 9.7 Børns og unges rygevaner I en undersøgelse af 11-15-åriges livsstil og sundhedsvaner kan man læse, at 11 % af børnene er rygere. Projektet går ud på at undersøge, hvordan det ser ud i forhold til det lokale gymnasium og evt. folkeskoler i nærheden. Samtidig ønskes inddraget hvordan rygning påvirker sundhedstilstanden. I projektet, der med fordel kan gennemføres sammen med biologi, sammenlignes to stikprøver med anvendelse af χ 2 -fordelingen. Projekt 9.8 Sammenligning af computerforbrug på forskellige uddannelser Projektet er en eksemplarisk gennemgang af, hvordan man kunne undersøge, om der er en sammenhæng mellem på den ene side om man går på STX eller HTX, og på den anden side hvor mange timer man bruger foran computeren. Projektet inddrager både den beskrivende statistik og den bekræftende statistik. Der ligger animationer til illustration af den eksperimentelle tilgang i projektet. Projektet kan bruges som en opskrift på selv at lave tilsvarende undersøgelser. Projekt 9.9 Simpsons paradoks Når man slår to delundersøgelser sammen til en større undersøgelse, burde det ikke ændre på konklusionen. Men det kan ske, når man ser bort fra en såkaldt skjult variabels indflydelse. Det strider umiddelbart mod vores intuition, men i kapitlets afsnit 6.2 så vi et eksempel herpå. I dette projekt undersøger vi nogle spektakulære retssager om racediskrimination fra USA 15

Projekt 9.10 The Mortality of Doctors I grundbogens kapitel 9, afsnit 6,3 blev den store engelske undersøgelse The Mortality of Doctors præsenteret. Undersøgelsen var den første påvisning i stor skala af, at rygning giver en øget kræftrisiko. I projektet arbejdes med Richard Dolls originale kildetekst fra 1954, samt hans opsummering i en artikel fra 2004. Projektet, der kan gennemføres i samarbejde med engelsk, eller samfundsfag, lægger op til udarbejdelse af en artikel på basis af kildeteksterne. Projekt 9.11 Thulebasen Den 21. januar 1968 faldt et amerikansk B-52 fly med fire brintbomber om bord ned på indlandsisen ca. 15 km vest for den amerikanske radarbase ved Thule. Styrtet medførte at store mængder radioaktive stioffer blev spredt ud på indlandsisen. Oprydningsarbejdet blev foretaget af arbejdere på den amerikanske base sammen med lokale fangere fra Thule. Mange år efter uheldet blev der rejst tvivl om sikkerheden ved oprydningen, da der begyndte at dukke alvorlige sygdomstilfælde op, herunder leukæmi (blodkræft), blandt de arbejdere, der var med til oprydningen. Kan disse tilfælde med sikkerhed henføres til ulykken? Vi undersøger det med statistiske metoder. Projekt 9.12 Er piger venstreorienterede På en YouTube-film produceret af lærere på Gladsakse Gymnasium, diskuterer to elever påstanden: Piger er mere venstreorienterede end drenge?. Efter at have argumenteret beslutter de at gennemføre en stikprøveundersøgelse. I projektet gennemfører vi en parallel evt. virtuel undersøgelse, og bearbejder data statistisk for at få svar på spørgsmålet. Kapitel 10, Matematik og kultur Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation. Et projekt om manglerne i Euklids aksiomsystem og om Hilberts moderne aksiomsystem fra omkring år 1900, der havde som mål at udbedre disse mangler. Projekt 10.2 Euklidisk tankegang i europæisk kulturhistorie Den euklidiske tankegang har påvirket hele den europæiske kulturkreds. Projektet omfatter både eksempler fra Euklids forgængere indenfor filosofi og litteratur Aristoteles logik og Homers Iliade og eksempler på sådanne skelsættende værker med tydelige Euklidiske fingeraftryk som Spinozas etik, Newtons optik, Den amerikanske uafhængighedserklæring og Russels og Whiteheads Principia Mathematica. 16

Projekt 10.3 Terningens fordobling - Regning med passer og lineal I projektet ser vi nærmere på, hvilke regneoperationer, der kan klares med passer og lineal. Man kan uddrage kvadratrødder, men ikke tredjerødder. I forsøget på at løse dette blev der skabt en ny verden, med kurver som parabler, hyperbler og ellipser. Projekt 10.4 Videnskabsteori - Lakatos og Eulers polyedersætning Den ungarske matematiker Imre Lakatos var en af de største formidlere af matematik i det 20. århundrede, og samtidig en af de store videnskabsteoretikere. Han var påvirket af Platons dialoger, men udvikler denne dynamisk på en måde, så han demonstrerer, hvordan gamle rammer for matematik sprænges og ny erkendelse opstår. Hans dialog om Eulers polyedersætning er en klassiker i matematikhistorien. I projektet vil du møde fyldige uddrag af bogen. Projekt 10.5 Achilleus og skildpadden Begrebet uendelighed har til alle tider udfordret matematikere og filosoffer, men begrebet spiller også en rolle i andre fag som fx religion. Projektet undersøger den gamle fortælling om Achilleus og skildpadden. Diskussionen om uendelighedsbegrebet rummer en diskussion om forholdet mellem matematik og virkelighed. Projekt 10.6 Brecht og Galilei Naturfilosofien er skrevet i den store bog, som for evigt ligger for vore øjne, skrev Galilei og tilføjede: Bogen er skrevet i det matematiske sprog, og symbolerne er trekanter, cirkler og andre geometriske figurer, uden hvis hjælp det er umuligt at forstå et eneste ord af den, uden hvilket man tomt vandrer gennem en mørk labyrint. Men er vi åbne overfor at læse i bogen? Den tyske forfatter Bertolt Brecht var meget optaget af dette videnskabshistoriske og filosofiske stof, og skrev i 1938/39 da han var på flugt fra nazismen, stykket Leben des Galilei. I projektet læses uddrag heraf, samt af de senere versioner Brecht lavede. Projekt 10.7 Babyloniernes astronomiske tabeller - Saros-cyklen Babylonierne opdagede, at der er et mønster i de måneformørkelser, som systemet med Solen, Jorden og Månen skaber med kortere eller længere mellemrum. Hele geometrien i dette system gentages efter en periode på 18 år, 11 dage og 8 timer, eller angivet i antal døgn: Efter 6585,3 døgn. Denne periode kaldes Saros-cyklen. I projektet vil vi ud fra forskellige beregninger diskutere, hvordan de kan have fundet ud af dette. Projekt 10.8 Fastlæggelse af påsken og andre kalenderproblemer Det har altid voldt problemer at lave en kalender. Årstal er jo tal, der tælles ud fra et udgangspunkt. Hvordan bliver vi enige om et fælles udgangspunkt? Og hvad er et år? Selv om de forskellige ikke kunne måle så nøjagtigt, så vidste alle, at årets længe er mellem 365 17

