Analytisk plangeometri 1

Transkript

1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt nyt for jer. Jeg regner med, at jeg til sidst i forløbet vil samle disse papirer med teori på til et egentligt kompendie, så fortvivl ikke hvis noget bliver væk i skyndingen. I kan i øvrigt altid finde de papirer jeg udleverer til jer på Lectio, hvor de er vedhæftet som dokument til den lektion hvor de er udleveret. Vi starter med at skabe et overblik. Dels over de ting I allerede kender, dels over hvilke objekter vi overhovedet benytter os af i den analytiske plangeometri. Den rette linje Vi vil udtrykke den rette linje på to forskellige måder, der begge har fordele og ulemper. Den mest benyttede måde at udtrykke en ret linje er ved forskriften: y = ax + b (1) Udtrykket i ligning (1) er godt til rigtig mange formål. Man kan aflæse hældningen direkte (det er a) samt skæringen med y-aksen (det er b). Desværre har ligning (1) også sine begrænsninger. Man kan nemlig ikke udtrykke lodrette linjer med den. Opgave 1 Antag (rent hypotetisk) at vi kan udtrykke lodrette linjer vha. ligning (1). Hvad er i så fald linjens hældning? Og hvad er linjens skæring med y-aksen? Giver de to svar mening ift. ligningen? Som opgaven viste os, kan lodrette linjer ikke udtrykkes vha. ligning (1). Men måske kan vi sige os selv hvordan et sådant udtryk skal se ud. Vores lodrette linjes definitionsmængde skal kun være én enkelt x-værdi, mens værdimængden skal være alle y-værdier. Kalder vi den ene x-værdi (nemlig den linjen skal gå igennem) for a, er ovenstående opfyldt for ligningen x a = 0. Opgave 2 (a) Opskriv en ligning for den lodrette linje der går igennem punktet (3, 0). (b) Opskriv en ligning for den lodrette linje der går igennem punktet ( 1, 0) (c) Opskriv en ligning for den lodrette linje der går igennem punktet (2, 3) (d) Opskriv en ligning for den lodrette linje der går igennem punktet (4, n), n R Ligningen x a = 0 beskriver imidlertid kun lodrette linjer. Vi udvider ligningen til: αx + βy + γ = 0 (2) Ligning (2) kan beskrive alle rette linjer. Koefficienterne α, β, γ er de tre græske bogstaver alpha, beta og gamma. Eksempel 1 Linjen med ligningen 3x + 2y 4 = 0 er ikke lodret (se figur 1). Den kan derfor bringes på formen:

2 2 Figur 1 Linjen med ligningen y = 3 / 2. Hældning og skæring med y-akse kan aflæses af ligningen. y = ax + b. Dette gøres i det følgende: 3x + 2y 4 = 0 2y = 3x + 4 y = 3 / 2 x + 2 Hvis man vil aflæse hældning og skæring med y-aksen direkte skal ligningen være på formen y = ax + b. Opgave 3 (a) Bring følgende ligninger på formen y = ax + b (hvis det kan lade sig gøre) og aflæs hældning samt skæring med y-aksen: 1. x + y = x + 5y 2 = / 3 x + 2y 3 = x 3 = 0 (b) Bring følgende ligninger på formen αx + βy + γ = 0: 1. y = 2x y = x 6 3. y = 4 / 3 x 4 Punkter Punkter er ret nemme at forstå, men her kommer alligevel lige lidt formelt om dem. Et punkt i planen skrives som dets koordinatsæt, dvs: (x, y). Vil man kontrollere om et punkt befinder sig på en bestemt geometrisk figur, skal punktet indsættes i ligningen for figuren. Er udsagnet sandt ligger punktet på figuren, er udsagnet falsk ligger punktet ikke på figuren.

