Lys Partikel- eller bølgemodel figur 1. En representation af en linear polariseret elektromagnetisk bølge som bevæger sig i x

Transkript

1 Vi skal snakke om lys generelt. Først som elektromagnetiske bølger for at få sammenhængen med bølgelæren vi havde i sidste lektion og elektromagnetismen fra sidste år( SJ6.ed, SJ7.ed). Dernæst skal vi se hvordan lys kan tilnærmes som stråler ( SJ ed), analysere strålegangene ved spejle og gennem linser ( SJ ed) og slutteligt se hvordan øjet og et mikroskop virker i princippet ( SJ ed). Lys Partikel- eller bølgemodel Fra antikkens grækere op til slutningen af det 17. årh. blev lys opfattet som en byge af partikler. En meget fremtrædende fortaler for denne opfattelse var Sir Isaac Newton, som i 1672 fremsatte sin partikelteori for lys 1. Men i 1678 fremsatte hollænderen Christiaan Huygens en på daværende tidspunkt meget kontroversiel teori, hvori han beskrev lys som et bølgefænomen. Teorien blev generelt afvist, bl.a. med det argument, at en lysbølge ved passage af en forhindring ville blive afbøjet, sådan at det ville være muligt at se om hjørner. I 1801 påviste englænderen Thomas Young, at to lysstråler kan udslukke hinanden (interferere destruktivt). Dette, sammen med en række andre resultater, kulminerende med Maxwells beskrivelse i 1873 af lys som en elektromagnetisk bølge (figur 1), til en udbredt accept af bølgebeskrivelsen af lys på bekostning af den tidligere partikelmodel. figur 1. En representation af en linear polariseret elektromagnetisk bølge som bevæger sig i x- aksens retning med hastigheden c. Bemærk hvordan det E og B oscillerer omkring x aksen som sinus bølger. Maxwells ligninger havde stor succes, fordi de svarede på mange af datidens spørgsmål, og så kan man måske også driste sig til at synes at de er elegante, hvis man kan mene noget sådant om fysik. 1 Det skal nu ikke forstås sådan at han var langt foran sin tid med en moderne teori for lys. Newton beskæftigede sig også en del med alkymi og andre af datiden aristokratiske sysler. På trods af disse knapt så heldige ting må vi stadig se hans afhandling, Principia Mathematica, som et mesterværk. Den lancerede i det væsentlige den videnskabelige tankegang. Måske det litterære værk, som har haft størst betydning for moderne tankegang i det sidste årtusinde. 1/24

2 q E d = (Gauss lov) ε 0 (1.1) B d = 0 (Gauss lov) (1.2) dφ B E d = (Faraday s lov) dt (1.3) dφ E B d = µ 0I + µ 0ε0 (Ampére-Maxwll s lov) dt (1.4), E er det elektriske felt, B er det magnetiske felt, da er et lille areal gennem hvilket felterne betragtes, ds er en lille lukket vej over hvilken der skal integreres, Φ og Φ er hhv. den elektriske og magnetiske fluks gennem den integrerede vej. ε 0 er permittiviteten af vakuum, q er ladning, I er strøm. Vi skal se hvordan man ud fra Faraday s (1.3) og Ampere-Maxwells (1.4) love kan vise, at elektromagnetiskstråling er bølger, som udbreder sig med lysets fart i vakuum. I vakuum er der af gode grunde ingen ladninger, og derfor heller ingen strøm, så q = 0 og I = 0. Man kan vise at Faraday s og Ampere-Maxwells love kan omskrives til E B = (1.5) x t B E = µε 0 0 (1.6) x t Vi skal ikke vise det her, men skulle der være lidt tid juleaften eller sådan noget, så er det alle tiders underholdning at vise det. Lad os nu differentiere (1.5) og indsætte (1.6) så får vi: 2 2 E B B E = µε 2 = = 0 0 (1.7) 2 x x t t x t Så gør vi det sammen bare omvendt. Vi differentierer (1.6) og indsætter (1.5). 2 2 B E E B = µε = µε 0 0 = µε 0 0 (1.8) 2 x x t t x t 1 Hvis nu der havde stået v 2 i stedet for µ 0ε 0, ville vi have genkendt bølgeligningen med det samme. Så hvis vi kalder lysets fart c og kan vi se at: 1 1 = µε c = (1.9) c µ ε Altså har vi vist at Maxwells ligninger forudsiger elektromagnetiske bølger, som udbreder sig gennem vakuum med lysets fart. Det elektromagnetiske spektrum Vi har lige set at lysets hastighed i vakuum er en naturkonstant. Der er også en nær og simpel sammenhæng mellem lysets hastighed, c, frekvensen, υ 2, og bølgelængden, λ, nemlig: c = λυ 0 0 E B 2 Læg mærke til at lyset frekvens betegnes med υ, ikke at forveksle med lysets fart som kaldes c i vakuum. Lysets fart i andre medier kaldes stadig v. 2/24