og 366 døgn. Når dette skulle udmøntes i en kalender skete det på mange forskellige måder. Dette og problemet med fastlæggelsen af en dato for påsken er emnet for dette projekt. Projekt 10.9 Fagligt samarbejde om verdensbilleder I dette projekt lægges op til et fagligt samarbejde om verdensbilleder. Projektet rummer forslag til et samlet forløb, samt en lang række kildematerialer med tekster af de forskellige aktører og tilhørende arbejdsark med spørgsmål. Man kan vælge elementer ud og arbejde dem igennem i hele klassen eller dele op i hold, som så vælger hver sit emne. Projekt 10.10 Archimedes Sandtælleren I Sandtælleren argumenterer Archimedes for, at der i hele universet ikke findes noget, der er uendeligt stort, selv om vi ofte bruger dette begreb. Han gør dette ved hjælp af et tankeeksperiment, hvor hele universet fyldes med det mindste man kan forestille sig, nemlig sandkorn. Naturligvis findes der mange ting i naturen, der er mindre end et sandkorn, men det er let at se, at hans argument kan udstrækkes til hvad som helst, der er mindre. Undervejs har han brug for en lang række vurderinger af størrelser og størrelsesforhold, og han indfører et helt nyt og genialt talsystem. Projekt 10.11 Det udelukkedes tredjes princip Dette princip eller aksiom siger, at for en given påstand gælder altid, at enten er påstanden sand eller den modsatte påstand er sand. Der er ikke en tredje mulighed. Selv om man i daglig tale har et begreb som halvdød, så er der ingen tilstand midt imellem. Men gælder det i alle spørgsmål? Projekt 10.12 Euklids algoritme og inkommensurabilitet Det største hele tal, som går op i 105 og 154 er tallet 7. Givet to hele tal, så eksisterer altid et største tal, som går op i begge. Men hvordan findes det, hvis de to givne tal er meget store? Det er et vigtigt problem i moderne kodning og kryptologi. Opgaven blev løst af Euklid. Hans metode kaldes i dag for Euklids algoritme. I projektet undersøger vi Euklids algoritme og ser på hvorfor den virker. Vi oversætter problemet fra talteori til geometri, og opdager her en sammenhæng med spørgsmålet om inkommensurable størrelser. Projekt 10.13 Serlios søjleordner og spiralkonstruktioner I 1500 tallet udgav den italienske arkitekt Sebastiano Serlio De syv bøger om arkitektur, hvor han i alle detaljer fastlagde regler for byggeri. Værket er skrevet så den kunne anvendes som en manual af samtidens håndværkere, og den er samtidig tydeligt inspireret af Euklids Elementer. I projektet vil vi arbejde med en af detaljerne heri, nemlig konstruktion af spiraler, der har været et mønster, menneskene har brugt til alle tider. 18

Projekt 10.14 Byernes pladser konstrueret som ovaler De store pladser og store bygninger i centrum blev konstrueret efter bestemte geometriske mønstre. Fx blev Peterspladsen i Rom er bygget op omkring ovaler. I projektet undersøger vi konstruktionen af sådanne pladser med brug af et geometriprogram. Projekt 10.15 Mandatfordelinger undersøgt med geometriske metoder I et repræsentativt demokrati repræsenteres borgerne af en valgt forsamling, der styrer samfundet, regionen, kommunen osv. En retfærdig fordeling af mandaterne viser sig at være vanskeligere, end man umiddelbart skulle tro. Det kræver en hel del matematik at forstå problemerne. I projektet opbygger vi en geometrisk matematisk model for mandatfordelingen for bedre at kunne undersøge og forstå problemet. Projekt 10.16 Mandatfordeling ved kommunalvalg I loven om mandatfordeling ved kommunale valg hedder det: Det samlede stemmetal for hvert valgforbund, divideres med 1, 2, 3 osv., indtil der er foretaget et så stort antal divisioner som det antal mandater, der højst kan ventes at tilfalde valgforbundet. Det valgforbund, der har den største af de fremkomne kvotienter, får det første. Den næststørste kvotient giver ret til det andet mandat og så fremdeles. I projektet vil vi oversætte den sproglige form til formler og undersøge problemerne i mandatfordelingen ud fra konkrete eksempler. 19