Matematik A-niveau Delprøve 1

Transkript

1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ± d 2 a Vi indsætter tallene. Altså x = 2 ± = 2 ± 12 2 x = 7 x = 5 = 5 7 Som er det ønskede. Opgave 2 løsning: Der opstilles en model i formen: f(x) = ax + b Oplysningerne indsættes. f(x) = 25x Hvor 420 fortæller antallet af medlemmer fra år 2010, og dette øges hvert år med 25 medlemmer.

2 Opgave 3 løsning: Funktionen: f(x) = (x 2 + 7) ln(x), x > 0 Her differentieres f(x). f (x) = 2x ln (x) + x x Som er den differentierede funktion. Tallet 1 indsættes idet f (1). Der reduceres på det. f (1) = 2 1 ln(1) f (1) = = 8

3 Opgave 4 løsning: Her regnes forstørrelsesfaktoren k. Tallene indsættes. k = AB DE k = 6 4 = 3 2 = 1.5 BC = CE k Tallene indsættes. Vi trækker nu CE fra BC og det giver BE. BC = = 4.5 Dette er den ønskede længde. BE = = 1.5

4 Opgave 5 løsning: Vi integrerer funktionen. F(x) = 8 Vi indsætter punktet og løser en ligning for k x x1+1 + x + k = 2x 4 3x 2 + x + k 6 = k 6 = k 6 = 22 + k k = 28 Dvs. F(x) = 2x 4 3x 2 28 Som er det ønskede. Opgave 6 løsning: En mulig ligning kan bestemmes ved følgende metode: (x x 0 ) 2 + (y 0 ) = f(x) Toppunktet indsættes i formlen. (x 4) = f(x) f(x) = x 2 8x + 19 Som er den ønskede parabel.

5 Matematik A-niveau STX 7. december 2015 Delprøve 2 Opgave 7 - Analytisk plangeometri Delopgave a) Vi undersøger, om vektor og er ortogonale. (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3) Vektorerne er ikke ortogonale. Delopgave b) Vi ved, at linjen er parallelt med og passerer igennem punktet. Vi kan bruge linjens ligning. Vi indsætter vores kendte oplysninger. isolate for y Så linjen der er parallelt med vektor er blevet fundet. (1.2.1) (1.2.2)

6 Opgave 8 - Trigonometri Delopgave a) Vi bestemmer AB med følgende kommando som kan benyttes via Maple. Oplysningerne indsættes. (2.1.1) Her blev AB bestemt til Bemærk, at i udregningen blev der sat, hvor der skulle stå men Maple regner ikke med andre bogstaver, andet end A, B og C samt a, b og c. Vi bestemmer BC med samme kommando som før. Oplysningerne indsættes. (2.1.2) Her blev BC bestemt til Bemærk, at i udregningen blev der sat, hvor der skulle stå men Maple regner ikke med andre bogstaver, andet end A, B og C samt a, b og c. Delopgave b) Vi regner vinkel B for trekant ABC. Dette gøres ved at lægge begge vinkler fra delopgave a sammen. Vinkel B: (2.2.1) Som er den ønskede vinkel. Vi regner nu arealet af trekant ABH og ABC og skal argumentere for, at den er 2.5 gange større. Areal for trekant ABH: Dette er arealet af trekanten ABH. Vi ønsker nu at bestemme arealet af trekanten ABC. (2.2.2) (2.2.3) (2.2.4)

7 Dette er arealet for trekant ABC, dvs. arealet af trekanten ABH og BCH. De lægges sammen og derfra fås arealet af trekanten ABC. Vi skal undersøge, at trekanten ABC er 2.5 gange større end trekant ABH. Dette passer, at arealet af trekant ABC er 2.5 gange større end ABH. (2.2.5) Opgave 9 - Eksponentielle funktioner Delopgave a) Vi laver regression over den eksponentielle funktion. Vi definerer vores og. (3.1.1) Vi benytter kommandoen for regressionen: (3.1.2)

8 Her får vi tallene og samt vi får bestemt en forskrift: Hvor og. (3.1.3) Delopgave b) Vi skal give en fortolkning af tallet Vi indsætter tallet. solve for r Dette ganges med 100. (3.2.1) (3.2.2)

