Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 1 af 12 Sidste gang: I dag: Interferens og lysbølger, herunder refleksion og brydning. vha. spejle og linser, herunder kameraets og øjets virkemåde (afs. 36.1-2, 36.4-7). I det flg. beskrives spejle og linsers virkemåde inden for strålegangstilnærmelsen, hvor lyset under antagelsen λ d udbreder sig efter rette linier. udnytter det faktum, at et objekt udstråler lys i alle retninger, hvad enten det lyser af egen kraft eller blot reflekterer lys fra en lyskilde. Plane spejle Spejlbilledet af et punkt O i et plant spejl findes ved at følge et antal strålegange fra O under overholdelse af refleksionsloven, idet spejlbilledet I er der, hvor strålerne ser ud til at divergere fra. Bemærk, at I s placering er uafhængig af observatørens placering. Da strålerne ikke har passeret I, er I et virtuelt billede, hvilket gælder for alle spejlbilleder i plane spejle. For et udstrakt legeme, som f.eks. en person, der kigger sig i spejlet, følges strålegangene fra et tilstrækkeligt antal karakteristiske punkter. Denne metode til at fastlægge billeddannelsen i et spejl eller en linse kaldes strålegangsanalyse. Spejlbilledet er lige så langt bag spejlet, som objektet er foran det, og dermed er det plane spejls forstørrelse M givet ved M II 1 2 = 1. OO 1 2 Højre og venstre eller for og bag Det er en udbredt misforståelse, at spejle bytter om på højre og venstre. Hvis man eks. lægger sig ned på sin venstre side og kigger ind i spejlet og vrikker med sine fødder, som således udgør den højre del af kroppen, er det ikke den venstre del af spejlbilledet (hovedet), som bevæger sig.
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 2 af 12 Det, der i virkeligheden er tale om, er, at spejlet bytter om på for og bag. Hvis man kigger på en transparent foran et spejl, vil spejlet se bagsiden og bytte om på for og bag, sådan at man også vil kunne læse spejlbilledet. Hvis der byttes om på for og bag på en menneskekrop, byttes der også om på højre og venstre hånd. Konkave spejle og konvekse spejle Et spejl på indersiden af en kugleoverflade kaldes et konkavt spejl, og et spejl på ydersiden af en kugleoverflade kaldes et konvekst spejl. Brændpunkt og brændvidde Når et tyndt bundt parallelle lysstråler (plan bølge) reflekterer fra et konkavt spejl, vil de reflekterede stråler med god tilnærmelse mødes i det samme punkt (konvergerende kuglebølge) [F1]. Dette punkt kaldes spejlets brændpunkt, og afstanden fra spejlet til brændpunktet er spejlets brændvidde. Da lyset fra en uendeligt fjern punktkilde netop er kendetegnet ved at være en plan bølge, er det konkave spejls brændpunkt således der, hvor der dannes et virkeligt billede af en uendeligt fjern punktkilde. Bemærk, at virkelige billeder i modsætning til virtuelle billeder kan projiceres op på en skærm. På en skærm placeret i brændpunktet ville der således fremkomme et skarpt billede af den uendeligt fjerne punktkilde, hvorimod billedet i alle mulige andre afstande ville være udtværet (ude af fokus). Når en tynd lysstråle i form af en plan bølge reflekterer fra et konvekst spejl, vil der med god tilnærmelse dannes en divergerende kuglebølge [F2]. Punktet, hvorfra denne kuglebølge ser ud til at udgå, er det konvekse spejls brændpunkt. Det konvekse spejls brændpunkt er således der, hvor der dannes et virtuelt billede af en uendeligt fjern punktkilde. Sfærisk aberration En tyk lysstråle reflekterer ikke ned i ét punkt, men bliver smurt ud over et område mellem spejlets brændpunkt og spejlets overflade. Dermed vil spejlbilledet af en punktkilde være uskarpt [F3]. Denne afbildningsfejl, som kendetegner kugleformede spejle, kaldes sfærisk aberration.
