Blandede opgaver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Blandede opgaver -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Maj 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk

Indholdsfortegnelse Blandede opgaver... Årsprøve. 09... 9 Årsprøve. 08... Årsprøve. 07... Årsprøve. 06... 5 Årsprøve. 04... 7 Årsprøve. 0... 8 Årsprøve.y 007... 4 Årsprøve. 07... 44 Årsprøve. 08... 46 Årsprøve. 09... 48 Årsprøve. 0 (fiskesættet)... 5 Terminsprøve. 08... 56 Terminsprøve. 09... 58 Facitliste... 6 Årsprøve. 09:... 68 Årsprøve. 08:... 69 Årsprøve. 07:... 69 Årsprøve.y 007:... 70 Årsprøve. 07:... 70 Årsprøve. 08:... 7 Årsprøve. 09:... 7 Terminsprøve. 08... 7 Terminsprøve. 09... 7

Blandede opgaver Opgave Reducér udtrykket 4 p + q p q p + q + 7q Opgave En funktion f er givet ved f ( ) = 4 cos ( ). Bestem ' f = + 6 + 7. Opgave En funktion f er givet ved Opgave 4 f. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet, ( ) P f. b) Bestem monotoniforholdene for f. Man ønsker at undersøge, om uddannelsesniveauerne er forskellige i Holbæk kommune og Slagelse kommune. Man vælger signifikansniveauet 5% og opstiller nedenstående kategorier, der skal bruges til undersøgelsen: Uddannelsesniveau Kort videregående uddannelse Mellemlang videregående uddannelse Lang videregående uddannelse Forskeruddannelse Slagelse Holbæk a) Opstil en nulhypotese, der kan bruges til at teste, om uddannelsesniveauerne er forskellige i de to kommuner. Data fra Danmarks Statistik giver nedenstående tabel, der viser antallet af mennesker med forskellige uddannelsesniveauer i Holbæk kommune og Slagelse kommune i 0. Uddannelsesniveau Kort videregående uddannelse Mellemlang videregående uddannelse Lang videregående uddannelse Forskeruddannelse Slagelse 8 656 58 6 Holbæk 070 6764 940 04 b) Undersøg, om uddannelsesniveauet er forskelligt i de to kommuner. Et andet forskerhold foretager en tilsvarende undersøgelse for kommunerne A og B, hvor de kommer frem til en Q-værdi på 6,58. c) Undersøg (på et 5% signifikansniveau), om uddannelsesniveauet er forskelligt i kommunerne A og B. Opgave 5 En funktion f med definitionsmængden 4,0; er løsning til differentialligningen dy y = e ( 6)( + ), d og løsningskurven går gennem punktet P ( 4,0). a) Bestem en ligning for tangenten til ovenstående løsningskurve i punktet P. b) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 6: dy a) Bestem til differentialligningen = ( +)( y ) den løsning, hvis graf indeholder punktet P(,). d b) Bestem desuden den løsning, hvis graf i det punkt, der har førstekoordinat, har en tangent med hældningskoefficient. Opgave 7: Bestem til differentialligningen y' + y = 4 + 0 den løsning, hvis graf går gennem punktet P(0,).

Opgave 8:I en model kan udviklingen i biltætheden (målt i antal biler pr. 000 indbyggere) i Danmark i perioden efter 968 beskrives ved differentialligningen dn = 0,0004 N ( 5 N ), dt hvor N betegner biltætheden til tiden t (målt i antal år efter 968). a) Bestem en forskrift for biltætheden N som funktion af tiden t, idet det oplyses, at biltætheden i 968 var 98. b) Giv ved hjælp af den fundne funktion et skøn over biltætheden i 008, og kommentér resultatet. Opgave 9: I en beholder med vand er vandhøjden 0,5m. Der åbnes for en bundventil for at tømme beholderen. Vandhøjden y, målt i meter, kan nu beskrives som en funktion af tiden t, målt i sekunder. Under tømningen aftager vandhøjden på en sådan måde, at den hastighed, hvormed vandhøjden ændrer sig, til ethvert tidspunkt er proportional med kvadratroden af vandhøjden. Med de valgte enheder er proportionalitetsfaktorens værdi 0,04. Vandhøjden som funktion af tiden er således fastlagt ved en differentialligning. a) Opskriv denne differentialligning og bestem den tid, det tager at tømme beholderen. Opgave 0: En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi 9 og spredning,5. Bestem P(X < 5). Opgave : En stokastisk variabel X er normalfordelt, og der gælder, at P(X < 6) = 0,6 og P(X > ) = 0,8. Bestem middelværdien og spredningen for X. Opgave : Bestem: a),5,6,7,6,7,8 b),5,6,7,6,7,8 c),,,4 \, Opgave : Bestem: a) A, B, E, QB, C, D b) A, D, F D, E, G c) F, G, A \ G Opgave 4: Bestem: a),4, a, d,, b, c, e b),,,, c) A \ Opgave 5: Løs ligningen ( 7) 4 5 ( ) ; + = G = 5 Opgave 6: Udregn prikproduktet af vektorerne a= og b= 7. Opgave 7: Funktionen f er givet ved f ( ) 4 5 = +. Bestem ' 5 4 f e 5 Opgave 8: Funktionen f er givet ved f ( ) = +. Bestem ' f. f. 4 Opgave 9: Funktionen f er givet ved = +. Bestem f '( ). 7 Opgave 0: Funktionen f er givet ved f ( ) = ln ( 6 ) e. Bestem f '( ). Opgave : Funktionen f er givet ved f ( ) = sin ( ) 6cos ( 5 ). Bestem ' Opgave : Funktionen f er givet ved f ( ) = sin ( ). Bestem f '( ). Opgave : Funktionen f er givet ved f ( ) = ln ( ). Bestem f '( ). 5 Opgave 4: Funktionen f er givet ved f ( ) = 7 + 5. Bestem f '( ). sin ( ) Opgave 5: Funktionen f er givet ved f ( ) =. Bestem f '( ). 5 f 5 e sin Opgave 6: Funktionen f er givet ved =. Bestem f '( ). Opgave 7: Funktionen f er givet ved f ( ) = ( 4 7) 6. Bestem f '( ). Opgave 8: Funktionen f er givet ved f ( ) = 8 + e. Bestem f '( ). Opgave 9: Funktionen f er givet ved f ( ) = ln ( 5 ) cos ( 9 + ). Bestem ' f. f.

7 Opgave 0: Givet er vektorerne a= og b= 5. a) Bestem prikproduktet af vektorerne. b) Bestem determinanten af vektorparret ( ab, ). c) Bestem determinanten af vektorparret ( ba, ). d) Bestem tværvektoren til a. e) Bestem tværvektoren til b. 4 5 Opgave : Givet er vektorerne a= og b= t. a) For hvilken værdi af t er vektorerne ortogonale. b) For hvilken værdi af t er vektorerne parallelle. 6 5 Opgave : Givet er vektorerne a= og b= s. a) For hvilken værdi af s gælder a b? b) For hvilken værdi af s gælder a b? 9 Opgave : Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a= og b= 8. 7 Opgave 4: Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a= og b= 5. Opgave 5: Bestem arealet af trekanten med vinkelspidserne A(,8 ), B( 5,) og C (, 7). Opgave 6: Bestem koordinatsættet til punktet C, således at firkant ABCD er et parallelogram, når A 5,, B,9 og D 4, 8. 4 5 Opgave 7: Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a= 9 og b=. 7 A 5, 7,, B 8,,4 og C 6,0,9. Opgave 8: Bestem arealet af trekanten med vinkelspidserne Opgave 9: Om en eksponentiel udvikling f oplyses det, at f ( 5) = 7og at fordoblingskonstanten er X =. Bestem f ( ). 8 Opgave 40: Halveringskonstanten for en eksponentiel udvikling f er 9, og funktionsværdien i 8 er 8. f 6 og f. Bestem Opgave 4: Om en eksponentiel udvikling g vides det, at g g 7 = og 9 = 4. Bestem fordoblingskonstanten uden først at finde fremskrivningsfaktoren. h 4 = 96 og h 6 =. Bestem Opgave 4: Om en eksponentiel udvikling h vides det, at halveringskonstanten uden først at finde fremskrivningsfaktoren. P 6, 4 og står vinkelret på Opgave 4: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet linjen givet ved ligningen y = 5. Opgave 44: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet P( 7,) og er parallel med linjen givet ved ligningen y = 5. Opgave 45: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet P( 4, ) og er ortogonal med linjen givet ved ligningen5 y+ 9 = 0. Opgave 46: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet P( 5,) og er parallel med linjen givet ved ligningen 4+ 7y+ 6 = 0.

Opgave 47: Reducér udtrykket ( a + b) 6b ( b + a). Opgave 48: Reducér udtrykket ( y) ( + y)( y). Opgave 49: Reducér udtrykket ( a b) ( b + a)( 5a + b). Opgave 50: Reducér udtrykket ( a b)( b a) a 4b ( b ) Opgave 5: Reducér udtrykket ( + ) + 5( + ) 6( ). + + +. 4a 9b Opgave 5: Reducér udtrykket. 4a + ab + 9b Opgave 5: Reducér udtrykket + +. y 5 y Opgave 54: Reducér udtrykket. 4y 0 Opgave 55: Reducér udtrykket ( ) ( )( ) Opgave 56: Bestem ( 5 4 + 5 + 7 + 4) Opgave 57: Bestem ( sin ( ) 5e ) d Opgave 58: Bestem ( 6 cos( ) ) d 4 Opgave 59: Bestem ( 8 + 7 ) Opgave 60: Bestem ( sin ( 4 ) cos ( ) + 4sin ( )) Opgave 6: Bestem ( e 4 e + e ) d + + +.. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. e Opgave 6: Bestem d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Opgave 6: Bestem ( + 4 ) Opgave 64: Bestem sin + cos d. Regn i hånden. Tjek med Maple. d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Opgave 65: Bestem ( 5 + ) 4 d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. Opgave 66: Bestem 4( 7 ) 7 d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. Opgave 67: Bestem ( 9 + 5) d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. cos( ) Opgave 68: Bestem d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. sin Opgave 69: Bestem cos d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. 4 + 6 Opgave 70: Bestem d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. + 7 Opgave 7: Bestem 0 e Opgave 7: Bestem ln 4 Opgave 7: Bestem sin ( ) cos 4 0 d. Regn i hånden. Tjek med Maple. d. Regn i hånden. Tjek med Maple. d. Regn i hånden. Tjek med Maple.

( + tan ) ln ( tan ) Opgave 74: Bestem Opgave 75: Bestem sin ( 4 ) d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. '. Regn i hånden. Tjek med Maple. Opgave 76: Bestem cos '. Regn i hånden. Tjek med Maple. tan '. Regn i hånden. Tjek med Maple. Opgave 77: Bestem Opgave 78: Bestem ln ( ) '. Regn i hånden. Tjek med Maple. 7-8 e ' og 4e '. Regn i hånden. Tjek med Maple. 7 4 6 4 ', ( 7 )', ( 8 )' og,07 '. Regn i hånden. Tjek med Maple.. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. cos d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. 7 Opgave 79: Bestem ( 5 e )', ( 4 e )', Opgave 80: Bestem Opgave 8: Bestem sin ( 5) d Opgave 8: Bestem 5 Opgave 8: Bestem e d, e d, e 4 d og 5e d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. Opgave 84: Bestem 5 d Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. 5 4 ' 7 ' 9' + 7 '. Regn i hånden. Tjek med Maple. Opgave 85: Bestem ( + ), ( ), ( + ) og Opgave 86: Bestem ( + ) d 4 + 5 7 d 4, ( + 5 4 + 8) d og ( 0 ) Opgave 87: Bestem ( 6 5), d, ( 4 ) d 0 og ( 4 ) 8 6 Opgave 88: Bestem ( 7 + 4 ) ', ( 5 9 ) ', ( ) 4 + ' og Opgave 89: Bestem ( 4 5) 6 d, ( + 7) 4 d og ( 8 0) d d.regn i hånden.tjek Maple. 7 5 ' Regn hånden.tjek Maple d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Opgave 90: Bestem 5 d 4, d og 5 d. Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k. Opgave 9: Bestem + d, + 4 d, 5 + 8 d 5 og 7 + d. Regn i hånden. Tjek Maple. 7 cos '. Regn i hånden. Tjek med Maple. Opgave 9: Bestem ( ) Opgave 9: Bestem ln ( ) 4 Opgave 94: Bestem ( 4 )' 5 Opgave 95: Bestem ( e sin ( ) )' Opgave 96: Bestem ( ( ) ( ) ) '. Regn i hånden. Tjek med Maple.. Regn i hånden. Tjek med Maple.. Regn i hånden. Tjek med Maple. sin cos '. Regn i hånden. Tjek med Maple. Opgave 97: Bestem '. Regn i hånden. Tjek med Maple. 5 sin ( ) Opgave 98: Bestem ' 4. Regn i hånden. Tjek med Maple. tan ( ) Opgave 99: Bestem '. Regn i hånden. Tjek med Maple. ln Opgave 00: Bestem ( ) cos + 7 '. Regn i hånden. Tjek med Maple.