3 Det vil sige, ved højere frekvens er bølgelængden lavere, og omvendt. Figur 2. Det elektromagnetiske spektre. Som I ved er elektromagnetisk stråling karakteriseret ved frekvensen eller bølgelængden som vist på figuren. Læg mærke til at det synlige spektrum kun udgør en ganske lille del af den elektromagnetiske stråling. Maxwell s ellers så succesrige bølgemodel kunne imidlertid ikke forklare, hvorfor energien af elektroner løsrevet fra en metaloverflade ved den såkaldte fotoelektriske effekt er uafhængige af lysets intensitet. Albert Einstein kunne i 1905 forklare den fotoelektriske effekt ved at lysets energi 34 kommer i udelelige portioner E = hυ kaldet fotoner, hvor h 6,63 10 Js er Plancks konstant 3. Løsrivelsen af en elektron sker således ved overførslen af energien fra én foton, hvorfor elektronens efterfølgende kinetiske energi ikke er uafhængig af lysets intensitet. Intensiteten er blot et udtryk for antallet af fotoner. Dét var der dog ikke mange der troede på, ikke engang Plank, blandt andre tvivlere kan nævnes Bohr og Hertz. I 1921 fik Einstein dog Nobel prisen, så på det tidspunkt var man da blevet nogenlunde enige om rigtigheden af Einsteins betragtninger. Dette var startskuddet til den moderne fysik. I første omgang var Niels Bohr ikke overbevist om den her kvantisering af Einsteins lys, men der var en del ting som Bohr ikke kunne forklare om sine atomer. I den klassiske fysik ville brintatomet ikke overleve længere en 0,5 s. Bohr lancerede efter nogen tids tøven en kvantiserings teori for elektronernes energi omkring atomkerne. Han forkastede fuldstændigt den klassiske fysik. Einstein derimod kæmpede resten af sit liv for at finde sammenhængen mellem den klassiske fysik og denne nye kvantefysik. I mellemtiden nåede han også lige at fremsætte relativitetsteorierne. 3 Planck havde allerede på det tidspunkt indført kvantisering til at forklare strålingsspektret af en glødetråd. 3/24

4 Partikel-bølge-dualiteten Som antydet er fotonenergiens afhængighed af lysets frekvens, men var Einsteins teori ikke en tilbagevenden til Newtons partikelteori. Fotonerne er nemlig kendetegnet ved en fase, sådan at to fotoner i modfase kan udslukke hinanden. Lyset har således både partikel- og bølgenatur (den såkaldte partikel-bølge-dualitet), og adskiller sig derfor fundamentalt fra alle dagligdagsfænomener. Den menneskelige hjerne er bedst til at begribe ting, som kan opfattes med vores sanser, og må derfor kombinere to modstridende mentale billeder, partikler og bølger, for at forstå, hvad lys egentlig er. Partikel-bølge-dualiteten er ikke speciel for lys, men kendetegner ifølge kvantemekanikken al stråling og al stof (elektroner, protoner, neutroner, atomer, molekyler, osv.), og dermed alle universets bestanddele! Det viser sig, at lys i en given sammenhæng udviser enten partikel- eller bølgeadfærd, og man kan således komme langt i sin beskrivelse af lysfænomener ved skiftevis at anvende en partikelmodel eller en bølgemodel. Dette er selvfølgelig utilfredsstillende, og der findes da også én samlet teori for lys kaldet kvanteelektrodynamikken. Men en samlet teori for andre partikler findes ikke. Det er moderne fysikeres fineste mål at finde en sådan teori for alt, men det er ikke pensum i dette kursus. I det følgende vil vi nøjes med at fokusere på lysets bølgeegenskaber og endda tilnærme det med en beskrivelse af strålegangen og den følgende geometri. Når vi beskæftiger os med fysik, opstiller vi ofte modeller, til at beskrive de fænomener vi observerer. Der findes hovedsagligt 3 modeller der beskriver lys under forskellige forhold. Geometrisk optik: Bølgelængden er kort i forhold til dimensionerne på udstyret og fotonernes energi er lav i forhold til energifølsomheden af måleudstyret. Bølge optik: Bølgelængden er i samme størrelsesorden som udstyret og fotonernes energi er lav i forhold til energifølsomheden af måleudstyret. Partikel optik: Hvis bølgelængden er kort, dvs. frekvensen og energien er høj, kan bølgefænomener igen negligeres kan den elektromagnetiske stråling betragtes om partikler. Geometrisk optik Inden for den geometriske optik beskrives lysudbredelsen vha. bølgefronter og strålegange under anvendelse af den såkaldte strålegangstilnærmelse. I strålegangstilnærmelsen antages lys i homogene medier at udbrede sig efter rette linier kaldet strålegange, sådan at lyset kun skifter retning ved overgange mellem medier med forskellige brydningsindeks. Strålegangstilnærmelsen er kun gyldig for λ d, hvor d er udstrækningen af de objekter, herunder huller, som lyset møder på sin vej (figur 3). I tilfælde (b) og (c) er strålegangstilnærmelsen således ikke opfyldt, idet lyset skifter retning, selvom det hele tiden udbreder sig i luft. At lyset på denne måde løber om hjørner, når det møder små forhindringer, kaldes diffraktion. 4/24