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 3 af 12 Sfærisk aberration kan begrænses ved at afskærme spejlet, sådan at det kun er en begrænset del af lyset, som bidrager til billeddannelsen [F4]. En sådan afskærmning vil i sagens natur gøre billedet mindre lysstærkt. Sfærisk aberration kan helt undgås ved at anvende parabelformede spejle [F5], men sådanne parabolspejle er langt dyrere at fremstille end kugleformede spejle. Paraksialtilnærmelsen I denne lektion vil vi betragte kugleformede spejle, som enten er små eller afskærmede. De betragtede spejle vil således kun reflektere tynde lysstråler, og dermed vil vi kunne se bort fra den sfæriske aberration og opnå skarpe spejlbilleder. Et tyndt bundt lysstråler er tilnærmelsesvist parallelle, og derfor kaldes denne tilnærmelse for paraksialtilnærmelsen. Strålegangsanalyse Billeddannelsen af et konkavt/konvekst spejl kan fastlægges som følger, idet F er spejlets brændpunkt, og krumningscentret C er centrum for den kugle, som det kugleformede spejl er en del af: - Der ses bort fra spejlets tykkelse, idet alle refleksioner antages at ske fra spejlplanen. - Tegn hovedaksen, som er aksen gennem C og F. - Vælg et karakteristisk punkt og tegn flg. 3 strålegange fra dette punkt: 1. Parallelt med hovedaksen og reflekteret gennem/fra F. 2. Gennem/mod F og reflekteret parallelt med hovedaksen. 3. Gennem/mod C og reflekteret tilbage i sig selv. Skæringen mellem disse 3 strålegange angiver billedet af det karakteristiske punkt, og det samlede billede opnås ved at fortsætte denne procedure for et tilstrækkeligt antal karakteristiske punkter. Bemærk, at billeddannelsen er uafhængig af spejlets udstrækning, idet selve spejlet fungerer som et vindue, hvorigennem en observatør ser billedet. Hvis spejlet er lille i forhold til objektet, kan det således være, at det ikke er muligt at se hele billedet på én gang.
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 4 af 12 Spejlloven [F6] viser en strålegangsanalyse for et konkavt spejl. Da det herved fremkomne virkelige billede er vendt på hovedet (inverteret), anvendes h h' fortegnskonventionen h ' < 0, sådan at tanθ = = og dermed h' q M = =. * h p Forstørrelsen M er altså et udtryk for, hvor mange gange længere væk fra spejlet billedet er i forhold til objektet. h h' h ' R q Desuden er tanα = p R= R q, sådan at h = p R. Kombineret med * giver dette R q q ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) R q p q p R p R = p R q p= q p R Rqp = Rqp q R = R p, svarende til 1 1 2 + =. p q R Et objekt i form af en uendeligt fjern punktkilde ( 1 R p 0 for p ) har således q = 2, så da en uendeligt fjern punktkilde pr. definition afbilledes i brændpunktet, er brændvidden f givet ved p R f =. 2 Der gælder dermed flg. spejllov for kugleformede spejle: 1 1 1 2 = + =. f p q R Ud fra kendskab til spejlets udformning ( R eller f ) gør spejlloven det således muligt at beregne billedafstanden q ud fra objektafstanden p, idet q angiver, hvor langt fra spejlet man skulle anbringe en skærm for at få et skarpt billede (i afstanden q fra spejlet er billedet i fokus). Fortegnskonvention for spejle q regnes positiv foran spejlet (virkeligt billede) og negativ bagved (virtuelt billede), og R og f regnes positive for konkave spejle (brændpunkt foran spejl) og negative for konvekse spejle (brændpunkt bagved spejl). q
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 5 af 12 Eksempler på billeddannelse i kugleformede spejle [F7] - Konkavt spejl - Objektet er tættere på end brændpunktet (p < f ): Billedet er ret op og ned ( h' > 0, M > 0), virtuelt ( 0 og forstørret M > 1. q < ) ( ) - Objektet er længere væk end brændpunktet ( p > f ): Billedet er vendt på hovedet ( h' < 0, M < 0) og virkeligt ( q > 0 ). - Objektet er længere væk end krumningscentret (p > R) : Billedet er formindsket M <. ( 1) - Objektet er mellem brændpunktet og krumningscentret ( R p f ) er forstørret ( 1) M >. > > : Billedet - Konvekst spejl: Billedet er altid ret op og ned, formindsket og virtuelt. Ift. et plant spejl skaber et konvekst spejl således et formindsket billede af et større område, hvilket bla. anvendes i vejspejle, overvågningsspejle i supermarkeder og sidespejle på biler ( objects seen in this mirror are closer than they appear ). Man kan vha. en såkaldt parallaksetest afgøre, om et spejlbillede er virtuelt (længere væk end spejlets overflade) eller virkeligt (tættere på end spejlets overflade). Tynde linser En linse er et materiale (eks. glas eller plastik), som vha. lysets brydning ændrer en lysstråles udbredelsesretning [F8]. De her beskrevne linser er udformet med kugleformede overflader, der ses bort fra linsernes tykkelse, og der arbejdes inden for paraksialtilnærmelsen [F9]. Samlelinser En samlelinse er kendetegnet ved, at den fokuserer en kollimeret (parallel) lysstråle ned i et punkt i den såkaldte brændplan, der ligger i en brændviddes afstand f fra linsen [F10]. Som for spejle er q > 0 for virkelige billeder, og brændvidden er dermed positiv for samlelinser: f lim q> 0. p Da lys kan ramme en linse fra to sider, er linser kendetegnet ved to brændpunkter på hver sin side af linsen. Hvis den kollimerede lysstråle er parallel med linsens hovedakse, fokuseres den ned i det bageste brændpunkt F 2 [F11].
