Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant... 5 og 20 Funktioner... 6 Differentialregning... 7 og 9 Integralregning... 8 og 9 Areal og rumfang bestemt ved integration... 8 Stamfunktioner og afledte funktioner... 9 Potensregneregler... 10 Logaritmefunktioner... 10 Eksponentialfunktioner... 11 Potensfunktioner... 12 Rentesregning... 12 Trigonometriske funktioner... 13 RÄkker... 14 Kombinatorik... 15 Sandsynlighedsregning... 15 Binomialfordeling og normalfordeling... 16 Vektorer i rummet... 17 og 18 Linjer i rummet... 19 Planer i rummet... 20 Kugle... 20 Areal og rumfang (volumen)... 21 Matematiske standardsymboler... 22 Å 24 De gräske bogstaver... 25 og 29 Instruktioner til TI-83 og TI-84... 26 Romerske tal, Dekadiske präfikser, Det gräske alfabet... 29 Stamfunktioner og afledte funktioner... bagsiden
Matematisk Formelsamling vers. aug. 2007. Gratis download af Lærebøger og kompendier til studerende: financieret ved reklamer. På dansk http://ventus.dk især: Formelsamling til matematik på Gymnasiet niveau B og A. ( til formlerne er der vist eksempler. ) Matematik kompendium til niveau B på Gymnasiet. På tysk http://studentensupport.de især: Einfach lernen! Mathematik - Aufgabenbuch. Til formelskrivning i Word er makrosamlingen SciMacros rigtig godt. SciMacros kan hentes på http://www.scimacros.de og fungerer også sammen med dansk Word. Vejledningerne er fantastisk gode. Især en PowerPoint Tutorial. Hvis du finder fejl i denne formelsamling, eller har nogle forslag til ændringer, så send mig en e-mail. M.v.h. Klaus Blitger E-Mail-Adr: klaus-blitger@skoleforeningen.de
Vektorer i planen (2) j i a a 2 i a 1 j (1) (1) a = a 1 i + a 2 j = a 1 = a i a 2 = a j a 1 a 2 Længden af a (2) a = a 1 2 + a 2 2 e enhedsvektor ensrettet med a (3) e = a a sum a + b a b (4a) a + b = a 1 + b 1 a 2 + b 2 differens a - b a -b (4b) a b = a + ( b ) = a 1 b 1 a 2 b 2 t a 1 multiplikation med et tal (5) t a =, hvor t er et reelt tal. t a 2 Skalarprodukt af a og b (6) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 = a b cos(v) (7) cos(v) = a b a b for egentlige vektorer a og b : (8) a b = 0 a b (9) a a = a 2 (9) a a = a 2 a a b b a b er projektionen af a på b. (10) a b = a b b 2 b = a e e, hvor e = b b 1
a 2 (11) a =, hvor a 1 a = a 1 a 2 Tværvektor a til a fremkommer ved en drejning af a 90 i positiv omløbsretning Determinant det ( a, b ) for vektorparret a, b. (12) det ( a, b ) = a b a 1 b 1 = = a 2 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 = a b sin(ν ) (13) det ( a, b ) = 0 a b = 0 a b Areal A af det af a og b udspændte parallelogram (14) A = det( a, b ) = a b (15a) AB = x 2 x 1 y 2 y 1 Afstanden mellem punkterne A(x 1, y 1 ) og B(x 2, y 2 ). (15b) AB = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 Parallelforskydning med vektoren af grafen for f (16) g(x) = f(x - a) + b 2
3
4
5
6
Differentialregning (61) (62) (63) Regneregler for differentiation: 7
8
( n 1) = x 1 Bemærk at i mange matematikbøger bruges f.eks. sin 2 x i betydningen (sin(x)) 2 9
Potensregneregler Logaritmefunktioner Logaritmefunktionen med grundtal 10, log Viser grafen for logaritmefunktionen log(x) og dens inverse funktion 10 x 10 log(x) = x log(10 x ) = x Den naturlige logaritmefunktion, ln Viser grafen for logaritmefunktionen ln(x) og dens inverse funktion e x, eksponentialfunktionen med grundtallet e. e ln(x) = x ln(e x ) = x i alle formlerne på denne side er a og b positive. 10
Eksponentialfunktioner Eksponentialfunktion med grundtal a : Eksponentialfunktion med grundtal e : Bestemmelse af fremskrivningsfaktor a a = x 2 x 1 y2 y 1 Aflæsning af fordoblingskonstant T 2 Aflæsning af halveringskonstant T 1 2 i alle formlerne på denne side er a og b positive. 11