5 figur 3. En plan bølge med bølgelængden λ møder en barriere med et hul med størrelsen d. (a) Når λ << d fortsætter bølgefronten i en lige linje på den anden side af barrieren. (b) Når λ ~ d spredes lyset på den anden side. (c) Hvis λ >> d vil åbningen virke som en punkt kilde og udsende sfæriske bølger. Lys ved en grænseflade Når en lysstråle møder en grænseflade mellem to forskellige medier, vil en del af lysstrålen blive reflekteret og den resterende del blive transmitteret (figur 4) (tænk på et vindue, som man både kan se igennem og samtidig se sit spejlbillede i). figur 4. Lys reflekteres og brydes i en glasoverflade. Refleksion Lad os se på hvordan en lysstråle reflekteres. Huygen betragtede en lysstråle som bølger. Han mente at, fra enhver bølgefront udgik der ringformede bølger. Kun de bølger der interfererer konstruktivt vil overleve. Det vil sige at de bølger der har toppe samme sted overlever. Det betyder at en bølgefront vil forblive en bølgefront. Hvis vi betragter en lysstråle (eller bølgefront), som reflekteres vil vi kunne finde refleksionsvinklen. Den reflekterede stråle udbreder sig i den retning, hvor betingelsen for konstruktiv interferens er opfyldt (figur 5): BC AD cos( γ ) = og cos( γ ') = (1.10) AC AC 5/24

6 Og da BC er lig AD, er cos( γ ) = cos( γ ') og da γ = 90 θ og γ ' = 90 θ ', fås at θr = θi Svarende til at refleksionsvinklen er lig indfaldsvinklen. Denne sammenhæng er kendt som refleksionsloven. figur 5. Huygens forklaring på refleksion. Lyset reflekteres kun i den retning hvor der er positiv interferens. Et spejls overflade skal være glat, sådan at en lysstråle reflekteres i en ganske bestemt retning (jvf. begrebet spejlblank) (figur 6). figur 6. En blank overflade reflekterer lys I samme retning, mens en ru overflade spreder lyset. Hud er ru og ikke glat, og da refleksion af lys fra hud desuden finder sted ned til forholdsvis stor dybde, er huden mat og ikke blank. Vi skal senere i kurset se mere på hvad der sker når lys rammer huden. Implementeringen af denne dybderefleksion har forbedret livagtigheden af computeranimerede figurer som Gollum, hvilket udløste en teknisk Oscar til den danske datalogiprofessor Henrik Wann Jensen. Brydning Lad os betragte det transmitterede lyse. Med Huygens argumentation vil der være en bølgefront hvor der er konstruktiv interferens. På figur 7 er der illustreret en lystråle, der rammer en grænseflade. Lad os først gøre nogle simple geometriske betragtninger. Først BC AD sinθ 1 = og sinθ 2 = (1.11) AC AC 6/24

7 Man kan også beskrive afstanden BC, som lysets hastighed i medium 1 gange den tid det tager lyset at bevæge sig fra B til C, altså BC = v1 t, på samme måde vil AD = v 2 t. Hvis man indsætter det i ligning 1.12 og deler de to ligninger med hinanden får man Eller sinθ AC v t v = = sinθ AC v t v sinθ sin v θ = 2 v (1.12) 2 For v1 > v 2 gælder således θ 1 > θ 2 og omvendt. figur 7. På samme måde som lyset reflekteres, brydes lyset også kun i den retning hvor der er positive interferens. Lyset brydes altså, når det møder en overgang mellem to medier, hvori det udbreder sig med forskellig fart (på samme måde som en rullende tønde skifter retning, når den ruller fra asfalt til græs eller omvendt). Eller som snorbølger har forskellig fart i snore med forskellige tykkelser. Det er lysets brydning, der får en pind til at knække, når den nedsænkes i vand. 8 Når en foton bevæger sig, sker det altid med lysets fart c 310 m s. Når lys udbreder sig i stof, vil de fotoner, som rammer et atom eller et molekyle, kunne blive absorberet, hvorved fotonen går til grunde og overfører sin energi til stoffets elektroner. En del af den absorberede energi vil blive genudsendt i form af nye fotoner, der fortsætter deres udbredelse gennem materialet, hvorimod den resterende del bliver til varme og fører til en svækkelse af lysstrålen. Da der går tid mellem en fotons absorption og genudsendelse, vil lys udbrede sig langsommere i stof end i vakuum, idet lyset således udbreder sig langsommere, jo tættere stoffet er. Lys udbreder sig praktisk talt med samme fart i luft som i vakuum, hvorimod det i glas og vand udbreder sig ca. 1,5 gang langsommere, og i et metal som aluminium ca. 200 gange langsommere. Et materiales brydningsindeks, n, udtrykker, hvor mange gange langsommere lys udbreder sig i det pågældende materiale ift. vakuum/luft: 7/24