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 6 af 12 En samlelinse er tilsvarende kendetegnet ved, at den kollimerer lyset fra en punktkilde placeret i brændpunktet: q for p = f [F12]. Spredelinser En spredelinse er kendetegnet ved, at den af lyset fra en uendeligt fjern punktkilde danner et virtuelt billede i sit forreste brændpunkt F 1 [F13]. Brændvidden er dermed negativ for spredelinser: f lim q< 0. Strålegangsanalyse For en samlelinse/spredelinse tegnes flg. 3 strålegange fra det nødvendige antal karakteristiske punkter: 1. Parallelt med hovedaksen og transmitteret gennem bageste/væk fra forreste brændpunkt. 2. Mod midten af linsen og lige igennem, (med det argument, at linsens to overflader her er parallelle). 3. Gennem forreste/mod bageste brændpunkt og transmitteret parallelt med hovedaksen. Ud fra de to ligedannede trekanter beskrevet af hovedaksen, strålegang 2 og hhv. objekt og billede fås som for spejle: h' q M =. h p Virkelige billeder ( q > 0 ) er således inverterede ( M < 0 ), hvorimod virtuelle billeder er ret op og ned. Linseligningen For en tynd linse med brydningsindekset n, hvis overflader består af kugleudsnit med krumningsradierne R 1 og R 2, gælder flg. linseligning: 1 1 1 1 1 = + = ( n 1) +, f p q R1 R2 idet R i er positiv for en konveks linseoverflade og negativ for en konkav [F14] 1. p 1 Bemærk, at den her anvendte fortegnskonvention for R i adskiller sig fra den i Serway!
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 7 af 12 Af linseligningens invarians over for ombytningen R 1 R 2 fremgår det, at en linses to brændpunkter er kendetegnet ved samme brændvidde f, uanset om linsen er symmetrisk eller ej. Bemærk, at samlelinser er tykkest på midten, eftersom f > 0 betyder, at krumningsradien er numerisk størst for en evt. konkav overflade med R i < 0. Omvendt er spredelinser tyndest på midten. Hvis linsen ikke befinder sig i luft, erstattes omgivelsernes brydningsindeks. n med forholdet mellem linsens og Fortegnskonvention for linser - R > 0 for en konveks linseoverflade, og R < 0 for en konkav. i - f > 0 for en samlelinse, og f < 0 for en spredelinse. - q > 0 for virkelige billeder, og q < 0 for virtuelle billeder. Eksempler på strålegangsanalyse for tynde linser [F15] Den øverste opstilling i [F15] viser, hvordan en projektor kan projicere et virkeligt (og forstørret) billede op på en skærm. Fresnellinser Den brydning af en lysstråle, som fører til en linses billeddannelse, finder sted ved linsens overflade. Dette udnyttes i såkaldte Fresnellinser til kraftigt at reducere en linses tykkelse og dermed vægt under fastholdelse af den samme brændvidde [F16]. De herved opståede kanter forstyrrer dog billeddannelsen så meget, at Fresnellinser kun anvendes, når billedkvaliteten er mindre vigtig end vægt og brudstyrke, hvilket eks. er tilfældet i billygter [F17]. Linsefejl I ovenstående beskrivelse af linser har vi ligesom for spejle anvendt paraksialtilnærmelsen. Ligesom kugleformede spejle fokuserer kugleformede linser heller ikke en tyk lysstråle ned i ét punkt [F18]. Det er således kun de (paraksiale) stråler med en lille vinkel i forhold til hovedaksen, der fokuseres ned nær brændpunktet. Kugleformede linser er altså også kendetegnet ved sfærisk aberration, som kan afhjælpes ved afskærmning, hvilket gør billedet svagere, eller ved anvendelse af væsentligt dyrere parabelformede linser. i