( ) 4 ( sin )' Opgave 0: Bestem ln sin ( ) Opgave 0: Bestem + Opgave 0: Bestem ( e ) 5 + ' Opgave 04: Bestem ( cos ( e )) sin ' Opgave 05: Bestem ( ( + + )) 6 cos( ) Opgave 06: Bestem ( e ln ( ) )' Opgave 07: Bestem ( 6 sin ( ) )' '. Regn i hånden. Tjek med Maple.. Regn i hånden. Tjek med Maple.. Regn i hånden. Tjek med Maple.. Regn i hånden. Tjek med Maple. ln 4 5 '. Regn i hånden. Tjek med Maple.. Regn i hånden. Tjek med Maple.. Regn i hånden. Tjek med Maple. Opgave 08: Bestem den afledede funktion af funktionerne givet ved følgende funktionsforskrifter: a) f ( ) = + 5 9 +. b) g ( ) ( ) c) h( ) = cos ( ) = 5ln 9 e. 9 d) i( ) = sin ( ) e) 4 j ( ) = 7e cos ( 6) f) + 5 k = + 7 5 Opgave 09: Bestem følgende ubestemte integraler: 6 + 4 7 d a) b) ( cos( ) e ) 5 c) ( e + sin ( 4) ) 7 5 d) ( 7) e + + Opgave 0: Udregn følgende bestemte integraler: Opgave : Undersøg, om a) ( e + ) b) sin ( ) d e cos( ) d d d d 0 + er en løsning til differentialligningen e Opgave : En funktion f er en løsning til differentialligningen dy y y ' y + = =, og grafen for f går d y gennem punktet P(,). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P. Opgave : En funktion f er givet for forskriften f = + + 5. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet, ( ) Opgave 4: En funktion f er givet ved forskriften P f. f = + 9 60 + 5. a) Bestem monotoniforholdene for f. b) Bestem det sted, hvor grafen for f har vendetangent.

Opgave 5: Grafen for funktionen f skærer førsteaksen i -4, -, og 5 og danner sammen med denne de tre punktmængder M, M og M : Det oplyses, at arealerne af de to første punktmængder er 5 d = 04. at f a) Bestem f d. d. b) Bestem f 4 A = 75 og M A = 4096, samt c) Bestem arealet af punktmængden M. Opgave 6: Bestem den afledede funktion af funktionerne givet ved følgende funktionsforskrifter: 4 a) f ( ) = + 5 7. g = +. b) 4 7 e c) h( ) = 5 sin ( ) d) i( ) = e e) j ( ) = ln ( ) + 5 sin ( 8) f) k ( ) = cos( ) + Opgave 7: Bestem følgende ubestemte integraler: 4 5 + 6 + 9 d a) b) ( 5 e + sin ( ) ) 7 c) ( 5cos( 8) 4e ) cos( ) + d) sin ( ) e d Opgave 8: Udregn følgende bestemte integraler: a) ( + ) b) 0 d + 4 + 4 + 7 d Opgave 9: Undersøg, om e + er en løsning til differentialligningen y ' y + = d d M

dy Opgave 0: En funktion f er en løsning til differentialligningen =, og grafen for f går gennem d y punktet P ( 4,). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P. f = +. Opgave : En funktion f er givet for forskriften Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet, ( ) Opgave : En funktion f er givet ved forskriften P f. f = + +. a) Bestem monotoniforholdene for f. b) Bestem det sted, hvor grafen for f har vendetangent. Opgave : Grafen for funktionen f skærer førsteaksen i -5, -, og og danner sammen med denne de tre punktmængder M, M og M : Det oplyses, at arealerne af de to sidste punktmængder er 5 f d = 96. a) Bestem f d. d. b) Bestem f A = 77 og M A = 75, samt at c) Bestem arealet af punktmængden M. Opgave 4: Udregn følgende aritmetiske udtryk. Angiv svaret som en uforkortelig brøk (dvs. ingen blandede tal og ingen decimaltal). 5 7 7 7 7 a) 5 b) c) d) e) f ) 4 4 4 4 5 5 8 7 6 4 g) h) i) j) + k) + l) + 7 4 6 5 5 5 5 Opgave 5: Reducér følgende udtryk. a) y 4 y b) 6a b 5ab c ac b Opgave 6: Anvend potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk: 8 9 6 4 a 4 7 a) b) y y y c) d) a a e) 5 a 8 6 4 5 b 4 5 a a a f ) g) h) 7 ( ) i) 6 5 b a a M

Opgave 7: Udregn følgende: a) 9 b) c) 0 d) 8 e) 7 f )6 g) 7 5 h)000 i)000 j)8 k)00000 l) 7 Opgave 8: Bestem følgende værdier og løs ligningerne med numerisk værdi. a) b) 8 c) 0 d) = 5 e) + = 4 f ) + = 7 Opgave 9: Omskriv følgende decimalbrøker til uforkortelige brøker med hele tal i tæller og nævner. a),7 b)7, c ),47 f = + +. Opgave 0: En funktion f er givet ved forskriften e e a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet 0, ( 0) 0 P f. b) Bestem den mindste værdi, som funktionen f antager. c) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave : Grafen for funktionen f : danner sammen med førsteaksen to punktmængder M og N, der ligger henholdsvis over og under førsteaksen. a) Bestem arealet af punktmængden M, der ligger over førsteaksen. b) Bestem den værdi af k ( k 4), hvor linjen med ligningen = kdeler punktmængden N i to arealmæssigt lige store dele. Opgave : En population af fluer opfylder differentialligningen dn 6 =,40 N( 65000 N) dt hvor N er antallet af fluer og t er tiden målt i uger. Efter uger er populationens størrelse på 000 fluer. N t. a) Bestem en forskrift for b) Hvor mange fluer er der i populationen, når populationens væksthastighed er størst? c) Bestem den største væksthastighed for populationen. f : sin danner sammen med førsteaksen en Opgave : Grafen for funktionen punktmængde M. a) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring førsteaksen. Opgave 4: Bestem den partikulære løsning til differentialligningen y' + y= 40, hvis graf går gennem punktet (,5 ). Opgave 5: Siderne AB og DE er parallelle, og BC = 4, AC = 6, CD = 7 og DE =. a) Argumentér for, at trekanterne ABC og CDE er ensvinklede. b) Bestem AB og CE.

Opgave 6: Firkanten BGEK kan opdeles i to retvinklede trekanter BEG og BEK med de rette vinkler G og BEK. a) Bestem EK Opgave 7: I trekant APS er AP = 9,4, PS = 6,8 og P = 7. a) Bestem arealet af trekant APS. b) Bestem AS Opgave 8: I trekant ABC er A =, a = 9og c = 5. Desuden oplyses det, at C er stump. a) Bestem C. b) Bestem b. Opgave 9: I trekant ABC kaldes medianen fra A s fodpunkt D, mens vinkelhalveringslinjen fra C s fodpunkt kaldes E. Det er oplyst, at AB = 8,4og BC = samt at medianen fra a har længden 0 ( m = 0 ) a a) Bestem B. b) Bestem C. c) Bestem AE. Opgave 40: En linje l er givet ved ligningen 5 y+ 8 = 0. a) Bestem en parameterfremstilling for den linje k, der er parallel med l og går gennem punktet P( 7,). Opgave 4: Trekant ABC har hjørnerne A( 5,8 ), B(, ) og C ( 6,) a) Bestem arealet af trekant ABC.. Opgave 4: En cirkel er givet ved ligningen 4 + y + 8y 5 = 0. a) Bestem cirklens radius samt koordinatsættet til cirklens centrum. b) Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i punktet P( 6, ). Opgave 4: Bestem den værdi af t, for hvilken vektorerne 7 a= og b= er ortogonale. t 4

Opgave 44: En kugle har centrum i C ( 8, 7,6), og planen givet ved ligningen 4y + z + 45 = 0 er tangentplan til kuglen. a) Bestem en ligning for kuglen. b) Bestem en ligning for den plan, der også er en tangentplan til kuglen, men som rører kuglen i punktet P( 4,,9). Opgave 45: I rummet er givet punkterne A 5,, 8, B, 0, 4, C 7, 6,, D,5, 9 og E 4, 7,. a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder punkterne A, B og C. b) Bestem en parameterfremstilling for linjen l, der går gennem punkterne D og E, og bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem og l. c) Bestem vinklen mellem og l. Opgave 46: En funktion f har forskriften f ( ) = 5 7 + 9. Bestem ' Opgave 47: En funktion f har forskriften f ( ) = ln ( ) cos ( ). Bestem f '( ). Opgave 48: En funktion f har forskriften f. f = + 6. Bestem en forskrift for den stamfunktion F til f, hvis graf går gennem punktet P (,9) f = + 9 5 Opgave 49: Bestem monotoniforholdene for funktionen f med forskriften Opgave 50: Undersøg, om funktionen f givet ved forskriften f ( ) = e er en løsning til differentialligningen y ' y =. Opgave 5: Graferne for funktionerne f og g skærer hinanden i - og 4, og de danner sammen en punktmængde M. = = 4 Benyt nogle af nedenstående oplyste værdier til at bestemme arealet af M. f ( ) f '( ) F( ) g( ) g' ( ) G( ) 4 0 50 9 0 9 Opgave 5: I en model for størrelsen af en population af rotter antages det, at populationens størrelse dn 5 N (målt i antal rotter) er en løsning til differentialligningen = 50 N( 4000 N) hvor t er dt tiden målt i antal uger efter observationsstart. 5 uger efter observationsstart er der 600 rotter i populationen. a) Bestem væksthastigheden for populationen 5 uger efter observationsstart. b) Hvor mange uger efter observationsstart er populationens væksthastighed størst, og hvor mange rotter er der i populationen på dette tidspunkt? 0 4 6 9 00 9

Opgave 5: Funktionerne f og g er givet ved f = ln + ; 0 = ( 4) g Graferne for f og g danner sammen med førsteaksen en punktmængde M. a) Bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 60 omkring førsteaksen. Opgave 54: Temperaturen T af en kasse (målt i C) er som funktion af tiden t (målt i minutter) en dt løsning til differentialligningen = 0, 07 ( T ). Efter minutter er dt temperaturen af kassen 58 C. a) Hvad er væksthastigheden af temperaturen af kassen efter 0 minutter? Opgave 55: Løs ligningen 4+ 8 = a b a + 4b Opgave 56: Reducér udtrykket Opgave 57: Løs ligningen 40 = 0 Opgave 58: Det oplyses, at y er ligefrem proportional med. Udfyld tabellen: 5 y 56 Opgave 59: Reducér udtrykket a ( a + b) 4b ( a b) Opgave 60: En ret linje l går gennem punkterne A(,7) og B(, 8) Opgave 6: Løs ligningen 4 + + = Opgave 6: En ret linje m går gennem punktet ( 4,7). Bestem en ligning for l. P og har hældningen. Bestem en ligning for m. Opgave 6: Bestem koordinatsættet for toppunktet for parablen givet ved ligningen y = + 5 Opgave 64: Det oplyses, at og y er omvendt proportionale. Udfyld tabllen: Opgave 65: Løs ligningen 5 y 6 + 5+ = 0. Opgave 66: Reducér udtrykket ( p + q) 9q ( p + q) Opgave 67: Den rette linje l er bestemt ved ligningen linje m, der er ortogonal med l og går gennem punktet Opgave 68: Reducér udtrykket ( 4 5y) ( 4 + 5y) ( y) 47 y = +. Bestem en ligning for den rette 4 9 P, 8. Opgave 69: Undersøg, om er en løsning til ligningen 4 + + = 0 Opgave 70: For hvilke værdier af k har ligningen 5 + k + 5 = 0 netop én løsning? 5, P 7, ligger på cirklen. Opgave 7: En cirkel har centrum i C ( ), og punktet Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der har røringspunktet P.