8 Udtryk (1.12) kan således skrives sinθ sin c n 1 (1.13) v n 1 2 θ = 2 n eller 1 n1sinθ1 n2sinθ2 = (1.14) hvilket er kendt som brydningsloven eller Snells lov. I øvrigt fås λ c/ υ c λ = = = n λn = (1.15) λn vn / υ vn n Bølgelængden bliver således mindre, når en lysstråle går fra luft til et andet medie, idet lysstrålen herved bremses op. Total intern brydning Lad os se på en lysstråle som udbredes i et medium med brydningsindeks n 1. Lysstrålen møder en grænse med vinklen, θ 1, til et andet medium med n 2. (figur 8) Som vi har set bestemmes brydningen til det nye medium efter Snells lov (1.14), men lad os se på tilfældet hvor n 1 > n 2, altså hvor lyset kommer fra et medium med højere brydnings, fx glas til et medium med lavere brydningsindeks, fx luft. Vinklen af det brudte lys vil være givet ved: n1 sinθ2 = sinθ 1. (1.16) n2 n1 Da 1 n > kan dette ikke gælde for alle θ 1, så hvis θ 1 bliver større end en kritisk 2 vinkel, θ c, vil lyset ikke brydes, men reflekteres. θc er givet ved n2 sinθ c =, (for n 1 > n 2 ) (1.17) n1 På den måde vil lyset altså blive i det første medium. Dette fænomen kaldes total intern brydning, eller total refleksion. figur 8. En bølge bevæger sig fra et medium med højere refraktionsindeks til et medium med lavere refraktionsindeks. Hvis indfaldsvinklen er for stor kan lyset ikke brydes, men reflekteres tilbage. 8/24

9 Lyslederkabler, eller optiske fibre, er konstrueret med en kerne med at højt brydningsindeks n 1 omgivet af en kappe med brydningsindekse n 2 hvor det netop gælder at n 1 > n 2, (figur 9a). Udenom igen er der en kappe for at beskytte fiberen. Lyset i fiberen kan ikke slippe ud andre stede end enderne. På den måde kan men sende lys over lange afstande, eller få det bragt til steder, som ikke er så nemt fremkommelige. Som det ses af (figur 9b) kan en optisk fiber bøjes, men hvis den bøjes så meget at lyset ikke længere rammer væggen med en vinkel θ 1 > θ c vil lyset slippe ud af fiberen. figur 9. En optisk fiber. (A) En optisk fiber består af en kerne med højt refraktionsindeks omgivet af et lag med lavere brydnings indeks. (B) Lyset kan ikke undslippe kernen så længe fiberen ikke bøjes for meget. Dispersion En lysstråles udbredelsesfart i et materiale, og dermed materialets brydningsindeks, afhænger af lysets bølgelængde: n (λ). For glas og de fleste andre materialer er n (λ) en aftagende funktion, og rødt lys brydes således mindre end blåt lys ved en overgang mellem luft og glas (figur 10). figur 10. Refraktionsindekset er en funktion af bølgelængden. Prisme 9/24

10 Ovenstående fænomen er kendt som dispersion og forklarer, hvorfor en hvid lysstråle splitter op i sine farvebestanddele, når den sendes gennem et glasprisme (figur 11). Det var i øvrigt vha. sådant et prisme, at Newton opdagede, at det hvide sollys indeholder alle regnbuens farver. figur 11. En bestemt bølgelængde af lys vil brydes som δ, men andre bølgelængder vil brydes anderledes. På den kan hvidt lys spildtes op i forskellige farver. Regnbue Hvidt sollys reflekteret i en vanddråbe vil pga. dispersionen splitte op i de forskellige farver (figur 12), sådan at man i regnvejr med solen bag sig vil se en regnbue med centrum i forbindelseslinien mellem solen og øjnene. Jo lavere solen står på himlen, jo mere af en halvcirkel vil regnbuen således udgøre. Den del af sollyset, som tager en ekstra tur rundt i regndråben, inden det bryder ud igen, ses som en væsentligt svagere andenordens regnbue, i hvilken farverækkefølgen er byttet om. figur 12. (A) Lysets gang gennem en regndråbe. (B) Regnbuen som den observeres. Farvebegrebet Når hvidt sollys rammer et grønt blad, vil en del af lyset blive absorberet, og en del af lyset vil blive reflekteret, eks. op i vores øjne, så vi kan se bladet. De klorofylmolekyler, som udgør bladets grønkorn, absorberer hovedsageligt i den røde del af spektret, som derfor vil mangle i det reflekterede lys. Når vores øjne opfanger lys, hvori den røde del af spektret mangler, fortolker vores hjerner lyset som værende grønt, idet rød og grøn er hinandens komplementærfarver. Farvebegrebet er således ikke kun en egenskab ved lyset, men er i høj grad bestemt af vores hjerner. Hvis ovenstående mekanisme ikke fungerer, er man rød-grøn farveblind. En nissehue er tilsvarende rød, fordi den hovedsageligt absorberer i den grønne del af spektret. En appelsin er orange, fordi den absorberer i den blå del af spektret, idet blå og orange er 10/24