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 8 af 12 Ifølge spejlloven er udfaldsvinkel lig indfaldsvinkel uanset bølgelængden af lyset. Brydningsloven derimod er dispersiv, idet brydningsindekset, og dermed brydningsvinklen, afhænger af lysets bølgelængde. Da lys med kortere bølgelængde brydes kraftigst, har blåt lys kortere brændvidde end rødt lys, hvilket giver anledning til en linsefejl kaldet kromatisk aberration ( kroma betyder farve på græsk) [F19]. Det er muligt at korrigere for kromatisk aberration ved at anvende sammensatte linsesystemer bestående af samle- og spredelinser lavet af materialer med forskellige brydningsindeks. <PAUSE> Kamera Et kamera består i bund og grund af en lystæt kasse ( camera betyder kammer på latin) med en lukkermekanisme, der lukker lys ind i afmålte mængder, og en samlelinse, der danner et virkeligt billede på en lysfølsom film [F20]. Fokusering Ved fokusering indstilles afstanden mellem linsen og filmen, sådan at den bliver lig billedafstanden q. Fokusering er et spørgsmål om at få alle stråler fra et givet punkt i objektet/motivet til at mødes i det samme punkt på filmen, idet billedet ellers bliver tværet ud. Lukkertid Jo længere tid, filmen belyses, jo svagere lysende motiver er det muligt at fotografere, men hvis objekt og kamera når at flytte sig i forhold til hinanden under belysningen, bliver fotografiet tværet ud. Ved bevægelige motiver anvendes således med fordel en kort lukkertid, hvorimod lyssvage motiver (eks. natbilleder) bedst fotograferes med lang lukkertid og med kameraet fikseret, eks. på en trefod. Typiske lukkertider varierer fra 1 250 s til 1 30 s.
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 9 af 12 Fotografisk film En fotografisk film består af en masse små lysfølsomme korn, som ved belysning ændrer deres kemiske sammensætning, på en sådan måde at kun de belyste (eksponerede) korn vil reagere med en fremkaldervæske. En farvefilm består af tre forskellige slags korn, der er lysfølsomme i hhv. den røde, grønne og blå del af spektret. En farvefilm har derfor ikke samme opløsning som en sort/hvid film. En films kornstørrelse sætter en grænse for hvor små detaljer, filmen er i stand til at gengive (stor kornstørrelse, lille opløsning). Men jo større kornene er, jo mindre lys (færre fotoner) skal der til for at belyse filmen. Valg af film er således et valg mellem stor opløsning (lille kornstørrelse) og stor lysfølsomhed (stor kornstørrelse). Når der står 100, 200 eller 400 på en fotografisk film, er det således et udtryk for kornstørrelsen. Digitalkamera I et digitalkamera er kornene i den fotografiske film erstattet af et mønster af elektroniske sensorer (CCD pixels), som registrerer lysintensiteten. Ved at gøre dette såkaldte CCD array mindre (typisk er det på størrelse med en fingernegl) er det muligt at gøre digitale kameraer små og praktiske. Analoge kameraers størrelse er derimod begrænset af filmens bredde på typisk 35mm. Hvor kornene i en fotografisk film registrerer mængden af lys, siden lukkeren blev åbnet, registrerer disse CCD pixels den øjeblikkelige lysmængde. Lysfølsomheden er derfor en egenskab ved den enkelte pixel, og der er derfor ingen ulemper henset til lysfølsomheden ved at gøre disse så små som muligt. Zoom Et kamera med optisk zoom indeholder et linsesystem, som enten forstørrer eller formindsker billedet (vidvinkeleffekt). På en skala, hvor 35 er uden zoom (35mm film), svarer 105mm zoom til 3x zoom (det, der før fyldte 1 cm i billedet, fylder nu 3cm). Optisk zoom er ikke det samme som digital zoom, hvor forstørrelsen ved digital zoom sker på bekostning af opløsningen og dermed billedkvaliteten (overpixelering).