+ 6 Opgave 7: Reducér udtrykket + + 6 Opgave 7: Løs ligningen + 7 = 6 + 5 4 Opgave 74: Reducér udtrykket 6+ 8 Opgave 75: Bestem tværvektoren til vektoren a = 5 4 Opgave 76: Bestem prikproduktet af vektorerne a= og b= 7 6 Opgave 77: Bestem determinanten det ( ab, ) af vektorerne a= og b= 7 A,4 og B 9, Opgave 78: Bestem afstanden mellem punkterne 8 Opgave 79: Bestem længden af vektoren a = 6 Opgave 80: Det oplyses, at OF = ( 7,) og DF =. Bestem koordinatsættet til punktet D. 4 9 t Opgave 8: Bestem t, så vektorerne a= og b= er ortogonale. 4 5 4 Opgave 8: Bestem den værdi af k, for hvilken vektorerne a= og b= er parallelle. k 8 5 Opgave 8: Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a= og b= 7. 4 Opgave 84: Bestem for vektorerne a= og b= projektionen af på 5 a b. 7 7 Opgave 85: Undersøg, om vinklen mellem vektorerne a= og b= er spids, ret eller stump. 4 A,5, B,4 og C, 8. Opgave 86: Bestem arealet af trekant ABC med hjørnerne Opgave 87: Linjen m er givet ved ligningen 5 7y+ = 0 ; G =. Bestem en parameterfremstilling for den linje l, der står vinkelret på linjen m og går gennem punktet P(, ). Opgave 88: En linje l er givet ved ligningen 9 y+ 8 = 0 ; G =. Bestem en parameterfremstilling for linjen l. Opgave 89: En linje m er givet ved parameterfremstillingen = + t ; t y 5 Bestem en ligning for linjen m. Opgave 90: En cirkel er givet ved ligningen + + y 8y + = 0 ; G =. Bestem radius og koordinatsættet til cirklens centrum. 8, P 9,6 ligger på cirklen. Opgave 9: En cirkel har centrum i C ( ), og punktet Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der går gennem P. Opgave 9: Bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem cirklen C og linjen l givet ved ligningerne: C : 4 + y = 0 ; G = l : y = 4 ; G =.

Opgave 9: Trekant ABC har vinkelspidserne A og B liggende på linjen med ligningen 4y 0 C 0,8 ikke ligger på denne linje. + =, mens Bestem koordinatsættet til fodpunktet af højden fra C. Opgave 94: Undersøg, om linjen givet ved ligningen + y + = 0 ; G = er tangent til cirklen givet ved ligningen + + y 5 = 6 ; G =. 7 4 Opgave 95: Bestem vinklen mellem vektorerne a= og b= 5. 6 8 6 Opgave 96: Bestem prikproduktet af vektorerne a= og b=. 8 5 9 7 Opgave 97: Bestem krydsproduktet af vektorerne c= 4 og d =. 4 8 Opgave 98: Bestem arealet af trekanten, der udspændes af vektorerne a= og b= 7. 6 7 t Opgave 99: Bestem t, så vektorerne a = t + og b = er ortogonale. 5 4 Opgave 00: Bestem t, så vektorerne a = 7 og b = 6t + 5 er parallelle. 9 Opgave 0: Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjerne m og l: 5 m : y = 7 + t 6 l : y = + s z 4 z 6 4 Opgave 0: En plan er givet ved ligningen 9 y + 7z + 5 = 0 ; G =. Bestem koordinatsættet til planens skæring med y-aksen. Opgave 0: Planerne og er givet ved ligningerne: : + 5y + z = 0 ; G = : 9z + 5 = 0 ; G = a) Bestem den stumpe vinkel mellem planerne og. b) Bestem den spidse vinkel mellem planerne og. Opgave 04: A( 6, 9,7 ), B( 0,,7 ), C (,,5 ), D(,,6 ) og E ( 5,4, 8) er punkter i rummet. a) Bestem en ligning for planen, der indeholder punkterne A, B og C. b) Bestem en parameterfremstilling for den rette linje l, der går gennem punkterne D og E. c) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjen l og planen. d) Bestem vinklen mellem linjen l og planen. e) Bestem afstanden fra punktet D til planen. f) Bestem koordinatsættet til projektionen af punktet E på planen.

Opgave 05: En kugle er givet ved ligningen + 4 + y 0y + z 8 = 0 ; G =. a) Bestem radius og koordinatsættet til kuglens centrum. P 5, 7, ligger på kuglen. b) Vis, at punktet c) Bestem en ligning for den tangentplan til kuglen, der rører kuglen i punktet P. A 45,8,, B 5,0,7, C 4,,6 og D,, 7 er punkter i rummet. 9 a) Figuren ABCD er en plan firkant, der ikke er et parallelogram. Bestem arealet af firkant ABCD. Opgave 06: Opgave 07: Nedenfor ses graferne for funktionerne f, f, f, f4, f5, f6 og f 7. Angiv (uden argumentation) hvilken graf, der hører til hver af funktionerne. Funktion f ( ) = 0,8 = f ln f = 0,5 + Graf Opgave 08: En ret linje l går gennem punkterne A(,) og B( 5, ) Bestem en ligning for l.. Opgave 09: En funktion f er angivet ved nedenstående gaffelforskrift + ; f ( ) = sin ( ) + ; cos( ) + 5 ; Bestem følgende funktionsværdier: 5 a) f ( 0 ) b) f c) f ( 0 ) d) f e) f ( ) g) f 4 Opgave 0: Om en eksponentiel udvikling f oplyses det, at halveringskonstanten er 7, og at 40 f 8. f ( ) =. Bestem 0,8 = f 4 = f5 cos,5 = f6 0,4 f7 ( ) =,4

Opgave : Nedenfor ses graferne for andengradspolynomierne f ( ) og g ( ). Polynomierne er angivet på formen a + b + c, og d er diskriminanten for den tilsvarende andengradsligning. Bestem for både f og g fortegnene for a, b, c og d (husk argumentation). Opgave : Funktionerne f, g og h er givet ved forskrifterne: f = + 5 = ( ) g h = sin + Bestem følgende funktionsværdier: g a) ( f + g)( ) b) ( 4 ) c) ( 7 h) d) f ( g ( )) e) ( g h)( ) f Opgave : Nedenfor ses grafen for den eksponentielle udvikling f samt nogle sammenhørende - og y-værdier. Bestem halveringskonstanten for f. Opgave 4: Massen m (målt i kg) af en kasse med klodser er givet ved funktionsforskriften m = +, hvor er antallet af klodser. 0, 049 0, 7 Fortolk konstanterne i forskriften. Opgave 5: Bestem følgende værdier: 7 a) log ( 0000 ) b) log ( 0, 0 ) c) log6 ( 6 ) d) ln ( e ) e) log f = 4sin 5 + 7 Opgave 6: En funktion f er givet ved forskriften a) Bestem maksimumsværdien og minimumsværdien for funktionen f. b) Find et sted (en -værdi), hvor funktionsværdien er 7 (der er uendeligt mange af sådanne steder).

p = + 4 6. Opgave 7: Man har et andengradspolynomium a) Bestem toppunktet for parablen, der er grafen for polynomiet. b) Bestem de to steder, hvor parablen skærer førsteaksen. c) Faktorisér polynomiet. Opgave 8: Bestem en ligning for den rette linje, der går gennem punktet P( 5,7) og har hældningen. Opgave 9: Bestem en forskrift for den eksponentielle udvikling f, hvis graf går gennem punkterne A, og B 5,5. Opgave 0: Løs følgende ligninger (isolér ): a) 4 5 = 7 b) ln = 5 ; 0 c) log + log ( 4 ) = ; 0 V t =, hvor t er Opgave : Værdien V af en bil (målt i kr.) er givet ved forskriften 7500 0,87 t tiden målt i antal år efter 04. Forklar, hvad konstanterne fortæller om værdien af bilen. f = 7. Hvor mange procent øges Opgave : En potensfunktion f er givet ved funktionsværdien, når -værdien øges med 50%? Opgave : Udregn følgende: 6 7 ' 4 + 5 + 6 7 d a) ( + ) b) c) ( cos( ) 8 )' 4 d) e d e) ( ln ( + 5+ 8 ))' f) 5 ( 6 + ) ( + 7) 9 0 Opgave 4: En funktion f er en løsning til differentialligningen dy d 9 + d e =, og grafen for f går y + 4 gennem punktet P (,5). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P. Opgave 5: Grafen for funktionen f skærer førsteaksen i -6, -, og 8 og danner sammen med denne de tre punktmængder M, M og M : Arealet af punktmængden M er 4, og f ( ) d = 9 og 6 a) Bestem arealet af punktmængden M. b) Bestem f d c) Bestem arealet af punktmængden M. 8 f d = 8.

Opgave 6: Graferne for funktionerne f, g og h ses på figuren nedenfor. Graferne f og g skærer bl.a. hinanden i -, graferne for g og h skærer hinanden i og graferne for f og h skærer bl.a. hinanden i 4. De tre grafer omslutter tre punktmængder, hvoraf den største, M, er angivet på figuren. Nedenfor (på næste side) er angivet et skema med nogle funktionsværdier, hvor F, G og H er stamfunktioner for henholdsvis f, g og h. Benyt nogle af værdierne i skemaet til at bestemme arealet af punktmængden M. ', ', f ' 4 =,7 f ( ) = f = g '( ) =,8 g '( ) = 0,7 h' ( ) = 0, h '( ) = 0,7 f ( ) = 4 f ( ) = 8,6 g ( ) = 4 g ( ) = h( ) = 0, h ( ) = F ( ) = 5 F ( ) = 8 G( ) = 6 G ( ) = H ( ) = 0 H ( ) = g ' 4 = 0, h ' 4 = 5,5 f 4 = 8 g 4 = 0, h 4 = 8 F 4 = 5 G 4 = 0 H 4 = Opgave 7: Antallet N af twitterbrugere (målt i mio.) opfylder differentialligningen dn = 0, 0077 N( 9 N) dt hvor t er tiden målt i antal år efter 00. I 0 var der 00 mio. twitterbrugere. a) Bestem væksthastigheden for antallet af twitterbrugere i 0. b) Bestem en forskrift for N. c) Hvad er den øvre grænse for antallet af twitterbrugere? d) Hvornår var væksthastigheden for antallet af twitterbrugere størst? Opgave 8: Grafen for funktionen f : + 5 + 84 danner sammen med førsteaksen en punktmængde M. a) Bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 60 omkring førsteaksen. c) Bestem omkredsen af M. Opgave 9: Udregn følgende udtryk (angiv værdien som helt tal eller uforkortelig brøk): 5 a 8 4 6 7 8 ) 7 ) ) ) ) ) ) ) 5 b c d 5 e 5 f + 7 7 g + 4 5 h 4 7 7 7

Opgave 0: Reducér følgende udtryk 5 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) a) 5 y y b) a b 5a b c 0a c b c) Opgave : Reducér følgende udtryk 4 7 5 8 a 4 5 6 7 a a a a) y y b) c) d) y y y e) ( ) f ) a 7 a a Opgave : Udregn følgende udtryk 5 4 9 8 a) 5 b) c) 0 d) 7 e) 8 f ) 9 0 g)8 Opgave : Indbyggertallet i byen Sludkøbing ses i nedenstående tabel: Årstal 980 985 990 995 000 005 Indbyggertal 7456 59 5 78 087 9 Det antages, at indbyggertallet N kan beskrives ved modellen hvor t er antal år efter 980. a) Bestem a og b. N t = b a b) Hvad vil indbyggertallet være i 05 ifølge modellen? c) Hvornår vil indbyggertallet være nede på 000 ifølge modellen? d) Bestem halveringstiden for indbyggertallet. Opgave 4: En tilfældigt udvalgt lille gruppe mennesker vejes og måles. Deres masse m (målt i kg) og højde h (målt i m) er angivet i tabellen nedenfor. Højde,5,64,78,8,9 Masse 5 6 7 76 85 I en model antages det, at et menneskes masse m kan beskrives ved funktionsforskriften m h = b h a a) Bestem a og b. b) Hvor meget vil et menneske med højden,00 m veje ifølge modellen? c) Hvilken højde skal et menneske have ifølge modellen, hvis massen skal være 65 kg? d) Hvor mange procent øges massen ifølge modellen, hvis højden øges med 0%? Opgave 5: Bestem tværvektoren til vektoren AB, når A( 5, ) og B(,7). 7 Opgave 6: Bestem, om vinklen mellem vektorerne a = og b = er spids, ret eller stump. 5 5 Opgave 7: Bestem de værdier for t, hvor længden af vektoren a = er. t 5 Opgave 8: Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a = og b = 8. Opgave 9: Linjen m er givet ved ligningen + y 7 = 0 ; G =. Bestem en parameterfremstilling for den linje l, der er parallel med linjen m og går gennem P 5,8. punktet t 4 Opgave 40: En linje m er givet ved parameterfremstillingen = + t ; t y 7 5 Bestem en ligning for linjen m. Opgave 4: En cirkel er givet ved ligningen + y + 8y + = 0 ; G =. Bestem radius og koordinatsættet til cirklens centrum..

