Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012
|
|
- Olivia Iversen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.
2 Indhold 1 Introduktion Euklidisk geometri Trekanter Navngivning Hjørner, sider og vinkler Irrationelle vinkler? Bogstavnavne Utraditionelle navne Flere ord Sætninger om trekanter Trekantsuligheden Vinkelsummen i en trekant Ensvinklede trekanter Tilstrækkelig information om en trekant Kongruenssætningen Hjælpelinjer i en trekant Højder Medianer Midtnormaler
3 Resumé I dette dokument gennemgår vi noget teori og baggrundsviden om trekanter. Herunder traditioner for navngivning af vinkler og sidelængder i en trekant, trekantsuligheden, kongruenssætningen, og en bunke terminologi. Som bonus for ivrige læsere, er der en sidehistorie om hvorfor gradtallet (matematisk set) er en tosset måde at måle vinkler på. 1 Introduktion 1.1 Euklidisk geometri Den klassiske plangeometri er en teori som handler om planen Et uendeligt stort, fuldstændigt fladt område, hvor man kan tegne perfekte rette linjer og måle afstande og vinkler fuldkommen nøjagtigt. Dette område findes naturligvis ikke i virkeligheden! Men det viser sig at mange situationer i vores virkelige verden (hvad end den er for noget) minder så meget om planen at den klassiske plangeometri kan bruges til at planlægge, beregne og beskrive udseendet af nogle særdeles virkelige ting. De såkaldte gamle grækere tillæges en stor del af ansvaret for at opfinde denne teori. Specielt findes der mange historier om Euklid og hans elev Archimedes og hvordan de brugte geometriske beregninger til at opfinde nogle meget effektive maskiner. Euklid tillægges så stor betydning for opfindelsen af den klassiske geometri at man ofte omtaler den som Euklidisk geometri. På samme måde omtales vores uendeligt store, perfekte plan også nogle gange som den Euklidiske plan. Når vi skal i gang med at forstå den Euklidiske plan, så bliver det nødvendigt for mig at henvise til nogle få indlysende facts, såsom at side 1
4 to linjer aldig vil kunne skære hinanden præcis to steder. Hvis man tænker lidt over det, så er disse facts slet ikke så indlysende som man kunne ønske sig. Og det er slet ikke indlysende om to sådanne facts kan risikere at modsige hinanden. Euklid lavede et enormt stykke arbejde med at få sådanne facts reduceret til et minimum (såkaldte aksiomer), hvorfra alle andre facts kan udledes ved hjælp af logiske argumenter. Vi skal ikke beskæftige os med Euklids aksiomer for plangeometrien i dette dokument, men hvis du synes at det lyder spændende, kan du læse om det et andet sted Trekanter Den klassiske plangeometri handler om den Euklidiske plan og alle tænkelige delmængder af den. Uden at gå nærmere ind i dimensionsbegrebet, så kan disse delmængder groft sagt inddeles i tre typer, alt efter hvor mange retninger de udstrækker sig i. Punkter er f.eks. 0- dimensionale, linjer og andre kurver er 1-dimensionale, mens cirkelskiver, polygoner (trekanter, firkanter, femkanter o.s.v.) og andre flade områder er 2-dimensionale. Hvis jeg lige må kaste mig ud i lidt lommefilosofi, så udgør trekanterne en slags atomer for alle de todimensionale delmængder. De er nemlig de simpleste todimensionelle figurer man kan forestille sig, og i en vis forstand kan alle andre todimensionelle figurer bygges af trekanter. Hvis man tænker denne filosofiske tanke helt i bund 2, så kan man ende med at opfinde hele den gren af matematikken som hedder topologi. 1 Læs om euklidisk og ikke-euklidisk geometri her 2 Det hjælper gevaldigt hvis man oven i købet hedder Euler eller Poincaré til efternavn. side 2
5 Vi skal ikke helt så langt her. Jeg vil blot understrege at trekanter ikke bare er noget som forekommer på byggepladser og i arkitekters tegninger, men at de faktisk er så grundlæggende et objekt i matematikken at selv de mest avancerede artikler om moderne matematik indimellem indeholder referencer til teori om trekanter 3. 2 Navngivning Al videnskab starter med at man fastlægger noget terminologi altså nogle ord som vi alle skal være fuldstændigt enige om betydningen af. 2.1 Hjørner, sider og vinkler En trekant er en delmængde af den euklidiske plan som består af præcis tre punkter (kaldet trekantens hjørner) samt tre rette linjestykker (kaldet trekantens sider) som forbinder hvert af de tre par af hjørner. I hvert hjørne vil de to sider som går ud fra dette hjørne danne en såkaldt vinkel. Vi beslutter os i dette dokument 4 for at måle størrelsen af denne vinkel ved hjælp af såkaldte grader. Selvom du garanteret kender dette begreb ganske udmærket allerede, så har du muligvis aldrig set en rigtig definition af det. Derfor laver vi lige en. Definition 1. En vinkel i en trekant har et tilknyttet gradtal som er defineret på følgende måde: 3 Selvom du ikke skal forvente at forstå ret meget (det gør jeg heller ikke), kan du se et par eksempler her, her og her. 4 Du skal senere lære en smartere måde at måle vinkler på som hedder radianer. side 3