9 Så for hvert år der går, stiger aktiekursen med 22.4% (3.2.3) Vi ønsker også at bestemme fordoblingskonstanten. Vi indsætter tallet. (3.2.4) at 5 digits Dvs. aktierne er fordoblet efter 3.4 år. (3.2.5) Delopgave c) Her løses en ligning for funktionen ved at sætte den lig med 500. solve for x I år 2018 vil aktierne overstige 500 pga. årsafslutning.. (3.3.1) (3.3.2) Opgave 10 -Trigonometriske funktioner Delopgave a) Vi starter ud med at definere funktionen. I Maple kan man anvende ekstrema for at undersøge det. Her skal man vide, at ét døgn er i 24 timer, derfor er intervallet Her anvendes følgende kommandoer. (4.1.1) 5. (4.1.2)

10 9. Man kan også regne dem således, da simusfunktionen angiver det i intervallet [-1,1], altså (4.1.3) og Som er det mindste og største værdi for vandbassinet. Herved har man, at 5m er den mindste og 9m er den maksimale dybde. Opgave 11 - Integralregning Delopgave a) Vi bestemmer funktionen. Vi plotter grafen. (5.1.1)

11 Vi bestemmer først arealet mellem 0 og 1. (5.1.2) Vi bestemmer nu arealet for 1 og 4. (5.1.3) Arealerne fra før lægges sammen.

12 at 5 digits Hvilket er det ønskede (5.1.4) (5.1.5) Delopgave b) Vi ønsker at udregne omdrejningslegemet. Dette gøres ligesom før. Vi bestemmer først volumen mellem 0 og 1. (5.2.1) Vi bestemmer nu volumen for 1 og 4. (5.2.2) Dette er volumen af begge arealer, når de er roteret begge: rundt om førsteaksen. Volumen for dem (5.2.3) at 5 digits Som er det ønskede. (5.2.4) Opgave 12 - Potensfunktioner Delopgave a) Funktionen defineres i Maple. Vi bestemmer. (6.1.1)

13 Så dvs. at efter 100 timer er der udledt 120 olie pr. time. (6.1.2) Delopgave b) Vi definerer den nye funktion. Vi indsætter 1.5 på 's plads. (6.2.1) (6.2.2) Dvs. ved en oliemængde på 1.5 giver et areal på For at bestemme tiden, sættes arealet lig med funktionen solve for t Så efter 142 timer fås arealet af (6.2.3) (6.2.4) Opgave 13 - Rumgeometri Delopgave a) Følgende oplyses: og Dette indsættes i kuglens ligning. Vi indsætter. Dette er kuglens ligning. (7.1.1) Vi skal gøre rede for, at punktet ligger på kuglen. Vi indsætter det i ligningen.

14 Det passer. Punktet ligger i kuglen. Dette kan visualiseres. (7.1.2) Delopgave b) Vi bestemmer en tangentplan til kuglen på følgende måde: (7.2.1)

15 (7.2.2) (7.2.3) Dette bruges til planens ligning. Vi indsætter tallene. Dette er planen. (7.2.4)

16 Delopgave c) Vi indsætter parameterfremstillingen i planen. (7.3.1)

17 Da betyder det, at ligger i planen. (7.3.2) Vi indsætter det samme i kuglens ligning. solve for t (7.3.3) (7.3.4) Her er der tale om komplekse tal, dvs. den skærer ikke kuglen. Opgave 14 - Optimering Delopgave a) Vi skal optimere. Vi oplyser følgende: (8.1.1) Vi indsætter 1000 som volumen. (8.1.2) solve for h (8.1.3) (8.1.4) Da kender vi nu. Dette indsættes i den anden formel og dette udtrykkes ved. Delopgave b) (8.2.1) Dette er vores udtryk. Vi differentierer den.

18 (8.2.2) (8.2.3) solve for a (8.2.4) Vi får komplekse rødder. Men vi skal kun bruge den reelle rod. Vi vælger tal for at gøre prøve. Der vælges 7 og Vi ved hvornår funktionen er voksende og aftagende. Herved ved vi, hvornår funktionen er mindst muligt. (8.2.5) (8.2.6) Hvilket er det ønskede.

19 Opgave 15 - Differentialligninger Delopgave a) Vi har fået angivet differentialligningen. Vi indsætter oplysningerne. Vi indsætter. (9.1.1) solve DE (9.1.2) Dette er regneforskriften for. (9.1.3) Vi sætter (9.1.4) solve for t (9.1.5) (9.1.6) at 5 digits Så efter 5.4 år står der kr på kontoen. (9.1.7) Delopgave b)

20 Vi gør næsten det samme. solve DE (9.2.1) (9.2.2) Her skal den faste årlige indbetaling regnes. Dette gøres sådan: (9.2.3) solve for s (9.2.4) (9.2.5) (9.2.6) at 5 digits Så der skal indbetales kr hvert år, for at man får 70000kr. (9.2.7)