7 4 Opgave 4: Bestem for vektorerne a= og b= 5 følgende: 6 8 a) a+ b b) Vinklen mellem vektorerne. c) Projektionen af a på b. d) Arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne. t + Opgave 4: Bestem t, så vektorerne a = 7 og b = t er ortogonale. 4 5 A, 7,, B 6,5,9, C 0,, 0 og D 4,8,. Opgave 44: Givet er punkterne a) Bestem en ligning for planen, der indeholder punkterne A, B og C. b) Bestem afstanden fra punktet D til planen. c) Bestem en parameterfremstilling for linjen gennem A og B. d) Bestem en ligning for kuglen med centrum i A og radius 7. Opgave 45:En plan er givet ved ligningen + y + 5z + = 0 ; G =, og en linje l er givet ved parameterfremstillingen: 5 y = 7 + s 8 ; s z a) Bestem skæringspunktet mellem og l. b) Bestem den stumpe vinkel mellem og l. 5,7, ligger i planen. c) Undersøg, om punktet d) Undersøg, om punktet ( 5,7, ) ligger på linjen l. 4 8 6 9 y Opgave 46: Reducér følgende udtryk: ) ) ) a a b c a y a 5 7 5 5 Opgave 47: Bestem følgende rødder: a) b) c ) 7 ) d 6 e) 8 f ) Opgave 48: I trekant ABC er tegnet medianerne AD og BE. Deres skæringspunkt er M. Hvilke af følgende kan man sige med sikkerhed (sæt krydser): a) BM = CD b) AE = CE c) BM = CM d) AM = DM e) AM = DM f) AM DM = g) dist ( M, AB) dist ( M, AC ) = h) BAD = CAD i) AEB = 90 e) M ligger på C s vinkelhalveringslinje. k) M ligger på højden fra C. l) M ligger på medianen fra C. m) M ligger på AB s midtnormal. n) M er centrum for den omskrevne cirkel. o) M er centrum for den indskrevne cirkel. p) Arealet af AEM er lig arealet af BDM Opgave 49: Løs følgende ligninger: a) 5 + = 0 b) 5 5 = 0 c) + 8 + 7 = 0

7 Opgave 50: Omregn til uforkortelige brøker: a)8 b)9 c) d) e) 7 f ) 5 5 5 Opgave 5: I ABC er tegnet AC og BC s midtnormaler. Deres skæringspunkt er M. Hvilke af følgende kan man sige med sikkerhed (sæt krydser): a) BM = CD b) AE = CE c) AM = CM d) AM = DM e) AM = DM f) AM DM = g) dist ( M, AB) dist ( M, AC ) = h) BAD = CAD i) AEM = 90 j) M ligger på C s vinkelhalveringslinje. k) M ligger på højden fra C. l) M ligger på medianen fra C. m) M ligger på AB s midtnormal. n) M er centrum for den omskrevne cirkel. o) M er centrum for den indskrevne cirkel. Opgave 5: Beregn følgende: a) 6 b) 0 c) 49 Opgave 5: Udregn følgende: 60 54 a) b) c ) 5 75 5 d)000 e) f ) 8 Opgave 54: Beregn følgende rødder: a) 8 ) 6 Opgave 55: I trekant ABC er tegnet vinkelhalveringslinjerne AD og BE. Deres skæringspunkt er M. b Hvilke af følgende kan man sige med sikkerhed (sæt krydser): a) BM = CD b) AE = CE c) BM = CM d) AM = DM e) AM = DM f) AM DM = g) dist ( M, AB) dist ( M, AC ) = h) BAD = CAD i) AEB = 90 j) M ligger på C s vinkelhalveringslinje. k) M ligger på højden fra C. l) M ligger på medianen fra C. m) M ligger på AB s midtnormal. n) M er centrum for den omskrevne cirkel. o) M er centrum for den indskrevne cirkel. p) Arealet af AEM er lig arealet af BDM 4 7 8 Opgave 56: Beregn følgende a)8 b) 5 c )0000000 d) ( 7 ) e)5 f ) 7 Opgave 57: En figur består af tre rette linjestykker, der bl.a. danner en ret vinkel A og en vinkel v på 0 (se figuren). Bestem vinklerne u, w og og sæt navn på dem (f.eks. y = 40 Eksplementvinkel til v ) Opgave 58: Løs følgende ligninger: a) = b) = 7 c) 5 = 60 d) 4 + 7 =

Opgave 59: ABCD er et parallelogram, og på figuren er indtegnet diagonalerne AC og BD, og deres skæringspunkt M er markeret. Hvilke af følgende kan man sige med sikkerhed (sæt krydser): a) AD = AB b) AD = BC c) AM = CM d) AM = BM e) AB = BM f) AMB = 90 g) BAD = BCD Opgave 60: Den. oktober 08 var aldersfordelingen i Danmark: Alder [0,9] ]9,9] ]9,9] ]9,9] ]9,49] ]49,59] ]59,69] ]69,79] ]79,89] ]89,99] ]99,09] Antal målt i tusinder 60 684 786 680 765 798 66 549 7 44 a) Tegn et histogram over aldersfordelingen og angiv typeintervallet. b) Tegn en sumkurve over aldersfordelingen og angiv kvartilsættet. c) Bestem 40%-fraktilen og fortolk resultatet. d) Hvor stor en procentdel af den danske befolkning var.oktober 08 mindst 67 år? e) Hvor stor en procentdel af den danske befolkning var. oktober 08 mellem 5 og 5 år? f) Tegn et boksplot over aldersfordelingen og bestem IQR. Opgave 6: To forskellige klasser opnåede i to forskellige prøver taget to forskellige år følgende karakterfordelinger: a) Bestem typekaraktererne for de to klassers to forskellige prøver. b) Tegn en trappekurve over karakterfordelingen i klasse A. c) Bestem 0%-fraktilen for klasse A og fortolk resultatet. d) Tegn i samme skema boksplot for de to klassers karakterfordelinger og bestem for begge klasser IQR. e) Var der eceptionelle udfald i prøverne? Opgave 6: Slikproducenten Colama oplyser, at deres blanding GumleGof består af følgende fordeling: Man har en mistanke om, at Colama snyder med denne fordeling og ønsker at teste det med signifikansniveauet %. Man køber derfor 5 poser af denne blanding. a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til et sådant test, og bestem den kritiske værdi for teststørrelsen. De 5 poser indeholder 69 stykker slik, der fordeler sig på følgende måde: b) Bestem den forventede fordeling og bestem de eftertragtede ellipsers bidrag til Q-værdien. c) Bestem Q-værdien og afgør, om nulhypotesen skal forkastes.

Opgave 6: Man ønsker at undersøge, om adfærdstype afhænger af karaktertype, og man vælger signifikansniveauet 5%. a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til denne undersøgelse. Man observerer hos 489 repræsentativt udvalgte personer følgende: b) Angiv antal frihedsgrader og bestem den kritiske Q-værdi. c) Bestem den forventede fordeling (angiv ét regneeksempel) og afgør, om nulhypotesen skal forkastes. Opgave 64: I et GOF -test, hvor man anvender signifikansniveauet %, får man følgende bidrag til Q-værdien: a) Bestem Q-værdien og bestem p-værdien. b) Bestem den kritisk værdi for teststørrelsen. Opgave 65: Bestem afledede funktioner af funktionerne givet ved følgende forskrifter: 4 a) f ( ) = 5 + 7 + 8 b) g ( ) = 7 ln ( ) cos ( ) c) h( ) = sin( ) d) k( ) e) l = + 5 7 = e Opgave 66: Bestem følgende ubestemte integraler: 4 + + 6 9 d Opgave 67: Udregn nedenstående: 5 6 a) b) ( 5 cos( ) 4 e ) d c) ( 8 + 5) sin ( 4 + 5 9) a) ( ) b) 0 d e d e + 5 Opgave 68: En funktion f er en løsning til differentialligningen d dy y + =, og grafen for f går d + y gennem punktet P (,). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P. Opgave 69: Undersøg, om funktionen f givet ved f = er en løsning til differentialligningen e dy y e = d

Opgave 70: En funktion f er givet ved forskriften f ( ) = 5 e +. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet 0, ( 0) P f. Opgave 7: En funktion f har nulpunkterne = 8, =, = og = 6, og grafen for f danner sammen med førsteaksen tre punktmængder M, M og M (se nedenstående figur). Arealerne af og a) Bestem f M M er henholdsvis 06 og, og det oplyses, at f d b) Bestem f 8 d c) Bestem arealet af M 8 d) Bestem f 6 d Opgave 7: En funktion f er givet ved forskriften f ( ) ( ) 4 e 0, = + + 6 d =. I første kvadrant danner grafen for f sammen med førsteaksen og andenaksen en punktmængde M. a) Bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M roteres 60 omkring førsteaksen. c) Bestem omkredsen af M. Opgave 7: Reducér følgende udtryk a) a + b a 4b + b 4 b a b) y + 6y + y y 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) 4c f f c c 5 f 6 c d) 5p q 4q p q 6 p q Opgave 74: Reducér udtrykkene ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) a) y y 4 y b) 4a b 4b 8a b a ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) c) a b a b a b d) 7 5y 7 5y Opgave 75: Reducér udtrykkene + 6 + 9 a + 5 0a 4y + 9 + y a) b) c) 9 a 5 4y 9 a + 4a + 4 4 6y + 8y 4y + 8 d) e) f ) 6a + a 6 7y y + y Opgave 76: Reducér udtrykkene + 9 4 y + 6y + a) + b) c) + 9 y +

Opgave 77: Kvadratkomplementér følgende udtryk a) + b) y 6 y c) z + z d) + 0 + y 6 y e) + 8 + y + y + z 4z Opgave 78: Kvadratkomplementér følgende udtryk a) + 8 + 7 b) y y + c) z + 4z d y y e y y z z ) + 8 + 4 + 9 ) 6 + 4 + + 6 5 Opgave 79: Løs ligningerne a) + 7 = 8 + ; G = b) 5 + 6 = 9 ; G = Opgave 80: Reducér nedenstående udtryk c) + 5 = 5 ; G = d) ( 4 ) + 5 = + ; G = e) 7 = ; G = \, 4 5+ 7 4 5 f ) ( 5) + 4 = 4 + 7 ; G = g) = + ; G = \,0 h) 4 9 + 6 = 6 5 ; G = ( ) ( ) ( + ) ( + ) a) a b 4 a a b b) 4y y 8y 4 y + 9y c) ( a + b) ( 5a b) + ( a + b) ( a b) d) 0y 5y Opgave 8: Kvadratkomplementér følgende udtryk a) + 0 b) y y c) + 8 + 5 d) 4 + y + 4y Opgave 8: Løs disse ligninger a) 7 + 5 = 9 ; G = b) 5 + 4 = 7 ; G = 5 c) ( 4 ) + = 6 ; G = d) = ; G = \, 5 5 4 6 Opgave 8: Om trekanterne ABC og DEF oplyses det, at A = D, B = E og C = F. a) Bestem BC. b) Bestem DF. Opgave 84: Det oplyses, at AB DE, AB = 4, AC =, CE = 7 og DE = 9 a) Bestem BC. b) Bestem CD.

Opgave 85: I trekant ABC er vinkel C stump, og højden fra B falder uden for trekanten og har fodpunkt i D. Det oplyses, at AC = 40, AD = 00 og BD = 4 a) Bestem A og AB. b) Bestem C i trekant ABC. Opgave 86: I trekant DFH er D = 46, DF = og DH =. Medianen fra D rammer den modstående side i punktet M. a) Bestem arealet af trekant DFH. b) Bestem DM. Opgave 87:

Årsprøve. 09 Opgave : Reducér udtrykket ( y ) ( + 9y) ( y) Opgave : Løs ligningen + 6 0 = 0 ; G = Opgave : er proportional med y. Udfyld nedenstående skema. y 8 Opgave 4: De ensvinklede trekanter ABC og ADE er retvinklede med de rette vinkler B og D. AC =, BC = 5 og CE = 6. Bestem AD. 7 + 5 = + ; G = 4 Opgave 5: Løs ligningen Opgave 6: Reducér udtrykkene a a 5 a 4 7 og p 0 ( p ) 5 Opgave 7: En ret linje l går gennem punktet P( 4, ) og er parallel med linjen m givet ved ligningen y = + 7. Bestem den rette linje l s skæring med koordinatakserne. Opgave 8: Reducér udtrykket 0 5y 4 y + 9y Opgave 9: En cirkel har centrum i C ( 5, ), og punktet P (,) ligger på cirklen. Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i punktet P. Delprøven med hjælpemidler Opgave 0 Antallet N af aktive Facebook-brugere målt i millioner er for perioden 008-07 angivet i nedenstående tabel. Årstal 008 009 00 0 0 0 04 05 06 07 Antal målt i 00 50 500 750 950 00 400 600 800 000 millioner Det antages, at antallet N af aktive Facebook-brugere målt i millioner kan beskrives ved modellen N t = a t + b, hvor t er tiden målt i antal år efter 008. a) Bestem a og b. b) Hvor mange aktive Facebook-brugere vil der ifølge modellen være i 05? c) Hvornår vil antallet af aktive Facebook-brugere ifølge modellen overstige 8 milliarder? Opgave I trekant ABC er A = 8, AB = og BC =. Det oplyses, at C er stump. Fodpunktet for medianen fra A kaldes M. p a) Bestem vinkel C. b) Bestem arealet af trekant ABC. c) Bestem længden af medianen fra A.