6 1. Hvis de to sider som danner vinklen går i præcis samme retning ( oven på hinanden ), så siger vi at vinklens gradtal er Hvis de to sider som danner vinklen går parallelt, men i præcis modsatte retninger, så siger vi at vinklens gradtal er Hvis de to sider som danner vinklen står vinkelret på hinanden, så siger vi at vinklens gradtal er Hvis man inddeler en vinkel på 180 i n lige store dele (hvor n er et naturligt tal), så siger vi at hver af delene har et gradtal på ( 180 ) n Bemærk den lille cirkel efter tallene som angiver at det pågældende tal er et gradtal for en vinkel. Det er et meget unikt eksempel på en slags enhed 5 i matematik, hvor det ellers er totalt uhørt at arbejde med enheder. Dette er for at understrege at gradtallet er unaturligt og underligt (hvorfor i alverden skal 90, 180 og 360 lige have lov at være de helt specielle tal?), og for at kunne skelne en vinkels gradtal fra den rigtige måde at måle vinklen på, nemlig dens radiantal. Husk altid at sætte grader -tegnet på tallene når du angiver en vinkels gradtal! 2.2 Irrationelle vinkler? Hvis du allerede har hørt om forskellen på rationelle tal (brøker) og irrationelle tal (som f.eks. 2 og π), så vil du muligvis undre dig over definitionen i det foregående afsnit. Den bevirker nemlig følgende meget underlige egenskab: 5 Du kan læse mere om enheder her side 4
7 Ifølge definition?? har alle vinkler et gradtal som er et rationelt tal. 2.3 Bogstavnavne Når vi skal arbejde med trekanter, så bliver det meget nyttigt at kunne tale om deres hjørner, sider og vinkler på en måde hvor man hurtigt kan blive enige om hvilken af disse man taler om. Derfor plejer man at giver hver af dem et bogstavnavn. Det er meget almindeligt (men ikke obligatorisk!) at navngive hjørnerne med store bogstaver, som f.eks. A, B og C, mens man navngiver siderne med små bogstaver som f.eks. a, b og c. Samtidigt er der en regel man har indført for at gøre livet lidt nemmere, nemlig følgende: Definition 2. Hvis en trekants hjørner er navngivet med tre forskellige store bogstaver, f.eks. M, P og D, så er det meget almindelige (men ikke obligatorisk!) at navngive siderne med de tilsvarende små bogstaver (i eksemplet vil det altså være m, p og d), på en sådan måde at: Siden m går mellem punkterne P og D Siden p går mellem punkterne M og D Siden d går mellem punkterne M og P Sagt på en anden måde (med samme betydning): Siden m ligger over for punktet M side 5
8 Siden p ligger over for punktet P Siden d ligger over for punktet D Når en trekants sider og hjørner er navngivet på denne måde, så siger man at trekanten har været udsat for standardnavngivning eller traditionel navngivning. Nu kommer der noget underligt som man nok skal læse et par gange for at forstå. Men jeg lover dig at hvis du forstår det, så vil du undgå en masse forvirring når du læser andre bøger, fordi de fleste andre matematikbogsforfattere ikke helt har fattet at det er et problem. Når vi taler om trekanter, så er det normalt acceptabelt at være upræcis med hensyn til forskellen på en side i trekanten og denne sides længde. Selvom disse to objekter på ingen måde er ens (det ene er et linjestykke, det andet er et tal), så plejer man at give dem et fælles bogstavnavn, sådan at en side f.eks. kan hedde a, men at man samtidigt gerne må skrive f.eks: a = 4 På samme måde er det normalt acceptabelt at være upræcis med hensyn til forskellen på et hjørne i trekanten, den vinkel som de to sider danner i dette hjørne og sørme også denne vinkels gradtal. Selvom disse tre objekter på ingen måde er ens (det ene er et punkt, den andet er noget som de to sider danner og det tredje er et tal), så plejer man at give dem et fælles bogstavnavn. På den måde kan et hjørne i trekanten f.eks. hedde A, men samtidigt kan man finde på at tale om vinklen A og endda oplyse at: A = 22 side 6