11 hinandens komplementærfarver, osv. En tavle er sort, fordi den absorberer i hele den synlige del af spektret, og et stykke kridt er hvidt, fordi det ikke absorberer i den synlige del af spektret. Optisk billeddannelse I det flg. beskrives spejle og linsers virkemåde inden for strålegangstilnærmelsen, hvor lyset under antagelsen λ d udbreder sig efter rette linier. Optisk billeddannelse udnytter det faktum, at et objekt udstråler lys i alle retninger, hvad enten det lyser af egen kraft eller blot reflekterer lys fra en lyskilde. Plane spejle Spejlbilledet af et punkt O i et plant spejl findes ved at følge et antal strålegange fra O under overholdelse af refleksionsloven, idet spejlbilledet I er der, hvor strålerne ser ud til at divergere fra. Bemærk, at I s placering er uafhængig af observatørens placering (figur 13). figur 13. Spejlbilledet af et punkt O spejlbilledet I. Da strålerne ikke har passeret I, er I et virtuelt billede. Hvis strålerne passerer gennem billedet, kaldes det et reelt billede. Alle spejlbilleder fra plane spejle er virtuelle billeder. For et udstrakt legeme, som f.eks. en person, der kigger sig i spejlet, følges strålegangene fra et tilstrækkeligt antal karakteristiske punkter. Denne metode til at fastlægge billeddannelsen i et spejl eller en linse kaldes strålegangsanalyse. For plane spejle gælder, at spejlbilledet er lige så langt bag spejlet, som objektet er foran det, og dermed er det plane spejls forstørrelse M givet ved II 1 2 M = 1 (1.18) OO Konkave spejle og konvekse spejle Et spejl på indersiden af en kugleoverflade kaldes et konkavt spejl, og et spejl på ydersiden af en kugleoverflade kaldes et konvekst spejl. Brændpunkt og brændvidde /24

12 Når et tyndt bundt parallelle lysstråler (plan bølge) reflekterer fra et konkavt spejl, vil de reflekterede stråler med god tilnærmelse mødes i det samme punkt (konvergerende kuglebølge) (figur 14). Dette punkt kaldes spejlets brændpunkt, og afstanden fra spejlet til brændpunktet er spejlets brændvidde. Da lyset fra en uendeligt fjern punktkilde netop er kendetegnet ved at være en plan bølge, er det konkave spejls brændpunkt således der, hvor der dannes et virkeligt billede af en uendeligt fjern punktkilde. figur 14. Refleksionen af parallelle stråler i et konkavt spejl. Virkelige billeder i modsætning til virtuelle billeder kan projekteres op på en skærm. På skærmen placeret i brændpunktet ville der således fremkomme et skarpt billede af den uendeligt fjerne punktkilde, hvorimod billedet i alle andre afstande ville være udtværet (ude af fokus). Når en tynd lysstråle i form af en plan bølge reflekterer fra et konvekst spejl, vil der med god tilnærmelse dannes en divergerende kuglebølge (figur 15). Punktet, hvorfra denne kuglebølge ser ud til at udgå, er det konvekse spejls brændpunkt. figur 15. Billedformation af et billede i et sfærisk spejl. Spejlloven figur 16 viser en strålegangsanalyse for et konkavt spejl. 12/24

13 figur 16. Strålegangsanalyse af et konkavt sfærisk spejl. Billedet I formes af objektet O, som ligger uden for spejlets centrum. C: Spejlets krumningscentrum (kuglens centrum) R: Spejlets krumningsradius Da det herved fremkomne virkelige billede er vendt på hovedet (inverteret), anvendes h h' fortegnskonventionen h < 0, sådan at tanθ = = og dermed p q h' q M = = (1.19) h p Forstørrelsen M er altså et udtryk for, hvor mange gange længere væk fra spejlet billedet er i forhold til objektet. Desuden fortæller det negative fortegn at billedet er inverteret. Yderligere ses at tan h h' α p R R q h' R q = = sådan at =. h p R Kombineret med (1.19) giver dette R q q ( R q) p q( q R) = ( R q) p= q( p R) = = p R p Rqp Rqp q R R p svarende til = (1.20) p q R 1 R Et objekt i form af en uendeligt fjern punktkilde ( p p = 0 ) har således q = 2, så da en uendeligt fjern punktkilde pr. definition afbilledes i brændpunktet, er brændvidden, f, givet ved R f = (1.21) 2 Der gælder dermed flg. spejllov for kugleformede spejle: = + = (1.22) f p q R 13/24