Opgave : Løs ligningen, 7 cos ( ) + 5, = 6, ; G = 0, 4 Opgave Mængden D af kuldioid i atmosfæren kan angives som brøkdelen af CO -molekyler i mol tør luft (angivet i enheden ). mol Årstal 960 970 980 990 000 00 Mængde af 7 5 8 54 69 88 kuldioid I en model antages det, at D kan beskrives ved forskriften D t = b a hvor t er tiden angivet i antal år efter 960. t a) Bestem a og b. b) Bestem fordoblingstiden for mængden af kuldioid i atmosfæren. Opgave 4: Bestem den stumpe vinkel, der dannes af linjerne l og m givet ved ligningerne l : y = + 8 m : y = 9 Opgave 5 Om vektorerne a, b og c oplyses det, at a = 9, b = 5 og a + c = b. Desuden oplyses det, at vinklen mellem vektorerne a og b er 5. a) Bestem c.

Årsprøve. 08 Delprøven uden hjælpemidler kl. 09.00.00 Opgave : Reducér udtrykket ( a b) + ( 6a b) ( a + b) Opgave : Løs ligningen ( 7 ) + 5 = 4 + ; G = Opgave : og y er omvendt proportionale. Udfyld nedenstående skema. 5 y 5 Opgave 4: Linjestykkerne AD og CE er parallelle, så trekanterne ABD og BCE er ensvinklede. Bestem BD og BC. Opgave 5: Løs ligningen + 7 + 0 = 0 ; G = Opgave 6: I en model antages det, at antallet af medlemmer af Dansk Skak Union siden 980 er faldet med 7 om året. I 980 var der 070 medlemmer. Indfør passende variable og angiv en forskrift for modellen, der beskriver antallet af medlemmer af Dansk Skak Union. Opgave 7: En cirkel er givet ved ligningen + + y 0y 0 = 0 ; G = Bestem radius for cirklen samt koordinatsættet til cirklens centrum. Opgave 8: En parabel er givet ved ligningen y = + 5 ; G = Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt. Opgave 9: Firkant ABCD kan opdeles i de to retvinklede trekanter ABD og BCD. Det er oplyst, at AB =, AD = 4 og CD =. Bestem BC. Opgave 0: Løs ligningssystemet 6+ y = + 4y = 6

Opgave : En cirkel har centrum i C ( 6,7), og punktet (,5) P ligger på cirklen. Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i punktet P. Opgave : En parabel er givet ved ligningen y = a + b + c, og diskriminanten betegnes d. Det oplyses, at parablen skærer førsteaksen i punkterne ( 7,0) Bestem fortegnene for b, c og d. Besvarelsen afleveres kl..00 Delprøven med hjælpemidler kl. 09.00.00 og,0, og at a 0. Opgave Trekant ABC er retvinklet med den rette vinkel B. AB = 5,8 og A = 6. Vinkelhalveringslinjen fra A rammer siden BC i punktet D og danner dermed trekanterne ABD og ACD. I trekant ACD rammer medianen fra D siden AC i punktet E. a) Bestem AD og CD. b) Bestem ADC og arealet af trekant ACD. c) Bestem DE. Opgave 4 Bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem parablen p og linjen l givet ved nedenstående ligninger: p : y = Opgave 5 En kugle har centrum i (,0,7 ) l : y = + 5 C og radius. a) Bestem en ligning for kuglen. b) Bestem koordinatsættene til kuglens skæring med z-aksen. Opgave 6: Løs ligningen sin ( ) + = 4, ; G= 0, Opgave 7: En ret linje l går gennem punkterne P( 7,) og Q( 7, 5). Mængden af punkter på linjen l, hvor førstekoordinaten er et helt tal, og andenkoordinaten er mindre end 7, betegnes M. Bestem det punkt fra mængden M, der har den mindste førstekoordinat.

Uden hjælpemidler: Opgave : Løs ligningen Årsprøve. 07 5 6 0 ; G + = = Opgave : Reducér udtrykket ( a b) a ( 4a b) Opgave : Indiens befolkningstal har i perioden 009-06 kunnet beskrives ved modellen t N t = t,6,0 ; 0 hvor t er tiden målt i år efter 009, og N angiver befolkningstallet målt i milliarder. Forklar, hvad konstanterne fortæller om Indiens befolkningstal. f = a + b + c Opgave 4: Parablen nedenfor er grafen for funktionen f med forskriften Bestem fortegnene for konstanterne a, b, c og d, hvor d er diskriminanten. Opgave 5: En kugle er givet ved ligningen 6 + y y + z + 0z 4 = 0 ; G = Bestem centrum og radius for kuglen. P, og Q 6, ligger begge på cirklen C, hvor de udgør endepunkterne Opgave 6: Punkterne på en af diagonalerne i cirklen. Bestem en ligning for den tangent til cirklen C, der rører cirklen i punktet Q. Med hjælpemidler: Opgave 7 Antallet N af kerner af et radioaktivt stof aftager med tiden t (målt i minutter efter det tidspunkt, hvor man begynder at måle på antallet af kerner). En model til beskrivelsen af antallet af kerner N som funktion af tiden t er N t = b a t a) Bestem a og b. b) Hvor mange kerner vil der ifølge modellen være tilbage 0 minutter efter, at man begynder at måle på antallet af kerner, og hvornår vil man ifølge modellen være nede på 500 kerner? c) Bestem halveringstiden. Opgave 8 Firkant ABCD er en løberute for en gymnasieklasse. Eleverne har ruten på et kort, dvs. firkanterne ABCD og Ak BkCk Dk er ligedannede. Det oplyses, at A B = 6cm, A D = 8cm, BAD = 90, AD =,km, BC =,0km og CD =,7km. k k k k Den rigtige løberute begynder i punkt A og går herfra til punkterne D, C, B og A i den nævnte rækkefølge. Men nogle elever vælger en snyderute, hvor de i punkt D bevæger sig til punkt V, dvs. de løber langs linjen v D, der er en vinkelhalveringslinje for BDC.

a) Bestem AB og BD. b) Bestem BDC og arealet af den rigtige løberute, dvs. firkant ABCD. c) Bestem omkredsen af snyderuten ADVB. a Opgave 9 Grafen for funktionen f med forskriften f ( ) = b går gennem punkterne (,7) og ( 6, ). a) Bestem a og b. b) Hvad sker der med funktionsværdien, hver gang -værdien øges med 0%? Opgave 0: Banen for kuglen i et kuglestød udgør en del af en parabel med ligningen y = 0, 047 + 0,9 +,8 ; 0 angiver den vandrette afstand til start, og y angiver højden over jorden. Der måles i meter. a) Hvor højt over jorden når kuglen op? b) Hvor langt kommer kuglen? Opgave Punkterne A(, 5) og B( 9,) Den rette linje L går gennem punkterne P( 4,) og Q(, ). udgør endepunkterne af en diagonal i cirklen C. a) Bestem en ligning for cirklen C. b) Bestem en ligning for den rette linje L, og bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem cirklen C og den rette linje L. Opgave Stjerner kan opdeles i størrelsesklasser, hvor de klareste stjerner svarer til de mindste størrelsesklasser. Sammenhængen mellem en stjernes absolutte størrelsesklasse M og dens tilsyneladende størrelsesklasse m er givet ved formlen M = m 5 log r + 5, hvor r er afstanden til stjernen målt i enheden parsec. Stjernen Sirius er med sin tilsyneladende størrelsesklasse,46 den klareste stjerne på nattehimlen. Afstanden til Sirius er,64parsec. a) Bestem stjernen Sirius absolutte størrelsesklasse. b) Isolér r i formlen og bestem afstanden til stjernen Canopus, der har den tilsyneladende størrelsesklasse 0, 7 og den absolutte størrelsesklasse 5,65.

Uden hjælpemidler: Opgave : Løs ligningen Årsprøve. 06 8 0 ; G = = Opgave : Værdien af en bil kan i en periode beskrives ved udtrykket V ( t) 48.000 t 9.000 = +, hvor V er værdien af bilen angivet i kroner, og t er tiden målt i antal år efter bilkøbet. Forklar, hvad de to konstanter fortæller om bilens værdi. Opgave : Funktionen f : b a f = og f 4 = 9. Bestem en forskrift for f. opfylder, at Opgave 4: Nedenfor ses to retvinklede trekanter ABC og A'B'C', der er ensvinklede (A er kongruent med A, og C er kongruent med C ). Bestem omkredsen af trekant ABC. Opgave 5: Løs ligningssystemet 5 y = 7+ 4y = 7 ; G = Opgave 6: En kugle er givet ved ligningen + 8 + y + z 6z 4 = 0 ; G = Bestem centrum og radius for kuglen. Med hjælpemidler: Opgave 7 Rumfanget V af en tønde med højden h, endefladediameteren d og maksimumdiameteren D er bestemt ved: h V = D + d D + d 5 4 a) Bestem rumfanget af en tønde A med højden, m, endefladediameteren 0,85 m og maksimumdiameteren,7 m. b) Hvor stor skal maksimumdiameteren være, hvis en tønde B med samme højde og endefladediameter som tønden A skal kunne rumme,6 m? Opgave 8 Ved et meteornedslag kan sammenhængen mellem kraterdiameteren d (målt i m) og energien E af meteoren (målt i J) beskrives ved en funktion med forskriften a E( d) = b d. En række sammenhørende værdier af kraterdiameteren og energien af meteoren ses i nedenstående tabel: a) Bestem konstanterne a og b. b) Bestem, hvor meget energi meteoren skal have for at lave et krater med diameteren 5 m, og bestem kraterdiameteren for en meteor med energien 0.000 J. c) Hvor mange procent større bliver kraterdiameteren, når energien af meteoren fordobles?

Opgave 9 Det danske bruttonationalprodukt var i 007 på 6 milliarder kroner, mens det i 0 var på 557 milliarder kroner. a) Vis, at det danske bruttonationalprodukt i gennemsnit faldt med 0,69% om året i perioden 007-0? b) Hvor mange år ville der gå, før det danske bruttonationalprodukt var halveret, hvis det hvert år faldt med 0,69%? Opgave 0: I den retvinklede trekant ABC med den rette vinkel B er C = 7 og BC =,9. Fodpunktet for medianen fra B kaldes D. a) Bestem AC. b) Bestem længden af medianen m B. c) Bestem BDC, og bestem arealet af ABD. Opgave : En parabel P er givet ved ligningen y = + 5 ; G =. a) Bestem koordinatsættet til parablen P s toppunkt. Nedenfor ses to parabler A og B, hvor de tilhørende funktioner er på formen a + b + c, og hvor diskriminanten betegnes d. b) Bestem for begge parabler fortegnene for a, b, c og d. Opgave : En cirkel har centrum i C ( 5, 8), og punktet (, 5) P ligger på cirklen. a) Bestem en ligning for cirklen. b) Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i P.

Uden hjælpemidler: Årsprøve. 04 Opgave Reducér udtrykket ( a + 4b) ( a b) + ( a + b) Opgave Værdien af en bil kan i en periode beskrives ved udtrykket V( t ) = 7.000 0,8 t, Opgave 4 Opgave 6 hvor V er værdien af bilen angivet i kroner, og t er tiden målt i antal år efter bilkøbet. Forklar hvad de to konstanter fortæller om bilens værdi. Bestem koordinatsættet til toppunktet for den parabel, der er graf for funktionen f = + 5. Løs ligningssystemet 5+ y = 4 6+ 4y = 6 Med hjælpemidler: Opgave 9 I trekant ABC, hvor det oplyses, at C er stump, er følgende størrelser oplyst: b = 5,, c =,6 og B = 8,6 a) Beregn C. b) Beregn arealet af trekant ABC. c) Tegn en skitse af trekanten og indtegn højden fra A på skitsen. Beregn længden af højden fra A. Opgave 0 I en elektrisk kreds med vekselstrøm er strømstyrken I( t ) til tiden t givet ved I ( t) =,5sin ( 50 t) +,7 ; t 0, hvor strømstyrken måles i ampere og tiden måles i sekunder. a) Beregn strømstyrken efter 0,04 sekunder. b) Bestem den mindste strømstyrke. c) Bestem vekselstrømmens periode.