9 2.4 Utraditionelle navne Læg lige godt mærke til at traditionerne omkring navngivning af størrelser i trekanter ikke er obligatoriske. Det betyder at man selv vælger om man vil følge dem eller ej. Nogle gange er det endda umuligt at følge dem, fordi nogle af bogstaverne er brugt til at navngive noget andet. Derfor er det vigtigt at gøre opmærksom på det når man bruger standardnavngivningen. Og omvendt: Når andre ikke gør opmærksom på det, kan man ikke regne med at de følger standardnavngivningen. Vigtigst af alt, skal du være klar til at håndtere trekanter hvor siderne og hjørnerne har underlige navne. Her kan en tegning af trekanten med markerede bogstavnavne være langt den hurtigste måde at gøre klart hvordan de forskellige sider og vinkler ligger i forhold til hinanden. Trekanten på figur?? nedenfor er et eksempel på hvordan dette kan gøres. 2.5 Flere ord Der er lige nogle flere ord som vi får brug for når vi arbejder med trekanter. Først nogle tillægsord som man kan bruge om trekanter: Retvinklet En trekant kaldes retvinklet hvis en af dens vinkler er 90. Stumpvinklet En trekant kaldes stumpvinklet hvis en af dens vinkler er over 90. side 7
10 Spidsvinklet En trekant kaldes spidsvinklet hvis alle dens vinkler er under 90. Ligebenet En trekant kaldes ligebenet hvis den har to sider som er lige lange. Ligesidet En trekant kaldes ligesidet hvis alle dens tre sider er lige lange. Senere skal vi se at dette automatisk betyder at dens vinkler også er lige store. Til sidst for såkaldte relationer som man kan have imellem to trekanter. Ensvinklede To trekanter kaldes ensvinklede hvis deres vinkler er parvist lige store. Sagt mere præcist: Hver af vinklerne i den ene trekant er lige så stor som en af vinklerne i den anden trekant. Kongruente To trekanter kaldes kongruente hvis 3 Sætninger om trekanter Nu er vi klar til at formulere de første (og ekstremt vigtige) sætninger om trekanter. side 8
11 3.1 Trekantsuligheden Sætning 3 (Trekantsuligheden). Hvis en trekant har siderne a, b og c, så gælder følgende uligheder altid: a b + c b c + a c a + b Sagt med ord: Hver af siderne er højst lige så lang som summen af de to andre sidelængder. Bevis. Dette er faktisk et af de såkaldte indlysende facts som jeg nævnte i indledningen. Hvis man kigger efter i Euklids aksiomer for plangeometrien, så er der netop et af aksiomerne som siger at: Den kortest mulige kurve mellem to punkter er det rette linjestykke mellem dem. Dette er præcis grunden til at trekantsuligheden gælder. Man kan undre sig lidt over at sætningen hedder trekantsuligheden når der faktisk er hele tre uligheder. Men det er egentlig spild af plads at have alle tre uligheder med. 3.2 Vinkelsummen i en trekant Sætning 4 (Vinkelsummen i en trekant). Hvis en trekant har hjørnerne A, B og C, så gælder det altid at: A + B + C = 180 side 9
12 Sagt i ord: Summen af vinklerne i en trekant er altid Ensvinklede trekanter Dette afsnit handler om to trekanter (og forholdet mellem dem). Derfor har vi brug for at være lidt kreative med bogstavnavnene. Sætning 5 (Skalerede trekanter er ensvinklede). En trekant har hjørnerne A, B og C og siderne a, b og c (med standardnavngivning), mens en anden trekant har hjørnerne D, E og F og siderne d, e og f (også med standardnavngivning). Hvis der findes et tal k (en såkaldt skalering), sådan at: så gælder: a = k d b = k e c = k f A = D B = E C = F Med andre ord: De to trekanter er ensvinklede side 10
13 4 Tilstrækkelig information om en trekant Vi starter med at kigge på det yderst fornuftigt spørgsmål, nemlig: Hvor meget information (sidelængder og vinkler) skal man have om en trekant for at kunne beregne alle de resterende sidelængder og vinkler? I retvinklede trekanter kan dette spørgsmål besvares meget let. 4.1 Kongruenssætningen 5 Hjælpelinjer i en trekant 5.1 Højder 5.2 Medianer 5.3 Midtnormaler side 11
Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereKompetencetræning #2 også til prøven. 31. Januar 2019
Kompetencetræning #2 også til prøven 31. Januar 2019 Bordet rundt Har I prøvet noget af? Var der nogle forhindringer i at prøve noget af? Hvis du har prøvet noget af hvor var udfordringerne så for dig
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEnhedscirklen og de trigonometriske Funktioner
Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOm ensvinklede og ligedannede trekanter
Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er
Læs mereOm problemløsning i matematik
Om problemløsning i matematik Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereEns eller forskellig?