14 Ud fra kendskab til spejlets udformning (R eller f) gør spejlloven det således muligt at beregne billedafstanden, q, ud fra objektafstanden, p, idet q angiver, hvor langt fra spejlet man skulle anbringe en skærm for at få et skarpt billede (i afstanden q fra spejlet er billedet i fokus). Sfærisk aberration En tyk lysstråle reflekterer ikke ned i ét punkt, men bliver smurt ud over et område mellem spejlets brændpunkt og spejlets overflade. Dermed vil spejlbilledet af en punktkilde være uskarpt (figur 17). Denne afbildningsfejl, som kendetegner kugleformede spejle, kaldes sfærisk aberration. figur 17. Sfærisk aberration. Sfærisk aberration kan begrænses ved at afskærme spejlet, sådan at det kun er en begrænset del af lyset, som bidrager til billeddannelsen. En sådan afskærmning vil i sagens natur gøre billedet mindre lys stærkt. Sfærisk aberration kan helt undgås ved at anvende parabelformede spejle (figur 18), men sådanne parabolspejle er langt dyrere at fremstille end kugleformede spejle. figur 18. Parabolske spejle kendetegnes ved at lyset fra en fjern kilde konvergerer i et punkt. Paraksialtilnærmelsen Vi vil betragte kugleformede spejle, som enten er små eller afskærmede. De betragtede spejle vil således kun reflektere tynde lysstråler, og dermed vil vi kunne se bort fra den sfæriske aberration og opnå skarpe spejlbilleder. Et tyndt bundt lysstråler er tilnærmelsesvist parallelle, og derfor kaldes denne tilnærmelse for paraksialtilnærmelsen, eller parallaksetilnærmelsen. Tynde linser I det følgende skal vi udlede linseloven for tynde linser. Først ser vi på en halvlinse. Eller mere nøjagtigt ser vi på overgangen mellem to medier med brydningsindeksene n 1 og n 2. Senere skal vi bruge vores viden om en halv linse til at beskrive en hel linse, men lad os tage et halvt skridt ad gangen. 14/24

15 Overfladen af materialet med brydnings n 2 beskrives af en cirkel (eller kugle, men vi ser blot på to dimensioner) med centrum i C. Objektet, O, er placeret i mediet med n 1 og billedet, I, i mediet med n 2. figur 19. En halvlinse med n 1 < n 2. Snell s lov beskriver forholdet mellem den indkomne og den transmitterede stråle ved grænsefladen mellem to medier. n1sinθ1 = n2sinθ2 (1.23) Lad os arbejde inden for parallaksetilnærmelsen hvor vinklerne er små. Derfor er sinθ1 θ1 og Snell s lov bliver: n1θ 1= n2θ 2 (1.24) Vi skal nu benytte af reglen om at en udvendig vinkel i en trekant er lig de to modsatte indvendige vinkler. Det ses af figur 19 at θ1 = α + β (1.25) β = θ2 + γ Hvis vi indsætter dette i den tilnærmede Snells lov fås: nα + n γ = n n β (1.26) ( ) Nu skal vi igen bruge en af approksimationerne for små vinkler, nemlig at tanθ θ. Derfor er: d d d α, β, γ p R q Dette indsættes i den foregående ligning: n1 n2 n2 n + = 1 (1.27) p q R På den måde kan vi slippe af med vinklerne finde en sammenhæng mellem objektets og billedes placering blot ud fra radius og refraktionsindeks. Det betyder at alle stråler fra O samles i I, blot de rammer den sfæriske overflade med en lille vinkel. Vi skal nu bruge dette til at se på en hel linse. Vi skal antage at linsen er tynd, det vil sige at dens tykkelse t << R, men det kommer først senere. Tricket er at forstå lysets overgang fra luft til linse som beskrevet, og så se på lyset i overgangen fra linse til luft på den anden side, som om det stammer fra billedet produceret som vi lige har beskrevet det. 15/24

16 figur 20. En linse med to radier, og en masse hjælpelinjer til at bestemme billedets placering. Lad os se på en linse slebet med to overflade radier R 1 og R 2 (figur 20). Objektet O er placeret med afstanden p 1 fra overflade 1. Vi antager også at luften har brydningsindekset 1 og linsen har brydningsindekset n. Da bliver ligning (1.10): 1 n n 1 + = (1.28) p1 q1 R1 Dette beskriver spejlingen på den første overflade af linsen. Nu bruger vi ligning (1.10) igen for at beskrive brydningen i den anden overflade. Da er n 1 = n og n 2 = 1. n 1 1 n + = (1.29) p2 q2 R2 Nu bruger vi tricket at billedet som bliver dannet af den første overflade virker som objekt for den anden overflade. Derfor forholder p 2 sig til q 1 som følger. Virtuelt billede fra overflade 1 (figur 20 øverst): p 2 = -q 1 + t. Virkeligt billede fra overflade 1 (figur 20 nederst): p 2 = -q 1 + t. Men hvis t << R kan t elimineres, og hvis man kalder p 1, p og q 2, q, får man: = ( n 1) p q R1 R (1.30) 2 At afbillede en kollimeret lysstråle ned i et punkt svarer til at danne et virkeligt billede af en uendeligt fjern punktkilde. For at finde fokuslængden f, lader vi p gå mod uendelig. Som for spejle q > 0 er for virkelige billeder, og brændvidden er dermed positiv for samlelinser: f > 0. qp En samlelinse er også kendetegnet ved, at den kollimerer lyset fra en punktkilde placeret i brændpunktet: for p = f. p 16/24