Uden hjælpemidler: Årsprøve. 0 Opgave En cirkel er bestemt ved ligningen 6 + y + 0y = 5 Bestem koordinatsættet til cirklens centrum og dens radius. Opgave Reducér udtrykket ( a + b) a( b 4a) 4ab. Opgave En linje l er givet ved ligningen y + 7 = 0. Bestem en ligning for den linje, der står vinkelret på l og går gennem punktet P(-,5). Opgave 4 En parabel er graf for funktionen f ( ) = +. Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt. Opgave 5 En cirkel har centrum (,5) og radius, og en linje l er bestemt ved ligningen y + = 0. Opgave 6 Undersøg om linjen l skærer cirklen. () f f () f På figuren ses graferne for tre forskellige lineære funktioner på formen f ( ) = a + b. Bestem for hver af de tre lineære funktioner, hvad man kan sige om fortegn for a og b. Med hjælpemidler: Opgave 7 Et lille firmas omsætning, f () (i tusind kr.), afhænger af antallet af sælgere,. Man har undersøgt sammenhængen og fundet ud af sammenhængen omtrent følger: f( ) = 57, 4 + 7040 a) Bestem firmaets omsætning med to sælgere? b) Bestem antallet af sælgere, der giver firmaet en maksimal omsætning. Opgave 8 I 009 betalte hver forbruger i Holstebro 4,5 kr. pr. kubikmeter vand samt et fast årligt abonnement på 58,5 kr. a) Opstil en formel, der beskriver sammenhæng mellem den samlede udgift ( i kr.) til vand i 009 og vandforbruget (målt i kubikmeter) for en forbruger i Holstebro. For Hillerød beskrives den tilsvarende sammenhæng ved formlen y= 49,8 + 08, 75 b) Hvad skal en forbruger i hver af de to byer betale for et vandforbrug på kubikmeter? c) Hvilket vandforbrug giver samme samlede udgifter i de to byer? 8

Opgave 9 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved t t + a = og b =, hvor t er et tal. t a) Bestem for t = arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a og b. b) Bestem for t = koordinatsættet til projektionen af a på b. c) Bestem den eller de værdier af t, for hvilke vektorerne a og b står vinkelret på hinanden. Opgave 0 I ABCer siden b tre gange så lang som siden a, mens siden c er,5 gange så lang som siden a. a) Bestem trekantens vinkler. b) Bestem længden af siden a, når det oplyses, at trekantens areal er 0. Opgave En parabel p er graf for funktionen f ( ) = + + 7. En ret linje l er graf for funktionen g ( ) = 4. a) Bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem p og l. b) Bestem parablens toppunktskoordinater og afstanden fra parablens toppunkt til den rette linje. Opgave En dyppekoger anbringes i et bægerglas med vand. Bægerglasset stilles på en vægt. Når vandet er kommet i kog, aflæses vægten hvert minut, mens vandet fortsat koger. Måleresultaterne fremgår af skemaet nedenfor. Tid / minutter Masse / gram 0 4 5 7 0 9 64 9 4 Det oplyses, at massen målt i gram med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær funktion f af tiden målt i minutter. a) Bestem en forskrift for f. b) Hvor lang tid tager det ifølge modellen at fordampe 500g vand? 9

Opgave I en trekant EFG er E = 70 og EG = 8. Medianen fra F har længden 5, og dens fodpunkt betegnes med H. a) Bestem EFH. b) Bestem G. Opgave 4 Ligningerne for de rette linjer l og m er: l : 4 + y = m : y = 7 a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjerne l og m. b) Bestem den spidse vinkel mellem linjerne l og m. c) Bestem ligningen for den cirkel, hvis centrum ligger på linjen m, og som tangeres af både.- og.-aksen. 40

Årsprøve.y 007 9 6y + y Opgave Reducér udtrykket 6 y Opgave Trykket i atmosfæren, målt i atm, aftager som funktion af højden, målt i km, over jordoverfladen med god tilnærmelse som en eksponentiel udvikling P med en halveringshøjde på 5 km. a) Opskriv et regneudtryk for P, som funktion af højden h, idet trykket ved jordoverfladen er atm. Opgave Om to størrelser og y oplyses, at der er en lineær sammenhæng mellem y - og. Følgende tabel viser nogle sammenhørende værdier af og y: Bestem en ligning, der beskriver sammenhængen mellem og y. Opgave 4 Fire variable størrelser er forbundet ved formlerne R = R ( + t) 0 og U = R I, hvor R0 og er konstanter. Opstil en formel, der udtrykker t ved U og I. Opgave 5 For hvilket tal k 0 har ligningen k + k = 0 netop én løsning. Opgave 6 5 y 9 Prøven med hjælpemidler Optællinger af gråsælunger på Sable Island ved Nova Scotia i Canada Gennem en årrække har man på Sable Island optalt antallet af unger, som gråsælerne fik. Nedenstående tabel viser sammenhørende værdier af antal år efter 970 og antal unger. Antal år efter 970 0 8 4 7 0 7 Antal unger 700 500 400 500 7500 000 6000 500 I en model kan antallet af unger som funktion af antal år efter 970 med tilnærmelse beskrives ved en funktion af typen f ( ) = b a, hvor f() er antal unger, og er antal år efter 970. a) Bestem tallene a og b. b) Bestem det årstal, hvor der ifølge modellen vil være 50000 unger. Kilde: ICES Journal of Marina Science, 60, 00 4

Opgave 7 Opgave 8 Opgave 9 I en trekant ABC er C = 4, h a = 5 og m a = 7 kaldes henholdsvis H og M, og det oplyses, at AMC er spids. a) Tegn en skitse af trekanten og bestem MH. b) Bestem A i trekant ABC.. Fodpunktet for h a og Dugongs, også kaldet Søkøer, er havdyr, som kan blive omkring meter lange, og som har en levetid på 50-60 år. Tabellen viser sammenhængen mellem søkøers længde (målt i meter) og deres alder (målt i år). Alder,5,5 5,0 7,0 9,5 0,0,0 7,0,5 9,0 Længde,97,0,5,5,9,4,47,56,70,7 Kilde: Marsh, H. R. (980). Age determination of the dugong in Northern Australia and its biological implications. Det oplyses, at en søkos længde som function af dens alder med tilnærmelse er en a funktion af typen f ( ) = b, hvor er søkoens alder, og f() er søkoens længde. a) Bestem tallene a og b, og opskriv en forskrift for funktionen f. b) Bestem ved hjælp af f længden af en søko, der er 8 år gammel, og bestem alderen på en søko, som har en længde på,5 meter. En træklods skal være lige så høj som den er bred, men 4 gange så lang som den er bred. a) Indfør passende betegnelser, og opskriv en formel for klodsens overfladeareal. b) Man ønsker, at klodsen skal have et rumfang på cm. Bestem klodsens mål, således at dette er opfyldt. ma Opgave 0 Det radioaktive stof strontium 90 henfalder med,45% pr år. Et laboratorium indkøber 7 g af stoffet i 004. a) Indfør passende betegnelser, og opskriv et matematisk udtryk, der beskriver, hvorledes mængden af strontium 90 ændrer sig med tiden. Opgave En eksponentielt aftagende funktion er givet ved a) Bestem halveringskonstanten. f 0,t ( t) = 00 e. Opgave I en trekant ABC er 4 BC = AB og AC = AB. a) Tegn en model af trekanten, og bestem A. b) Bestem AB, når h = 4. Opgave a) Bestem nulpunkter for funktionen b f ( ) = Opgave 4 Tabellen viser sammenhængen mellem tryk P, målt i Pa, og temperatur t målt i C. t 5,0 0, 9,9 40,0 70, 90, P, 5, 5, 60, 85, 0,5 Det oplyses, at P med god tilnærmelse er en lineær funktion af t. a) Bestem en forskrift for P som funktion af t, og beskriv betydningen af de konstanter, der indgår i forskriften. Opgave 5 En trekants areal er bestemt ved dens højde og dens grundlinie, og en cirkels areal er bestemt ved dens radius. En trekant og en cirkel skal have samme areal. a) Indfør passende variable, og opstil et udtryk, som beskriver denne sammenhæng. b) Udtryk radius i cirklen ved trekantens højde og grundlinje. 4

Opgave 6 I tabellen nedenfor ses karakterfordelingen for to hold elever, Hold og Hold, ved samme matematikprøve: Karakter 0 5 6 7 8 9 0 Hold 5 7 5 0 5 Hold 4 6 8 0 6 0 6 0 For Hold oplyses følgende statistiske deskriptorer: Deskriptor Hold Middelværdi 7, Median 7 Nedre kvartil 6 Øvre kvartil 9 a) Bestem de tilsvarende deskriptorer for Hold, og beskriv forskellen mellem de to holds præstationer ved hjælp af de nævnte deskriptorer. 4

Årsprøve. 07 Delprøven uden hjælpemidler Opgave : Løs ligningen ( + 5 ) 4 = 5 6 ; G = Opgave : Linjestykkerne AB og DE er parallelle, så trekanterne ABC og CDE er ensvinklede: Bestem BC og CE. Opgave : En portion radioaktive kerner af en bestemt isotop isoleres, og da man begynder at måle aktiviteten, følger den modellen t A t = t, 47 0,76 ; 0 hvor A er aktiviteten målt i Bq, og t er tiden målt i sekunder. Forklar, hvad modellens konstanter fortæller om aktiviteten. Opgave 4: En funktion f har forskriften f ( ) = sin ( ) + e. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet 0, ( 0) 4 Opgave 5: I planen er givet vektorerne a= og b= t 8. Bestem de værdier af t, for hvilke trekanten udspændt af Opgave 6: En funktion f har forskriften sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen f P f. aog bhar arealet 8. = e. I første kvadrant danner grafen for f = ken punktmængde M. Bestem k, så arealet af punktmængden M er 0. Delprøven med hjælpemidler Opgave 7: På en cykeltur måler man ved forskellige konstante hastigheder v (målt i m s ) den kraft F, man træder i pedalerne med (målt i N): Det antages, at kraften F som funktion af den konstante hastighed v kan beskrives ved modellen: F v = b v a a) Bestem a og b. b) Bestem, hvor stor kraft man ifølge modellen skal træde i pedalerne med for at køre med den konstante hastighed m s, og bestem, hvor høj konstant hastighed man ifølge modellen kører med, hvis man træder i pedalerne med kraften 00 N. c) Hvordan ændres den kraft, man skal træde i pedalerne med, hvis den konstante hastighed øges med 0%? 44

Opgave 8: I trekant ABC er AB = 6, AC = 8,5 og ACB = 9. Desuden oplyses det, at ABC stump. er a) Bestem ABC. Vinkelhalveringslinjen v B for b) Bestem arealet af firkant ABCD. ABC konstrueres og afskæres i punktet D, så BD = AB. Opgave 9: Grafen for funktionen f med forskriften f ( ) ( 5) = danner i første kvadrant sammen med førsteaksen en punktmængde M. a) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring førsteaksen. I intervallet 0 5 danner punkterne ( ) 0,0,,0,, f og 0, f et rektangel. b) Bestem den værdi af, der gør arealet af dette rektangel størst muligt. Opgave 0: A(,, ), B( 4,8, ), C ( 8,,7 ), D( 6,,5 ), E ( 4,,9 ) og F ( 0,5,0 ). Punkterne A, B, C og D ligger i samme plan, og firkant ABCD udgør glasfacaden i et moderne byggeri. En solstråle, der følger den rette linje, der går gennem punkterne E og F, rammer glasfacaden og absorberes af denne. Alle længder måles i meter. a) Bestem en ligning for den plan, som glasfacaden er en del af. b) Bestem arealet af glasfacaden. c) Bestem det punkt på glasfacaden, hvor solstrålen rammer, og bestem den stumpe vinkel, som solstrålen danner med glasfacaden. Opgave : Et lod svinger lodret i en lang fjeder. Højden h (målt i meter) af loddet over jorden som funktion af tiden t (målt i sekunder) er givet ved forskriften 8 h( t) = 4,sin (,5 t + 0,7) + 6, ; 0 t. 5 a) Tegn grafen for h, og bestem loddets maksimale og minimale højde over jorden. b) Bestem h' og fortolk resultatet. Opgave : Funktionen f er en løsning til differentialligningen dy 7 = 4,0 y( 6000 y) d a) Bestem væksthastigheden for f, når f ( ) = 000, og bestem den maksimale væksthastighed for f. b) Bestem funktionsforskriften for f, når det oplyses, at f ( ) = 500, og bestem den værdi for, der giver den maksimale væksthastighed for f. 45

