Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 009 HHX091-MAA Matematik A Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning. Undervisningsministeriet Tirsdag den 19. maj 009 kl. 9.00-10.00
Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time. Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benttes. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tdelig skrift. I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddbende tekst samt brug af figurer og grafer med en tdelig sammenhæng mellem tekst og illustration.
Side 1 af 1 side Side 1 af 1 side Opgave 1 For en vare gælder, at de variable enhedsomkostninger er 10 kr. pr. stk. De samlede omkostninger ved produktion af 10 stk. er 11 kr. a) Bestem en forskrift for den lineære funktion f, der beskriver de samlede omkostninger som funktion af antal stk. Opgave Vektorerne a og b er givet ved a t 3 = og b = 1 t Bestem de værdier af t, for hvilke a og b er: a) Ortogonale. b) Parallelle. Opgave 3 x a) Bestem F (x), når det oplses, at F( x) = ( e + 3x 7 ) dx Opgave 4 Trekant ABC er ikke retvinklet. 1 Arealet af trekant ABC er 6, siden b = 4 og sin( C ) =. a) Bestem længden af siden a. B a Opgave 5 A b = 4 C En funktion f har forskriften 1 3 f ( x) = x 3x + 8x 3 a) Bestem monotoniforholdene for funktionen f.
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstringssstemet ISO 9001 og miljøledelsessstemet ISO 14001
Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 009 HHX091-MAA Matematik A Delprøven med hjælpemidler Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning. Undervisningsministeriet Tirsdag den 19. maj 009 kl. 9.00-14.00
Matematik A Prøven med hjælpemidler Prøvens varighed er 5 timer. Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A. I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benttes. I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tdelig skrift. I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddbende tekst samt brug af figurer og grafer med en tdelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.
Side Side 1 af 1 af 8 sider 8 sider Opgave 1 Følgende to punkter er givet: A (6,0) og B (, 4) Det oplses, at a er defineret som stedvektoren til punktet A. b er defineret som stedvektoren til punktet B. c = a b 8 5 4 B 7 6 3 b 5 1-4 -3 4-3 B j a A -1 i 1 3 4 5 6 7 8 9-1 x - j 1-3 -1 1 3 4 5 6 7 8 9 i -4 A x -5 a) Bestem c. b) Bestem vinklen mellem vektorerne a og b. c) Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a og b.
Side af 8 sider Side af 8 sider Opgave I perioden 1/9 006 1/8 009 har Emil sparet op til sine studier. Hver måned i de 3 år har han indsat 1.000 kr. på en opsparingskonto. Renten har i hele perioden været på 0,5 % pr. måned med månedlig rentetilskrivning. a) Vis, at Emil umiddelbart efter de 3 års opsparing den 1/8 009 har 37.60,56 kr. stående på sin opsparingskonto. b) Hvor meget har Emil fået i effektiv rente pr. år? Som supplement til Emils opsparing sætter hans forældre 50.000 kr. ind på kontoen den 1/8 009. Emil vil bruge det samlede beløb på sin konto til i de kommende 4 år fra den 1/9 009 at hæve et fast beløb hver måned. Renten er uændret 0,5 % pr. måned. c) Hvor stort et beløb kan Emil hæve på sin konto hver måned i de kommende 4 år? Opgave 3 Funktionen f har forskriften f 4 ( x) = x 6x a) Bestem f ''( x), og gør rede for at grafen for f har to vendetangenter. b) Bestem en ligning for én af vendetangenterne.
Side 3 af 8 sider Side 3 af 8 sider Opgave 4 Udbudskurven og efterspørgselskurven for en bestemt vare er vist på figuren nedenfor. 750 750 700 700 650 650 600 600 550 550 500 500 450 400 350 300 50 00 150 100 50 Pris Pris g(x) = 0,04x - 8x + 500 g(x) = 0,04x - 8x + 500 Udbudskurven kan beskrives ved funktionen f ( x) = 0,04x + 100, 0 < x < 100 hvor f (x) angiver prisen ved en udbudt mængde på x stk. Efterspørgselskurven kan beskrives ved funktionen g ( x) = 0,04x 8x + 500, 0 < x < 100 f(x) = 0,04x + 100 hvor g(x) angiver prisen ved en efterspurgt mængde på x stk. Mængde (stk.) Mængde (stk.) x 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 x 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 a) Bestem ligevægtsprisen og den tilsvarende mængde, svarende til at udbuddet og efterspørgslen er lige store. Den gevinst, producenten opnår ved ligevægtsprisen, kaldes producentoverskuddet eller Producer surplus. På figuren svarer det til arealet af det vandret skraverede område (skraveret med blå farve). b) Bestem størrelsen af producentoverskuddet. Den gevinst, forbrugeren opnår ved ligevægtsprisen, kaldes forbrugeroverskuddet eller Consumer surplus. På figuren svarer det til arealet af det lodret skraverede område (skraveret med rød farve). c) Bestem størrelsen af forbrugeroverskuddet. f(x) = 0,04x + 100
