Stx matematik B maj 2009

Transkript

1 Ib Michelsen Svar stxb maj Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x x 2 1 =6 x 2 +8 x 1 f ' ( x)=6 x 2 +8 x Opgave 2 Bestem forskriften for den lineære funktion gennem P(3,1) og Q(7,9) Da funktionen er lineær, bestemmes parameteren a med formlen a= y 2 y 1 x 2 x 1 Punkternes koordinater indsættes: a= = 8 4 =2 Parameteren b bestemmes med formlen b= y 1 a x 1 De pågældende størrelser indsættes: b=1 2 3=1 6= 5 Forskriften er: f (x)=2 x 5 Opgave 3 f (x)=6 x 2 Det ubestemte integral bestemmes: F (x)= 6 x 2 dx=6 x 2 dx=6 1 3 x2+1 +k =2 x 3 +k 1 Her er mellemregninger medtaget for indirekte at vise læseren hvilke regler, der anvendes. I eksamenssituationen kan det også være en god idé (hvis det ikke tager lang tid.) Du skal nemlig vise din tankegang! men samtidig sikrer du dig at få points for det rigtige, selvom der skulle være en grim fejl undervejs.

2 Ib Michelsen Svar stxb maj Da grafen går gennem P(1,10) fås F (1)= k=10 k=8 Heraf F (x)=2 x 3 +8 Opgave 4 Givet figuren med de to ensvinklede trekanter. Da trekanterne er ensvinklede findes der en fælles forstørrelsesfaktor k for alle par af sider (der svarer til hinanden.) k findes som k= f c, dvs. k= DF findes som DF =k AC, da de to sider ligger over for lige store vinkler. Ved indsætning fås DF = =21 DF =21 Opgave 5 Der er gengivet 2 parabler P og Q se herunder:

3 Ib Michelsen Svar stxb maj Parametre for P Da parablens grene vender opad, er a > 0 Da parablen skærer 2.-aksen over 1.-aksen, er c > 0 Da parablen ikke skærer 1.-aksen, er d < 0 Parametre for Q Da parablens grene vender nedad, er a < 0 Da parablen skærer 2.-aksen under 1.-aksen, er c < 0 Da parablen skærer 1.-aksen (2 steder), er d > For både P og Q gælder, at b > 0! (Hvorfor?)

4 Ib Michelsen Svar stxb maj Opgave 6 For funktionen f (x)=b x a gælder, at f (2)=12 og f (4)=96 Bestem parameteren a Da f er en potensfunktion, findes a med formlen log( y 2 y a= 1) log( x 2 x 1) Koordinaterne indsættes: log a= ( 96 12) log ( 4 a=3 2) = Bestem parameteren b log(8) log(2) = 3 log(2) log(2) =3 3 Da f er en potensfunktion, findes b med formlen b= y 1 x 1 a De kendte størrelser indsættes: 4 b= = 12 8 =1,5 b=1,5 3 4 Må også findes med lommeregner :-) Parametre kan også findes med regression i GeoGebra: fitpot((2,12),(4,96))

5 Ib Michelsen Svar stxb maj Opgave 7 I 1996 var de diabetikere i Danmark. Siden er antallet steget med 7,1 % pr. år. Model Når antallet stiger med samme procent pr. år, er udviklingen eksponentiel. Vækstfaktoren a=1+7,1% og og som begyndelsesværdi benyttes , idet x = tiden efter 1996 målt i år f(x) = antallet af diabetikere x år efter 1996 f (x)= x Fordoblingstid Da funktionen er eksponentiel findes der en fordoblingstid, der kan bestemmes med formlen T 2 = log(2) log(a) Ved indsættelse af a fås: T 2 = log(2) log(1,071) =10,105 Antallet af diabetikere fordobles i følge modellen på godt 10 år.

6 Ib Michelsen Svar stxb maj Opgave 8 For perioden er der i tabelform oplyst tiderne for verdensrekorderne i maratonløb. Tiderne kan beskrives med en lineær funktion. Beregning af parametre Parametrene findes med lineær regression i programmet GeoGebra; kommandoen fitlinje benyttes: Heraf ses, at hældningskoefficienten a = -8,19 og begyndelsesværdien b = 7689 Betydning af a a = - 8,19 betyder, at den samlede tid for maratonløbet hvert år aftager med 8,19 sekunder Hvornår kan et maratonløb løbes på en tid under 2 timer? Linjen y=7200 tegnes og skæringspunktet mellem denne og regressionslinjen findes: J=(59,6 ; 7200). Dvs. at 60 år efter 1981 kan et maratonløb løbes på under 2 timer i følge modellen. (Se tegning næste side.) I 2041 kan et maratonløb løbes på under 2 timer

7 Ib Michelsen Svar stxb maj Opgave 9 I trekant ABC er de anførte må oplyst. Konstruktion af trekanten AC afsættes som et linjestykke med given længde (= 7) Vinkel A afsættes som en vinkel med given størrelse (=114 ) Med centrum i A tegnes en cirkel med given radius (=5); denne skærer vinkel A's venstre ben i B. Linjen gennem A og C tegnes; fra B nedfældes den vinkelrette. Fodpunktet kaldes H.

