MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

Transkript

1 Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 8x 20. (1) (c) Gør rede for, at ligningen (1) har præcis én løsning, der opfylder begyndelsesværdibetingelserne y( 1) = 3 2, y ( 1) = 1 2. Opgave 2. (a) Vis, at rækken ( ) n 2 π arctan x (2) n=0 er konvergent for alle x R. (b) Angiv et eksplicit udtryk for sumfunktionen ( ) n 2 s(x) = π arctan x. n=0 (c) Undersøg, om grænseværdierne lim s(x) og lim s(x) x x eksisterer, og angiv i bekræftende fald deres værdier. (d) Er rækken (2) uniformt konvergent på R? 1

2 Opgave 3. Definer F : R 2 R ved F (x, y) = x 3 + xy + 7. (a) Find det kritiske punkt for F. (Der er nemlig kun ét.) (b) Afgør om det kritiske punkt for F er et lokalt minimumspunkt, et lokalt maximumspunkt eller et saddelpunkt for F. (c) Lad D = {(x, y) R 2 1 x 1, 1 y 1}. Gør rede for at F er uniformt kontinuert på D, og at F antager både sit supremum og sit infimum på D. (d) Find F s største og mindste værdi på D, og angiv de punkter hvori de antages. (e) Angiv billedmængden F (D). Begrund dit svar. Opgave 4. Definer funktionen f : R R ved { 1t, t < 0, f(t) = 2 0, t 0. (a) Gør rede for at f s Fourierrække er konvergent for alle t [ π, π]. Altså at lim c n e int (3) eksisterer for alle t [ π, π], når c n, n Z, er f s Fourierkoefficienter. Anfør grænseværdien af (3) for alle t [ π, π]. (b) Konvergerer Fourierrækken for f uniformt på [ π, π]? Begrund dit svar. (c) Find Fourierrækken for f. (d) Brug Fourierrækken for f i punktet t = 0 til at vise identiteten n=0 1 (2n + 1) 2 = π2 8. 2

3 (e) Vis at c n = c n for alle n Z og find summen n=1 c n 2. August 2000 Opgave 1. Lad funktionen h : R R være defineret ved { arctan x for x 0, h(x) = x 1 for x = 0. (a) Vis, at h er kontinuert. (b) Vis, at der ved fastsættelsen f(x) = x 0 h(t) dt er defineret en funktion f : R R og gør rede for, at f er differentiabel og strengt voksende, samt at f( x) = f(x) for alle x R. (c) Af (b) følger, at f har en omvendt funktion g. Find g(0) og g (0). (d) Vis, at f(x) for x. Vink: f(x) x 1 h(t) dt. (e) Bestem værdimængden for f. (f) Vis, at grænseværdien eksisterer, og angiv den. lim x f(x) ln x Opgave 2. Betragt rækken n=1 2n + 1 n 2 (n + 1) 2. (4) (a) Udregn afsnitssummerne s 1, s 2 og s 3, og skriv dem som uforkortelige brøker (af hensyn til det følgende er det vigtigt at regne rigtigt). 3

4 (b) Gæt en formel for s n, og bevis den, for eksempel ved induktion. (c) Bestem summen af rækken i (4). (d) Vis, at rækken n=1 2n + 1 (n 2 + x 2 )(n + 1) 2 er konvergent for alle x R (bemærk, det er muligt at besvare dette og det næste spørgsmål uden at bruge resultatet i (c)). (e) Vis, at funktionen f : R R defineret ved er kontinuert. f(x) = n=1 2n + 1 (n 2 + x 2 )(n + 1) 2 Opgave 3. Som sædvanlig lader vi B r (0) og B r (0) betegne den åbne hhv. den lukkede kugle i R 2 med centrum i (0, 0) og radius r. Dvs. at B r (0) = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < r 2 }, B r (0) = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 r 2 }. Definer f : B 1 (0) R ved at f(x, y) = x 2 log(1 x 2 y 2 ), hvor log betegner den naturlige logaritme. (a) Vis at de kritiske punkter for f netop udgør mængden {(x, y) B 1 (0) x = 0}. (b) Afgør for hvert af f s kritiske punkter, om det er et lokalt maximum, et lokalt minimum, eller et saddelpunkt for f. Vink: Ved besvarelsen af dette spørgsmål er det bedre at ræsonnere ud fra definitionerne end at bruge teorien. 4