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 10 af 12 Øjet Det menneskelige øje [F21] minder på mange måder om et kamera, idet en samlelinse danner et virkeligt, inverteret billede på den lysfølsomme nethinde. Nethinden består af ca. 125 millioner lysfølsomme celler (svarende til 125 megapixels), der kommunikerer synsoplevelsen til hjernen gennem ca. 1 million nervetråde. Punktet, hvor nervetrådene forlader øjet, indeholder ingen lysfølsomme celler og kaldes derfor det blinde punkt. De farvefølsomme tapceller er koncentreret nær øjets bageste del, hvorimod de mere lysfølsomme stavceller er koncentreret i den øvrige del af øjet og derfor giver anledning til det meget lysfølsomme perifere syn. Regnbuehinden iris, som bestemmer øjenfarven, fungerer som lukkermekanisme, idet den regulerer lysmængden ved at variere pupillens størrelse. Øjets billeddannelse I modsætning til et kamera fokuserer øjet ved at ændre linsens brændvidde, hvilket gøres ved at en muskel varierer linsens krumning. Når øjet fokuserer på noget, der er langt væk, er øjets muskler slappe og linsen har sin maksimale brændvidde svarende til afstanden mellem linsen og nethinden. Når øjet skal fokusere på noget, der er tættere på, øges linsens krumning, sådan at brændvidden mindskes, og billedet dannes på nethinden. Synskorrektion Øjets linse har en maksimal krumning og dermed en mindste brændvidde, og øjet kan derfor ikke fokusere på objekter, der befinder sig tættere på end den såkaldte nærpunktafstand. En langsynet person har en stor nærpunktafstand og kan dermed ikke mindske øjenlinsens brændvidde tilstrækkeligt til at fokusere på ting, der er tæt på. Øjenlinsens evne til at krumme sig sammen falder naturligt med alderen, og når nærpunktet er længere end en armslængde væk, taler man om gammelmandssyn. Langsynethed kan korrigeres ved at en samlelinse i form af et par briller eller kontaktlinser hjælper øjet med at fokusere, idet denne samlelinse danner et virtuelt billede, der er længere væk end nærpunktet [F22].
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 11 af 12 Den maksimale afstand, som øjet kan fokusere på, kaldes fjernpunktet. Som angivet på ovenstående tegning ligger fjernpunktet uendeligt langt væk for mennesker med normalt syn. En nærsynet person er imidlertid ikke i stand til at afslappe sin øjenlinse tilstrækkeligt til at fokusere på ting, der er langt væk, og har altså en endelig fjernpunktsafstand. Nærsynethed kan korrigeres ved at indsætte en spredelinse foran øjet, idet denne spredelinse danner et virtuelt billede, der er tættere på end fjernpunktet [F23]. Det billede, som briller eller kontaktlinser danner, er således objekt for øjets linse. Styrken P af brilleglas eller kontaktlinser defineres som 1 P, [ P] = diopter. f En styrke på eks. 4 svarer således til en spredelinse med en brændvidde på f = 25 cm. En del af øjets fokusering finder sted i hornhinden, og det er derfor muligt at foretage synskorrektion ved at ændre på hornhindens form, hvilket i praksis gøres ved at fordampe et antal cellelag vha. en laserstråle. Ved korrektion for nærsynethed skal hornhinden gøres tyndere på midten, hvorimod det omvendte er tilfældet ved korrektion for langsynethed. Hulkamera Et kasse med et lille hul i vil afbillede ethvert punkt i et motiv ned i ét punkt og dermed danne et skarpt billede uden behov for fokusering og vil desuden i sagens natur være helt uden linsefejl! Grunden til at sådanne hulkameraer ikke oversvømmer markedet er dels de problemer, som opstår, når lys skal udbrede sig gennem små huller (dette vil vi komme nærmere ind på i næste lektion), og dels at lysintensiteten til brug for billeddannelsen vil i sagens natur være meget lille. De linser, som anvendes i kameraer eller i et øje, har således som deres fornemste opgave at lade mange lysstråler fra et givet objektpunkt bidrage til billeddannelsen. Når folk med briller oplever at kunne stille skarpt ved at knibe øjnene sammen eller kigge gennem et lille hul, er det et udtryk for denne hulkamera-effekt.
Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 12 af 12 Næste gang: Mere om lysets bølgeegenskaber (interferens, diffraktion, polarisation) (38.1, 37.1-2, 37.6, 38.5-6) samt lasere (42.8-9, 35.8). Opgaver: 36) 7, 11, 13, 27, 29, 37, 41 2, 45 3. 2 Figure 36.33 er gengivet i [F20]. 3 Hint: Kontaktlinsen skal få lys, som kommer uendeligt langt væk fra, til at se ud som om det kommer fra fjernpunktet.