17 1 1 1 = ( n 1) f R R (1.31) 1 2 Dette kaldes linsemagerens ligning. Hvis vi indsætter den i den ovenstående ligning fåes linseloven: = (1.32) p q f En tynd linse er et materiale (eks. glas eller plastik), som vha. lysets brydning ændrer en lysstråles udbredelsesretning (figur 21) figur 21. Effekten af en samlelinse og en spredelinse. De her beskrevne linser er udformet med kugleformede overflader, der ses bort fra linsernes tykkelse, og der arbejdes inden for paraksialtilnærmelsen. Samlelinser En samlelinse er kendetegnet ved, at den fokuserer en kollimeret (parallel) lysstråle ned i et punkt i den såkaldte brændplan, der ligger i en brændviddes afstand f fra linsen (figur 22). Da lys kan ramme en linse fra to sider, er linser kendetegnet ved to brændpunkter på hver sin side af linsen. 17/24

18 figur 22. Samlelinse hvor lyset ikke kommer ind langs aksen. Billedet samles i fokusplanet. Hvis den kollimerede lysstråle er parallel med linsens hovedakse, fokuseres den ned i det bageste brændpunkt F 2 (figur 21, øverst). Spredelinser En spredelinse er kendetegnet ved, at den af lyset fra en uendeligt fjern punktkilde danner et virtuelt billede i sit forreste brændpunkt F 1 (figur 21, nederst). Brændvidden er dermed negativ for spredelinser: f < 0. qp Strålegangsanalyse For en samlelinse/spredelinse tegnes flg. 3 strålegange fra det nødvendige antal karakteristiske punkter (figur 23): 1. Parallelt med hovedaksen og transmitteret gennem bageste/væk fra forreste brændpunkt. 2. Mod midten af linsen og lige igennem, (med det argument, at linsens to overflader her er parallelle). 3. Gennem forreste/mod bageste brændpunkt og transmitteret parallelt med hovedaksen. figur 23. Strålegangsanalyse for tynde linser (a) når objektet er plaseret uden for brændpunktet af en samlelinse (b) når objeketet er placeret inden for brændpunktet af en samlelinse og (c) foran brændpunktet af en spredelinse. Ud fra de to ligedannede trekanter beskrevet af hovedaksen, strålegang 2 og hhv. objekt og billede fås som for spejle: h' q M = =. (1.33) h p 18/24

19 Virkelige billeder (q > 0) er således inverterede (M < 0), hvorimod virtuelle billeder er ret op og ned. Fresnellinser Den brydning af en lysstråle, som fører til en linses billeddannelse, finder sted ved linsens overflade. Dette udnyttes i såkaldte Fresnellinser til kraftigt at reducere en linses tykkelse og dermed vægt under fastholdelse af den samme brændvidde (figur 24). De herved opståede kanter forstyrrer dog billeddannelsen så meget, at Fresnellinser kun anvendes, når billedkvaliteten er mindre vigtig end vægt og brudstyrke, hvilket eks. er tilfældet i billygter, eller landings guide lyset på en et hangarskib. figur 24. Fresnel linsen til venstre har samme brændvidde, men meget mindre masse. Linsefejl I ovenstående beskrivelse af linser har vi ligesom for spejle anvendt paraksialtilnærmelsen. Ligesom kugleformede spejle fokuserer kugleformede linser heller ikke en tyk lysstråle ned i ét punkt (figur 25). Det er således kun de (paraksiale) stråler med en lille vinkel i forhold til hovedaksen, der fokuseres ned nær brændpunktet. Kugleformede linser er altså også kendetegnet ved sfærisk aberration, som kan afhjælpes ved afskærmning, hvilket gør billedet svagere, eller ved anvendelse af væsentligt dyrere parabelformede linser. figur 25. Sfærisk aberration for en samlelinse. Ifølge spejlloven er udfaldsvinkel lig indfaldsvinkel uanset bølgelængden af lyset. Brydningsloven derimod er dispersiv, idet brydningsindekset, og dermed brydningsvinklen, afhænger af lysets bølgelængde. Da lys med kortere bølgelængde brydes kraftigst, har blåt lys kortere brændvidde end rødt lys, hvilket giver anledning til en linsefejl kaldet kromatisk aberration ( kroma betyder farve på græsk) (figur 19/24

20 26). Det er muligt at korrigere for kromatisk aberration ved at anvende sammensatte linsesystemer bestående af samle- og spredelinser lavet af materialer med forskellige brydningsindeks. figur 26. Kromatisk aberration Øjet Det menneskelige øje (figur 27) minder på mange måder om et kamera, idet en samlelinse danner et virkeligt, inverteret billede på den lysfølsomme nethinde. Nethinden består af ca. 125 millioner lysfølsomme celler (svarende til 125 megapixels), der kommunikerer synsoplevelsen til hjernen gennem ca. 1 million nervetråde. Punktet, hvor nervetrådene forlader øjet, indeholder ingen lysfølsomme celler og kaldes derfor det blinde punkt. De farvefølsomme tapceller er koncentreret nær øjets bageste del, hvorimod de mere lysfølsomme stavceller er koncentreret i den øvrige del af øjet og derfor giver anledning til det meget lysfølsomme perifere syn. Regnbuehinden iris, som bestemmer øjenfarven, fungerer som lukkermekanisme, idet den regulerer lysmængden ved at variere pupillens størrelse. figur 27. Tværsnit af øjet. Øjets billeddannelse I modsætning til et kamera fokuserer øjet ved at ændre linsens brændvidde, hvilket gøres ved at en muskel varierer linsens krumning. Når øjet fokuserer på noget, der er langt væk, er øjets muskler slappe og linsen har sin maksimale brændvidde svarende til afstanden mellem linsen og nethinden. Når øjet skal fokusere på noget, der er tættere på, øges linsens krumning, sådan at brændvidden mindskes, og billedet dannes på nethinden. Synskorrektion 20/24