Side 4 af 8 sider Side 4 af 8 sider Opgave 5 Nedenfor ses løsningen til ligningen: x ln( x) x = 0 Forklaring til løsning af ligningen er givet til de to første og den sidste linje. a) Forklaring til løsning af ligningen skal gives for linjerne 3, 4 og 5. Bent bilag 1. Smbolet læses eller. x ln( x) x = 0 Vi ønsker at løse ligningen x ln( x) x = 0 x (ln( x) 1) = 0 Vi sætter x udenfor en parentes. x = 0 ln( x) 1= 0 x = 0 ln( x) = 1 x = 1 = 0 x e L = { e } Ligningen har løsningen x = e
Side 5 af 8 sider Side 5 af 8 sider Opgave 6 Firmaet Sport-swim producerer og sælger slags svømmedragter: Knee skin, en kortbenet model og Bod skin, en langbenet model. For svømmedragten Knee skin er sammenhængen mellem afsætning og pris givet ved: p ( x) = 50x + 1000 0 < x < 0 hvor x angiver afsætningen i stk., og p(x) er prisen i kroner pr. stk. For svømmedragten Bod skin er sammenhængen mellem afsætning og pris givet ved: q ( ) = 00 + 4000 0 < < 0 hvor angiver afsætningen i stk., og q() er prisen i kroner pr. stk. a) Gør rede for, at den samlede omsætning i firmaet Sport-swim kan beskrives ved funktionen: f ( x, ) = 50x + 1000x 00 + 4000 Firmaet Sport-swim har en øvre produktionsgrænse på 30 stk. pr. uge, det vil sige x + 30. b) Gør rede for, at niveaukurven N(0000) bestemt ved f ( x, ) = 0000 er en ellipse og tegn denne samt begrænsningsområdet i et koordinatsstem. c) Bestem hvor mange stk. Knee skin og hvor mange stk. Bod skin der skal produceres og sælges pr. uge, for at den samlede omsætning pr. uge bliver størst mulig og bestem denne samlede omsætning.
Side 6 af 8 sider side 6 af 8 sider Opgave 7 Grafen for funktionen f er vist herunder. 6 5 f 4 3 1-1 1 3 4 x -1 - -3-4 -5-6 Bilag viser forskellige grafer: Graf 1 og Graf, som også er vist herunder. a) Gør rede for hvilken af de grafer, der viser grafen for f '. Graf 1. Graf. 4 3 1 x - -1 1 3-1 - -3-4 -5-6 -7-8 -9-10 4 3 1 - -1 1 3-1 - -3-4 -5-6 -7-8 -9 x
Side 7 af 8 sider Side 7 af 8 sider Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A. Opgave 8A Petersen ønsker at investere i aktier og har besluttet, at det enten skal være i Pulje I eller i Pulje II. Nedenstående tabel viser kursudviklingen for hver af de to puljer. År 004 005 006 007 008 Pulje I 11 156 175 161 117 Pulje II 151 14 146 150 141 a) Bestem middelværdien for kursen i hver af de to puljer. b) Bestem standardafvigelsen for kursen i hver af de to puljer og giv en vurdering af, hvilken pulje Petersen skal vælge.
Side 8 af 8 sider Side 8 af 8 sider Opgave 8B Der er givet følgende kriteriefunktion f ( x, ) = 5x + 5 under bibetingelserne 3x + 14 1 x + 9 og positivitetsbetingelserne x 0 0 Polgonområdet, der fremkommer ud fra de nævnte betingelser, er vist som det ikkeskraverede område i koordinatsstemet herunder. Koordinatsstemet er tillige vist i bilag 3. 17 17 16 16 15 15 14 14 = 3x + 14-3x+14 13 1 11 10 9 8 7 = = 1 / -½ x + x+9 9 6 5 4 3 1-1 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19-1 -1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19-1 x x a) Bestem det punkt indenfor polgonområdet, hvor f antager sin mindsteværdi. b) Angiv det interval hvor koefficienten til x kan variere, så man stadigvæk fastholder den optimale løsning fundet i spørgsmål a).
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstringssstemet ISO 9001 og miljøledelsessstemet ISO 14001
Bilag 1 til opgave 5 (med hjælpemidler) skal afleveres. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: x ln( x) x = 0 Vi ønsker at løse ligningen x ln( x) x = 0 x (ln( x) 1) = 0 Vi sætter x udenfor en parentes. x = 0 ln( x) 1= 0 x = 0 ln( x) = 1 x = 1 = 0 x e L = { e } Ligningen har løsningen x = e
Bilag til opgave 7 (med hjælpemidler) skal afleveres. Skole: Hold: Eksamensnr. Navn: Graf 1. 10 9 8 7 6 5 4 3 1-7 -6-5 -4-3 - -1 1 3 4 5 6 7-1 - -3-4 -5-6 -7-8 -9-10 x Graf. 10 9 8 7 6 5 4 3 1-7 -6-5 -4-3 - -1 1 3 4 5 6 7-1 - -3-4 -5-6 -7-8 -9-10 x
Bilag 3 til opgave 8B (med hjælpemidler) skal afleveres. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: 17 17 16 16 15 15 14 14 = 3x = -3x+14 + 13 13 1 1 11 11 10 10 9 9 8 8 7 7 = = / x -½ + 9x+9 6 6 5 5 4 4 3 3 1 1-1 -1 1 1 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 1 1 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19-1 -1 x x