Årsprøve. 08 Delprøven uden hjælpemidler Opgave : Reducér følgende to udtryk: ( 7a 4b) ( 5a b) ( b a) ( ) 5 + og 6 4 9 Opgave : Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a= og b= 4 Opgave : De retvinklede trekanter ABC og ADE er ensvinklede. AB = 7 og AC = 5, og arealet af den store trekant ADE er 40. Bestem AD Opgave 4: Beregn 0 + 5 + + 4 0 d f e Opgave 5: Undersøg, om funktionen f givet ved forskriften y ' y e = differentialligningen = er en løsning til Opgave 6: En parabel p skærer førsteaksen to steder, hvoraf det ene er punktet ( 5,0 ). Førstekoordinaten for p s toppunkt er 4. Tangenten til p i p s skæringspunkt med andenaksen har hældningen. Bestem en ligning for parablen p. Delprøven med hjælpemidler Opgave 7: En firkant ABCD er tegnet med et nøje specificeret, fortroligt formål. Det er oplyst, at A = 4, B = 4 og CD = 5,. Det er desuden oplyst, at D er stump. A s vinkelhalveringslinje går gennem punktet C, og AC =,8. a) Bestem BC. b) Bestem arealet af firkant ABCD. 46

Opgave 8: Brudstyrken B (målt i kg) for et grønt -slået reb af modificerede polypropylenfilamenter afhænger af rebets diameter d (målt i mm). Det oplyses, at sammenhængen a kan beskrives ved funktionsforskriften B( d ) = b d Diameter (målt i mm) 6 0 8 4 40 Brudstyrken (målt i kg) 05 770 05 605 0490 7540 6860 a) Bestem a og b. b) Bestem, hvordan brudstyrken ændres, når diameteren øges med 0%. Opgave 9: Funktionerne f og g er givet ved forskrifterne f g = + + 4 = e Sammen med koordinatakserne danner graferne for f og g i første kvadrant en punktmængde M. a) Bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 60 omkring førsteaksen. Opgave 0: Massen m af et radioaktivt stof (målt i g) kan som funktion af tiden t (målt i sekunder efter fremstilling) beskrives ved en eksponentiel udvikling. M =,7 og M 9 = 4,6. Det oplyses, at a) Bestem en forskrift for M, og bestem halveringstiden T. b) Bestem M '( 0) og forklar, hvad dette tal fortæller om massen af det radioaktive stof. Opgave : Funktionen f er givet ved forskriften f ( ) = 7 sin ( + ) + 4, 0, a) Bestem maksimum og minimum for f. b) Bestem monotoniforholdene for f, og bestem det sted, hvor væksthastigheden for f er størst. Opgave : Antallet N af Netfli-brugere (angivet i millioner) som funktion af tiden t (målt i antal kvartaler siden 0) er en løsning til differentialligningen dn = 0, 00055 N( 7 N) dt I starten af 0 var der 6,5 millioner Netfli-brugere. a) Bestem en forskrift for N, og bestem den øvre grænse for antallet af Netfli-brugere. b) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden af Netfli-brugere er størst, og bestem den største væksthastighed. Opgave : En kugle er givet ved ligningen + 64 + y 5y + z + 88z 577 = 0 ; G = a) Bestem kuglens radius samt koordinatsættet til kuglens centrum. Punktet 4, 7, 8 P ligger på kuglen. b) Bestem en ligning for den tangentplan til kuglen, der har røringspunktet P. 47

Opgave : Løs ligningen Årsprøve. 09 Delprøven uden hjælpemidler + 4 = 0 ; G = Opgave : Bestem for nedenstående funktioner f og g funktionsudtrykkene f '( ) og ' 4 f ( ) = 7 + 5 + 7 9 g ( ) = cos( ) Opgave : Reducér udtrykket ( ) ( + 4 ) ( ) ( + 9) c d c d c d cd g. Opgave 4: Nedenfor ses grafen for funktionen f givet ved forskriften f ( ) = a + b + c. Bestem fortegnene for koefficienterne a, b og c samt fortegnet for diskriminanten d. Opgave 5: I 970 var der 8 insektarter på en bestemt mark. Siden er antallet af insektarter på denne mark faldet med,7% om året. Indfør passende variable og angiv en model, der beskriver antallet af insektarter på denne mark fra og med 970. Opgave 6: En funktion f er løsning til differentialligningen dy d og grafen for f går gennem punktet P(,6). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. = y cos y + Opgave 7: Trekanterne ABC og ADE er ensvinklede og deler vinklen A (se figuren nedenfor). Det oplyses, at længden af siden AC er 5, længden af siden DE er 7, arealet af trekanten ABC er 4 og arealet af firkanten BCED er : AC = 5, DE = 7, T = 4 og A = ABC ( ), BCED Bestem BC og CE. f = 5 8 + 6. Opgave 8: En funktion f er givet ved forskriften 4 Bestem forskriften for den stamfunktion F til f, hvis graf går gennem punktet P(, 7). Opgave 9: Løs ligningssystemet 7y = 0 4+ y = 8 48

Opgave 0: Beregn 5 e d 4 Opgave : Undersøg, om funktionen f : 7 cos ( ) y ' = y tan er en løsning til differentialligningen Opgave : Funktionen f har nulpunkterne 7, 4, 0, og 7, og grafen for f danner sammen med førsteaksen fire punktmængder M, M, M og M 4 (se figuren). ( ) 4 Det oplyses, at f ( ) d = og f 4 7 d = 79, samt at arealet af punktmængden M er, og arealet af punktmængden M er 5. Bestem arealet af punktmængden 7 f d. 7 4 M samt værdierne af de bestemte integraler Delprøven med hjælpemidler f d og 7 Opgave : Firkanten ABDC kan opdeles i den retvinklede trekant ABC (med den rette vinkel A) og trekanten BCD med sidelængderne BC =, BD = 4 og CD = 5. Desuden oplyses det, at ABC = D. a) Bestem D. b) Bestem arealet af firkant ABDC. Opgave 4: Temperaturen T (målt i C) af en metalkugle, der placeres i et isbad, er til forskellige tidspunkter t (målt i antal sekunder) givet ved Tid målt i Sekunder 0 4 5 Temperatur målt i C 58 9 75 64 Det antages, at temperaturen T som funktion af tiden t kan beskrives ved modellen T t = b a t a) Bestem konstanterne a og b. b) Fortolk konstanten a, og bestem halveringstiden for temperaturen målt i C. 49

Opgave 5: Et lod i en fjeder udfører en lodret svingning, hvor højden h (målt i m over ligevægtsstillingen) som funktion af tiden t (målt i sekunder) er givet ved 0,06t h t = 0,09 e sin 6, t + 0,4 ; t 0, a) Bestem de tidspunkter, hvor loddet befinder sig i ligevægtsstillingen. b) Bestem det tidspunkt, hvor loddets hastighed er størst. c) Hvor langt under ligevægtsstillingen befinder loddet sig på det tidspunkt, hvor det har den største acceleration? Opgave 6: I 0 udsatte man eghjorte (Lucanus cervus) i den danske natur, hvor den ellers havde været anset for uddød. Man regner med, at antallet N af eghjorte i Danmark kan beskrives ved differentialligningen dn 6 =, 4 0 N( 400000 N), dt hvor t er tiden målt i antal år efter 0. a) Hvad var væksthastigheden for antallet af eghjorte i 0 ifølge modellen? b) Hvor mange eghjorte er der ifølge modellen i Danmark på det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst? c) Bestem en forskrift for N og bestem, hvor mange eghjorte der ifølge modellen vil være i Danmark i 07. Opgave 7: Bestem monotoniforholdene for funktionen f givet ved forskriften f = ln cos + 7 + + 4 ; Dm f = Opgave 8: Funktionerne f, g og h er givet ved forskrifterne f ( ) = 4e = 4e g h = ln ; Graferne for funktionerne f, g og h danner sammen med koordinatakserne en punktmængde M. a) Bestem arealet af punktmængden M. b) Bestem omkredsen af punktmængden M. 50

Uden hjælpemidler: Årsprøve. 0 (fiskesættet) Opgave Reducér udtrykket ( å + 6l ) 4( å l ) Opgave En almindelig guldfisk (en hibuna, Carassius auratus auratus) der springer ud af vandet, følger en bue der kan beskrives ved en parabel. I et koordinatsystem der er indlagt således, at springet begynder i punktet O(0,0) (se figuren), er ligningen for parablen: y = +. Bestem koordinaterne til parablens toppunkt. Opgave En bladpjaltefisk (Phycodurus eques) kan dreje kroppen, så retningerne af munden og bagkroppen i et koordinatsystem kan beskrives ved vektorerne t + 6 a= og b= + t. Bestem den værdi af t, hvor ortogonale a og ber dy Opgave 4 En adfærdsbiolog har forsøgt at anvende differentialligningen = y 4+ 5 til at d beskrive adfærden hos en sekstakket savkirurgfisk (Prionurus microlepidotus). Undersøg om funktionen f bestemt ved f ( ) = e + er en løsning til differentialligningen. Opgave 5 Den indiske glasmalle (Kryptopterus bicirrhis) er gennemsigtig. En lyskilde med fast lysstyrke benyttes til at lyse gennem et antal glasmaller, og man måler lysstyrken efter passage af et vist stykke glasmalle: Sammenhængen mellem den målte lysstyrke I (målt i enheden candela) og den passerede længde glasmalle (målt i cm) viser sig at kunne beskrives ved modellen: I() = 4, 0,97. Gør rede for, hvad konstanterne i modellen fortæller om situationen. 5

Opgave 6 Funktionen f beskriver antallet af årligt dokumenterede tilfælde, hvor den store hvide haj (Carcharodon carcharias) har angrebet mennesker. Figuren viser i intervallet [-;6] grafen for den afledede funktion f for funktionen f. Bestem monotoniforholdene for funktionen f i intervallet [-;6]. Med hjælpemidler: Opgave 7 Et område med fiskeforbud for sej (Pollachius virens) i Østersøen øst for Bornholm har form som en firkant ABCD, se figuren. Der gælder at A = 98, AB = 75 km, AD = 84 km, BC = 99 km og CD = km. a) Bestem afstanden fra B til D. b) Bestem arealet af firkant ABCD. Opgave 8 For gedder (Eso lucius) kan længden L og vægten W beskrives ved Bertalanffys model: L(t) = a( e k t ) W(t) = b( e k t ), hvor a, b og k er konstanter. L og W måles i henholdsvis cm og kg, og t er geddens alder i dage. For gedder i Esrum sø har man bestemt følgende værdier for a, b og k: a = 58; b = 6,4; k = 0,006. a) Bestem længden af en 00 dage gammel gedde i Esrum sø. b) Bestem vægten af en 0 cm lang gedde i Esrum sø. Kilde: Journal of European Freshwater Ecology, 00 (4), 07. 5

Opgave 9 En konæserokke (Rhinoptera bonasus) har næsten form som et parallelogram udspændt af 4 4 vektorerne a= og b= (se figuren). a) Bestem vinklen mellem vektorerne a og b. b) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af vektorerne a og b. c) Bestem projektionen af b på a. Opgave 0 Den russiske sø Ladoga er rig på fisk specielt fisk i laksefamilien (Salmonidae). Lystfiskerne på søen skal passe på ikke blive for længe på vandet, så de har godt styr på dagslængden, der (målt i timer) kan beskrives ved modellen f ( t) = 6,59 sin(0, 067 t, 95) +, ; 0 t 65, hvor t er tiden målt i døgn efter. januar. a) Benyt modellen til at bestemme dagslængden ved Ladoga-søen til t = 50. b) Bestem f '(00) og redegør for, hvad dette tal fortæller. Opgave En akvariefiskeejer ønsker at anskaffe et nyt akvarium til sine fisk - hovedsageligt grønne sværddragere (Xiphophorus hellerii) og sorte mollyer (Poecilia sphenops). Det skal have kvadratiske endeflader, og endefladerne og sidefladerne skal være af glas. Bunden og låget skal være af metal med sølveffekt. Prisen for glasset er 0 kr. pr. dm, mens prisen for metallet er 0 kr. pr. dm. a) Vis at den samlede pris P for glas og metal til akvariet er givet ved P = 0 + 60y, hvor er en sidelængde i den kvadratiske endeflade (målt i dm) og y er længden af sidefladerne (målt i dm). Akvariet skal kunne indeholde 500 dm b) Bestem den sidelængde, der giver den mindste samlede pris for glas og metal. 5