Ens eller forskellig? Geometri i 5./6. klasse Niels Kristen Kirk, Christinelystskolen Kaj Østergaard, VIA UC Plan Didaktisk design - modellen Fra model til praksis indledende overvejelser En konkret udmøntning
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mere1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210
1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereMødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.
6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle
Læs mere*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser
*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning
Læs mereGeometriske eksperimenter
I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereMULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL
8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereUge Emne Formål Faglige mål Evaluering
Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig
Læs mereMattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer
Mattip om Geometri former og figurer Du skal lære: At finde og tegne former og figurer Kan ikke Kan næsten Kan At beregne omkreds og areal af figurer Om forskellige typer trekanter At finde højde og grundlinje
Læs mereTrigonometri at beregne Trekanter
Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereEksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri
Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet Matematik og den ny skriftlighed gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper,
Læs mereLinjespillet. Figurer. Format6. Nr. 18. Kopiark til elevbog side 16
Nr. 18 Linjespillet Farv højde Farv linje Farv linjestykke Farv halvlinje Farv en parallel linje Farv en vinkelret linje Par- eller gruppeaktivitet. Kast på skift en 6-sidet terning. Vælg en farve hver.
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mere7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri
7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereKonstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)
1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6
Læs mereTrekanthøjder Figurer
Trekanthøjder D E N C B F G T I H L N S J M F K ST O T I U Q R V SK X Y 97887204290_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd 24 24 /0/2 :46 M Trekanthøjder D B L F E H C G I J I L K M O R S N Y Q G Y E T U 97887204290_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mereHANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE
HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE GEOMETRI 4. 10. KLASSE Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende
Læs mereStruktureret læsning i Matematik
Struktureret læsning i Matematik Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereF-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade
F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereInteraktiv Whiteboard og geometri
Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereÅrsplan i matematik klasse
32-36 Brøker og Én brøk - forskellige betydninger en helhed ved hjælp af brøker. en helhed ved hjælp af brøker. Eleven kan bruge brøker til at beskrive forholdet mellem to størrelser. Eleven kan argumentere
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGeometri med Geometer II
hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne
Læs mereLinjer. Figurer. Format 4. Nr. 14. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 17
Linjer Nr. 14 a a Forlæng linjerne med lineal. Mål afstanden mellem de linjer, der sandsynligvis er parallelle. Farv linjer med samme farve, hvis de er parallelle. Find parallelle linjer i tegningerne,
Læs mereEksempler på arbejdsark: Arkitektur og ligedannethed i trigonometri
: Arkitektur og ligedannethed i trigonometri Eksemplerne indeholder arbejdsark, som kan bruges i forbindelse med gennemførelse af undervisningsforløb. Indholdsfortegnelse Arbejdsark 1: Before action opgave.....2
Læs mereProjekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer
Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs merePythagoras og andre sætninger
Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,
Læs mereGEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2
GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereHunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.
4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter
Læs mereErrata pr. 1. sept Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag
Errata pr. 1. sept. 2009 Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag Rettelserne herunder er foretaget i 2. oplag af bogen. Desuden forekommer der mindre rettelser i 2. oplag, som ikke er medtaget her, da
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mere