5 (c) Bestem billedmængden f(b r (0)), idet r ]0, 1[, og angiv de punkter i B r (0), hvor f antager sin største- og mindsteværdi på B r (0). (d) Angiv billedmængden f(b 1 (0)). Begrund dit svar. (e) Lad R ]0, 1[. Gør rede for, at f er Riemann-integrabel over B R (0), og omskriv plan-integralet f da B R (0) til et itereret integral ved brug af polære koordinater. Opgave 4. (a) Vis at konvergensradius for potensrækken er 1. n=2 n log n zn (b) Gør rede for, at funktionen f : ] 1, 1[ R givet ved f(t) = n=2 n log n tn er differentiabel, og angiv et udtryk for den afledede funktion, f. Find også f (0). (c) Lad igen B 1 (0) = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1}. udtrykket Bevis, at der ved ϕ(x, y) = n=2 n log n (x2 + y 2 ) n, (x, y) B 1 (0), er defineret en differentiabel funktion, og anfør det vektorfelt F : B 1 (0) R 2, 5

6 for hvilket ϕ er en stamfunktion. Lad µ : [ π 2, π 2 ] R 2 være kurven µ(t) = ( t 23 cos t, t23 sin t ). (d) Bestem længden af µ. (e) Gør rede for at µ forløber i B 1 (0) (altså at µ ([ π, ]) π 2 2 B1 (0)) og bestem kurveintegralet F af F langs µ, hvor F er vektorfeltet fra (c). µ Juni 2001 Opgave 1. Lad talfølgen {a n } n=1 være bestemt ved a 1 = 1, a n = 3 a 3 n 1 + 3a2 n 1 for n > 1. (a) Bevis, at {a n } n=1 er voksende. (b) Bevis, at a n for n. Vink: Vis fx, at a 3 n > 3(n 1) for alle n N. (c) Bevis, at a n 1 < a n < a n for alle n > 1. Vink: Opløft til tredje potens. (d) Bevis, at (e) Bevis, at a n a n 1 1 for n. a n a n 1 1 for n. Vink: a n a n 1 = a3 n a3 n 1. noget Opgave 2. Lad funktionen F : R 2 R være defineret ved F (x, y) = x (x 2 + y 2 + 2x). 6

7 (a) Gør rede for, at ligningen x 2 + y 2 + 2x = 0 bestemmer en cirkel, og angiv den på en skitse. Beskriv derefter mængden og angiv den på en skitse. A = {(x, y) R 2 F (x, y) 0} (b) Bestem F s kritiske punkter og afgør for hvert af dem, om det er et lokalt maksimum, et lokalt minimum, eller et saddelpunkt. Svarene skal begrundes. (c) Begrund, at F har en største- og en mindsteværdi på kvadratet K = {(x, y) R 2 2 x 0 og 1 y 1}, bestem disse værdier og find de punkter, hvori de antages. (d) Udregn planintegralet T F (x, y) da, hvor T er trekanten med vinkelspidserne (0, 0), ( 1, 1) og ( 1, 1). Opgave 3. Lad Ω = {(x, y) R 2 x > 1}. For enhver kontinuert differentiabel funktion u : {x R x > 1} R definerer vi et vektorfelt F u : Ω R 2 ved, at ( ) y F u (x, y) = u(x), u(x) sin(y). 1 + x (a) Gør rede for, at F u er et rotationsfrit vektorfelt hvis og kun hvis u er en løsning til differentialligningen på {t R t > 1}. u (t) t u(t) = 0 7

8 (b) Find samtlige løsninger til differentialligningen i (a). (c) Gør rede for, at der findes en og kun én kontinuert differentiabel funktion g : {x R x > 1} R som opfylder, at det tilhørende vektorfelt F g er konservativt og opfylder, at F g (0, 0) = (0, 1). Find g. I de følgende to spørgsmål er g den funktion, der opfylder betingelserne i (c). (d) Bestem den stamfunktion ϕ til F g som opfylder, at ϕ(0, 0) = 0. Vis at ϕ(1, π) = 2π 2. (e) Lad γ : [a, b] Ω være en kontinuert differentiabel kurve med γ(a) = (1, π) og γ(b) = (0, 0). Bestem værdien af kurveintegralet F g. γ Opgave 4. Lad f : R R være funktionen { 0 for t < 0, f(t) = 1 + t for t 0. I det følgende vil c n, n Z, betegne f s Fourierkoefficienter. ikke være nødvendigt at beregne dem.) (Det vil (a) Tegn grafen for f, og gør rede for, at f har en afledet fra både højre og venstre i ethvert punkt af R. (b) Bestem grænseværdien for ethvert t [ π, π]. lim c n e int 8

9 Bestem også grænseværdierne lim Svarene skal begrundes. c n og lim ( 1) n c n. (c) Er Fourierrækken for f uniformt konvergent på [ π, π]? Begrund dit svar. (d) Bestem summen n= c n 2. (e) Vis at π lim f(t) π c n e int 2 dt = 0. 9