Opgave I et forsøg lukkes nogle californiske glathovedfisk (Alepocephalus tenebrosus) ud i et bassin med konstant tilførsel af fiskefoder. Det viser sig, at den hastighed, hvormed antallet A af fisk vokser til tidspunktet t er proportional med produktet af antallet af fisk til tiden t og forskellen mellem 750 og antallet af fisk til tiden t. Det viser sig, at væksthastigheden er 0, når antallet af individer er 50. a) Opskriv en differentialligning, som antallet af individer A må opfylde. Opgave For at vurdere forureningen fra et dambrug med plettede skægbrosmer (Urophycis regia), der udleder spildevand i en nærliggende å, har man i en bestem periode målt, hvor meget ammoniak der er i vandet i forskellige afstande fra dambruget. Afstand fra dambruget (m) 9 44 87 7 67 Mængde ammoniak (mg/l) 6,0 4,5,0,4,4 a Funktionen f givet ved f ( ) = b, 5, beskriver mængden af ammoniak (målt i milligram pr. liter) som funktion af afstanden (målt i meter) fra dambruget. a) Bestem tallene a og b. b) Beregn hvor stor en mængde ammoniak, er der i 50 meters afstand fra dambruget. c) Bestem afstanden hvor mængden er mindre end mg/l. 54

Opgave 4 På et fiskemarked i Tokyo, hvor der handles tun (Thunnus thynnus), er der en sammenhæng mellem udbudsprisen, s, (i tusinder Yenn pr. kg) og mængden,, (i kg). Tilsvarende er der en sammenhæng mellem efterspørgselsprisen, d, (i tusinder Yenn pr kg) og mængden,. Sammenhængene er givet ved: s( ) = + 5,hvor 0 6 d = 0,5 6 + 75, hvor 0 6 Skæringspunktet mellem d og s s grafer kaldes for ligevægtspunktet og angiver hhv. ligevægtsmængden, Q, og ligevægtsprisen, P. a) Bestem ligevægtsmængden, Q, og ligevægtsprisen, P. Den samlede betalingsvillighed for en bestemt vare kan bestemmes ved at bestemme arealet af området under efterspørgselsgrafen fra 0 til Q. b) Bestem den samlede betalingsvilligheden for tun (Thunnus thynnus). Opgave 5 En fisker fisker efter rødøjede rundsild (Etrumeus teres) og har installeret en fiskeradar på sin kutter, der afsøger et cirkulært område med kutteren i centrum og en radius på 50 meter. a) Opskriv cirkelligningen, C, der beskriver afsøgningsområdets rand, når kutteren placeres i origo (0,0) og afstandene måles i meter. En stime af rødøjede rundsild svømmer i en ret linje fra punkt P(-00,50) til Q(0,-50), mens kutteren ligger stille. b) Afgør om kutteren ved hjælp af sin fiskeradar har chance for at opdage fiskestimen. 55

Terminsprøve. 08 Opgave Reducér udtrykket a ( a 4b) ( a 6b) Opgave I planen har en trekant ABC hjørnerne A( 5, ), B( 7,) og C ( 4, ) Bestem arealet af trekant ABC. Opgave Løs andengradsligningen ( + 4) = 6 Opgave 4 Beregn ( ) ( ) cos e sin + d. f Opgave 5 Undersøg, om funktionen f med forskriften Opgave 6 = cos + er en løsning til differentialligningen y dy = sin ( ) d 4 En parabel A har toppunkt i,, og tangenten t til parablen i parablens 4 8 skæringspunkt med andenaksen har hældningen. Bestem en ligning for parablen A. Opgave 7 Antallet af hvide næsehorn (Ceratotherium simum) i Afrika ses i nedenstående tabel: Årstal 99 997 004 007 009 Antal 676 79 0796 67 9409 næsehorn Det antages, at antallet af hvide næsehorn kan beskrives ved en model på formen N t = a t + b hvor N er antallet af hvide næsehorn, og t er tiden målt i antal år efter 99. a) Bestem a og b. b) Fortolk tallet a, og bestem i hvilket år antallet af hvide næsehorn ifølge modellen er oppe på 0000. I en anden model, hvor tiden t igen angives i antal år efter 99, antages det, at antallet M af hvide næsehorn kan beskrives ved en funktion, der er løsning til differentialligningen dm = 0,07 M dt c) Bestem det årstal, hvor de to forskellige modeller igen giver samme antal hvide næsehorn, når det antages, at begyndelsesværdien er den samme i begge modeller. 56

Opgave 8 I trekant ABC kaldes medianen fra A s fodpunkt D, mens vinkelhalveringslinjen fra C s fodpunkt kaldes E. Det er oplyst, at AB = 8,4og BC = samt at medianen fra a har længden 0 ( m = 0 ) a d) Bestem vinkel B. e) Bestem C og bestem AE. Opgave 9 En potensvækst er givet ved forskriften 0,7 57 S =,67 a) Bestem, hvordan S ændrer sig, når -værdien øges med 40%. Opgave 0 En cirkel A er givet ved ligningen 0 + y + 4y 44 = 0 a) Bestem koordinatsættet for cirklens centrum og cirklens radius. En linje l er givet ved ligningen 6y+ 4 = 0. b) Undersøg, om linjen l er en tangent til cirklen A. Opgave Funktionerne f og g er givet ved forskrifterne f = sin + = e g Sammen med andenaksen danner graferne for f og g i første kvadrant en punktmængde M. a) Bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring førsteaksen. Opgave Vandstanden h (målt i meter) i en havn fra midnat til middag kan beskrives ved h( t) =, 4sin t +,+, 7 ; t 0, 6 hvor t er tiden målt i timer efter midnat. a) Bestem den største og den mindste vandstand i havnen i perioden fra midnat til middag. b) Bestem det tidspunkt i perioden, hvor vandstanden vokser hurtigst, og angiv denne maksimale væksthastighed. Opgave Man ønsker at undersøge, om valget af favoritprimærfarve afhænger af det klimabælte, man bor i. Man vælger signifikansniveauet 5% og spørger 54 tilfældigt udvalgte personer. I nedenstående tabel ses bidragene til teststørrelsen Q: Bidrag til Q Blå Rød Gul Tropisk,,0,08 Subtropisk,54 0,,4 Tempereret 0,04 0,0 0,7 a) Opstil den nulhypotese, som testet anvender, og beregn teststørrelsen Q. b) Beregn p-værdien og konkludér på undersøgelsen. Opgave 4 Det antages, at antallet N af Twitter-brugere i verden (målt i mio.) kan beskrives ved dn en funktion, der er en løsning til differentialligningen = 0, 000 N( 0 N) dt hvor t er tiden målt i antal år efter 00. a) Bestem væksthastigheden af Twitter-brugere i verden på det tidspunkt, hvor der er 70 mio. Twitter-brugere i verden. I år 0 var der 8 mio. Twitter-brugere i verden. b) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden af Twitter-brugere i verden er størst.

Opgave 5 Tre punkter i rummet er givet ved A( a,0,0 ), B( 0, a,0) og C ( 0,0,a ), hvor a er et positivt, reelt tal. a) Bestem a, så trekanten udspændt af punkterne A, B og C har arealet 7. I en anden situation er a = 4. To rette linjer l og k går begge gennem origo ( 0,0,0 ). Linjen l står vinkelret på planen, der indeholder punkterne A, B og C, og linjen k går gennem punktet A. b) Bestem den stumpe vinkel mellem linjerne l og k. c) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet D mellem den rette linje l og planen. Terminsprøve. 09 Opgave Reducér udtrykket ( a b) ( 4a + b) ( a b ) 7 5 Opgave Vektorerne a og ber givet ved a = og b =. t + 4 Bestem den værdi for t, hvor vektorerne a og b er parallelle. Opgave Undersøg, om funktionen f givet ved forskriften f ( ) cos ( ) dy d differentialligningen y = sin ( ) Opgave 4 Beregn ( ) + + 6 + 9 e d = er en løsning til Opgave 5 Graferne for funktionerne f og g er parabler, der skærer hinanden i = og = og sammen danner en punktmængde M (se figuren nedenfor). Benyt nogle af funktionsværdierne i nedenstående tabel til at bestemme arealet af punktmængden M (F og G er stamfunktioner til henholdsvis f og g). ' G f '( ) g ( ) f ( ) g( ) F( ) = 5-0 0 = - 5 4 4 6 7 6 Opgave 6 Parablen p er graf for polynomiet a + b + 5.,. Bestem konstanterne a og b, så parablen p har toppunkt i 58

Opgave 7 For en cykelrytter har man målt sammenhængen mellem hendes tempo p (målt i minutter pr. km.) og den luftmodstand F (målt i N), der påvirker hende. F p = b p Det oplyses, at sammenhængen kan beskrives ved forskriften a a) Bestem konstanterne a og b. b) Bestem det tempo, der svarer til luftmodstanden 8, N. c) Hvordan ændres luftmodstanden, hvis talværdien for tempoet øges med 70%? f = Opgave 8 En funktion f er givet ved forskriften 4 a) Bestem monotoniforholdene for f. b) Bestem det sted, hvor væksthastigheden for f er størst. Opgave 9 + 4 5 + 47 For at bestemme bredden af floden Arno i Firenze måles fra to punkter A og B, der ligger med afstanden00 m på den ene bred, sigtevinkler CAD = 4og CBD = 66til et punkt C længere fremme på den anden bred. Punktet D er fodpunkt for højden fra C i trekant ABC. a) Bestem CD. I trekant ABC skærer C s vinkelhalveringslinje linjestykket AB i punktet E, og man planlægger at anvende trekant BCE til kapsejlads i kano. b) Bestem omkredsen af trekant BCE. Opgave 0 En kugle K er bestemt ved ligningen K : 8 + y + 4y + z 6z 40 = 0 ; a) Bestem kuglens radius og koordinatsættet til dens centrum. Netop ét af punkterne ( 9,,8 ) P og ( 8,5,) Q ligger på kuglen K. b) Afgør, hvilket af punkterne P og Q, der ligger på kuglen K, og vis, at tangentplanen til kuglen i dette punkt har ligningen : 4 + y + z 5 = 0 ; c) Bestem den stumpe vinkel, som linjen l gennem punkterne P og Q danner med tangentplanen. 59 G = G =

Opgave Man ønsker at undersøge, om svømmeresultaterne afhænger af, om man anvender træningsmetode A eller B. Man vælger at arbejde med signifikansniveauet %. Man opstiller følgende skema, der skal anvendes i undersøgelsen: a) Opstil en nulhypotese, der kan bruges til undersøgelsen, og bestem den kritiske værdi for teststørrelsen Q. Man opnår følgende resultat: b) Bestem den forventede værdi for antallet af testpersoner med træningsmetode B, der skulle have opnået et middelresultat, og bestem bidraget til Q-værdien fra denne kategori. Opgave Ved en blodtryksmåling er blodtrykket p (målt i mmhg) som funktion af tiden t (målt i p t = sin 5,87 t + 04 sekunder) givet ved forskriften a) Bestem det minimale og det maksimale blodtryk. b) Bestem perioden T for blodtrykket. Opgave Højden h (målt i cm) af en plante kan beskrives ved differentialligningen dh = 0,7 80 h, hvor t er tiden målt i døgn efter det tidspunkt, hvor planten er cm høj. dt a) Hvor høj er planten, når den vokser med væksthastigheden 5,85 cm i døgnet? b) Til hvilket tidspunkt t er planten 79 cm høj? f = ln + + 7 ; 0 Opgave 4 En funktion f er givet ved forskriften En lodret linje l er givet ved ligningen = a, hvor a 0, og en vandret linje k er givet ved ligningen y = b, hvor 0b 7. Grafen for f danner sammen med andenaksen og linjerne l og k en punktmængde M. a) Bestem værdien af a, når arealet af M er 50, og b-værdien er. b) Bestem værdien af b, når a-værdien er 0, og rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 60 omkring førsteaksen, er 400. Opgave 5 Lad A( 5,,4 ), B( 9,, 8 ), C (,0,) og D( 6,7, 0) være punkter i rummet, og lad linjen l være den rette linje, der går gennem punkterne C og D. a) Bestem en parameterfremstilling for linjen l, og bestem det punkt E på linjen l, der gør arealet af trekant ABE mindst muligt. 60