Potensfunktioner, x a Potensfunktion Funktion, der er proportional med potensfunktion - Rentesregning Startkapital k Rentefod r Kapital efter n terminer k n i alle formlerne på denne side er a og b positive. 12
13
14
15
16
Vektorer i rummet (195) Længde af a (196) a = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 e er enhedsvektoren ensrettet med a (197) e = a a Skalarprodukt af a og b. (198a) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a b cos (v) (198b) cos(v) = a b a b For egentlige vektorer (199) a b = 0 Ê a b (200) a a = a 2 For egentlige vektorer (201) a b = 0 Ê a b a b se nedenfor a a b b a b er projektionen af a på b. (202) a b = a b b 2 b = a e e, hvor e = (203) a b = a b b = ß a b b b b a b v a b Vektorprodukt a b (204) a b = a 2 b 2 a 3 b 3 a 3 b 3 a 1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 2 17
Længde af a b er også Areal A af det af a og b udspændte parallelogram (205) a b = a b sin(v) (206) A = a b b a Idet en trekant er et halvt parallelogram kan arealet af en trekant beregnes med A = ½ a b Ç a c b Volumen af Parallelepipedum (207) V = a ( b c ) a c b (208) V = 1 6 a ( b c ) Volumen af Tetraeder (z) x 2 B y 2 z 2 (,, ) M A ( x, y, z 1 ) 1 1 O (y) (x) Koordinatsæt for AB (209) AB = x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 Afstanden AB mellem to punkter A(x 1, y 1, z 1 ) og B(x 2, y 2, z 2 ) AB = (x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Midtpunkt M af liniestykke AB x 1 +x 2 (210) M 2, y 1 +y 2 2, z 1 +z 2 2 18
19
20
21
22
23
24
25
Tillæg til formelsamlingen for TI-83 og TI-84. Funktion eller instruktion / argumenter binomcdf(antforsøg,p[,x]) binompdf(antforsøg,p[,x]) fnint(udtryk,variabel,nedre,øvre[,tolerance]) nderiv(udtryk,variabel, værdi[,e]) normalcdf(nedregrænse,øvregrænse[,m,s]) normalpdf(x[,m,s]) invnorm(område[,m,s]) Resultat Beregner en kumulativ sandsynlighed ved x for den diskrete binomial-fordeling med det angivne antforsøg og sandsynlighed p for succes for hvert forsøg. Beregner sandsynligheden for x for den diskrete binomial-fordeling med det angivne antforsøg og sandsynligheden p for succes ved hvert forsøg. Giver funktionens integral af udtryk med hensyn til variabel, mellem nedre og øvre med en angiven tolerance. Giver den omtrentlige numeriske afledede af udtryk med hensyn til variabel ved værdi, med angivet e. Beregner normalfordelingssandsynligheden mellem nedregrænse og øvregrænse for de angivne m og s. Beregner sandsynlighedstætheden for normalfordelingen ved en angiven x-værdi. Beregner den inverse kumulerede normalfordelingsfunktion for et givent område under normalfordelingskurven angivet af m og s. poissoncdf(m, x) poissonpdf(m,x) rreff(matrix) ref(matrix) solve(udtryk,variabel, gæt,{nedre,øvre}) LinReg(ax+b) X listenavn, Y listenavn [, frekvensliste, reglig] Beregner en kumuleret sandsynlighed ved x for den diskrete Poisson-fordeling med den angivne middelværdi m. Beregner sandsynligheden ved x for den diskrete Poisson-fordeling med den angivne middelværdi m. Giver den reducerede række-echelon-form af en matrix. Giver den række-echelon-form for en matrix. Løser udtryk for variabel, hvor start-gæt er givet, og nedre og øvre er grænserne, inden for hvilke løsningen søges. Tilpasser en lineær regressionsmodel til X listenavn og Y listenavn med hyppigheden frekvensliste, og lagrer regressionsligningen i reglig. 1-Var Stats [ X listenavn, frekvensliste ] 2-Var Stats [X listenavn, Y listenavn, frekvensliste ] Udfører analyse med én variabel på data i X listenavn med hyppigheden frekvensliste. Udfører analyse med to variable på data i X listenavn og Y listenavn med hyppigheden frekvensliste. 26
Til egne notater. 27
28
Romerske talbetegnelser Dekadiske præfikser 1) i USA: billion 2) i USA: trillion 3) i USA: quadrillion 4) i USA: quintillion Det græske alfabet 29
( n 1) = x 1 Bemærk at i mange matematikbøger bruges f.eks. sin 2 x i betydningen (sin(x)) 2