8 Ib Michelsen Svar stxb maj Alle mål kan nu aflæses: BC = 10,1 Vinkel B = 39,2 h b = 4,6 Areal af trekant ABC = 16,0 Opgave 10 Befolkningstallet i Gedser er givet ved modellen f (x)= 0,164 x 2 +18,9 x+710 hvor f(x) er befolkningstallet til tiden x (antal år efter 1900) Maksimalt befolkningstal Grafen for f er en parabel; det største befolkningstal fås som y-værdi i toppunktet. Værdien findes som: y(t )= d 4 a hvor a = - 0,164 og d =b 2 4 ac, b = 18,9, c = 710 De kendte tal indsættes: y(t )= (18,92 4 ( 0,164) 710) =1254,5 4( 0,164) Det maksimale befolkningstal i Gedser var1255 Hvornår er befolkningstallet 200? Svaret fås ved at løse ligningen f(x) = 200 i GeoGebra: Løsningen er x-værdien i skæringspunktet B (da spørgsmålet drejer sig om fremtiden): altså ca. 138 år efter år Ifølge modellen falder befolkningstallet til 200 i år 2038

9 Ib Michelsen Svar stxb maj Opgave 11 I en tabel er der anført grupperede observationer vedrørende 531 rygeres cigaretforbrug pr. dag. Tabellens data indtastes i regnearket (kolonner A-C), i kolonne D beregnes intervalfrekvenser fx som 127/531 = 0,239 I cellerne A10:B16 findes koordinater for støttepunkter til sumkurven. A10:16 er intervalgrænserne, B10:16 er de dertil svarende kumulerede frekvenser. Sumkurven er grafen for den stykkevis lineære funktion gennem de beregnede støttepunkter Kvartilsæt Kvartilsæt findes som x-værdier i sumkurvens skæringspunkter med linjerne y=0,25, y=0,50 og y=0,75. Kvartilsæt = {12,5 ; 17,9 ; 23,0} Mindst 21 cigaretter... I skæringspunktet K mellem sumkurven og x=21 ses, 65,1 % ryger højst 21 cigaretter om dagen; deraf fås at100 % - 65,1 %, altså 34,9 % ryger mindst 21 cigaretter om dagen Opgave 12 Antallet af bakterier er givet ved M (t)=3, , e 0,154 t hvor M er antal bakterier og t er tiden (målt i timer)

10 Ib Michelsen Svar stxb maj Bestem M'(18) M ' (t)=(3, )' +(7, e 0,154 t )'=7, (e 0,154t )'=7, ,154 (e 0,154 t )=1, (e 0,154 t ) M'(18) = Betydning Præcis efter 18 timer vokser antallet af bakterier med en hastighed af knap 2 millioner bakterier pr. time. 5 Opgave 13 f ' ( x)=x 4 x 3 3 x 2 +5 x 2 Bestem Monotoniforhold x x<-2 x=-2-2<x<1 x=1 1<x f' f vok aft voks Dvs.: I ]- ; 2] vokser f I [-2 ; +1] aftager f I ]+1 ; + ] vokser f Opgave 14a Funktionen f er bestemt ved: f (x)=x(k x), hvor k>0. Sammen med førsteaksen afgrænses punktmængden M. Bestem (og skitser) arealet af M. Idet k = 10 tegnes grafen for f. Skæringspunkterne med førsteaksen findes: A og B. Da parablens grene vender nedad (a = -1 < 0), er f(x) > 0 for x- værdier mellem x-værdierne i A og B. Derfor kan arealet af M findes som x( B) Areal= x( A) f ( x)dx= Areal= Men bemærk: Bakterievæksten fra tidspunkt 18 til tidspunkt 19 vil blive godt 2 millioner fordi der er tale om en eksponentiel funktion, der vokser hurtigere og hurtigere.

11 Ib Michelsen Svar stxb maj Bestem k... Generelt findes nulpunkterne for f med nulreglen: f (x)=0 x(k x)=0 x=0 k x=0 x=0 x =k Som ovenfor findes arealet k Areal= 0 (k x x )dx=[ 2 k 2 x2 1 3 x3]0 = k 2 k k 3 (0 0)= 1 6 k 3 k findes så som løsning til ligningen: Areal= k 3 =100 k 3 =600 k= k=8,434 k = 8,43 k Opgave 14b Givet de oplysninger, der fremgår af tegningen, skal længderne mellem A og P samt mellem B og P findes. Beregning af afstande På begge sider er der en retvinklet trekant; derfor kan Pythagoras sætning anvendes: AP = x 2 og BP = (46 x) 2

12 Ib Michelsen Svar stxb maj Prisen for vejen Lad Pris(x) være den samlede pris for landevejen, hvor x er den markerede afstand på skitsen. Idet de oplyste priser er hhv. 50 og 60 mio. kr. pr. km fås funktionssammenhængen: Pris( x)= x (46 x) 2 Den optimale løsning Den fundne forskrift indtastes i GeoGebra; med programmet findes den afledte funktion og derefter skæringspunktet A for x-aksen og grafen for Pris'. Af fortegnsvariationen for Pris' (- 0 +) ses, at Pris har et lokalt minimum for x = 28,0. Da der ikke er andre lokale ekstrema er dette minimum også et globalt minimum. Vejen APB bliver billigst, hvis x = 28,0 km.