3 3 Der er flere måder hvormed man formelt kan definere et punkt i planen. Normalt gøres det vha. et egenskab ved punktet: Definition 1 Et punkt er den geometriske figur der er defineret ved at være placeret et fast sted, men som ikke har nogen udstrækning i hverken x -eller y-aksens retning. Denne definition virker måske lidt ligegyldig, men man kan faktisk bruge den til at definere de andre geometriske figurer i planen ud fra punkter. Her kommer et par lidt svære opgaver hvor man skal bruge definitionen af et punkt. Opgave 4 (a) Hvad er sandsynligheden for at ramme et bestemt punkt på en dartskive, hvis du foretager et tilfældigt kast der rammer indenfor dartskiven? (b) Giv en definition af en ret linje vha. punkter (en sproglig definition, ligesom den for punktet) Afstanden mellem to punkter Når man skal beregne afstanden mellem to punkter, benytter man den såkaldte afstandsformel. Kald de to punkter P 1 og P 2 med koordinatsæt (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ). Afstanden mellem de to punkter er da givet ved: dist(p 1, P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (3) Bevis Vi konstruerer en retvinklet trekant hvor afstanden mellem punkterne er hypotenusen (se figur 2). Længden på den ene katete er: P 1 C = (x 2 x 1 ). Længden på den anden katete er: P 2 C = (y 2 y 1 ). Pythagoras sætning siger da, at: P 1 P 2 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 dist(p 1, P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Man kan benytte afstandsformlen til at finde afstanden mellem alle givne punkter. Eksempel 2 Aftanden mellem punkterne A(7, 5) og B( 2, 5) er: dist(a, B) = ( 2 7) 2 + (5 5) 2 = 81 = 9 Herunder kommer et par opgaver hvor man skal bruge afstandsformlen: Opgave 5 Bestem afstanden mellem A og B når: 1. A(3, 2) og B(4, 12) 2. A(1, 4) og B( 1, 1) 3. A(15, 2) og B(6, 6)

4 4 Figur 2 Den retvinklede trekant der konstrueres for at finde afstanden mellem to punkter. 4. A( 1, 1 / 2 ) og B(2, 12) 5. A(3, 5) og B( 3 / 4, 4) Opgave 6 Punktet A har koordinaterne ( 5, 6). Find de punkter på x-aksen der har afstanden 13 fra A. Find dernæst de punkter på y-aksen med afstanden 13 fra A. Opgave 7 Beviset for afstandsformlen gælder ikke i det tilfælde hvor man ikke kan konstruere en retvinklet trekant. Det er når den rette linje mellem punkterne er parallel med y-aksen. Kontroller at sætningen også gælder i det tilfælde. Cirkler Cirklen benyttes også som et geometrisk objekt man kan regne på. Den har ligningen: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 (4) Ligning (4) er smart, fordi man kan aflæse en del information fra den. Cirklen givet i ligning (4) har centrum i punktet (a, b) og har radius r. Eksempel 3 Cirklen med ligningen (x 2) 2 + (y 3) 2 = 36 har centrum i punktet (2, 3), har en radius på r = 36 = 6 og er vist på figur 3. Opgave 8 Bestem centrum og radius for følgende cirkler: 1. (x 4) 2 + (y 2) 2 = 9 2. x 2 + y 2 4y = 1 3. x 2 + 4x + 12 = 6y y 2

5 5 Figur 3 Cirklen med ligning (x 2) 2 + (y 3) 2 = x 2 + y y = 0 (Er dette overhovedet en cirkel? Hvis nej, hvad er det så?) 5. 16x y 2 16x + 24y + 9 = 0 6. (x 1) 2 + y 2 + 8y = 9 Hint: Husk de to kvadratsætninger: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab og (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab. Opgave 9 Kan man beskrive en cirkel som en normal funktion f (x)? Begrund dit svar. Opgave 10 Denne opgave er svær. Vær derfor ikke nervøs hvis du går i stå. Man kan sprogligt definere en cirkel som: Definition 2 En cirkels cirkelperiferi består af alle de punkter der ligger en bestemt afstand fra cirklens centrum. Denne afstand kaldes radius. Cirklens ligning er i virkeligheden en ligning for cirkelperiferien. Benyt afstandsformlen til at bevise cirklens ligning.