Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 07

Transkript

1 MAT4 for E4+D4/08 H. Ebert MATEMATIK 4 Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 07

2 Matematik 4 for E4+D4/09 Opgavesæt HEb Skriftlig prøve i matematik 4 Prøve d. 3. juni 2009 kl Ved bedømmelsen vægtes de 7 opgaver således: Opgave 1: 17% (Kompleks funktionsteori mv.) Opgave 2: 17% (Kompleks funktionsteori mv.) Opgave 3: 9% (Tidsdiskrete systemer) Opgave 4: 15% (Tidsdiskrete systemer) Opgave 5: 12% (Tidsdiskrete systemer) Opgave 6: 15% (Lineær algebra) Opgave 7: 15% (Lineær algebra) Denne side skal afleveres sammen med opgavebesvarelsen. Alle afleverede besvarelsesark til bedømmelse skal være påført navn og cpr-nummer. Opgaveteksten kan beholdes. Påfør venligst herunder tydelig navn, cpr-nummer og eksamensnummer. Hvis disse data ikke er korrekte og tydelige, kan opgavesættet ikke blive bedømt. Navn: Cpr. nr.: Eksamensnummer:

3 Praktiske bemærkninger Generelle bemærkninger: Disse hjælpemidler er tilladte under eksamen: Lærebøger, formelsamlinger, notater, lommeregner og pc. Pc og lommeregner må ikke kommunikere med omverdenen. Man kan ikke påregne at kunne få 230 V tilslutning under eksamen. Maskinerne må ikke støje, og skærmen skal vippes mindst 135 grader op i forhold til sammenklappet tilstand. Printerudskrifter accepteres ikke og modtages ikke som besvarelse. Eksamenssnyd behandles efter universitetets regler. Ang. den ønskede angivelse af resultater: Besvarelsen skal afleveres på separate papirark for hver opgave. Printerudskrifter accepteres ikke og modtages ikke som besvarelse. Mellemregninger skal medtages i det omfang, det er nødvendigt for at forstå eksaminantens tankegang i løsningsmetoden. Det er ikke nødvendigt at medtage alle detaljer. Det giver ikke pluspoint at angive mange decimaler i resultatet. Det er en vurderingssag, hvormange, der er nødvendigt, men højst 3 decimaler er almindeligt. Decimaltegnet er komma (og ikke punktum!). Ang. bedømmelsen af opgaverne: Besvarelserne udsættes for en helhedsvurdering mhp. om eksaminanten kan siges at opfylde kursusmålet. Man kan ikke bestå, hvis man er helt blank i et af delområderne, idet man ikke opfylder det forud fastsatte kursusmål. Helt simple regnefejl trækker ikke ned. Regnefejl, som giver et helt åbenlyst forkert resultat, trækker ned. Metodefejl trækker meget ned. Fejl tæller kun med 1 gang, selv om de bevirker at efterfølgende spørgsmål også vil blive besvaret forkert. Det er vigtigt, at tankegangen i løsningen af opgaven klart fremgår af besvarelsen. Den blotte angivelse af et facit er ingen god besvarelse, og hvis talværdien oven i købet er forkert, vil eksaminatoren være nødsaget til at vurdere, at opgaven ikke er besvaret. Derudover er det vigtigt, at man skriver med en tydelig og letlæselig håndskrift og laver en overskuelig opstilling af løsningen. Ting, som eksaminatoren ikke kan læse, kan man ikke blive krediteret for. En god opstilling af løsningen og en klar håndskrift giver pluspoint!

4 Opgave 1 Givet den komplekse funktion: f(z) = cos z z 3 a. Bestem funktionen f(z) s singulariteter og angiv deres art. b. Bestem residuerne for f(z). c. Beregn integralet: I f(z) dz C hvor C er cirklen med centrum i0ogradius 1. Opgave 2 En funktion f(n) er givet rekursivt ved: f(1) = 1, f(2) = 4 og for n>2: f(n) =2+2f(n ; 1) ; f(n ; 2) Bevis ved induktion, at f(n) =n 2

5 Opgave 3 Et givet LTI-system har følgende impulsresponse h[n]: Udregn og skitser omhyggeligt systemets output y[n] ved følgende systeminput: x[n] =u[n ; 4] Opgave 4 Følgende Z-transformerede er givet: X 1 (z) = 1 1 ; 0 5z ;1 jzj > 0 3 ; 0 06z ;2 X 2 (z) = 4+4z;1 + z ;2 1 ; 4 3 z;1 + 1 jzj > 1 3z;2 Bestem de inverse Z-transformerede for X 1 (z) og for X 2 (z). De inverse Z-transformerede skal findes ved partialbrøksopdeling (eventuelt suppleret med polynomiedivision). Opgave 5 Et LTI-system med følgende impulsresponse: 2 h[n] =2 1 u[n] 2 påtrykkes en indgangsssekvens x[n]. Bestem v.h.a. Z-transformation systemets udgangssekvens y[n] i tilfælde af følgende to eksempler på indgangssekvenser: 3 1. x[n] =5; u[n] 4 n 2. x[n] =n u[n] Specificer for begge tilfælde konvergensregionen (ROC) for Y (z).

6 Opgave 6 Den kvadratiske form, Q er givet ved: Q =2x x 1x 2 +4x 2 2 a. Find en symmetrisk matrix A således, at Q = x T Ax, hvor x = x1. x 2 b. Find hvilken kurve Q = ;10 repræsenterer, idet Q transformeres til hovedakserne, y. c. Find sammenhængen mellem de gamle koordinater x og de nye y. d. Vis at similaritetstransformationen defineret ved matrixen B, hvis søjler er egenvektorerne for A, diagonaliserer A Opgave 7 Betragt matrixen A, givet ved: A =( ;1 j (1 + j) ;j 1 0 (1 ; j) 0 1 a. Find ud af om A er hermitisk, skævhermitisk eller unitær. b. Find en egenbase, der danner et unitært system for A. c. Find en matrix B, der diagonaliserer A. )

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26