21 Øjets linse har en maksimal krumning og dermed en mindste brændvidde, og øjet kan derfor ikke fokusere på objekter, der befinder sig tættere på end den såkaldte nærpunktafstand. En langsynet person har en stor nærpunktafstand og kan dermed ikke mindske øjenlinsens brændvidde tilstrækkeligt til at fokusere på ting, der er tæt på. Øjenlinsens evne til at krumme sig sammen falder naturligt med alderen. Dette skyldes at proteinerne i linsen denaturer. Når nærpunktet er længere end en armslængde væk, taler man om gammelmandssyn. Langsynethed kan korrigeres ved at en samlelinse i form af et par briller eller kontaktlinser hjælper øjet med at fokusere, idet denne samlelinse danner et virtuelt billede, der er længere væk end nærpunktet (figur 28). Den maksimale afstand, som øjet kan fokusere på, kaldes fjernpunktet. Som angivet på ovenstående tegning ligger fjernpunktet uendeligt langt væk for mennesker med normalt syn. figur 28. Korrektion af et langsynet øje. En nærsynet person er imidlertid ikke i stand til at afslappe sin øjenlinse tilstrækkeligt til at fokusere på ting, der er langt væk, og har altså en endelig fjernpunktsafstand. Nærsynethed kan korrigeres ved at indsætte en spredelinse foran øjet, idet denne spredelinse danner et virtuelt billede, der er tættere på end fjernpunktet (figur 29). 21/24

22 figur 29. Korrektion af et nærsynet øje. Det billede, som briller eller kontaktlinser danner, er således objekt for øjets linse. Styrken af brilleglas eller kontaktlinser defineres som P 1 P (1.34) f En styrke på eks. -4 svarer således til en spredelinse med en brændvidde på f = -25 cm. Det meste af øjets fokusering finder sted i hornhinden, og det er derfor muligt at foretage synskorrektion ved at ændre på hornhindens form, hvilket i praksis gøres ved at fordampe et antal cellelag vha. en laserstråle. Ved korrektion for nærsynethed skal hornhinden gøres tyndere på midten, hvorimod det omvendte er tilfældet ved korrektion for langsynethed. Forstørrelsesglas Nærpunktet er grænsen for hvor tæt på øjet det er muligt at fokusere på et objekt. Nærpunktet er ca. 25 cm fra øjet. Når man skal se på små ting opnår man altså ikke noget ved at flytte objektet tættere end ca. 25 cm på øjet. Ved antagelsen om små h vinkler ses at θ 0 = 25cm. Hvis et forstørrelsesglas (samle linse) placeres så objektet er tæt på linsens fokus punk, skabes et billede af objektet. Den angulære forstørrelse er givet ved m = θ (1.35) θ 0, hvor θ 0 er vinklen uden linse og θ er vinklen som objektet ses med gennem linsen. Den angulære forstørrelse er størst når billedet er ved nærpunktet, altså når q = -25cm. Fra linseligningen (1.32) ses 22/24

23 cm f + = p = p 25 f 25cm+ f (1.36) h Af figuren ses at tanθ θ. p Den maximale forstørrelse bliver derfor: θ h/ p 25cm mmax = = = 1+ (1.37) θ0 h/25cm f Øjet er dog mest afslappet hvis objektet ser ud til at være uendelig langt væk. Det er netop tilfældet hvis objektet er i linsens fokuspunkt. Da vil det gælde at h tanθ θ, og derfor at: f 25cm mmin = (1.38) f Mikroskopet Et mikroskop er i princippet opbygget af to liner, en objekt linse og en fokuslinse. Objektlinse har en ganske kort fokus længde, f o < 1cm og fokuslinse har en har en fokuslængde f e ~ cm. Afstanden mellem linserne, L, er meget længere end fokuslængderne. Objektet placeres tæt på, men udenfor objekt linsens fokuspunkt, og der skabes et inverteret billede tæt på fokuslinses fokuspunkt. Fokuslinsen virker som 23/24

24 et forstørrelsesglas på det inverterede billede. Den laterale forstørrelsen er som tidligere vist q1 L M o = (1.39) p1 fo Og som vi tidligere har vist er den angulære forstørerlse 25cm me = (1.40) fe Mickroskpets forstørrelse er defineret som produktetet af den laterale forstørrelse og den angulære forstørrelse L 25cm M (1.41) f f opgaver o e N.a. Se herunder N.a. Se herunder Opg th ed. Opg th ed. 24/24