EIT3+ITC3/2012 H. Ebert BEREGNINGSTEKNIK INDENFOR ELEKTRONIKOMRÅDET Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 22
Beregningsteknik i elektronik for EIT3+ITC3/12 Opgavesæt 22 121201HEb Skriftlig prøve i Beregningsteknik indenfor elektronikområdet Prøve d. 3. januar 2013 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 7 opgaver således: Opgave 1: 17 % (Vektoranalyse) Opgave 2: 17 % (Vektoranalyse) Opgave 3: 23 % (Kompleks funktionsteori) Opgave 4: 10 % (Kompleks funktionsteori) Opgave 5: 15 % (Rækker og Fourier) Opgave 6: 8 % (Rækker og Fourier) Opgave 7: 10 % (Rækker og Fourier) Denne side skal afleveres sammen med opgavebesvarelsen. Alle afleverede besvarelsesark til bedømmelse skal være påført navn og cpr-nummer. Opgaveteksten kan beholdes. Påfør venligst herunder tydelig navn, cpr-nummer og eksamensnummer. Hvis disse data ikke er korrekte og tydelige, kan opgavesættet ikke blive bedømt. Navn: Cpr. nr.: Eksamensnummer:
Praktiske bemærkninger Generelle bemærkninger: Disse hjælpemidler er tilladte under eksamen: Lærebøger, formelsamlinger, notater, lommeregner og pc. Pc og lommeregner må ikke kommunikere med omverdenen. Man kan ikke påregne at kunne få 230 V tilslutning under eksamen. Maskinerne må ikke støje, og skærmen skal vippes mindst 135 grader op i forhold til sammenklappet tilstand. Printerudskrifter accepteres ikke som besvarelse. Eksamenssnyd behandles efter universitetets regler. Ang. den ønskede angivelse af resultater: Besvarelsen skal afleveres på separate papirark for hver opgave. Mellemregninger skal medtages i det omfang, det er nødvendigt for at forstå eksaminantens tankegang i løsningsmetoden. Det er ikke nødvendigt at medtage alle detaljer. Det giver ikke pluspoint at angive mange decimaler i resultatet. Det er en vurderingssag, hvormange, der er nødvendigt, men højst 3 decimaler er almindeligt. Decimaltegnet er komma (og ikke punktum!). Ang. bedømmelsen af opgaverne: Besvarelserne udsættes for en helhedsvurdering mhp. om eksaminanten kan siges at opfylde kursusmålet. Man kan ikke bestå, hvis man er helt blank i et af delområderne, idet man ikke opfylder det forud fastsatte kursusmål. Helt simple regnefejl trækker ikke ned. Regnefejl, som giver et helt åbenlyst forkert resultat, trækker ned. Metodefejl trækker meget ned. Fejl tæller kun med 1 gang, selv om de bevirker at efterfølgende spørgsmål også vil blive besvaret forkert. Det er vigtigt, at tankegangen i løsningen af opgaven klart fremgår af besvarelsen. Den blotte angivelse af et facit er ingen god besvarelse, og hvis talværdien oven i købet er forkert, vil eksaminatoren vurdere, at opgaven ikke er besvaret. Derudover er det vigtigt, at man skriver med en tydelig og letlæselig håndskrift og laver en overskuelig opstilling af løsningen. Ting, som eksaminatoren ikke kan læse, kan man ikke blive krediteret for. En god opstilling af løsningen og en klar håndskrift giver pluspoint!
Opgave 1 En vektorfunktion F er givet ved: F = ( 5x 3 15z 2 30yz ; sin(z) a. Undersøg om F er solenoidal eller konservativ. b. Find en potentialefunktion, f for F. c. Evaluer kurveintegralet, I: I = F dr C hvor kurven C er en parabel givet ved: ) z =15x 2 ; 30 og y =2 5 Der skal integreres fra punkt 1, hvor x = 1 til punkt 2, hvor x = 2. Z Opgave 2 En vektorfunktion F er givet ved: ( 2z ; y F = x + z 3x ; 2y Der er givet 2 flader S 1 og S 2. Fladen S 1 er en paraboloide, som er givet ved: ) z =12; x 2 ; y 2 og z (;4) Fladen S 2 er bunden af paraboloiden ovenfor, dvs. z 12 ; x 2 ; y 2 og z = ;4. a. Fremstil en parametrisk repræsentation af fladen S 1 og lav en skitse. b. Beregn feltet B givet ved: B = rf c. Beregn med den direkte metode fluxintegralet I 1, som er givet ved: I 1 = Z S 1 B da d. Beregn fluxintegralet I 1 igen, men nu under anvendelse af Stokeses sætning. e. Beregn på letteste måde fluxintegralet I 2, som er givet ved: I 2 = Z S 2 B da
Opgave 3 Den komplekse funktion g(z) er givet ved: g(z) = sinh 2z (z ; 1=4) 4 a. Bestem det område i z-planen, hvor g(z) er analytisk. b. Beregn det komplekse integral Z g(z) dz C hvor C er enhedscirklen gennemløbet imod urets retning (counterclockwise). Opgave 4 Bestem om følgende funktion er harmonisk. v(x y) = cos x sinh y
Opgave 5 En periodisk funktion f(t) er for perioden p =6 givet ved: f(t) = 8 < : 2+t 2 for ; <t< 2+(t ; 2) 2 for <t<3 2+(t +2) 2 for ;3 <t<; a. Skitser f(t) for perioden p b. Bestem Fourierrækken/Fourierkoefficienterne for f(t) (Hint: Gennemfør bestemmelsen for kortest mulig grundperiode) c. Hvordan beskrives f(t) v.h.a Fourierrækkeværdierne? Opgave 6 Følgende potensrække er givet: 1X n=0 (a +5) b ; 4 c n (z +2; 3 i) hvor a b og c er konstanter, og rækken er udviklet i z. Bestem: a. Potensrækkens centrum. b. Potensrækkens konvergensradius. Opgave 7 Funktionen f(t) er givet ved grafen: a. Find den Fouriertransformerede af f(t).